Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 1 Các phương trình chuyển động, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: một số khái niệm cơ bản của cơ học chất điểm; các tọa độ suy rộng; các tọa độ suy rộng; nguyên lý tương đối galilee. Mời các bạn cùng tham khảo!
chọn hàm y(x) cho α = ▪ Y(x) qua VT nên: η(x1) = η(x2) = 𝑥2 𝑥2 𝑆 𝛼 = න 𝑓 𝑌 𝑥 , 𝑌 ′ 𝑥 , 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑦 + 𝛼𝜂, 𝑦 ′ + 𝛼𝜂′ , 𝑥 𝑑𝑥 𝑥1 𝑥1 𝜕𝑓 𝑑 𝜕𝑓 − =0 ′ 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑦 Phương trình Euler – Lagrange với, x gọi biến độc lập, y biến phụ thuộc * Xét lại ví dụ 1: CM ′ 𝑓 𝑦, 𝑦 , 𝑥 = + 𝑦 ′2 1Τ2 𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Bài tập nhà: Tìm đường với thời gian ngắn hạt từ vị trí sang chịu tác dụng trọng lực Hướng dẫn: Gọi quỹ đạo có dạng x = x(y), hạt chuyển động chịu tác dụng trọng lực: 𝑣 = 2𝑔𝑦 đường thẳng ❖ Tổng qt hóa phương trình Euler – Lagrange số biến phụ thuộc Trong học Lagrange, biến độc lập thời gian t, biến phụ thuộc tọa độ suy rộng q1, q2, …, qs ❖ Tích phân S phía trên, biểu diễn dạng quỹ đạo hệ học gọi tác dụng (the action integral) Hàm dấu tích phân phụ thuộc vào tọa độ suy rộng vận tốc suy rộng L(q, q,ሶ t) gọi hàm Lagrange ❖ Nguyên lý Hamilton (nguyên lý biến phân): Một hệ học chuyển động hai điểm khoảng thời gian cho trước từ t1 đến t2 có quỹ đạo cho tác dụng: 𝑡2 𝑆 = න 𝐿(𝑞, 𝑞,ሶ 𝑡ሻ𝑑𝑡 𝑡1 có giá trị cực trị (nhưng khơng cực đại) Sử dụng phương trình Euler – Lagrange, ta dẫn phương trình Lagrange: 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − =0 𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝑞𝑖 Hàm Lagrange: 𝐿 = 𝑇 𝑞, 𝑞,ሶ 𝑡 − 𝑈(𝑞, 𝑡ሻ 𝑠 + T động hệ: 𝑇 = 𝐴𝑖𝑘 (𝑞ሻ𝑞ሶ 𝑖 𝑞ሶ 𝑗 𝑖,𝑗 + U hệ: U = U (q1, q2, …, qs, t) (i = 1, 2, 3, …s) Tính chất hàm Lagrange: ❖ Tính cộng được: hệ gồm hai phần kín A B, khơng tương tác với nhau, hàm Lagrange hệ tiến tới: limL = LA + LB Ý nghĩa: phương trình chuyển động phần không tương tác với chứa đại lượng thuộc phần khác hệ ❖ Tính bất định: nhân đồng thời hàm Lagrange tất hệ với số Ý nghĩa: Có thể tùy ý tự nhiên việc lựa chọn đơn vị đo đại lượng vật lý ❖ Tính khơng đơn trị: hàm Lagrange xác định với độ xác tới phụ thêm vào đạo hàm toàn phần hàm theo tọa độ thời gian 4 NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILEE ✓ Hệ quy chiếu quán tính: hệ quy chiếu có khơng gian đồng đẳng hướng, thời gian đồng ✓ Xét tính đồng không gian thời gian: Hàm L không chứa dạng hiển vectơ tọa độ Ԧr thời gian t, nghĩa hàm vận tốc v ✓ Xét tính đẳng hướng khơng gian: L phụ thuộc vào vectơ v, nghĩa phụ thuộc vào bình phương vận tốc v2 𝐿 = 𝐿 𝑣2 𝑣Ԧ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ✓ Nguyên lý tương đối Galilee: Tất định luật tự nhiên có dạng tất hệ quy chiếu quán tính VD1: Hai vật khối lượng m1 m2 (m1 > m2) treo sợi dây khơng dãn, vắt qua rịng rọc khối lượng không đáng kể Viết hàm Lagrange, sử dụng y làm tọa độ suy rộng, từ xác định phương trình chuyển động Lagrange So sánh kết tìm với phương pháp động lực học Newton VD2: Cho hạt khối lượng m chuyển động mặt phẳng tác động lực hướng tâm có dạng (với số a, b > 0): 𝑎 𝑏 𝐹 𝑟 =− 2+ 𝑟 𝑟 a) Sử dụng hệ tọa độ cực, viết hàm Lagrange hạt b) Viết phương trình Lagrange cho hạt tìm tích phân chuyển động VD3: Xét hạt khối lượng m giữ cho chuyển động khơng ma sát hình trụ trịn bán kính R Vật m chịu tác dụng lực có dạng F = −kr𝑒Ԧ𝑟 , với k số dương, r khoảng cách từ vật đến gốc tọa độ vectơ đơn vị 𝑒Ԧ𝑟 hướng khỏi gốc tọa độ Sử dụng tọa độ suy rộng z θ hệ tọa độ trụ (x = Rcosθ; y = Rsinθ; z = z) để xác định hàm Lagrange phương trình Lagrange vật ... Lagrange ❖ Nguyên lý Hamilton (nguyên lý biến phân): Một hệ học chuyển động hai điểm khoảng thời gian cho trước từ t1 đến t2 có quỹ đạo cho tác dụng: