42 bài tập giới hạn tổng hợp

Bài tập giới hạn tổng hợp Làm giới hạn ta cần xem thuộc dạng mà tìm cách làm hợp lí Nhiều dùng L’Hospital trâu bò nên ta cần xem xét kĩ tốn trước dùng phương pháp khử vơ định phù hợp Vì ngồi L’Hospital có phương pháp khác tính giới hạn mạnh khai triển Maclaurin vơ bé tương đương Sau số giới hạn mà tơi tổng hợp để bạn luyện tập cho kiểm tra tới thi cuối kì  cos 3x  2, lim   x 0 cos x   1, lim x sin x 0 x  sin x  cos x 3, lim x 0  sin bx  cos bx 4, lim x 0 cot x arcsin x  x x arcsin x 1 x   x  x     6, lim x 0  e    x  cos x x  x 5, lim 7, lim   1  sin x  cos x  sin x x 0 1  sin bx  cos bx  arctan x  tan x   sin x cot x 8, lim x 0 sin x 9, lim  cos x  a sin bx   cos x  sin x  tan x 10, lim x 0 x arctan x x x a b 12, lim x 0 x x x 0 tan  a  x  tan  a  x   tan a 11, lim x 0 tan x.arctan x 1 e x  cos x 13, lim x  1 1 x    cos x    x 1  15, lim x 0 sin x.arcsin x x sin x.sin 14, lim x 0 arcsin x  1x  x 1 16, lim x  e  e  x     sin x  arcsin x lim 17,   x 0 arctan x   cos  x.e x   cos  x.e x   cos x   19, lim x 0 sin x.arcsin x  3x   18, lim   x  x    e x  cos x lim 21, x 0 tan x   23, lim   cot x  x 0 x    sin x  sin x  x  sin x  22, lim  x 0  x  arcsin x  arctan x 24, lim x 0 ln 1  x3  2x sin ax  sin bx x 0 sin x 20, lim 1-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 25, lim x 0 esin x  e x sin x  x xx  x x 1 ln x  x  26, lim  x  3x   lim 27, x     x  2x    29, lim tan x  x  x 1 28, lim  e3x  3x  x x 0  x 30, lim(e  x) x x 0  tanx  ln  31, lim  x 0 x  x  32, lim x 0 arctan x x  sin x sin x  x   37, lim x 3 x3  x arcsin 3x x 0 x 2  36, lim  arctan x  x     x 5x   38, lim x 2 x2  x  esin 2x  cos x 40, lim x 0 sin 3x 1 x  1 x x 0   cos x cos 2x 34, lim x 1  3x  33, lim 35, lim x 1 x  1 x 2x  3x   x 3 39, lim x    arctan  5x  1 x  1 x   41, lim   arcsin x  x 1 2  42, lim x x 0 2-LNH etan x 1  Bài tập giới hạn tổng hợp Hướng dẫn giải đáp số: Một ý nhỏ dùng L’Hospital dạng vơ định đừng đạo hàm ko tạch đấy!!! 1, lim x sin x 0 x3 Dạng dùng định lí kẹp ok thơi 1   1  x  x sin  x  x x x sin   xlim x  Mà lim x  lim   x   x 0 x 0  1  sin cos 3x  2, lim   x 0 cos x   cot x cos 3x  Dạng Ta áp dụng cơng thức để làm thơi: lim   x 0 cos x   cot x   cos 3x   cos 3x  cos x cos x lim   1 cot x   lim  lim x 0 cos x sin x x 0  cos x   x 0 5x 5x x x   ~ ; sin ~ ; sin x ~ 16 x   Khi x  :sin 2 2   5x x 2 2 cos x  5  lim x 0 cos x 16 x 32 cot x 5  cos 3x   lim   e 32  x 0 cos x    sin x  cos x 3, lim x 0  sin bx  cos bx Học L’Hospital ngại ko thử ln 3-LNH e  cos3 x  lim  1 cot x  x0 cos x 5x x sin 2 cos x cos x sin x 2sin Bài tập giới hạn tổng hợp  sin x  cos x  L  cos x  sin x  lim  x 0  sin bx  cos bx x 0 b cos x  b sin x b C1: lim Tuy nhiên ta cách biến đổi theo kiểu cổ điển kết hợp VCB tương đương  x x x 2sin  2sin cos  sin x  cos x  cos x  sin x 2 C2: lim  lim  lim x 0  sin bx  cos bx x 0  cos bx  sin bx x 0 bx bx bx 2sin  2sin cos 2 x x x x x x 2sin  sin  cos   sin  cos  2 2 2 2  lim  lim  x 0 bx  bx bx  x0 bx  bx bx  b 2sin  sin  cos   sin  cos  2 2 2 2 C3: Tử mẫu ko phức tạp lắm, thử dùng khai triển Maclaurin xem :v  sin x  cos x x 0  sin bx  cos bx lim x3 x2  o  x3  , cos x    o  x  , 3! 2! 3 2 bx b x sin bx  bx   o  x3  , cos bx    o  x2  3! 2!    x2  x   x   o x3   1   o x  3!  sin x  cos x    2!  lim  lim 3 2 x 0  sin bx  cos bx x 0    b x  bx   bx   o x3   1   o x2  3! 2!     Ta có sin x  x           x x2  x x3 x 1    x    1  lim  lim 2 3 x 0 x 0 b x bx  b x b3 x  b bx   xb    6   Chú ý ko thể dùng cách khác dùng cách Vì cách đạo hàm để tìm khai triển mệt Lỡ sai chỗ die ln :v arcsin x  x x arcsin x Dạng nên ta xài L’Hospital thơi Cơ mà dùng ln trâu bò q :v Biến đổi 4, lim x 0 chút cho đơn giản đã: arcsin x  x arcsin x  x  lim  x  thi`arcsin x ~ x  x 0 x arcsin x x 0 x3 1  L   x2 x2 1  x  lim  lim  lim  x 0 x 0 3x x  x x 0 x  x   x lim  4-LNH  Bài tập giới hạn tổng hợp Hoặc từ ta dùng VCB tương đương   x2  1 1 x u lim  lim  x  thi`1  x   ~ ux 2 2 2 x 0 x 0 x 0 3x  x 3x  x 3x  x Đến ta ý rằng, x  ta ý mẫu, tử có dạng tích (thương) 2 1  x   lim 1   biến thành VCB tương đương ko Nếu biến giới hạn đơn giản nhiều x  cos x x  x 5, lim Chú ý dạng mà dùng L’Hospital ko Vì lim cos x; limsin x ko tồn Ta x  x  biến đổi để ý chút để dùng định lí kẹp nhé: x  cos x cos x  cos x   lim 1    lim  x  x  x  x x  x  lim Ta có : 1 1  cos x   x x x cos x    lim x  x  1  Mà lim  lim     x   x  x  x  x  cos x  lim  1  x  x Ta có dạng sau cách làm tương tự: x  cos x x  cos x x  sin x lim ; lim ; lim x  x  sin x x  x  cos x x  x  sin x 1  cos x  1  1 x   x  x     6, lim x 0  e    Dạng 1 Có nhiều mũ nên dùng cách hợp lí: lim a  x  xx b x  lim b x .ln a  x   e x x o o 1   1 x  x ln  x ln  x  x         1 1 1 x   lim   lim  lim  Xét lim ln    x 0 x 0  e  x x 0  x x 2x  x x 0   1 x   1 x  x      lim e2 x 0  e    7, lim x 0    tan x   sin x cot x sin x 5-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp lim   tan x   sin x x 0   lim   tan x   sin x x 0 sin x.tan x x   lim x 0   sin x   1  sin x  cos x cos x    lim  lim  x 0 x 0  x x2 x  tan x   sin x cos x  1  sin x  cos x  sin x 8, lim x 0 1  sin ax  cos ax  arctan x     tan x  1  sin x  x3   tan x   sin x   1  tan x   sin x    Thay VCB tương đương rút gọn ta có giới hạn giống câu Chẳng có để bàn nữa!? 1  sin x  cos x  sin x  lim 1  sin x  cos x  x  lim 1  sin x  cos x   x 0 1  sin ax  cos ax  arctan x x 0 1  sin ax  cos ax  x x 0 1  sin ax  cos ax  a lim 9, lim  cos x  a sin bx  x x 0 Dạng 1 Theo kinh nghiệm có cosx ta dùng cơng thức để xuất 1-cosx  a  x   đẹp Do ta dùng cơng thức này: xlim x  b x  lim b x .a  x  1  e x x o o cos x   a sin bx cos x  a sin bx  x2 abx C1: Xét lim  lim  lim  lim  lim   ab  ab x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x x x x  lim  cos x  a sin bx  x  eab x 0 Nhưng dạng 1 mà Nhìn dễ xơi :v Thử xơi cách ln xem cách nhanh :v ln  cos x  a sin bx  L  sin x  ab cos x  lim  ab x 0 x  x cos x  a sin bx C2: Xét lim  lim  cos x  a sin bx  x  eab x 0  cos x  sin x  tan x x 0 x arctan x 10, lim Á đù Lộ liễu q :v Lại arctanx mẫu   cos x sin x tan x   cos x  sin x  tan x  cos x  sin x  tan x  lim  lim   x   x 0 x 0 x 0 x arctan x x2 x x  x  lim 1 1   2 tan  a  x  tan  a  x   tan a 11, lim x 0 tan x.arctan x Chưa cần biến đổi cả, x  mà thấy tanx arctanx VCB tương đương  6-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp tan  a  x  tan  a  x   tan a tan  a  x  tan  a  x   tan a  lim x 0 x 0 tan x.arctan x x2 lim Ta có:  cos x  cos 2a   cos 2a sin a  x sin a  x     sin a tan  a  x  tan  a  x   tan a     cos  a  x  cos  a  x  cos a cos x  cos 2a  cos 2a   cos x  cos 2a  cos 2a  cos x  cos 2a  1  cos 2a    cos x  cos 2a 1  cos 2a     cos x  cos 2a  cos 2a  cos x  cos 2a  1  cos 2a   2 cos 2a 1  cos x  2 cos 2a  cos 2a cos x 2 cos 2a.2sin x    cos x  cos 2a  1  cos 2a   cos x  cos 2a  1  cos 2a   cos x  cos 2a  1  cos 2a  tan  a  x  tan  a  x   tan a 2cos 2a.2sin x 4cos 2a.x  lim  lim x 0 x 0  cos x  cos 2a  1  cos 2a  x x 0  cos x  cos 2a  1  cos 2a  x x2  lim  4cos 2a 1  cos 2a  ax  bx x 0 x 12, lim Dạng nên ta dùng L’ Hospital ln a x  b x  L a  lim  ln a.a x  ln b.b x   ln a  ln b  ln x 0 x  x b C1: lim Ta dùng khai triển Maclaurin để giải này: C2: a x   x ln a  o  x  , b x   x ln b  o  x  a   x ln a  o  x   1  x ln b  o  x   o  x o  x   ax  bx a lim  lim  lim ln a  ln b    ln  x 0 x 0 x 0 x x x x  b  Hoặc ta thêm bớt để dùng cơng thức xong: a x    b x  1 a x  bx a x 1 bx 1 a  lim  lim  lim  ln a  ln b  ln C3: lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x b 1 e x  cos x 13, lim x  1 1 x Đặt Nhìn cho đỡ ngứa mắt :v 1 t e x  cos t x x lim e  cos t lim x  t 0 1 1 t2 1 1 x x 7-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Đến thấy giải theo cách Ta thử cách xem  C1: Dùng L’ Hospital có dạng  t  et  sin t  et  sin t lim  lim  lim    (vì et >0) t 0 t 0 t  t t 1 1 t 1 t et  cos t  L C2: Dùng VCB tương đương kết hợp L’Hospital lim t 0 et  cos t 1 1 t2  L  lim  lim t 0  et  sin t  t 0 2t  et  cos t  et  cos t  lim  lim t 0 t2  t 0  t    1  et  cos t  2  1  t     C3: Dùng khai triển Maclaurin t2 t2 t2  o  t  , cos t    o  t  ,  t    o  t  2 2  t  t  t   o t  1   o t  t t  t2  o t2  o t2 t  t2  o t2  o t2 2 e  cos t   lim  lim  lim  lim t 0 t 0 t 0 t2  t2 t  2o t   t t 0   1   o t    et   t             1 o t  o t   2 1   t t t    lim  t 0 o t  1 2 t 1    1  t    Chú ý dạng vơ định mà vơ tư đạo hàm die ln Ví dụ ta đạo hàm tiếp kết lim t 0 et  cos t 1 1 t2  lim t 0 et  cos t    1  t   1    lim t 0  et  cos t  et  cos t  lim t 0 t2   t  2  et  sin t   L   et  cos t   lim  lim 2 t 0 t 0 2t sin x.sin x 14, lim x 0 arcsin x  L Để ý đưa VCB tương đương lại quay tốn đinh lí kẹp 8-LNH       Bài tập giới hạn tổng hợp 1 x sin x  lim x  lim x sin  lim x 0 x 0 x 0 arcsin x x x    cos x   x 1  15, lim  x 0 sin x.arcsin x sin x.sin Cứ VCB tương đương tính tiếp :v      cos x   cos x      x  1 cos x x 1 x 1     lim  lim  lim x 0 sin x.arcsin x x 0 x 0 x2 x  x  1 Dạng nên ta L’Hospital mà fang, chầy cối thơi =.=! C1:   x  1 cos x  L  sin x  x  1  x cos x  L  cos x  x  1  x sin x  2cos x  x sin x lim  lim  lim  2 2 x 0 x 0 x 0 x  x  1 x  x  1  x  x  1  10 x Ta thử dùng khai triển Maclaurin có xuất cosx quen thuộc  x2   x  1   o  x2     2      x  1 cos x    lim  x  x  o  x    1 C2: lim  lim 2 x 0 x 0 x 0  x 2x x  x  x  1 x  x  1   C3: Tách nè :v lim   x  1 cos x x  x  1 x 0  lim x 0  cos x  x cos x  cos x x cos x  lim  lim x 0 x 0 x x  x  x  1   x0 x  x  1  lim cos x 1  lim  1   x  x 1 2  x  1  1  16, lim x  e x  e x 1  x    Dạng .0 ta biến  Cơ mà số má mà đạo hàm nản Chắc  ko :3 1 x  1x  x 1 e  e x 1  e  e   L 1     x  1 1 x3   lim x x 1 lim x  e x  e x 1   lim    x.e x  e  x  x   2  x  1    x   x x 2 3  1x 1x 3x  x  1   x  1 x  x  x  1   e  e    Math error : v   x  x  1  9-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Cách trâu bò q =.