Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
21
Dung lượng
738,79 KB
Nội dung
Bài tập giới hạn tổng hợp Làm giới hạn ta cần xem thuộc dạng mà tìm cách làm hợp lí Nhiều dùng L’Hospital trâu bò nên ta cần xem xét kĩ tốn trước dùng phương pháp khử vơ định phù hợp Vì ngồi L’Hospital có phương pháp khác tính giới hạn mạnh khai triển Maclaurin vơ bé tương đương Sau số giới hạn mà tơi tổng hợp để bạn luyện tập cho kiểm tra tới thi cuối kì cos 3x 2, lim x 0 cos x 1, lim x sin x 0 x sin x cos x 3, lim x 0 sin bx cos bx 4, lim x 0 cot x arcsin x x x arcsin x 1 x x x 6, lim x 0 e x cos x x x 5, lim 7, lim 1 sin x cos x sin x x 0 1 sin bx cos bx arctan x tan x sin x cot x 8, lim x 0 sin x 9, lim cos x a sin bx cos x sin x tan x 10, lim x 0 x arctan x x x a b 12, lim x 0 x x x 0 tan a x tan a x tan a 11, lim x 0 tan x.arctan x 1 e x cos x 13, lim x 1 1 x cos x x 1 15, lim x 0 sin x.arcsin x x sin x.sin 14, lim x 0 arcsin x 1x x 1 16, lim x e e x sin x arcsin x lim 17, x 0 arctan x cos x.e x cos x.e x cos x 19, lim x 0 sin x.arcsin x 3x 18, lim x x e x cos x lim 21, x 0 tan x 23, lim cot x x 0 x sin x sin x x sin x 22, lim x 0 x arcsin x arctan x 24, lim x 0 ln 1 x3 2x sin ax sin bx x 0 sin x 20, lim 1-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 25, lim x 0 esin x e x sin x x xx x x 1 ln x x 26, lim x 3x lim 27, x x 2x 29, lim tan x x x 1 28, lim e3x 3x x x 0 x 30, lim(e x) x x 0 tanx ln 31, lim x 0 x x 32, lim x 0 arctan x x sin x sin x x 37, lim x 3 x3 x arcsin 3x x 0 x 2 36, lim arctan x x x 5x 38, lim x 2 x2 x esin 2x cos x 40, lim x 0 sin 3x 1 x 1 x x 0 cos x cos 2x 34, lim x 1 3x 33, lim 35, lim x 1 x 1 x 2x 3x x 3 39, lim x arctan 5x 1 x 1 x 41, lim arcsin x x 1 2 42, lim x x 0 2-LNH etan x 1 Bài tập giới hạn tổng hợp Hướng dẫn giải đáp số: Một ý nhỏ dùng L’Hospital dạng vơ định đừng đạo hàm ko tạch đấy!!! 1, lim x sin x 0 x3 Dạng dùng định lí kẹp ok thơi 1 1 x x sin x x x x sin xlim x Mà lim x lim x x 0 x 0 1 sin cos 3x 2, lim x 0 cos x cot x cos 3x Dạng Ta áp dụng cơng thức để làm thơi: lim x 0 cos x cot x cos 3x cos 3x cos x cos x lim 1 cot x lim lim x 0 cos x sin x x 0 cos x x 0 5x 5x x x ~ ; sin ~ ; sin x ~ 16 x Khi x :sin 2 2 5x x 2 2 cos x 5 lim x 0 cos x 16 x 32 cot x 5 cos 3x lim e 32 x 0 cos x sin x cos x 3, lim x 0 sin bx cos bx Học L’Hospital ngại ko thử ln 3-LNH e cos3 x lim 1 cot x x0 cos x 5x x sin 2 cos x cos x sin x 2sin Bài tập giới hạn tổng hợp sin x cos x L cos x sin x lim x 0 sin bx cos bx x 0 b cos x b sin x b C1: lim Tuy nhiên ta cách biến đổi theo kiểu cổ điển kết hợp VCB tương đương x x x 2sin 2sin cos sin x cos x cos x sin x 2 C2: lim lim lim x 0 sin bx cos bx x 0 cos bx sin bx x 0 bx bx bx 2sin 2sin cos 2 x x x x x x 2sin sin cos sin cos 2 2 2 2 lim lim x 0 bx bx bx x0 bx bx bx b 2sin sin cos sin cos 2 2 2 2 C3: Tử mẫu ko phức tạp lắm, thử dùng khai triển Maclaurin xem :v sin x cos x x 0 sin bx cos bx lim x3 x2 o x3 , cos x o x , 3! 2! 3 2 bx b x sin bx bx o x3 , cos bx o x2 3! 2! x2 x x o x3 1 o x 3! sin x cos x 2! lim lim 3 2 x 0 sin bx cos bx x 0 b x bx bx o x3 1 o x2 3! 2! Ta có sin x x x x2 x x3 x 1 x 1 lim lim 2 3 x 0 x 0 b x bx b x b3 x b bx xb 6 Chú ý ko thể dùng cách khác dùng cách Vì cách đạo hàm để tìm khai triển mệt Lỡ sai chỗ die ln :v arcsin x x x arcsin x Dạng nên ta xài L’Hospital thơi Cơ mà dùng ln trâu bò q :v Biến đổi 4, lim x 0 chút cho đơn giản đã: arcsin x x arcsin x x lim x thi`arcsin x ~ x x 0 x arcsin x x 0 x3 1 L x2 x2 1 x lim lim lim x 0 x 0 3x x x x 0 x x x lim 4-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Hoặc từ ta dùng VCB tương đương x2 1 1 x u lim lim x thi`1 x ~ ux 2 2 2 x 0 x 0 x 0 3x x 3x x 3x x Đến ta ý rằng, x ta ý mẫu, tử có dạng tích (thương) 2 1 x lim 1 biến thành VCB tương đương ko Nếu biến giới hạn đơn giản nhiều x cos x x x 5, lim Chú ý dạng mà dùng L’Hospital ko Vì lim cos x; limsin x ko tồn Ta x x biến đổi để ý chút để dùng định lí kẹp nhé: x cos x cos x cos x lim 1 lim x x x x x x lim Ta có : 1 1 cos x x x x cos x lim x x 1 Mà lim lim x x x x x cos x lim 1 x x Ta có dạng sau cách làm tương tự: x cos x x cos x x sin x lim ; lim ; lim x x sin x x x cos x x x sin x 1 cos x 1 1 x x x 6, lim x 0 e Dạng 1 Có nhiều mũ nên dùng cách hợp lí: lim a x xx b x lim b x .ln a x e x x o o 1 1 x x ln x ln x x 1 1 1 x lim lim lim Xét lim ln x 0 x 0 e x x 0 x x 2x x x 0 1 x 1 x x lim e2 x 0 e 7, lim x 0 tan x sin x cot x sin x 5-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp lim tan x sin x x 0 lim tan x sin x x 0 sin x.tan x x lim x 0 sin x 1 sin x cos x cos x lim lim x 0 x 0 x x2 x tan x sin x cos x 1 sin x cos x sin x 8, lim x 0 1 sin ax cos ax arctan x tan x 1 sin x x3 tan x sin x 1 tan x sin x Thay VCB tương đương rút gọn ta có giới hạn giống câu Chẳng có để bàn nữa!? 1 sin x cos x sin x lim 1 sin x cos x x lim 1 sin x cos x x 0 1 sin ax cos ax arctan x x 0 1 sin ax cos ax x x 0 1 sin ax cos ax a lim 9, lim cos x a sin bx x x 0 Dạng 1 Theo kinh nghiệm có cosx ta dùng cơng thức để xuất 1-cosx a x đẹp Do ta dùng cơng thức này: xlim x b x lim b x .a x 1 e x x o o cos x a sin bx cos x a sin bx x2 abx C1: Xét lim lim lim lim lim ab ab x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x x x x lim cos x a sin bx x eab x 0 Nhưng dạng 1 mà Nhìn dễ xơi :v Thử xơi cách ln xem cách nhanh :v ln cos x a sin bx L sin x ab cos x lim ab x 0 x x cos x a sin bx C2: Xét lim lim cos x a sin bx x eab x 0 cos x sin x tan x x 0 x arctan x 10, lim Á đù Lộ liễu q :v Lại arctanx mẫu cos x sin x tan x cos x sin x tan x cos x sin x tan x lim lim x x 0 x 0 x 0 x arctan x x2 x x x lim 1 1 2 tan a x tan a x tan a 11, lim x 0 tan x.arctan x Chưa cần biến đổi cả, x mà thấy tanx arctanx VCB tương đương 6-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp tan a x tan a x tan a tan a x tan a x tan a lim x 0 x 0 tan x.arctan x x2 lim Ta có: cos x cos 2a cos 2a sin a x sin a x sin a tan a x tan a x tan a cos a x cos a x cos a cos x cos 2a cos 2a cos x cos 2a cos 2a cos x cos 2a 1 cos 2a cos x cos 2a 1 cos 2a cos x cos 2a cos 2a cos x cos 2a 1 cos 2a 2 cos 2a 1 cos x 2 cos 2a cos 2a cos x 2 cos 2a.2sin x cos x cos 2a 1 cos 2a cos x cos 2a 1 cos 2a cos x cos 2a 1 cos 2a tan a x tan a x tan a 2cos 2a.2sin x 4cos 2a.x lim lim x 0 x 0 cos x cos 2a 1 cos 2a x x 0 cos x cos 2a 1 cos 2a x x2 lim 4cos 2a 1 cos 2a ax bx x 0 x 12, lim Dạng nên ta dùng L’ Hospital ln a x b x L a lim ln a.a x ln b.b x ln a ln b ln x 0 x x b C1: lim Ta dùng khai triển Maclaurin để giải này: C2: a x x ln a o x , b x x ln b o x a x ln a o x 1 x ln b o x o x o x ax bx a lim lim lim ln a ln b ln x 0 x 0 x 0 x x x x b Hoặc ta thêm bớt để dùng cơng thức xong: a x b x 1 a x bx a x 1 bx 1 a lim lim lim ln a ln b ln C3: lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x b 1 e x cos x 13, lim x 1 1 x Đặt Nhìn cho đỡ ngứa mắt :v 1 t e x cos t x x lim e cos t lim x t 0 1 1 t2 1 1 x x 7-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Đến thấy giải theo cách Ta thử cách xem C1: Dùng L’ Hospital có dạng t et sin t et sin t lim lim lim (vì et >0) t 0 t 0 t t t 1 1 t 1 t et cos t L C2: Dùng VCB tương đương kết hợp L’Hospital lim t 0 et cos t 1 1 t2 L lim lim t 0 et sin t t 0 2t et cos t et cos t lim lim t 0 t2 t 0 t 1 et cos t 2 1 t C3: Dùng khai triển Maclaurin t2 t2 t2 o t , cos t o t , t o t 2 2 t t t o t 1 o t t t t2 o t2 o t2 t t2 o t2 o t2 2 e cos t lim lim lim lim t 0 t 0 t 0 t2 t2 t 2o t t t 0 1 o t et t 1 o t o t 2 1 t t t lim t 0 o t 1 2 t 1 1 t Chú ý dạng vơ định mà vơ tư đạo hàm die ln Ví dụ ta đạo hàm tiếp kết lim t 0 et cos t 1 1 t2 lim t 0 et cos t 1 t 1 lim t 0 et cos t et cos t lim t 0 t2 t 2 et sin t L et cos t lim lim 2 t 0 t 0 2t sin x.sin x 14, lim x 0 arcsin x L Để ý đưa VCB tương đương lại quay tốn đinh lí kẹp 8-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 1 x sin x lim x lim x sin lim x 0 x 0 x 0 arcsin x x x cos x x 1 15, lim x 0 sin x.arcsin x sin x.sin Cứ VCB tương đương tính tiếp :v cos x cos x x 1 cos x x 1 x 1 lim lim lim x 0 sin x.arcsin x x 0 x 0 x2 x x 1 Dạng nên ta L’Hospital mà fang, chầy cối thơi =.=! C1: x 1 cos x L sin x x 1 x cos x L cos x x 1 x sin x 2cos x x sin x lim lim lim 2 2 x 0 x 0 x 0 x x 1 x x 1 x x 1 10 x Ta thử dùng khai triển Maclaurin có xuất cosx quen thuộc x2 x 1 o x2 2 x 1 cos x lim x x o x 1 C2: lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x 2x x x x 1 x x 1 C3: Tách nè :v lim x 1 cos x x x 1 x 0 lim x 0 cos x x cos x cos x x cos x lim lim x 0 x 0 x x x x 1 x0 x x 1 lim cos x 1 lim 1 x x 1 2 x 1 1 16, lim x e x e x 1 x Dạng .0 ta biến Cơ mà số má mà đạo hàm nản Chắc ko :3 1 x 1x x 1 e e x 1 e e L 1 x 1 1 x3 lim x x 1 lim x e x e x 1 lim x.e x e x x 2 x 1 x x x 2 3 1x 1x 3x x 1 x 1 x x x 1 e e Math error : v x x 1 9-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Cách trâu bò q =.=! Chắc ko Nhìn ghê vch :v Nên L’Hospital ln dành cho có bắp :v Tơi có ý tưởng VCB tương đương 1 1x x11 2 x x 1 lim x e e 1 lim x e 1 lim x e 1 x x x 1 1 1 ; e x 1 ~ x 0; 0 x x 1 x x 1 Khi x e x ~ 1x x2 x2 x2 x 1 21 lim x e 1 lim x e 1 lim lim lim x lim 1 lim x x x x x x x x x x x 1 x x 1 1 x Hoặc t ta có giới hạn sau: x t t t t t t t e e 1 t t t 1 e t e t 1 e e t lim t 1 lim lim lim lim lim t 2 lim 2 t 0 t t t t t t t t t t t t t2 Đặt sin x arcsin x 17, lim x 0 arctan x Thay VCB tương đương trước cho dễ: 1 sin x arcsin x sin x x2 lim lim x 0 arctan x x 0 x sin x x L cos x x2 sin x 1 lim lim lim Xét lim 2 x 0 x x x x 3x 2.3x x x 1 sin x arcsin x lim e6 x 0 arctan x Hoặc ta dùng cách lại, thêm bớt chút dùng VCB tương đương này: sin x lim x 0 arctan x lim sin x x L arcsin x lim sin x lim x 0 x cos x 1 x2 lim x0 x x2 e sin x lim ln x x2 x0 1 e x0 x e x0 x e e6 (vì x ln(1+x) ~ x, 1-cosx ~ x2/2) 3x 18, lim x x 2x 10-LNH e sin x lim ln 11 x x x0 e sin x lim 1 x x x0 Bài tập giới hạn tổng hợp 3x ln 36.x 36 3x L 3x lim lim 4 Xét lim ln x lim x x x x 3x 5 3x 1 3x 5 3x 1 3x 2x x2 3x lim e x x cos x.e x cos x.e x cos x 19, lim x 0 sin x.arcsin x 2x Thấy có cos-cos tử Ta biến -2sin.sin Mẫu dùng VCB tương đương Ta có : x e x e x x e x e x 2sin sin cos x cos x.e x cos x.e x cos x 2 lim lim x 0 x 0 sin x.arcsin x x3 x e x e x x e x e x 2 cos x e 2 x e2 x cos x cos x e 2 x 1 cos x e x 1 2 lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x3 2x 2x 2x cos x 2 x cos x x lim lim 1 2 x 0 x 2x 2x sin ax sin bx 20, lim x 0 sin x sin ax sin bx L a cos ax b cos bx Dạng , ta dùng L’Hospital ln lim lim a b x x 0 sin x cos x C2: Ta biến đổi dùng VCB tương đương sau: sin ax sin bx lim x 0 x 0 sin x x2 e cos x 21, lim x 0 tan x 2cos lim ax bx ax bx ax bx x a b sin 2cos 2 2 lim a b x 0 sin x x Dùng VCB tương đương thơi :3 e x cos x 1 e x cos x e x cos x ex 1 cos x 1 lim lim lim lim lim 1 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 tan x x x x x 2 2 2 sin x sin x x 22, lim sin x x 0 x Xét thử cách chương xem :v 11-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp sin x sin x 1 L x lim sin x x sin x x lim cos x sin x x cos x lim x 0 x 0 x 0 sin x x x cos x 1 sin x x x sin x x L sin x cos x cos x x sin x x 0 cos x cos x x sin x lim sin x sin x x lim sin x e2 x 0 x sin x x Giới hạn ban đầu trở thành lim 1 sin x sin x x Có ý tưởng thay x 0 x L ln 1 sin x cos x lim 1 sin x sin x x e Xét lim lim x 0 x 0 x 0 cos x 11 sin x sin x x sin x 1 sin x sin x x sin x x lim lim lim 1 sin x e2 Hoặc xét lim x 0 sin x x x 0 sin x x x 0 sin x x 0 1 x 23, lim cot x x 0 x Ta thử hướng biến đổi sau: C1 : lim cot x lim cot x 1 lim lim x 0 x x 0 x sin x sin x x 0 x x 0 x sin x x sin x x Xet :lim lim 2 lim x sin x ~ x x 0 x x x sin x x 0 sin x x 4 x 2 L L cos x 1 sin x x cos x 2 1 lim lim lim lim 2 x 0 x x x 4x 12 x 12 x 12 x lim cot x x 0 x 3 C2 : 12-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp tan x x tan x x tan x x tan x x lim cot x lim lim lim lim 2 x 0 x x 0 x 0 tan x x 0 x tan x x x x x 0 x tan x x tan x x lim lim x 0 x x x tan x x tan x , lim lim 11 x 0 x 0 x x cot x lim 2 L 3 tan x x tan x tan x x 0 x , lim lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x x 3x Ta sử dụng VCB tương đương: x ax sin x ~ x; tan x ~ x; cos ax ~ arcsin x arctan x 24, lim x 0 ln 1 x3 arcsin x arctan x lim lim x 0 x 0 ln 1 x3 arcsin x arctan x L lim x x 0 3x x3 2 x 1 lim x 0 x 1 x 3x x 1 x Đến ta có nhiều hướng giải C1: Ta nhân thêm lượng liên hợp: lim x 1 x x 1 1 x x 1 x x 1 2 3x x 1 x lim x2 x 3x x2 lim lim x 0 x 0 2 2 2 2 3x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x C2: Sử dụng VCB tương đương x 0 lim x 0 3x x 1 x 3x 2 2 x2 1 x2 x 0 lim x 0 x 1 1 x 2 3x x 1 x 2 lim x 0 x 3x x 1 x 2 lim x 0 1 x 3x x 1 x 1 x x2 x2 x 1 lim lim lim x 0 3x x 1 x x 0 3x x 1 x x 0 3x x 1 x 2 esin x e x x 0 sin x x 25, lim dùng L’Hospital ln dài chất hàm ea x đạo hàm phức tạp Ta thử cách thêm bớt kết hợp vơ bé tương đương trước xem C1 : Dạng 13-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp esin x e x 1 esin x e x esin x ex 1 sin x x lim lim lim lim lim lim x 0 sin x x x 0 x x x x sin x x sin x x sin x x sin x x sin x x sin x x lim 1 x 0 sin x x C2: Dùng L’Hospital esin x e x L cos x.esin x e x L sin x.esin x cos x.esin x e x lim lim lim x 0 sin x x x 0 x 0 cos x sin x sin x sin x sin x L cos x.e sin x.e sin x.e cos x.esin x e x lim 1 x 0 cos x xx x 26, lim x 1 ln x x C1: Dạng Dùng L’Hospital ln thơi Nhưng cách bắp đấy!? Trước hết ta tính riêng đạo hàm xx y' y x x ln y x ln x ln x y ' 1 ln x y 1 ln x x x y x x Hay x ' 1 ln x x Bây ta bắt đầu dùng L’Hospital 1 ln x x x x x x1 1 ln x x x x 1 ln x x x 1 L x x x L lim lim lim 2 x 1 ln x x x 1 x 1 1 x 1 C2: Cách rắc rối đạo hàm hàm x x phức tạp Ta có hướng Đó dùng VCB tương đương Để ý x x x x 1 ~ x x 1 Chúng ta thử x x x x 1 xx x xx 1 x 1 lim lim lim lim x 1 ln x x x 1 x 1 ln x x x 1 ln x x ln x x x 1 lim x 1 1 x x 1 x 1 x 1 lim lim lim x 1 ln x x x 1 ln x x x 1 ln x x ln x x x 1 x x 1 lim 2 x 1 ln x x x 1 x 1 1 x 1 x Nếu dùng đạo hàm nhiều dạng khó làm Để ý tách VCB tương đương Một số tương tự để bạn luyện tập 2 x x 1 x x x x x3 a, lim b, lim x 1 arcsin x 1 x 1 arctan x 1 lim x 1 x L lim x 3x lim 27, x x 2x x 1 14-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Có lẽ cách sau hợp lí x 3x lim x x 2x x 1 e x2 3x lim 1. x 1 x x 2x 1 5x . x 1 e 5x lim . x 1 x x 2x 1 lim ex x2 2x 1 x2 x 2x 1 lim 5x . x 1 x e x2 e5 Tương tự ta có tập dạng này: x 6x a, lim t x 3x x 2x x b, lim t 2x 3x ax bx c Ta nâng lên TQ: Dạng tổng qt là: lim t ax b x c 1 3x dx e e d b b1 28, lim e3x 3x x x 0 lim e 3x x 0 3x x e e3 x 3x 1 x0 x lim lim ex0 e3 x 1 3x lim x0 x 3x e3 e x ex ~ x Tương tự: 29, lim tan x x Đặt a, lim x e2x x b, lim x e4x x t 0 t 0 x x a x a 2 a lim ln cot a .a a lim tan a lim cota e x0 a a 2 1 ln cot a L 2a2 2a2 Xét lim ln cot a a lim lim sin a cos a lim lim lim a a a0 a0 a sin 2a a 2a a0 1 a a lim tan x x x e0 cot a ' 1/ sin a 1 2 Ta có: ln cot a ' cot a cos a / sin a sin a cos a sin 2a x 30, lim(e x) x x 0 15-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp lim (e x) e x x 0 x lim (e x) e2 x 0 L x x ln(e x) e 1 Xét lim lim x 2 x 0 x x e x Hoặc x x x lim x x 0 e 1 x x lim lim (e x) e x0 x ln ex x x x 0 e 1 1 x lim e x 0 x e11 e2 ex lim 1 x 0 x tanx 31, lim ln x 0 x x Có thể nói 17 Nếu ko để ý mà L’Hospital ln die :)) tanx tanx tan x ln ln 1 1 x x tanx tan x x lim lim x lim ln lim lim 2 x 0 x x 0 x 0 x 0 x x x x3 x x 0 L tan x tan x l im x 0 x 3x 3x tanx tanx tanx x ln 1 ~ 1 x x x lim 32, lim cos x cos 2x x x arcsin 3x x2 Chú ý cos x ~ , arcsin 3x ~ 3x x x 0 Áp dụng VCB tương đương vào toán nà y ta có: cos x cos 2x ~ Ta có: x cos2 2x cos x cos 2x x cos2 2x lim lim lim x 0 x x x arcsin 3x x 0 x x arcsin 3x x x arcsin 3x cos2 2x cos2 2x 1 chia tử mẫu cho x lim arcsin 3x 3x x 0 x x x x arctan x 33, lim x sin x sin x x lim x 0 3 16-LNH x cos2 2x Bài tập giới hạn tổng hợp arctan x x2 x lim lim lim lim x 0 sin x sin x x x 0 x sin x x x 0 sin x x x 0 cos x L 34, lim x 1 3x x 0 Chưa thấy dạng đặc biệt Ta viết lại sau x lim 1 3x x 0 À Dạng 1 Ta xử lí sau: ln 13x lim x0 x x lim 1 3x e x 0 Tương tự ta có sau: ln 13x x e lim x0 2. 3x x e6 x ln 1 3x ~ 3x 1 lim x cos x DS: e x 0 35, lim e lim x0 1 x 1 x 1 x 1 x C1: Nhìn có lẽ hướng nghĩ nhân thêm lượng liên hợp: x 0 lim x 0 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x lim lim 1 x 2 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x x 0 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 1 x 1 x x 0 C2: Dùng L’Hospital: 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 2 5 lim lim 2 4 4 x 0 x 0 1 1 x 1 x 1 x 1 x 5 5 C3: Dùng VCB tương đương Cách có lẽ dài ta cần tách lần: L 17-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp x x 2 lim lim lim lim lim 5 5 x 0 x 0 x 0 x 0 x0 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 lim lim lim x 0 x x x0 x x x0 x x x x x 1 li m x 0 x x 2 5 5 x x C4: Dùng khai triển Maclaurin Các bạn tự làm Ta có số tập tương tự: 1 x 1 x a, lim x 0 x 1 x 1 1 x 1 x b, lim 4x 2x x 0 3x 4x 2x x m ax n bx x 0 k cx dx TQ: Như ta thấy dạng tổng qt tốn là: lim t kp dt ma nb x 2 36, lim arctan x x Dạng Nhưng ta xử lí theo cách nào??? b x lim b x .ln a x Chú ý ta dùng cơng thức lim a x e xx o khơng xử lý biểu xx o thức dấu ln( ) q cồng kềnh Khơng thể xử lí Nếu dùng theo cơng thức ta lại phải đặt ẩn phụ dùng VCB tương đương lần giải được!! Nên ta dùng cơng