Đường tròn, bài toán liên quan đến đường tròn

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN, BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN (Nhóm Toán Trường THCS Xuân An) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Đường tròn, vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, giữa đường tròn và đường tròn[.]

CHUN ĐỀ: ĐƯỜNG TRỊN, BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRỊN (Nhóm Tốn Trường THCS Xn An) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Đường trịn, vị trí tương đối đường thẳng đường tròn, đường tròn đường trịn Góc với đường trịn: - Góc tâm - Góc nội tiếp - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung - Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đường trịn Tứ giác nội tiếp: *) Định nghĩa: Tứ giác có đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp *) Tính chất: Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo góc đối diện 1800 *) Dấu hiệu nhận biết: Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn ta chứng minh: - Tứ giác có đỉnh nằm đường trịn - Tứ giác có tổng góc đối 1800 - Tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn cạnh nối đỉnh cịn lại góc - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối di … Ở mức độ nhận biết đề thi TSTHPT thường sử dụng hai cách: - Tứ giác có tổng góc đối 1800 - Tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc với hình vẽ có dạng sau: A D B TH 1: Tứ giác ABCD có : Suy Vậy tứ giác ABCD nội tiếp TH 2: Tứ giác MNPQ có : M Suy tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (Theo quỹ tích cung chứa góc) N Q P Đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Chu vi diện tích hình trịn - Đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp, tính chất dấu hiệu nhận biết - Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn Bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng, chứng minh vng góc… - Vận dụng tính chất tứ giác nội tiếp, tính chất khác liên quan đến đường tròn để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau… II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP: Bài 1.1: Cho đường trịn đường kính AB D điểm thuộc đường tròn Trên tia đối tia BA lấy điểm C Đường thẳng vng góc với BC C cắt đường thẳng AD M Chứng minh tứ giác MCBD nội tiếp Hướng dẫn: Hãy (Chú ý: Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn có số đo 90 ) M D C B O A Bài 2.1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính AB Đường thẳng vng góc với AO trung điểm I AO cắt AC M cắt tiếp tuyến C đường tròn E a Chứng minh tứ giác OCEI nội tiếp b Chứng minh tứ giác IMCB nội tiếp Hướng dẫn: S a Chỉ được: b Chỉ được: E C (Chú ý: Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm) M A I B O Bài 3.1: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AD D  BC  Gọi I trung điểm AC, kẻ AH vng góc với BI H a) Chứng minh tứ giác ABDH nội tiếp A Hướng dẫn: K Xét tứ giác AHDB Vcó:   AHB 900  AH  BI    AHB  ADB 900  ADB 90  AD  BC    B I H D C AHDB tứ giác nội tiếp (có hai đỉnh D, H kề nhìn cạnh AB góc vng) Bài 4.1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC E F ; BF cắt EC H Tia AH cắt đường thẳng BC N Chứng minh tứ giác HFCN, ABNF nội tiếp Hướng dẫn A F E B H N C *) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp: Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BC) Tứ giác HFCN có nên nội tiếp đường trịn đường kính HC) (đpcm) *) Chứng minh tứ giác ABNF nội tiếp: Theo CM trên: nên tam giác ABC có; BF, CE hai đường cao, H trực