=! Chắc ko Nhìn ghê vch :v Nên L’Hospital ln dành cho có bắp :v Tơi có ý tưởng VCB tương đương 1  1x  x11     2 x  x 1 lim x e    e  1   lim x  e  1  lim x  e  1 x     x   x    1 1 1 ; e x 1  ~ x    0; 0 x x 1 x x 1 Khi x   e x  ~  1x   x2 x2  x2  x 1 21 lim x  e  1  lim x  e  1  lim  lim  lim x    lim 1   lim x  x  x  x x  x  x  x  x  x  x  1  x x 1      1 x Hoặc  t ta có giới hạn sau: x  t t  t t t t t e    e  1 t t t 1 e t  e t 1 e  e  t    lim t 1  lim  lim  lim  lim  lim t 2  lim 2 t 0 t  t  t  t  t  t  t t t t t t t2 Đặt sin x  arcsin x 17, lim   x 0 arctan x   Thay VCB tương đương trước cho dễ: 1  sin x  arcsin x  sin x  x2 lim   lim    x 0 arctan x x 0    x  sin x  x  L cos x   x2  sin x   1  lim  lim  lim  Xét lim  2 x 0 x  x  x  x 3x 2.3x  x  x 1  sin x  arcsin x  lim  e6  x 0 arctan x   Hoặc ta dùng cách lại, thêm bớt chút dùng VCB tương đương này:  sin x  lim   x 0 arctan x   lim sin x  x  L arcsin x lim  sin x   lim   x 0  x  cos x 1  x2 lim x0 x x2 e  sin x  lim ln    x  x2 x0 1  e x0 x  e x0 x  e e6 (vì x ln(1+x) ~ x, 1-cosx ~ x2/2) 3x   18, lim   x  x    2x 10-LNH e  sin x  lim ln  11  x  x x0 e  sin x  lim  1 x x x0  Bài tập giới hạn tổng hợp  3x   ln   36.x 36 3x    L   3x     lim  lim 4 Xét lim ln   x  lim x  x  x  x   3x  5 3x  1  3x  5 3x  1  3x   2x x2  3x    lim   e x  x    cos  x.e x   cos  x.e x   cos x  19, lim  x 0 sin x.arcsin x 2x Thấy có cos-cos tử Ta biến -2sin.sin Mẫu dùng VCB tương đương Ta có : x  e x  e x  x  e x  e x  2sin sin cos x cos  x.e x   cos  x.e  x   cos x   2 lim  lim x 0 x 0 sin x.arcsin x x3 x  e x  e x  x  e x  e x  2 cos x e 2 x  e2 x  cos x cos x  e 2 x  1 cos x  e x  1  2  lim  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 x3 2x 2x 2x cos x  2 x  cos x  x   lim  lim  1   2 x 0 x  2x 2x sin ax  sin bx 20, lim x 0 sin x sin ax  sin bx  L  a cos ax  b cos bx Dạng , ta dùng L’Hospital ln lim  lim  a b x  x  0 sin x cos x C2: Ta biến đổi dùng VCB tương đương sau: sin ax  sin bx  lim x 0 x 0 sin x x2 e  cos x 21, lim x 0 tan x 2cos lim ax  bx ax  bx ax  bx x  a  b  sin 2cos 2 2  lim  a b x 0 sin x x Dùng VCB tương đương thơi :3 e x    cos x  1 e x  cos x e x  cos x ex 1 cos x   1 lim  lim  lim  lim  lim  1     2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 tan x x x x x  2 2 2 sin x  sin x  x 22, lim   sin x  x 0  x  Xét thử cách chương xem :v 11-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp  sin x   sin x  1   L x   lim sin x  x sin x  x  lim cos x  sin x  x cos x  lim  x 0 x 0 x 0 sin x  x  x  cos x  1 sin x  x x  sin x  x   L  sin x  cos x  cos x  x sin x  x 0 cos x   cos x   x sin x  lim  sin x  sin x  x  lim   sin x   e2 x 0  x  sin x  x  Giới hạn ban đầu trở thành lim 1  sin x  sin x  x Có ý tưởng thay x 0 x L ln 1  sin x    cos x  lim 1  sin x  sin x  x  e Xét lim  lim  x 0 x 0 x 0  cos x  11  sin x  sin x  x sin x 1  sin x  sin x x sin x  x  lim  lim   lim 1  sin x   e2 Hoặc xét lim x 0 sin x  x x 0 sin x  x x 0 sin x x 0 1 x   23, lim   cot x  x 0 x   Ta thử hướng biến đổi sau: C1 :         lim   cot x   lim    cot x  1  lim       lim    x 0 x x 0 x sin x  sin x    x 0  x  x 0  x   sin x  x sin x  x  Xet :lim     lim 2  lim x  sin x ~ x   x 0 x x  x sin x x 0 sin x x   4 x 2 L L    cos x  1 sin x  x   cos x  2  1  lim  lim  lim  lim 2 x 0 x  x  x  4x 12 x 12 x 12 x    lim   cot x     x 0 x 3   C2 : 12-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp  tan x  x   tan x  x   tan x  x tan x  x    lim   cot x   lim    lim  lim  lim  2 x 0 x x 0 x 0 tan x  x 0 x tan x x x x   x 0  x tan x  x tan x  x  lim lim x 0 x  x x tan x  x tan x  , lim   lim  11   x 0 x 0 x x    cot x      lim  2 L  3 tan x  x tan x   tan x  x 0  x  , lim  lim  lim  2 x 0 x 0 x 0 x x 3x  Ta sử dụng VCB tương đương: x   ax  sin x ~ x; tan x ~ x;  cos ax ~ arcsin x  arctan x 24, lim x 0 ln 1  x3  arcsin x  arctan x lim  lim x 0 x 0 ln 1  x3  arcsin x  arctan x  L    lim  x x 0 3x x3 2 x 1  lim x 0 x  1   x 3x  x  1  x Đến ta có nhiều hướng giải C1: Ta nhân thêm lượng liên hợp: lim x  1   x  x  1  1  x   x  1  x  x  1  2 3x  x  1  x  lim  x2   x  3x x2   lim  lim  x 0 x 0 2  2 2  2 3x  x  1  x  x  1   x  x  1  x  x  1   x     C2: Sử dụng VCB tương đương x 0 lim x 0 3x  x  1  x 3x 2 2  x2  1   x2 x 0  lim x 0 x 1 1 x 2 3x  x  1  x 2  lim x 0 x 3x  x  1  x 2  lim x 0  1  x  3x  x  1  x  1    x  x2    x2   x     1  lim  lim  lim x 0 3x  x  1  x x 0 3x  x  1  x x 0 3x  x  1  x 2 esin x  e x x 0 sin x  x 25, lim dùng L’Hospital ln dài chất hàm ea  x  đạo hàm phức tạp Ta thử cách thêm bớt kết hợp vơ bé tương đương trước xem C1 : Dạng 13-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp esin x    e x  1 esin x  e x esin x  ex 1 sin x x lim  lim  lim  lim  lim  lim x 0 sin x  x x 0 x  x  x  x  sin x  x sin x  x sin x  x sin x  x sin x  x sin x  x  lim 1 x 0 sin x  x C2: Dùng L’Hospital esin x  e x  L  cos x.esin x  e x  L   sin x.esin x  cos x.esin x  e x lim  lim  lim x 0 sin x  x x 0 x 0 cos x   sin x sin x sin x sin x  L  cos x.e  sin x.e  sin x.e  cos x.esin x  e x  lim 1 x 0  cos x xx  x 26, lim x 1 ln x  x  C1: Dạng Dùng L’Hospital ln thơi Nhưng cách bắp đấy!? Trước hết ta tính riêng đạo hàm xx y' y  x x  ln y  x ln x    ln x  y '  1  ln x  y  1  ln x  x x y x x Hay  x  '  1  ln x  x Bây ta bắt đầu dùng L’Hospital 1  ln x  x x   x  x x1  1  ln x  x x  x 1  ln x  x x  1  L x x  x  L lim  lim  lim  2 x 1 ln x  x  x 1 x 1 1 x 1 C2: Cách rắc rối đạo hàm hàm x x phức tạp Ta có hướng Đó dùng VCB tương đương Để ý x  x x   x   1 ~ x  x  1 Chúng ta thử  x x x    x  1 xx  x xx 1 x 1 lim  lim  lim  lim x 1 ln x  x  x 1 x 1 ln x  x  x 1 ln x  x  ln x  x   x   1  lim x 1 1 x  x  1 x 1 x 1  lim  lim  lim x 1 ln x  x  x 1 ln x  x  x 1 ln x  x  ln x  x   x  1 x  x  1  lim  2 x 1 ln x  x  x 1 x 1 1  x 1 x Nếu dùng đạo hàm nhiều dạng khó làm Để ý tách VCB tương đương Một số tương tự để bạn luyện tập 2 x x 1  x x x x  x3 a, lim b, lim x 1 arcsin  x  1 x 1 arctan  x  1  lim  x  1 x  L  lim  x  3x   lim 27, x     x  2x   x 1 14-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Có lẽ cách sau hợp lí   x  3x   lim   x  x  2x    x 1 e  x2 3x   lim  1. x 1 x  x  2x 1     5x . x 1 e   5x  lim  . x 1 x  x  2x 1  lim  ex x2  2x 1 x2 x  2x 1 lim  5x . x 1 x e x2  e5 Tương tự ta có tập dạng này:  x  6x   a, lim   t  x  3x    x  2x  x   b, lim   t  2x  3x     ax  bx  c  Ta nâng lên TQ: Dạng tổng qt là: lim   t  ax  b x  c  1  3x  dx  e e d  b  b1  28, lim  e3x  3x  x x 0  lim e  3x x 0 3x  x e e3 x 3x 1 x0 x lim lim  ex0 e3 x 1 3x  lim x0 x 3x  e3   e  x  ex  ~ x Tương tự:  29, lim tan x x Đặt  a, lim  x  e2x  x b, lim  x  e4x  x t 0 t 0  x    x  a x  a 2 a lim ln  cot a .a   a  lim  tan   a    lim  cota   e x0 a a   2 1 ln  cot a   L  2a2 2a2 Xét lim ln  cot a  a  lim  lim sin a cos a  lim  lim  lim a  a a0 a0 a  sin 2a a  2a a0 1 a a   lim  tan x  x x   e0   cot a  ' 1/ sin a  1 2     Ta có:  ln  cot a   '       cot a cos a / sin a sin a cos a sin 2a    x 30, lim(e  x) x x 0 15-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp     lim (e  x)  e  x x 0 x  lim (e  x)  e2  x 0 L x x ln(e  x) e 1  Xét lim  lim x  2 x 0 x  x e x  Hoặc x x x lim x x 0  e 1 x x lim lim (e  x)  e x0 x ln ex  x x x 0  e 1 1 x lim  e x 0 x  e11  e2 ex  lim 1 x 0 x  tanx  31, lim ln   x 0 x  x  Có thể nói 17 Nếu ko để ý mà L’Hospital ln die :))  tanx   tanx  tan x ln  ln    1  1 x x  tanx  tan x  x    lim    lim x lim ln   lim  lim  2 x 0 x x 0 x 0 x 0 x x x x3  x  x 0 L tan x   tan x  l im  x 0 x  3x 3x  tanx  tanx tanx x     ln    1 ~ 1 x x  x   lim 32, lim   cos x cos 2x  x  x arcsin 3x x2 Chú ý  cos x ~ , arcsin 3x ~ 3x x  x 0   Áp dụng VCB tương đương vào toán nà y ta có:  cos x cos 2x ~ Ta có:   x cos2 2x  cos x cos 2x x cos2 2x lim  lim  lim x 0 x  x  x arcsin 3x x 0 x  x arcsin 3x x  x arcsin 3x cos2 2x cos2 2x 1 chia tử mẫu cho x  lim   arcsin 3x 3x x 0 x x x x arctan x 33, lim x  sin x sin x  x    lim x 0 3   16-LNH x cos2 2x Bài tập giới hạn tổng hợp   arctan x x2 x lim  lim  lim  lim  x 0 sin x sin x  x x 0 x sin x  x x 0 sin x  x x 0 cos x      L 34, lim x 1  3x  x 0 Chưa thấy dạng đặc biệt Ta viết lại sau x lim 1  3x    x 0   À Dạng 1 Ta xử lí sau: ln 13x      lim  x0 x x lim 1  3x    e  x 0   Tương tự ta có sau: ln 13x  x e lim x0 2. 3x  x   e6 x  ln 1  3x  ~ 3x  1 lim x cos x DS: e x 0 35, lim e lim x0 1 x  1 x 1 x  1 x C1: Nhìn có lẽ hướng nghĩ nhân thêm lượng liên hợp: x 0 lim x 0 1 x  1 x 1 x  1 x 1  x   x   1  x   lim   lim 1  x  2   1  x   x  1  x  1  x    x 1  x   1  x    1  x   x   x   x  x 0   1  x   x  1  x  1  x    x 1  x   1  x  2 1 x  1 x x 0 C2: Dùng L’Hospital:  1  1 1  x   1  x    1 x  1 x 2 5 lim  lim 2 4 4 x 0 x 0 1 1 x  1 x  1  x   1  x   5 5 C3: Dùng VCB tương đương Cách có lẽ dài ta cần tách lần: L 17-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp x x  2 lim  lim  lim  lim  lim 5 5 x 0 x 0 x 0 x 0 x0 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x  1 x x 1  lim  lim  lim x 0  x   x x0  x   x x0  x   x   x x x 1  li m   x 0 x x 2  5 5 x x C4: Dùng khai triển Maclaurin Các bạn tự làm  Ta có số tập tương tự: 1 x  1 x a, lim x 0  x 1  x 1 1 x  1 x b, lim  4x   2x x 0  3x   4x  2x   x m  ax  n  bx x 0 k  cx   dx TQ: Như ta thấy dạng tổng qt tốn là: lim t  kp  dt ma  nb x 2  36, lim  arctan x  x      Dạng Nhưng ta xử lí theo cách nào??? b x  lim b x .ln a  x  Chú ý ta dùng cơng thức lim  a  x    e xx o khơng xử lý biểu xx o thức dấu ln( ) q cồng kềnh Khơng thể xử lí Nếu dùng theo cơng thức ta lại phải đặt ẩn phụ dùng VCB tương đương lần giải được!! Nên ta dùng cơng thức lim  a  x   xx o x 2 b x  lim b x .a  x  1  e x x o  lim  arctan x 1.x 2  x  lim  arctan x   e   x     Xét 2   arctan x    lim  arctan x  1 x  lim   x x   x        Dạng 0.   