Bài giảng và bài tập môn học giải tích một biến số

Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải Bài số Giới hạn tính liên tục hàm số I Giới hạn hàm số: Ví dụ 1: Xét hàm số y = f ( x) = x − x + Ta lập bảng giá trị hàm số điểm x gần x0 = Ta nói hàm số có giới hạn x → x0 = Định nghĩa giới hạn hàm số Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f ( x) có giới hạn L (hữu hạn) x → x0 viết lim f ( x) = L x → x0 với dãy { xn } mà xn → x0 lim f ( xn ) = L n →∞ Định nghĩa 2: theo ngôn ngữ δ − ε lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : x − x0 < δ x → x0 ⇒ f ( x) − L < ε Chú ý + Nếu hàm f ( x) không thoả mãn định nghĩa, ta nói f ( x) khơng có giới hạn x → x0 , lim f ( x) khơng tồn x → x0 + Khi tìm giới hạn, ta quan tâm đến giá trị “x dần tới x0 ” xét x = x0 Do f ( x) không xác định x = x0 phải xác định điểm thuộc lân cận điểm x −1 khơng xác định x = Ta lập bảng tính giá trị f ( x) x2 − x → Từ xem f ( x) dần đến giá trị Ví dụ 2: Hàm số f ( x) = Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải Hàm số có giới hạn 0,5 x → x0 = Sử dụng định nghĩa, lim x →1 x −1 = x2 −1 Thật vậy, cho trước ε > , chọn δ = ε Ta có: x − < δ x −1 x −1 − = < x − < ε ( với x x −1 x +1 lân cận 1) Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim cos x →0 x Giải: Đặt f ( x) = cos x + Với x = , n = 1, 2, 3… f ( x) = 2nπ + Với x = , n = 1, 2, 3… f ( x) = π + 2nπ Vậy lim cos không tồn x →0 x Giới hạn vô cực Định nghĩa: + lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > , ∃N > đủ lớn, cho ∀x > N ⇒ f ( x) − L < ε x →+∞ + lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > , ∃N > đủ lớn, cho ∀x < − N ⇒ f ( x) − L < ε x →−∞ Bài giảng Giải tích biến số cho K58 Ví dụ 4: Chứng minh lim x →+∞ GV Lê Thị Minh Hải =0 x Giải: 1 −0 ε x + Từ + Ta có: ∀ε > , chọn N = ε2 Khi ∀x > N ⇒ f ( x) − < ε Các tính chất giới hạn Định lí 1: Giả sử c số lim f ( x) = L, x→a lim g ( x) = M Khi x→a lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M x→a lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M x→a lim c f ( x) = cL x→a lim f ( x).g ( x) = L.M x→a lim x→a f ( x) L = M ≠ g ( x) M Định lý 2: ( giới hạn kẹp) Giả sử hàm số f ( x), g ( x), h( x) thoả mãn bất đẳng thức f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) lân cận điểm a Khi lim f ( x) = lim h( x) = L lim g ( x) = L x→a Ví dụ 5: Chứng minh lim x →∞ Ta có: ≤ x→a x →a sin x = x sin x sin x ≤ Mà lim = nên lim = , hay ta có đpcm x →∞ x x →∞ x x x Phương pháp tính giới hạn + Các giới hạn không vô định thường cho kết + Khi gặp dạng vô định ta phải khử + Sử dụng giới hạn kẹp + Sử dụng số giới hạn sau: Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải +∞ a > ♦ lim a u =  u →+∞ < a < 0 ♦ a > 0 lim a u =  u →−∞ +∞ < a < a >  +∞ ♦ lim log a u =  u →+∞ −∞ < a < ♦ a > −∞ lim+ log a u =  u →0 +∞ < a < a x −1 ex −1 = ln a ⇒ lim = 1, x →0 x →0 x x sin x sin x = 1, lim =0 x →0 x →∞ x x ♦ lim log a ( x + 1) ln( x + 1) = ⇒ lim = 1, x →0 x →0 x ln a x 1/ x  a ♦ lim 1 +  = lim (1 + ax ) = ea , x →∞ x →0  x ♦ lim x ♦ lim n (1 + x) n − 1 + x −1 = n ⇒ lim = x →0 x → x x n ♦ lim Một số phương pháp khử dạng vô định: ∞ , , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ ∞ a Dạng u : lim u, v tiến đến 0 v * Phương pháp: + Làm xuất thừa số giống tử mẫu để rút gọn + Dùng giới hạn biết Ví dụ 6: Tìm lim x →1 Giải: + Dạng x6 − x2 − x − 1)( x + x + 1) ( x6 − + lim = lim x →1 x − x →1 ( x − 1) = lim ( x + x + 1) = x →1 Ví dụ 7: Tìm lim x →0 − x −1 x ; sin x x →0 e3 x − lim Bài giảng Giải tích biến số cho K58 Ví dụ 8: Tìm lim x→2 x −1 − 2x − x−2 + Dạng GV Lê Thị Minh Hải 0 − cos x.cos x x →0 − cos x Ví dụ 9: Tìm giới hạn sau lim + Dạng b Dạng ∞ u : lim u, v tiến đến vô ∞ v * Phương pháp: Chia tử mẫu cho lượng vơ lớn thích hợp Ví dụ 10: Tính: 3x + x , x →+∞ 3x +1 − x a ) lim Ví dụ 11: Tìm lim x →+∞ ( x + 1)10 (2 x − 1) 20 x →+∞ (3 x + 2)30 b) lim x+ x x +1 Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải c Dạng ∞ − ∞ lim(u − v) u, v tiến đến vô * Phương pháp: - Nhân chia với lượng liên hợp để đưa dạng - Quy đồng mẫu số để đưa Ví dụ 12: Tìm lim x →+∞ ( x2 + x − x )  cos x  Ví dụ 13: Tìm lim  − cot x  x → sin x   d Dạng 0.∞ lim uv u → 0, v → ∞ PP: Đưa dạng ∞ ∞ Ví dụ 14 : Tìm 1  a ) lim x 1 − cos  ; x →∞ x  b) lim (π − x ) tan x →π x e Dạng 1∞ lim u v u → 1, v → ∞ x  1 PP:+ Đưa dạng lim 1 +  = e x →∞  x + Sử dụng công thức lim u v = elim v (u −1) 0 ∞ ∞ Bài giảng Giải tích biến số cho K58 Ví dụ 15: Tìm  x2 +  lim   x →+∞ x −   GV Lê Thị Minh Hải x2 + x , + Dạng 1∞  x2 +  lim   x →+∞ x −   x2 + x =e  x +1  lim ( x + x )  −1  x −1    x→+∞ =e lim x2 + x x→+∞ x −1 = e2 Ví dụ 16: Tìm giới hạn sau lim ( cos x ) x2 x →0 + Dạng ∞ + Ta có: cos x = − (1 − cos x ) = − sin 1 x 2x  + lim ( cos x ) x2 = lim 1 − 2sin  −2sin x →0 x →0 2  −2sin lim = e x→0 x x2 =e − x −2sin x x2 BÀI SỐ 2: GIỚI HẠN MỘT PHÍA TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ I Giới hạn phía 1.a Định nghĩa: Giới hạn f(x) x → a, x < a (hoặc x → a, x > a ) tồn gọi giới hạn trái (hoặc giới hạn phải) Ký hiệu: lim− f ( x) = f (a − ), lim+ f ( x) = f (a + ) x→a Ký hiệu khác: lim f ( x) = f (a − 0), x → a −0 x →a lim f ( x) = f (a + 0) x→a +0 Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải b Định lý: Tồn lim f ( x) = L x →a ∃ lim f ( x)  x → a−  f ( x) ∃ xlim +  →a f ( x) = lim+ f ( x) = L  xlim → a− x →a Ví dụ 1: Xét tồn lim x →0 Ta có: lim+ x →0 x x = lim+ Ví dụ 2: Nếu x →0 lim− f x→  x − 4, x ≥ f ( x) =  8 − x, x < GIẢI: + l i m + f + x x x x −x = , lim− = lim− = −1 Vậy lim không tồn x →0 x x →0 x x→0 x x Xác định tồn x → x lim (x ) = (x ) = x→ (x ) f x − = lim+ x → lim− x→ , (8 − x − = )= − = Giới hạn trái giới hạn phải Vì vậy, giới hạn tồn li m f x→ (x ) = Vô lớn, vô bé Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi vô bé, viết tắt VCB x → x0 lim f ( x) = x → x0 Hàm số f(x) gọi vô lớn, viết tắt VCL x → x0 lim f ( x) = +∞ x → x0 Chú ý: + x0 hữu hạn vơ hạn Bài giảng Giải tích biến số cho K58 + lim f ( x) = ∞ ⇔ lim x → x0 x → x0 ♦ Nếu lim x → x0 GV Lê Thị Minh Hải =0 f ( x) f ( x) = ta nói f(x) tương đương với g(x), kí hiệu f ( x) ∼ g ( x) x → x0 g ( x) Ta có: sin x ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, e x − ∼ x x → Định lý: Nếu f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) x → x0 Khi : lim x → x0 Ví dụ 3: Tính f ( x) f * ( x) = lim * g ( x) x→ x0 g ( x) e2 x − lim x → ln(1 + sin x ) x Ví dụ 4: Tính: lim x →0   ln 1 +   x  tan II Tính liên tục hàm số Định nghĩa Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục điểm x0 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Hàm số y = f(x) liên tục miền D liên tục điểm thuộc miền D Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục điểm x0 cần đến điều kiện: x0 thuộc tập xác định hàm số Tồn lim f ( x) x → x0 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Nhận xét: + Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit hàm số liên tục miền xác định + Hàm số y = f(x) liên tục (a, b) đồ thị đường cong trơn khoảng (tức không bị gãy, khơng bị đứt đoạn) Ví dụ 5: Xét tính liên tục hàm số  x2 − x −  f ( x) =  x − 1  x≠2 x=2 Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải + Ta thấy hàm số liên tục điểm x ≠ + Xét x = ( x − )( x + 1) x2 − x − = lim x →2 x→2 x−2 x−2 = lim ( x + 1) = 3, f (2) = + lim f ( x ) = lim x→2 x →2 Nhưng lim f ( x ) ≠ f ( ) Nên f không liên tục x→2 Định nghĩa 2: ♦ Hàm số f (x) gọi liên tục phải x0 lim+ f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 ♦ Hàm số f (x) gọi liên tục trái x0 lim− f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 ♦ Hàm số y = f (x) liên tục x0 vừa liên tục trái, vừa liên tục phải x0 Ví dụ 6: Tìm a để hàm số sau liên tục R  sin x  f ( x) =  x  aeax + x −  x>0 x≤0 + Hàm số liên tục với x ≠ , để hàm số liên tục R phải liên tục x = + Tại x = : lim+ f ( x ) = lim+ x →0 x→0 sin x =2 x , lim− f ( x ) = lim− ( ae ax + x − 1) = a − = f (0) x →0 x →0 + Để hàm số liên tục x = f (0+ ) = f (0− ) = f (0) ⇔ a − = ⇔ a = Ví dụ 7: Hàm số f(x) không xác định x = 0, xác định f(0) để hàm số f(x) liên tục x = với : f ( x) = (1 + x ) x Giải: Để hàm số liên tục x = f (0) = lim f ( x) = lim(1 + x) x = e2 x →0 x →0 Điểm gián đoạn hàm số Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi gián đoạn x = a x = a hàm số không liên tục ♦ Nếu tồn f (a + ), f (a − ) f (a + ) ≠ f (a − ) x = a gọi điểm gián đoạn loại ♦ Điểm gián đoạn khác (không phải loại 1) gọi gián đoạn loại Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải Bài số 13 CHUỖI LUỸ THỪA I Chuỗi đan dấu Dạng : ∞ ∑ (−1) n +1 n =1 an = a1 − a2 + a − a + an > 1 1 + − + chuỗi đan dấu với an = n 1 1 + Chuỗi: − + − + chuỗi đan dấu với an = 2n − 1− Ví dụ 1: + Chuỗi: (1) (2) Tiêu chu"n h i t (Tiêu chu"n Leibniz) Xét chuỗi đan dấu ∞ ∑ (−1) n +1 n =1 an = a1 − a2 + a − a + Nếu phần tử an chúng tạo thành dãy số {an } giảm dần tới 0, tức là: (i) (ii) a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ….; an → n → ∞ Khi chuỗi hội tụ có tổng nhỏ a1 Ví dụ Tiêu chuẩn chuỗi đan dấu chuỗi (1) (2) hội tụ Hơn ta cịn có 1 1 1 π − + − + = ln − + − + = Ví dụ Xác định tính hội tụ chuỗi đan dấu sau (−1)n +1 n (a ) ∑ n =1 + 2n ∞ ∞ (b) ∑ (−1) n =2 n +1 ln n n Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải 1 ∞  ∑ sin n + n  π Ví dụ Xét hội tụ chuỗi sau: n =1 II Chuỗi có dấu Dạng: ∑a Khi chuỗi an có dấu n ∞ ∑a n =1 + Nếu chuỗi n chuỗi dương ∞ ∑ an hội tụ chuỗi n =1 + Nếu chuỗi ∞ ∑a n =1 n hội tụ (hội tụ tuyệt đối) ∞ ∑ an phân kỳ ta chưa có kết luận chuỗi n =1 + Nếu chuỗi ∞ ∑a n =1 Ví dụ 5: Chuỗi ∞ ∑ n =1 n phân kỳ ∞ ∑a n =1 n hội tụ ta nói chuỗi ∞ ∑a n =1 ∞ ∑a n =1 n n bán hội tụ sin n : chuỗi có dấu bất kỳ, chuỗi hội tụ tuyệt đối n2 Ví dụ 6: Xác định tính chất hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hay phân kỳ chuỗi sau: ∞ ∑ (−1)n +1 n =1 2n n! Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải III CHUỖI HÀM ∞ ∑ u (x ) , u (x ), n = 1,2, 3, hàm số biến x Dạng: n n =1 n Điểm x thuộc tập xác định chuỗi hàm x ∈ ∩ Dn , n = 1,2, , Dn TXĐ hàm số n un Với x ∈ TXĐ, chuỗi số ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ an =∑ un (x ) , chuỗi số hội tụ (phân kỳ) ta nói ∞ ∑ u (x ) hội tụ (phân kỳ) x chuỗi hàm n n =1 Tập hợp tất điểm mà chuỗi hàm ∞ ∑ u (x ) hội tụ gọi mi n =1 n n h i t chuỗi hàm Ví dụ 7: Xét hội tụ chuỗi hàm số: ∞ cos nx + x2 ∑n n =1 cos nx < , ∀x ∈ R 2 n +x n Giải: + Ta có: ∞ ∑n + Chuỗi số n =1 hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi hàm hội tụ với x Vậy miền hội tụ R Ví dụ 8: Xét hội tụ chuỗi hàm: ∞ n =1 Ta có: ∞ ∑n n =1 p ∑n x p-chuỗi, hội tụ p>1, phân kỳ p ≤ nên chuỗi hàm số hội tụ x > phân kỳ x ≤ Một chuỗi hàm có ý nghĩa miền hội tụ Tuy nhiên việc tìm miền hội tụ chuỗi hàm khơng đơn giản, chương trình học quan tâm tới dạng chuỗi hàm đặc biệt: Chu i lũy th&a Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải IV CHUỖI LUỸ THỪA Định nghĩa Chuỗi luỹ thừa chuỗi hàm có dạng: ∞ ∑a x n =0 n n = a + a1x + a2x + + an x n + (1) hệ số an hệ số x biến Chú ý : + Chuỗi luỹ thừa thường đánh số từ n = đến n = ∞, dạng rút gọn Σanxn + Mọi chuỗi lũy thừa hội tụ điểm x = Ví dụ 9: + Chuỗi hàm ∞ ∑ + xn , n =0 (−1)n +1 ∑ + n 2x : Không chuỗi lũy thừa n =0 ∞ + Chuỗi cấp số nhân : ∞ ∑x n =0 n =1 + x + x + + x n + chuỗi lũy thừa với an =, n = 1,2, + Chuỗi hàm: + 3x + 5x + chuỗi lũy thừa với : 0, n = 2k + , k = 0,1, 2, an =  n + 1, n = 2k  ∞ Viết lại: + 3x + 5x + = ∑ (2n + 1)x 2n n =0 S h i t c a chu i lũy th&a a) Bổ đề Abel Nh n xét: + Rõ ràng chuỗi luỹ thừa hội tụ với x = Có chuỗi hội tụ x = 0, ví dụ chuỗi ∑n x n n = x + 22 x + 33 x + 4 x Thật vậy: ∀x ≠ : |nx| > n đủ lớn, với xo phần tử thứ n : un = (nx )n không tiến tới Nên chuỗi hội tụ xn x2 x3 Chuỗi: ∑ un (x ) =∑ =1+x + + + n! 2! ! hội tụ với giá trị x Thật vậy: - Tại x = 0: Ta có chuỗi số hội tụ - Với x ≠ : ∑ | un (x ) | (*) chuỗi dương, xét tỉ số : Bài giảng Giải tích biến số cho K58 un +1(x ) un (x ) = ( ) x 0n +1 / n + ! x 0n / n ! n +1 x0 = GV Lê Thị Minh Hải (n + 1) ! n! x0 n = x0 n +1 →0 ⇒ ∞ ∑x n n Sn = ∑ uk (x ) tạo k =0 thành dãy giảm, nên chuỗi số (*) hội tụ, tức chuỗi hàm Xét chuỗi cấp số nhân tổng riêng ∑ u (x ) hội tụ x n ≠ =1 + x + x + + x n + hội tụ khoảng |x| < 1, phân n =0 kỳ x nằm ngồi khoảng Bổ đề Abel: + Nếu chuỗi lũy thừa Σanxn hội tụ x0, x0 ≠ 0, hội tụ tất điểm x thoả mãn |x| < |x0|; + Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ x1 phân kỳ tất điểm x thoả mãn |x| > |x1| x1 − x0 |x| > |x1|: phân kỳ x0 |x| < |x0|: hội tụ Nh n xét Mọi chuỗi luỹ thừa hội tụ x = Tồn số R ( ≤ R < +∞ ) cho chuỗi phân kỳ khoảng (−∞, −R ); (R, +∞) R ∑a x n n |x| > |x1|: phân kỳ hội tụ tuyệt đối ( - R, R) Tại x = R x = - R chuỗi hội tụ phân kỳ Số R gọi bán kính hội tụ Khoảng (- R, R) gọi khoảng hội tụ Khoảng hội tụ –R Phân kỳ R a Bán kính h/tụ Phân kỳ b Cơng th c tính bán kính h i t Cho chuỗi lũy thừa hai công thức sau: ∑a x n n , gọi R bán kính h i t Khi đó, R tính Bài giảng Giải tích biến số cho K58 R = lim n →+∞ an an +1 GV Lê Thị Minh Hải hoặc: R = lim n →+∞ n an c Quy t'c tìm mi n h i t c a chu i lũy th&a B c + Tìm bán kính hội tụ R, - Nếu R = : Miền hội tụ tập điểm {O } , - Nếu R = +∞ : Miền hội tụ toàn tập số thực ℝ - Nếu < R < +∞ suy chuỗi lũy thừa hội tụ (−R, R ) , sau chuyển xuống bước B c Kiểm tra tính hội tụ chuỗi hai đầu mút B c Kết luận +∞ Ví dụ 10 Tìm miền hội tụ chuỗi: xn x2 x3 = x + + + ∑ n2 22 n =1 Ví dụ 11 Tìm miền hội tụ chuỗi: ∑n x n Ví dụ 12 Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau ∑ n +2 n x = + x + x + n 3 n Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải Ví dụ 13 Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau: ∑ (−1)n x 2n x2 x4 = 1− + − (2n )! 2! 4! Ví dụ 14 Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau x 2n +1 x3 x5 ∑ n = + + + Xét: lim n →∞ an +1 an = lim n →∞ x 02n +3 (n + 1) x +∞ x 02n +1 n =1 n ∑ Giải: + Với x ∈ ℝ ta có chuỗi số: n 2n +1 (***) = x 02 + Chuỗi (***) hội tụ −1 < x < , phân kỳ x < −1; x0 > +∞ (−1)2n +1 = − ∑ n ∑ n phân kỳ n =1 n =1 +∞ + Tại x = : chuỗi số ∑ phân kỳ n =1 n + Vậy miền hội tụ chuỗi cho (−1;1) + Tại x = −1 : chuỗi số +∞ Chú ý : Nếu a số thực, chuỗi ∞ ∑ a (x − a ) n n =0 n = a + a1 (x − a ) + a2 (x − a )2 + (2) gọi chuỗi luỹ thừa tâm a + Đặt z = x – a, (2) trở thành Σanzn (3) chuỗi luỹ thừa z + Nếu Σanzn có miền hội tụ chẳng hạn [-R, R) tức (3) hội tụ với –R ≤ z < R, ta có –R ≤ x –a < R hay a - R ≤ x < a + R [a – R, a + R) khoảng hội tụ (*) R bán kính hội tụ chuỗi (*) + Do ta thường xét chủ yếu tới chuỗi luỹ thừa x Ví dụ 15 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 2n +∞   1 +  (x − 2)n ∑  n  n =1  Bài giảng Giải tích biến số cho K58 BÀI 14: GV Lê Thị Minh Hải CHUỖI TAYLOR I CHUỖI TAYLOR VÀ CÔNG THỨC TAYLOR Cho hàm số f (x ) có đạo hàm cấp x = a , chu i Taylor f (x ) x = a : f '(a ) f ''(a ) f (n )(a ) f (a ) + (x − a ) + (x − a ) + + (x − a )n + n! 1! 