thức lim a x xx o x 2 b x lim b x .a x 1 e x x o lim arctan x 1.x 2 x lim arctan x e x Xét 2 arctan x lim arctan x 1 x lim x x x Dạng 0. arctan x L 2x 2 2 x lim lim lim lim 2 x x x x 1 x 1 x 1 x x x2 x 2 2 Do lim arctan x e x 18-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 37, lim x 3 2x 3x x 3 2x 3x x 3 x 3 Đặt x t x t ta có lim lim t t t t 0 lim t 0 lim t 0 2t 3t 1 2t 3t 4 lim t 0 t t 3t 3t 2t 2t 1 1 8 lim t 0 t t 4 lim t 0 2t 2t 3t 1 1 8 lim t 0 t 3t 2t 3t 2t 1 1 1 lim 8 11 lim lim t 0 t 0 t 0 t t t t 4 4 x 2x x 3 x 5x 38, lim x 2 x2 x Chưa thể giải với tốn Cũng giống trên, tađổi biến để biến tiến đến Ta giải sau: Tương tự: lim x 3 x 5x x 2 x2 x Đặt x t, ta có: lim 5t t t 5t 1 3 1 t 2 5t 2 8 5t 8 lim lim lim lim 2 2 t 0 t 0 t t t 5t t 5t t 5t t 2 t 2 8 5t 5t 2t 1 2t t lim lim lim t ln ln lim t 0 t t 5t t 0 t t 5t t 5t t 5t 24 8 8 Tương tự ta có số đổi biến sau: t t 2 19-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 1, lim x 1 sin .2 x 2, lim 1 x ln cos .2 x cos x 3, lim x 1 x 1 sin x sin x 39, lim x arctan 5x 1 x Khơng khó khăn ta nhận dạng giới hạn 0. Nhẩm đạo hàm chút, để arctan tử đạo hàm phân thức bậc mẫu Do ta biến đổi sau 10 arctan 5x 1 L 5x 1 lim 10x2 lim x arctan 5x 1 lim lim x x x x 1 5x 1 x x 10 10 lim x 25 5x x2 esin 2x cos x 40, lim x 0 sin 3x Có q nhiều hướng cho Tơi dùng VCB tương đương để tiếp cận tốn cách tự nhiên esin 2x cos x esin 2x cos x lim lim x sin 3x ~ 3x x 0 x 0 sin 3x 3x lim esin 2x lim e cos x 3x Ta có:x x 0 x 0 sin 2x 3x 1 lim x 0 cos x 3x esin 2x ~ sin 2x ~ 2x x x 2 x x2 cos x sin sin ~ 2 sin ~ 2 2 2x x esin 2x cos x Do đó:lim lim lim x 0 x 0 x 3x 3x 3x 4.3x 1 x 41, lim arcsin x x 1 2 Dạng Dùng cơng thức ok Ta mường tượng trước đạo hàm để làm cách xác 1 x lim arcsin x x 1 2 e lim ln arcsin x 1 x 2 x1 20-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Xét giới hạn lim ln arcsin x 1 x ta có: x 1 2 1 ln arcsin x L 2 x x lim x lim lim ln arcsin x 1 x lim lim 0 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 1 x 2 x2 1 x 1 x 1 x Vậy lim arcsin x x 1 2 42, lim x e tan x e0 1 x 0 Dạng Ta có lim x x 0 etan x 1 e lim ln x etan x 1 x0 Xét lim ln x etan x x 0 Dạng Ta sử dụng VCB tương đương kết hợp L’Hospital để xử lí tốn đơn giản L ln x ln x lim etan x ln x lim lim lim x lim x x e tan x ~ tan x ~ x x 0 x 0 x x 1 x 0 1 x etan x x2 tan x lim x e 1 e0 x 0 Lời giải đa phần theo ý kiến chủ quan cá nhân Nên nhiều chưa giải cách hay Rất mong nhận góp ý người để giải hồn thiện hơn!!! 21-LNH [...]... thì nhiều dạng sẽ khá khó làm Để ý tách VCB tương đương nhé Một số bài tương tự bài này để các bạn luyện tập 2 2 x x 1 x 3 x x x x3 a, lim b, lim x 1 arcsin x 1 x 1 arctan x 1 lim x 1 x 2 L lim x 2 3x 5 lim 27, x 2 x 2x 1 x 1 14-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Có lẽ cách sau đây là hợp lí nhất rồi x 2 3x 5 lim x x 2 2x 1 ... 20-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp Xét giới hạn lim ln arcsin x 1 x ta có: x 1 2 1 3 2 ln arcsin x L 2 2 1 x 1 x 2 lim 1 x lim lim ln arcsin x 1 x lim lim 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 x 2 1 x2 2 1 x 1 x 1 x Vậy lim arcsin x x 1 2 42, lim x e tan x e0 1 1 x 0 Dạng 0 như bài. .. t 2 5t 5 t 5t t 2 5t 24 8 8 8 8 Tương tự ta có 1 số bài đổi biến như sau: t 3 t 2 3 19-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 1, lim x 1 sin 2 .2 x 2, lim 1 x ln cos .2 x cos x 2 3, lim x 1 x 1 sin x sin x 4 9 39, lim x 2 arctan 5x 1 x Khơng khó khăn lắm khi ta đã nhận dạng được giới hạn là 0. Nhẩm đạo hàm 1 chút, để arctan ở trên tử đạo hàm sẽ... 17-LNH 4 Bài tập giới hạn tổng hợp x x 2 2 lim lim lim lim lim 5 5 5 5 x 0 5 x 0 5 x 0 5 x 0 5 x0 5 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 1 x x 1 1 lim lim lim x 0 5 1 x 5 1 x x0 5 1 x 5 1 x x0 5 1 x 1 5 1 x 1 x x x 1 1 5 li m x 0 x x 2 2 5 5 5 x x C4: Dùng khai triển Maclaurin Các bạn tự làm nhé Ta có 1 số bài tập tương... chương 1 xem :v 11-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp sin x sin x 1 L x lim sin x x sin x x lim cos x sin x x cos x 1 lim x 0 x 0 x 0 sin x x x cos x 1 sin x x x sin x x L sin x cos x cos x x sin x 1 x 0 cos x 1 cos x 1 x sin x 2 lim 1 sin x sin x x lim sin x e2 x 0 x 1 sin x 1 khi x 0 Giới hạn ban đầu trở thành... x 0 15-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 1 lim (e x) e x x 0 x lim (e x) e2 x 0 L x x ln(e x) e 1 Xét lim lim x 2 x 0 x 0 x e x Hoặc 1 x x 1 x lim x x 0 e 1 x x lim lim (e x) e x0 x ln ex x x x 0 e 1 1 x lim e x 0 x e11 e2 ex 1 vì lim 1 x 0 x 1 tanx 31, lim 2 ln x 0 x x Có thể nói bài này là bản sao của bài 17 Nếu ko... esin x e x x 0 sin x x 25, lim 0 nhưng nếu dùng L’Hospital ln thì hơi dài vì bản chất của hàm ea x càng đạo hàm 0 càng phức tạp Ta thử cách thêm bớt kết hợp vơ cùng bé tương đương trước xem thế nào C1 : Dạng 13-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp esin x 1 e x 1 esin x e x esin x 1 ex 1 sin x x lim lim lim lim lim lim x 0 sin x x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 sin x x sin x... 2 L 2x 2 2 2 x 1 lim lim lim lim 2 2 x x x x 1 1 x 1 x 1 2 x x x2 x 2 2 Do đó lim arctan x e x 18-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp 37, lim 3 x 3 2x 2 3x 5 4 x 3 2x 2 3x 5 4 x 3 x 3 Đặt x 3 t x t 3 ta có lim lim 3 2 t 3 2 3 t 3 5 4 3 t t 0 3 lim t 0 lim t 0 2t.. .Bài tập giới hạn tổng hợp 3x 5 ln 36.x 2 36 3x 1 L 3x 5 lim lim 4 Xét lim ln 2 x lim x x x x 1 3x 5 3x 1 3x 5 3x 1 3x 1 2x x2 3x 5 4... 2 x 1 sin 2 x 2 x 2 cos 2 x 2 2 1 lim lim lim lim 3 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 4x 12 x 12 x 12 x 2 3 1 2 1 lim 2 cot 2 x 1 x 0 x 3 3 C2 : 12-LNH Bài tập giới hạn tổng hợp tan x x tan x x 1 tan 2 x x 2 tan 2 x x 2 1 1 lim 2 cot 2 x lim 2 lim lim lim 2 2 2 4 x 0 x x 0 x 0 tan x x 0 x tan x x x 3 x x 0