tâm nên AN ⊥ BC Do tứ giác ABNF có: Suy tứ giác ABNF nội tiếp(vì có đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng cịn lại hai góc nhau) Dạng 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐỂ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC Ghi nhớ: Khi tứ giác nội tiếp ta suy được: - Hai góc đối bù - Góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Các góc nội tiếp chắn cung - … Bài 1.2: Cho đường trịn (O) M điểm nằm bên đường tròn Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn( A, B tiếp điểm) Gọi C điểm cung nhỏ AB Từ C kẻ CD  AB D; CE  MA E CF  MB F Gọi I giao điểm CA DE; K giao điểm BC DF A E Chứng minh rằng: I a Các tứ giác ADCE, DCFB nội tiếp O C D M K b DC = CE.CF F c IK // AB B Hướng dẫn: a Tính tổng số đo hai góc đối diện b Chỉ ra: EDC  DFC(g.g): c Chỉ hai cặp góc đồng vị nhau: + Chứng minh tứ giác ICKD nội tiếp  Bài 2.2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi I giao điểm AC BD H chân đường vng góc hạ từ I xuống AD M trung điểm ID Chứng minh rằng: a Các tứ giác ABIH, HICD nội tiếp b Tia CA tia phân giác góc BCH suy I tâm đường tròn nội tiếp BCH c Tứ giác BCMH nội tiếp Hướng dẫn: a Sử dụng phương pháp “tổng hai góc đối 180 b Chỉ C 0” B I cách: M A H D (hai góc nội tiếp chắn cung AB) (do tứ giác CDHI nội tiếp) Tương tự chứng minh BI phân giác  Điểm I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH c Chỉ x cách: A Bài 3.2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD, CE tam giác ABC cắt H cắt đường tròn (O) M N Chứng minh: M D N E O B C a Các tứ giác ADHE, BEDC nội tiếp b DE//MN c OA  DE Hướng dẫn: a Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào hai trường hợp đặc biệt nêu b Chứng minh c Cách 1:  A điểm cung MN  OA  MN  OA  DE Cách 2: Kẻ tiếp tuyến Ax, chứng minh  Ax//DE, mà OA  Ax nên OA  DE Dạng 3: CÁC BÀI TẬP THEO CẤU TRÚC MA TRẬN HD CỦA SGD NĂM 2022 Bài 1.3: Cho đường tròn tâm O điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ đường thẳng qua tâm O, cắt đường tròn hai điểm A, B (A nằm M B) kẻ đường thẳng thứ hai qua M, cắt đường tròn hai điểm phân biệt C, D(C nằm M D, C khác A) Đường thẳng vuông góc với MA M cắt đường thẳng BCtại N, đường thẳng NA cắt đường tròn điểm thứ hai E a) Chứng minh AMNC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh Hướng dẫn : N D C B O A M E a) (Từ giả thiết ta dễ dàng nhận thấy: mà hai góc hai góc đối tứ giác AMNC) Ta có: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) với (kề bù ) Tứ giác AMNC có: Do AMNC tứ giác nội tiếp b)Ta có tứ giác AMNC nội tiếp (cmt) hay (hai góc nội tiếp chắn (1) Xét đường trịn (O) ta có: góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn chắn cung (2) ) góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn chắn cung (3) Từ (1), (2), (3) suy BD = BE (2 cung căng dây nhau) B nằm đường trung trực DE (4) Lại có: Xét (các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) có: , AB cạnh chung; BD = BE (CMT) AD = AE(hai cạnh tương ứng) A nằm đường trung trực DE (5) Từ (4) (5) AB đường trung trực DE hay (Đpcm) Bài 2.3: Cho đường trịn (O), đường kính AB Lấy điểm C khác A B đường tròn(CA < CB)Trên cung nhỏ AC lấy điểm M khác A C Vẽ ME vng góc với AB E Đoạn thẳng ME AC cắt D Chứng minh rằng: a) BCDE tứ giác nội tiếp b) Hướng dẫn : M C H A D E B O G a)Ta có: nên hay Lại có: góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) Tứ giác BCDE có hay mà hai góc hai góc đối tứ giác BCDE nên BCDE tứ giác nội tiếp b)Ta có: góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) vng M Áp dụng hệ thức lượng Xét ta có: vng M có đường cao ME ta có: góc chung; AD.AC = AE.AB (2) Từ (1) (2) suy ra: Bài 3.3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC, nội tiếp đường trịn Vẽ đường kính AD đường trịn ABC(H BC) BE vng góc với AD , đường cao AH tam giác a) Chứng minh tứ giác AEHB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AH.DC = AC.BH Hướng dẫn: a) A K E O B H Tứ giác AEHB có I D C Tứ giác AEHB nội tiếp đường trịn đường kính AB b) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Lại có (2 gnt chắn ) hai tam giác vuông có : Bài 4.3: Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a) Chứng minh IECB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ∆AME ∆ACM đồng dạng AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2 Giải: a) Ta có: (do I) (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) C M O1 Tứ giác IECB có nên nội tiếp E A O I đường trịn b) + Chứng minh ∆AME Ta có: MN ∆ACM AB ∆AME ∆ACM có Do đó: ∆AME chung, ∆ACM (góc – góc) + Chứng minh AM2 = AE.AC N B Vì ∆AME c) Ta có: ∆ACM nên hay (1) (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) vng M, MI AB nên MI2 = AI.IB (2) Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: Mà (định lí Pi-ta-go cho tam giác MIA vng I) Suy : AE.AC - AI.IB = AI2 Bài 5.3: Cho (O, R) đường kính AB, M di chuyển đường tròn Tiếp tuyến M với (O) cắt tiếp tuyến A B C D a) Chứng minh tứ giác ACMO, BDMO nội tiếp b) Chứng minh AC.BD không phụ thuộc vào vị trí M c) Chứng minh MN//BD HƯỚNG DẪN GIẢI D M a) Tứ giác ACMO có (Vì CA, CM C N tiếp tuyến (O)) A => tứ giác ACMO nội tiếp Chứng minh tương tự ta có tứ giác BDMO nội tiếp b) Vì CA, CM tiếp tuyến (O) Vì BD, DM tiếp tuyến (O) Có : O B Suy vng O, có OM đường cao Suy AC.BD khơng phụ thuộc vào vị trí M c) Ta có AC//BD( vng góc với AB) III MỘT SỐ LỖI HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI: 1) Vẽ hình khơng xác (vẽ sai hình hình khơng chấm) 2) Vẽ hình vào trường hợp đặc biệt, dễ ngộ nhận(đề cho tam giác thường khơng nên vẽ tam giác cân, tam giác tam giác vng) 3) Tính tốn sai, viết nhầm, đọc nhầm đề đọc thiếu kiện đề dẫn đến toán bị sai. Khi mắc sai lầm gần học sinh khơng có điểm cho câu hỏi 4) Qn nối hình, khơng điền tên điểm (khi cần đặt thêm điểm ta phải gọi tên điểm cần thêm giải), ngộ nhận chứng minh… lỗi sai thường tính cẩu thả, tính chủ quan học sinh gây 5) Dùng điều toán yêu cầu chứng minh để giải tốn 6) Kí hiệu hai tam giác đồng dạng sai thứ tự đỉnh tương ứng 7) HS giải thích lí hai góc đường trịn: chắn cung… Có HS ngộ nhận: góc nội tiếp góc có đỉnh bên đường tròn chắn cung nhau… Nên nói rõ loại góc chắn cung… dùng kí hiệu: =1/2 sđ … 8) Trình bày vắn tắt nên bị điểm số bước 9) Có học sinh làm hình có nhiều ý thường vẽ tất kiện vào hình từ đầu Một hình có nhiều ý mà lại vẽ chung tất vào hình từ đầu rối, khó nhìn để giải  ... dài đường tròn, độ dài cung trịn Bài tốn liên quan đến tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng, chứng minh vng góc… - Vận dụng tính chất tứ giác nội tiếp, tính chất khác liên quan đến đường trịn... MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP: Bài 1.1: Cho đường tròn đường kính AB D điểm thuộc đường tròn Trên tia đối tia BA lấy điểm C Đường thẳng vng góc với BC C cắt đường thẳng... CÁC BÀI TẬP THEO CẤU TRÚC MA TRẬN HD CỦA SGD NĂM 2022 Bài 1.3: Cho đường trịn tâm O điểm M nằm ngồi đường tròn Từ M kẻ đường thẳng qua tâm O, cắt đường tròn hai điểm A, B (A nằm M B) kẻ đường