2! +∞ f (n )(a ) =∑ (x − a )n (1) n ! n =0 Maclaurint : f (0) + Khi a = ta có chuỗi +∞ f '(0) f (n )(0) n f (n )(0) n x + + x + = ∑ x (2) 1! n! n! n =0 Nếu chuỗi lũy thừa h i t với bán kính hội tụ R > mi n h i t , chuỗi lũy thừa hội tụ tới hàm f (x ) , ta có : f (x ) = f (a ) + +∞ f '(a ) f (n )(a ) f (n )(a ) (x − a ) + + (x − a )n + = ∑ (x − a )n 1! n! n! n =0 +∞ f '(0) f (n )(0) n f (n )(0) n f (x ) = f (0) + x + + x + = ∑ x Khi ta nói hàm số f (x ) 1! n! n! n =0 khai triển thành chuỗi Taylor (hoặc chuỗi Maclaurint) + Số an = f n (a ) f n (0) (hoặc an = ) gọi h s Taylor f(x) khai triển n! n! + Phần dư Rn(x) (trong khai triển (4)) : f '(0) f ''(0) f (n )(0) n f (x ) = f (0) + x+ x + + x + Rn (x ) 1! 2! n! tụ f(x) : lim Rn (x ) = + Chuỗi Taylor vế phải (4) hội n →∞ + Công thức chung tiện lợi cho Rn(x) Rn (x ) = f (n +1)(c ) n +1 x , với < c < x (n + 1)! Ví dụ Tìm chuỗi Taylor f(x) = ex chứng minh hội tụ tới ex với x Lời giải: + Ta có: f(x) = ex f(0) = x f’(x) = e f’(0) = x f’’(x) = e f’’(0) = 1…… + Chuỗi Maclaurint hàm số : Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải ∞ xn x + + x n + = ∑ 2! n! n =0 n ! c + Xét phần dư Rn(x), đặt M = max e = e x , với x ∈ ℝ : 1+x + [0;x] n +1 x f (n +1)(c) n +1 ec = →0 Rn (x ) = x x n +1 ≤ M (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! n → ∞ + Như chuỗi Maclaurint hội tụ hàm f (x ) = e x , ta có : ∞ n xn e = + x + x + + x + = ∑ 2! n! n =0 n ! x Ví dụ 2: Tìm chuỗi Taylor f(x) = sinx chứng minh hội tụ tới sinx với x Lời giải: + Ta có f(x) = sinx f(0) = f’(x) = cosx f’(0) = f’’(x) = -sinx f’’(0) = f’’’(x) = -cosx f’’’(0) = -1 + Chuỗi Taylor f (x ) = sin x : x− ∞ x3 x 2n +1 x 2n +1 − + (−1)n + = ∑ (−1)n 3! (2n + 1)! (2n + 1)! n =0 + Với ∀x : |f(n+1)(x)| = |sinx| |f(n+1)(x)| = |cosx| nên f n +1 x f (n +1)(c) n +1 Nên Rn (x ) = x ≤ → n → ∞ (n + 1)! (n + 1)! + Vậy : x3 x5 x 2n +1 n sin x = x − + − + (−1) + ! 5! (2n + 1)! ∞ x 2n +1 = ∑ (−1)n , ∀x (2n + 1)! n =0 Ví dụ 3: Tương tự với x ta có : f (x ) = cosx = − ∞ x2 x 2n x 2n + + (−1)n + = ∑ (−1)n 2! (2n )! (2n )! n =0 (n +1) (c ) ≤ với c Bài giảng Giải tích biến số cho K58 e −x = − x + GV Lê Thị Minh Hải ∞ x4 x 2n x 2n − + (−1)n + = ∑ (−1)n 2! n! n! n =0   x − x + x − x +  = − + − + e dx = ∫   5.2! 7.3! 5.2! 7.3!  0  −1 x e x ≠0 Chú ý: Xét hàm f (x ) =  0 x =0  hàm liên tục có đạo hàm cấp x, đạo hàm triệt tiêu cấp x = 0, tức f(n)(0) = với n nguyên dương Điều có nghĩa đồ thị f(x) trơn vô hạn gốc Khi chuỗi Maclaurint f(x) + + + … hội tụ với x hội tụ tới f(x) x = Như vậy, hàm khả vi vô hạn x, khơng thiết khai triển chuỗi Taylor nó, 1 −x II Đạo hàm tích phân chuỗi lũy thừa Xét chu i lu( th&a Σanxn h i t v i bán kính h i t d h i t ta định nghĩa f(x) tổng chuỗi: ng R, với x nằm mi n +∞ f (x ) = ∑ an x n =a + a1x + a2x + + an x n + (1) n =0 Khi ta có khẳng định sau : i Hàm số f(x) định nghĩa (1) liên t c khoảng mở (-R, R) ii Hàm số f(x) lấy đạo hàm (- R, R), đạo hàm  d d  +∞ iii Nếu x thuộc (-R, R) ta f (x ) = ∑ an x n  = a1 + 2a2x + 3a 3x + + nan x n −1 + dx dx   n =0 có : ∫ x x f (t )dt = ∞ ∫ ∑ a t dt = a x + a x n n =0 n + + an x n +1 + n +1 Chú ý : Trong miền miền hội tụ chuỗi lũy thừa, chuỗi lũy thừa hàm khả vi vô x ∞  x d d  +∞ n hạn, f (x ) = ∑ an x  ∫ f (t )dt = ∫ ∑ ant ndt hội tụ (-R, R) dx dx   n =0 n =0 Khẳng định (trong miền hội tụ) chuỗi lũy thừa, chuỗi hàm điều chưa Bài giảng Giải tích biến số cho K58 Ví dụ : Xét chuỗi hàm ∑ ∞ n =1 GV Lê Thị Minh Hải (sin nx ) / n : + Chuỗi hàm hội tụ với x ∈ ℝ + Lấy đạo hàm phần tử cho ta chuỗi Σ(cos nx)/n , điều khơng thể chuỗi phân kỳ với x = Ví dụ Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa hàm số ln (1 + x) Giải: + Ta có + d ln(x + 1)) = ( dx 1+x = − x + x − x + + (−1)n x + , x < 1+x x n +1 x2 x3 n x dt = x − + − + ( − 1) + ∫ 1+t n + ∞ xn = ∑ (−1)n +1 n n =1 ln(1 + x ) = Ví dụ Tìm khai triển thành chuỗi lũy thừa tan-1 x Lời giải: + Ta có + d tan−1 x = dx + x2 ( ) = − x + x − + (−1)n x 2n + , x < 1+x + Áp dụng (iii): tan−1 x = ∫ x dt = + t2 ∫ x (1 − t + t − t + )dt x3 x5 x7 =x− + + + = Ví dụ Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa hàm ∞ ∑ n =0 x 2n +1 (−1) , 2n + 1 (1 − x )2 n với |x| < Bài giảng Giải tích biến số cho K58 Lời giải: + + + GV Lê Thị Minh Hải d    =  dx 1 − x  (1 − x ) +∞ = ∑ x n với |x| < 1, 1−x n =0 d = (1 + x + x + + x n + ) dx (1 − x ) ∞ = + 2x + 3x + x n −1 + = ∑ nx n−1 n =1 Một số khai triển cần nhớ = − x + x − x + , với -1 < x < 1; 1+x x2 x3 ln(1 + x ) = x − + − , với -1 < x ≤ 1; x3 x5 tan−1 x = x − + − , với -1 ≤ x ≤ 1; x2 x3 ex = + x + + + , với x; 2! ! x3 x5 sin x = x − + + , với x ! 5! x2 x4 cos x = − + − , với x; 2! 4! Chuẩn bị: Đề cương Ôn thi học kỳ I TỔNG KẾT VÀ CÁC BÀI TẬP ƠN TẬP Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ MƠN TỐN I Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 50 phút – Nội dung $1-$8 Câu (3,5 điểm) Giới hạn tính liên tục hàm số + Tìm giới hạn dạng vô định + Hàm liên tục điểm, liên tục phía, liên tục trên1 khoảng, hàm gián đoạn Câu (3,5 điểm) Đạo hàm vi phân hàm biến + Đạo hàm vi phân cấp 1,2, 3, cấp n (không cần chứng minh quy nạp), đạo hàm hàm ẩn, hàm hợp + Bài toán ứng dụng cực đại cực tiểu Câu (3,0 điểm) Tích phân + Tính tích phân xác định hàm đa thức, phân thức hữu tỷ, CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MƠN TỐN I Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 90 phút – Nội dung $1-$14 Câu (2 điểm) Giới hạn tính liên tục hàm số + Giới hạn khử dạng vô định + Hàm liên tục, gián đoạn Câu (2 điểm) Đạo hàm, vi phân hàm biến + Đạo hàm vi phân cấp 1,2, 3, cấp n (không cần chứng minh quy nạp) + Đạo hàm hàm ẩn, hàm hợp Câu (2 điểm) Tích phân + Tính nguyên hàm tích phân + Tính tích phân suy rộng định nghĩa Câu (2 điểm) Ứng dụng đạo hàm tích phân + Bài tốn cực đại cực tiểu + Bài tốn tính diện tích hình phẳng (trong tọa độ vng góc, tọa độ cực), độ dài dây cung phẳng, thể tích (phương pháp đĩa vỏ), diện tích mặt trịn xoay Câu (2 điểm) Chuỗi số, chuỗi lũy thừa + Tính tổng chuỗi số có số hạng tổng quát phân tích thành an = f (n) − f (n + 1) (dạng trang 418) + Khảo sát hội tụ chuỗi số (chuỗi dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ) + Tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa đưa chuỗi luỹ thừa + Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa x = a theo hàm , f ( x) = e x , f ( x) = sin x , f ( x) = cos x f ( x) = x −1 Bài tập Toán K58 Giảng viên Lê Thị Minh Hải Lấy tập theo “Giải tích biến số ” G.F Simmons Tuần Trang 87: Bài – 14 Trang 251: 25 Trang 91: Bài 27, 37, 41, 46 – 48, 55 – 57, 61 Trang 278: Bài 35, 38, 39, 43 Bài Tập bổ sung: Tìm điểm gián đoạn hàm số  πx cos f ( x) =   x −1  nÕu x ≤ nÕu x >1 Với giá trị m, hàm số liện tục R  x − nÕu x ≥ f ( x) =  mx + nÕu x < Tìm m để hàm số sau liên tục với x  x − 3x +  f ( x) =  x −1 2mx −  nÕu x ≠ nÕu x = Tuần Trang 287 : – 5, 10 Trang 254 : Bài a, d, i, k Trang 76 : Bài 15 Trang 90 : Bài 12, 13 Trang 104 : Bài 2a, c ; a,b Trang 108 : 1a,c,d,f,g ; 4b,d Trang 112 : 2b,c,e, 3, a, c d Trang 117 : Bài 42 Tuần Trang 133 : 2, 9, 15, 17, 21, 26 Trang 367 : 2, 11, 16, 21, 22, 23, 25, 31, 32, 38 Trang 362 : 2, 5, 7, 8, Trang 304 : 3, 6, 19, 28, 32, 34 Bài tập Toán K58 Giảng viên Lê Thị Minh Hải Tuần Trang 280 : 7, 20 Trang 282 : 17, 19, 20 Trang 308 : 2, 4, 6, 10, 13, 18 Trang 312 : 4, 5, 6, 10 Trang 315 : 1, 13, 14, 16 Trang 321 : 3, 6, 10, 12 Trang 326 : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 12, 14 Trang 372 : 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15 Tuần Trang 519 : 1ab, 3, 4ab, 5dg Trang 219 : 2,8, 9, 14, 15 Trang 222 : a e f, Trang 226 : – 6, 11 Trang 540 : 1, 4, 9, 12 Tuần Trang 229 : 1, 3, Trang 233 : 1, 2, Trang 423 : abcg, 3, 4, 10, 13 Trang 430 : 1, 3, 7, 8, 10 Trang 434 : 2, 6, 10, 11, 16, 19, 20, 22 Tuần Trang 439 : 1, 11, 17, 22, 27 Trang 445 : 1, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 25 Trang 455 : ac, Thêm : Khai triển hàm f ( x) = tụ chuỗi vừa tìm thành chuỗi lũy thừa x – Sau tìm miền hội x+4 ... 2)dx + 2x − x xdx x − 2x + GV Lê Thị Minh Hải Bài giảng Giải tích biến số cho K58 BÀI GIẢNG SỐ 8: GV Lê Thị Minh Hải TÍCH PHÂN SUY RỘNG b Chúng ta biết tích phân ∫ f (x )dx xác định hàm f(x) liên... tổng số thứ lần bình phương số thứ 12, tích chúng đạt giá trị lớn Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải Các bước giải toán GTLN, NN thực tế B1 Đọc kỹ đề bài, xác định đại lượng... dx số d y = d (dy ) = d ( y ' dx) = y "(dx)2 = y " dx d n y = d (d n −1 y ) = y ( n ) dx n Ví dụ 7: Cho hàm số y = ln x Tìm d y Bài giảng Giải tích biến số cho K58 GV Lê Thị Minh Hải BÀI SỐ