arctan x      L  2x 2 2    x   lim  lim  lim   lim   2 x  x  x  x  1   x 1  x 1 x x x2  x 2 2  Do lim  arctan x   e  x     18-LNH    Bài tập giới hạn tổng hợp 37, lim x 3 2x  3x   x 3 2x  3x   x 3 x 3 Đặt x   t  x  t  ta có lim lim  t     t     t t 0  lim t 0     lim  t 0 2t  3t  1 2t  3t   4  lim t 0 t t   3t  3t 2t 2t   1      1        8    lim  t 0 t t 4  lim t 0  2t 2t 3t    1 1  8   lim t 0 t  3t 2t 3t 2t   1 1 1    lim 8  11  lim  lim t 0 t 0 t 0 t t t t 4 4 x  2x   x 3 x 5x   38, lim x 2 x2  x  Chưa thể giải với tốn Cũng giống trên, tađổi biến để biến tiến đến Ta giải sau: Tương tự: lim x 3 x 5x   x 2 x2  x  Đặt x   t, ta có: lim  5t   t t 5t   1   3 1   t 2 5t  2   8 5t   8   lim  lim  lim  lim 2 2 t 0 t 0 t  t  t  5t t  5t t  5t t  2  t  2  8  5t   5t  2t    1 2t     t   lim   lim    lim t  ln     ln   lim    t 0 t  t  5t t 0 t  t  5t  t  5t t  5t  24 8 8 Tương tự ta có số đổi biến sau: t t 2 19-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 1, lim x 1  sin .2 x  2, lim 1  x     ln cos .2 x cos x 3, lim x 1 x 1   sin  x  sin x 39, lim x    arctan  5x  1 x  Khơng khó khăn ta nhận dạng giới hạn 0. Nhẩm đạo hàm chút, để arctan tử đạo hàm phân thức bậc mẫu Do ta biến đổi sau 10   arctan  5x  1  L   5x  1   lim 10x2   lim x    arctan  5x  1   lim  lim x  x  x  x  1  5x  1   x x 10 10  lim   x  25 5x     x2 esin 2x  cos x 40, lim x 0 sin 3x Có q nhiều hướng cho Tơi dùng VCB tương đương để tiếp cận tốn cách tự nhiên esin 2x  cos x esin 2x  cos x lim  lim  x  sin 3x ~ 3x  x 0 x 0 sin 3x 3x  lim esin 2x      lim e cos x  3x Ta có:x  x 0 x 0 sin 2x 3x 1  lim x 0 cos x  3x esin 2x  ~ sin 2x ~ 2x  x x 2 x x2 cos x    sin     sin   ~ 2 sin ~  2 2   2x x  esin 2x  cos x  Do đó:lim  lim  lim    x 0 x 0 x  3x 3x 3x 4.3x   1 x   41, lim   arcsin x  x 1 2  Dạng Dùng cơng thức ok Ta mường tượng trước đạo hàm để làm cách xác 1 x   lim   arcsin x  x 1 2  e   lim ln   arcsin x 1 x  2  x1 20-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp   Xét giới hạn lim ln   arcsin x  1  x  ta có: x 1 2  1   ln   arcsin x   L  2   x   x         lim  x  lim lim ln   arcsin x  1  x   lim   lim 0 x 1 x  x 1 x 1 x 1 1 1 x 2   x2 1  x  1  x  1 x   Vậy lim   arcsin x  x 1 2  42, lim x e tan x  e0  1 x 0 Dạng Ta có lim x   x 0 etan x 1 e   lim ln x etan x 1 x0 Xét lim ln x etan x  x 0 Dạng  Ta sử dụng VCB tương đương kết hợp L’Hospital để xử lí tốn đơn giản L ln x ln x lim etan x  ln x  lim  lim  lim x  lim  x   x  e tan x  ~ tan x ~ x x 0 x 0 x  x  1 x 0 1 x etan x  x2 tan x  lim x e 1  e0     x 0 Lời giải đa phần theo ý kiến chủ quan cá nhân Nên nhiều chưa giải cách hay Rất mong nhận góp ý người để giải hồn thiện hơn!!! 21-LNH  [...]... thì nhiều dạng sẽ khá khó làm Để ý tách VCB tương đương nhé Một số bài tương tự bài này để các bạn luyện tập 2 2 x x 1  x 3 x x x  x3 a, lim b, lim x 1 arcsin  x  1 x 1 arctan  x  1  lim  x  1 x 2  L  lim  x 2  3x  5  lim 27, x   2   x  2x  1  x 1 14-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Có lẽ cách sau đây là hợp lí nhất rồi   x 2  3x  5  lim   x  x 2  2x  1  ... 20-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp   Xét giới hạn lim ln   arcsin x  1  x  ta có: x 1 2  1   3 2 ln   arcsin x   L  2 2  1  x  1  x     2     lim 1  x  lim lim ln   arcsin x  1  x   lim   lim 0 x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 x 2  1  x2 2 1  x  1  x  1 x   Vậy lim   arcsin x  x 1 2  42, lim x e tan x  e0  1 1 x 0 Dạng 0 như bài. .. t 2  5t 5  t  5t t 2  5t  24 8 8 8 8 Tương tự ta có 1 số bài đổi biến như sau: t 3 t 2 3 19-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 1, lim x 1  sin 2 .2 x  2, lim 1  x     ln cos .2 x cos x 2 3, lim x 1 x 1   sin  x  sin x 4 9 39, lim x    2 arctan  5x  1 x  Khơng khó khăn lắm khi ta đã nhận dạng được giới hạn là 0. Nhẩm đạo hàm 1 chút, để arctan ở trên tử đạo hàm sẽ... 17-LNH 4 Bài tập giới hạn tổng hợp x x  2 2 lim  lim  lim  lim  lim 5 5 5 5 x 0 5 x 0 5 x 0 5 x 0 5 x0 5 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x  5 1 x x 1 1  lim  lim  lim x 0 5 1  x  5 1  x x0 5 1  x  5 1  x x0 5 1  x  1 5 1  x  1  x x x 1 1 5  li m   x 0 x x 2 2  5 5 5 x x C4: Dùng khai triển Maclaurin Các bạn tự làm nhé  Ta có 1 số bài tập tương... chương 1 xem :v 11-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp  sin x   sin x  1   L x   lim sin x  x sin x  x  lim cos x  sin x  x cos x  1 lim  x 0 x 0 x 0 sin x  x  x  cos x  1 sin x  x x  sin x  x   L  sin x  cos x  cos x  x sin x 1  x 0 cos x  1  cos x  1  x sin x 2  lim 1  sin x  sin x  x  lim   sin x   e2 x 0  x  1 sin x  1 khi x  0 Giới hạn ban đầu trở thành... x 0 15-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp     1 lim (e  x)  e  x x 0 x  lim (e  x)  e2  x 0 L x x ln(e  x) e 1  Xét lim  lim x  2 x 0 x  0 x e x  Hoặc 1 x x 1 x lim x x 0  e 1 x x lim lim (e  x)  e x0 x ln ex  x x x 0  e 1 1 x lim  e x 0 x  e11  e2 ex  1 vì lim 1 x 0 x 1  tanx  31, lim 2 ln   x 0 x  x  Có thể nói bài này là bản sao của bài 17 Nếu ko... esin x  e x x 0 sin x  x 25, lim 0 nhưng nếu dùng L’Hospital ln thì hơi dài vì bản chất của hàm ea  x  càng đạo hàm 0 càng phức tạp Ta thử cách thêm bớt kết hợp vơ cùng bé tương đương trước xem thế nào C1 : Dạng 13-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp esin x  1   e x  1 esin x  e x esin x  1 ex 1 sin x x lim  lim  lim  lim  lim  lim x 0 sin x  x x 0 x  0 x  0 x  0 x  0 sin x  x sin x... 2   L  2x 2 2 2    x  1  lim  lim  lim   lim   2 2 x  x  x  x  1 1   x 1  x 1 2 x x x2  x 2 2  Do đó lim  arctan x   e  x     18-LNH    Bài tập giới hạn tổng hợp 37, lim 3 x 3 2x  2 3x  5  4 x 3 2x  2 3x  5  4 x 3 x 3 Đặt x  3  t  x  t  3 ta có lim lim 3 2  t  3   2 3  t  3   5  4 3 t t 0 3  lim t 0     lim  t 0 2t.. .Bài tập giới hạn tổng hợp  3x  5  ln   36.x 2 36 3x  1   L   3x  5    lim  lim 4 Xét lim ln   2 x  lim x  x  x  x  1  3x  5 3x  1  3x  5 3x  1  3x  1  2x x2  3x  5  4... 2 x  1 sin 2 x  2 x   2 cos 2 x  2 2  1  lim  lim  lim  lim 3 2 2 x 0 x  0 x  0 x  0 4x 12 x 12 x 12 x 2 3 1 2  1   lim  2  cot 2 x   1   x 0 x 3 3   C2 : 12-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp  tan x  x   tan x  x  1  tan 2 x  x 2 tan 2 x  x 2  1   1 lim  2  cot 2 x   lim  2   lim  lim  lim  2 2 2 4 x 0 x x 0 x 0 tan x  x 0 x tan x x x 3 x   x 0