Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 2 Các định luật bảo toàn, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Tích phân chuyển động – định luật bảo toàn; định luật bảo toàn năng lượng; định luật bảo toàn động lượng; tâm quán tính; định luật bảo toàn mômen động lượng. Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG II TS ĐẶNG HOÀI TRUNG BM VẬT LÝ ĐỊA CẦU, KHOA VL – VLKT, TRƯỜNG ĐH KHTN – VNU-HCM Email: dhtrung@hcmus.edu.vn TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG – ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN - Tích phân chuyển động: hàm theo tọa độ vận tốc suy rộng, giữ nguyên giá trị không đổi phụ thuộc vào điều kiện ban đầu - Định lý Noether: với bất kỳ vi phân đối xứng nào, tác dụng của hệ vật lý tương ứng với định luật bảo toàn - Yêu cầu: chứng minh bất biến của hàm Lagrange đối với phép biến đổi đối xứng của không gian thời gian dẫn đến tích phân chuyển động – định luật bảo tồn Amalie Emmy Noether (23/3/1882 – 14/4/1935) Nhà toán học người Đức tiếng đóng góp tảng đột phá lĩnh vực đại số trừu tượng vật lý lý thuyết ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG - Xét tính đồng thời gian – hàm Lagrange không phụ thuộc hiển vào thời gian t 𝑑𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝐿 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 = + + = 𝑞ሶ 𝑖 + 𝑞ሷ 𝑖 = 𝑞ሶ 𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖ሶ 𝑖 𝑖 𝑖 𝑑 𝜕𝐿 𝑞ሶ 𝑖 − 𝐿 = 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖ሶ 𝑖 Đặt là: E 𝑖 𝑖 (2.1) - Định lý Euler hàm nhất: f (x1, x2, …, xk) hàm nhất bậc n thì: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑘 = 𝑛𝑓 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑘 - T hàm nhất bậc 2: 𝜕𝐿 𝜕𝑇 𝑞ሶ 𝑖 = 𝑞ሶ 𝑖 = 2𝑇 𝜕𝑞𝑖ሶ 𝜕𝑞𝑖ሶ 𝑖 𝑖 𝑬 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ + 𝑼(𝒒ሻ - Vậy: E của hệ (2.2) (2.1 2.2) 𝜕𝑳 𝑬= 𝒒ሶ 𝒊 − 𝑳 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ + 𝑼(𝒒ሻ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝑡 𝜕𝒒ሶ𝒊 𝒊 - Định luật bảo tồn năng: hệ kín lượng giữ nguyên không đổi suốt trình chuyển động - Năng lượng có tính cộng - Các hệ học có lượng bảo toàn gọi hệ bảo thủ - Hàm Lagrange cho hệ kín (hoặc nằm trường ngồi khơng đổi): 𝑳 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ − 𝑼(𝒒ሻ ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN ĐỘNG LƯỢNG - Xét tính đồng không gian - Xét chuyển động vô bé đoạn 𝜀, Ԧ cho hàm Lagrange giữ nguyên không đổi - Biến thiên của hàm Lagrange thay đổi vơ bé của tọa độ, cịn vận tốc không đổi 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝛿𝐿 = 𝛿 𝑟Ԧ𝑗 = 𝜀Ԧ =0 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝑗 𝑗 𝜕𝐿 𝜕𝑈 = − = 𝐹Ԧ𝑗 = 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝑗 𝑗 (3.1) 𝑗 Khơng có lực tổng hợp lực tác dụng lên hệ Phương trình Lagrange (3.1) 𝑑 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝐿 = =0 𝑑𝑡 𝜕𝑣Ԧ𝑗 𝑑𝑡 𝜕𝑣Ԧ𝑗 𝑗 𝑗 𝛛𝑳 𝒑= = 𝒎𝒋 𝒗𝒋 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 𝛛𝒗𝒋 𝒋 𝒋 - Định luật bảo tồn động lượng: Nếu khơng có lực tổng hợp lực tác dụng lên hệ (hệ kín) động lượng của hệ bảo tồn - Đặc điểm: + Động lượng có tính cộng + Các thành phần riêng biệt bảo tồn cả có trường ngồi của trường khơng phụ thuộc vào tọa độ tương ứng - Lưu ý: Nếu chuyển động miêu tả tọa độ suy rộng thì: + Động lượng suy rộng: 𝜕𝐿 𝑝𝑖 = 𝜕𝑞ሶ 𝑖 + Lực suy rộng: 𝜕𝐿 𝐹𝑖 = 𝜕𝑞𝑖 - Động lượng suy rộng hàm tuyến tính của vận tốc suy rộng, khơng quy tích khối lượng vận tốc Ví dụ: Xét hạt khối lượng m chuyển động trường có dạng: V(r) = -k/r, với k số r khoảng cách để tâm trường a) Viết phương trình Lagrange cho hạt b) Tìm pr pθ hàm theo r, θ, ṙ θ.ሶ Có hàm số khơng? TÂM QUÁN TÍNH - Xét hqc K’ chuyển động với vận tốc 𝑉 so với hqc K - Công thức cộng vận tốc: 𝑣Ԧ𝑗 = 𝑣′𝑗 + 𝑉 - Động lượng của hqc K: 𝑝Ԧ = 𝑚𝑗 𝑣Ԧ𝑗 = 𝑚𝑗 𝑣′𝑗 + 𝑉 𝑚𝑗 = 𝑝′ Ԧ + 𝑉 𝑚𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 - Chọn hqc K’ cho động lượng toàn phần của hệ 0, đó: σ𝑗 𝑚𝑗 𝑣Ԧ𝑗 𝑝Ԧ 𝑉= = σ𝑗 𝑚𝑗 σ𝑗 𝑚𝑗 - Biểu thức biểu diễn đạo hàm toàn phần theo thời gian của biểu thức: σ𝑗 𝑚𝑗 𝑟Ԧ𝑗 𝑅= σ𝑗 𝑚𝑗 ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN MƠMEN ĐỘNG LƯỢNG - Xét tính đẳng hướng khơng gian - Độ dịch chuyển dài của đầu mút vectơ: 𝛿 𝑟Ԧ = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝛿𝜑 - Do 𝛿 𝑟Ԧ vng góc với mặt phẳng chứa 𝑟Ԧ 𝛿𝜑: 𝛿 𝑟Ԧ = 𝛿𝜑 × 𝑟Ԧ - Tương tự: 𝛿 𝑣Ԧ = 𝛿𝜑 × 𝑣Ԧ 𝜕𝐿 𝜕𝐿 - Lấy biến phân của hàm Lagrange: 𝛿𝐿 = 𝛿 𝑟Ԧ𝑗 + 𝛿 𝑣Ԧ𝑗 = 𝜕𝑟Ԧ𝑗 𝜕𝑣Ԧ𝑗 𝑗 𝑝Ԧሶ𝑗 𝑝Ԧ𝑗 𝛿𝐿 = 𝑝Ԧሶ𝑗 𝛿𝜑 × 𝑟Ԧ + 𝑝Ԧ𝑗 𝛿𝜑 × 𝑣Ԧ 𝑗 =0 𝑑 𝑟Ԧ × 𝑝Ԧ𝑗 = 𝑑𝑡 𝑗 𝐿 = 𝑟Ԧ × 𝑝Ԧ𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑗 - Định luật bảo toàn mơmen động lượng: đối với hệ kín, mơmen động lượng giữ nguyên không đổi suốt q trình chuyển động - Tính chất: + Tính bất định: giá trị của mômen động lượng phụ thuộc vào việc lựa chọn gốc tọa độ + Tính cộng được: mômen động lượng của hệ tổng mômen động lượng của chất điểm Bài tập: Biểu diễn thành phần theo hệ tọa độ Descartes (Cartesian) của mômen động lượng của hạt chuyển động hệ tọa độ trụ Đáp án 𝐿𝑥 = 𝑚(𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣𝑦 ሻ = 𝑚 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑚𝑟𝑧𝑐𝑜𝑠𝜑𝜑ሶ 𝐿𝑦 = 𝑚 𝑧𝑣𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 = −𝑚 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑚𝑟𝑧𝑠𝑖𝑛𝜑𝜑ሶ 𝐿𝑧 = 𝑚(𝑥𝑣𝑦 − 𝑦𝑣𝑥 ሻ = 𝑚𝑟 𝜑ሶ 𝐿2 = 𝑚2 𝑟 𝜑ሶ 𝑟 + 𝑧 + 𝑚2 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ ...