Bài giảng Cơ lý thuyết 2

Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 Chƣơng NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE 1.1 NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM 1.1.1 LỰC QUÁN TÍNH CỦA CHẤT ĐIỂM Xét chất điểm khối lƣợng m, chuyển động với gia tốc a dƣới tác dụng lực F Ta có: F  ma suy ra: F  (ma)  (1.1) Đặt F qt   m a : gọi lực quán tính chất điểm F  F qt  Vậy: (1.2) 1.1.2 NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM Nội dung nguyên lý Xét chất điểm khối lƣợng m, chịu tác dụng lực F , phản lực liên kết R chuyển động với gia tốc a Khi ta có: F  R  ma suy ra: F  R  F qt  Vậy: ( F , R, F qt ) ~ (1.3) Tại thời điểm, lực tác dụng lên chất điểm lực qn tính lập thành hệ lực cân Ví dụ Một cầu nhỏ có khối lƣợng m, đƣợc treo vào toa xe chuyển động thẳng với gia tốc a Xác định góc lệch  dây treo cầu so với phƣơng thẳng đứng (Hình 4.1) Bài giải Fqt T  mg Xét chuyển động vật nặng Các lực tác dụng: + Trọng lƣợng m g + Sức căng T Đặt lực quán tính: F qt   m a ( F qt  ma ) Áp dụng nguyên lý Đalămbe: Hình 4.1 Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 (m g ,T , F qt ) ~ F qt ma a tg    mg mg g suy ra: 1.2 THU GỌN HỆ LỰC QUÁN TÍNH CỦA CÁC CHẤT ĐIỂM Tập hợp lực quán tính chất điểm thuộc hệ gọi hệ lực quán tính ( F1qt , F2qt , ,Fnqt ) Khi thu gọn hệ lực quán tính tâm thu gọn O, ta đƣợc vectơ lực quán tính R qt đặt O momen lực quán tính M 0qt với: R qt   Fkqt M Chú ý: qt   m0 ( Fk ) (1.4) R qt   Fkqt   mk a k   M aC M: Khối lƣợng toàn hệ aC : gia tốc khối tâm C Kết thu gọn hệ lực quán tính vật rắn số trƣờng hợp chuyển động thƣờng gặp: Vật rắn chuyển động tịnh tiến Thu gọn hệ lực quán tính khối tâm C: R qt   M aC M qt C (1.5) 0 Tấm phẳng quay quanh trục cố định vng góc với qua khối tâm C Thu gọn hệ lực quán tính khối tâm C: R qt  M Cqt   J Cz  (1.6) Tấm phẳng chuyển động song phẳng Thu gọn hệ lực quán tính khối tâm C: R qt  M aC M Cqt   J Cz  (1.7) Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 1.3 NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE ĐỐI VỚI CƠ HỆ 1.3.1 NỘI DUNG NGUYÊN LÝ Xét hệ có N chất điểm, chất điểm thứ k có khối lƣợng mk , chịu tác dụng ngoại lực Fke nội lực Fki , chuyển động với gia tốc ak lực qn tính chất điểm Fkqt  mk ak Áp dụng nguyên lý Đalămbe cho chất điểm thứ k: ( Fke , Fki , Fkqt ) ~ Với toàn hệ ta có: n  k 1 ( Fke , Fki , Fkqt ) ~ Nhƣ biết phần tĩnh học, hệ lực cân vectơ momen hệ lực tâm thu gọn khơng Do đó: R   Fke   Fki   Fkqt  M   m0 ( Fke )   m0 ( Fki )   m0 ( Fkqt )  Theo tính chất nội lực: F i k 0  m (F i k )0 Nên kết lại: F e k   Fkqt   m (F e k )   m0 ( Fkqt )  Mặt khác: F qt k  m (F qt k  R qt : vectơ lực quán tính )  M 0qt : momen lực quán tính Cuối ta có: F m e k  R qt  (F )  M e k qt 0 (1.8) Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 Tại thời điểm, ta đặt vào chất điểm vật rắn hệ lực quán tính thu gọn hệ gồm ngoại lực lực quán tính thu gọn tác dụng lên hệ lập thành hệ lực cân Ý nghĩa nguyên lý: + Nguyên lý Đalămbe cho phép chuyển toán động lực học giải phƣơng trình cân tĩnh học Phƣơng pháp nhƣ đƣợc gọi phƣơng pháp tĩnh động lực hình học + Nguyên lý cho phép xác định phản lực liên kết, đặc biệt phản lực động lực xuất hệ thực chuyển động 1.3.2 VÍ DỤ Ví dụ Vật nặng A, trọng lƣợng P đƣợc treo vào sợi dây quấn vào tời O, có trọng lƣợng Q, bán kính R trụ trịn đồng chất Tác dụng lên tời ngẫu lực M không đổi Xác định gia tốc tời, tìm sức căng dây phản lực O (Hình 4.2a) Bài giải y  Xét hệ: M 0qt + Ròng rọc O y0 + Vật nặng A M Các lực tác dụng: 0 x O X0 + Phản lực O ( X ,Y0 ) P + Các trọng lƣợng P , Q + Ngẫu lực M Đặt lực quán tính: + M 0qt  J Cz   + FAqt  aA Hình 4.2a P  g FAqt Q Q Q a A  R g g Áp dụng nguyên lý Đalămbe: ( P, Q, X , Y0 , M , FAqt , M 0qt ) ~ Hệ phƣơng trình cân : F  X  F  Y  P  Q  F   m (F )  QR  M  F R  M ky (1) kx k qt A qt A (2) qt 0 (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402  QRg   QR  P  X0   2 2 Y0  P   PQ( R   )  P  QR  Xét chuyển động vật nặng A (Hình 4.2b): T (Q, FAqt ,T ) ~ aA Áp dụng phƣơng trình hình chiếu theo phƣơng T : T  FAqt  Q  PQ T QF  P  QR Hình 4.2b qt A suy ra: Q FAqt Ví dụ Vật nặng A trọng lƣợng P1 chuyển động xuống theo mặt phẳng nghiêng góc  với phƣơng ngang làm cho vật B trọng lƣợng P2 chuyển động Xác định thành phần phản lực ngang gờ E tác dụng lên lăng trụ EOI Bỏ qua ma sát (Hình 4.3a) Bài giải O  Xét hệ: F qt A + Lăng trụ EOI P2 Các lực tác dụng: P1 , P2 , trọng lƣợng lăng trụ Q , phản F qt B lực E N E , phản lực N NE P2 P a B  a ( a A  a B  a ) g g Áp dụng nguyên lý Đalămbe: ( P1 , P2 , Q, N E , N , FAqt , FBqt ) ~ Phƣơng trình cân trục ngang: F kx  N E  FAqt cos   I N Hình 4.3a P P  aA  a g g + FBqt  P1 Q E Đặt lực quán tính: + F aA B + Các vật nặng A, B qt A A Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 N E  FAqt cos   suy ra: P1 a cos  g (1) T1  Xét chuyển động vật A (Hình 4.3b): F qt A A NA qt A ( P1 , N A , T1 , F ) ~ Phƣơng trình hình chiếu lên phƣơng T1 : P1  P1 sin   T1  F   qt A suy ra: T1  P1 sin   P1 a g Hình 4.3b (2)  Xét chuyển động vật B (Hình 4.3c): T2 qt B ( P2 , T2 , F ) ~ B Phƣơng trình hình chiếu lên phƣơng T2 :  P2  T2  F qt B suy ra: P2 0 F qt B P T2  P2  a g (3) Hình 4.3c Bỏ qua khối lƣợng ròng rọc O nên sức căng hai nhánh dây T1  T2 P1 sin   Từ (2) (3) ta có: a Vậy: P P1 a  P2  a g g P1 sin   P2 g P1  P2 Thay vào (1): NE  P1 P sin   P2 a cos  P1 cos g P1  P2 y 3.Ví dụ D yA  Bài giải Khảo sát AB quay quanh trục OD với vận tốc góc  trạng thái cân động XA A h Thanh đồng chất AB = l, trọng lƣợng P đƣợc gắn lề A vào trục quay thẳng đứng OD Trục quay OD AB quay với vận tốc góc  Bỏ qua ma sát, xác định góc lệch  AB trạng thái cân động Xác định phản lực A (Hình 4.4) Rqt C P  B o x Hình 4.4 Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 Các lực tác dụng: + Trọng lƣợng P + Phản lực A ( X A , YA ) Đặt lực quán tính: Vì hệ lực qn tính AB phân bố tuyến tính nên hợp lực R qt  M aC đặt điểm cách điểm A đoạn 2 AB Ta có : h  l cos 3 Pl  sin  22 R qt  MaCn  Áp dụng nguyên lý Đalămbe: ( P, X A , YA , R qt ) ~ Hệ phƣơng trình cân bằng: F F kx   X A  R qt  (1) ky YA  P  (2) m Từ (1) suy ra: A ( Fk )  R qt 2l l cos  P sin  X A  R qt  Pl  sin  g2 Từ (2) suy ra: YA  P Từ (3) suy ra: Pl l 2l  sin  cos  P sin   g2 hay: l sin  (  cos  g )  0 + Nếu sin   , suy ra:     + Nếu g l g (điều kiện 1)  cos  g  , suy ra: cos  2 l l (3) Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 BÀI TẬP CHƢƠNG Bài 1: Vật nặng A trọng lƣợng P1 , hạ xuống theo mặt nghiêng chêm D , truyền chuyển động cho vật nặng B trọng lƣợng P2 nhờ sợi dây khơng trọng lƣợng, khơng dãn, vịng qua ròng rọc cố định O Bỏ qua ma sát Xác định áp lực chêm D lên mố E O A B 900 D E  Bài 2: Momen quay không đổi M tác dụng vào tang quay tời có bán kính R , trọng lƣợng P Vật nặng A , trọng lƣợng Q buộc vào đầu sợi dây quấn vào tang quay , đƣợc kéo lên theo mặt phẳng nghiêng với phƣơng ngang góc  Cho biết hệ số ma sát trƣợt vật A mặt phẳng nghiêng f Áp dụng nguyên lý Đalămbe, xác định gia tốc góc tời phản lực O , xem tời đĩa tròn đồng chất M A O  Bài 3: Vật nặng A , trọng lƣợng P , trƣợt xuống mặt phẳng nghiêng góc  so với phƣơng ngang, làm cho tời O quay Tời O có trọng lƣợng Q , bán kính R , chịu momen cản M Bỏ qua ma sát vật A mặt nghiêng Áp dụng nguyên lý Đalămbe, xác định gia tốc góc tời phản lực O , xem tời đĩa tròn đồng chất M O A  Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 Bài 4: Cho ba vật nặng khối lƣợng m1, m2, m3 nối với dây mềm không giãn không trọng lƣợng vắt qua ròng rọc cố định O Hai vật M1 M2 nằm mặt ngang nhẵn, vật M3 treo thẳng đứng Ròng rọc xem đĩa tròn đồng chất khối lƣợng m Áp dụng nguyên lý đalămbe tìm gia tốc tải trọng sức căng dây nối vật M2 với M3 Bỏ qua ma sát ổ trục ròng rọc M2 M1 O M3 Bài 5: Vật có trọng lƣợng P1 rơi xuống với gia tốc a1 làm cho đĩa quay đĩa lăn khơng trƣợt theo mặt phẳng nghiêng, góc nghiêng α Đĩa có trọng lƣợng P2, bán kính r Đĩa đồng chất có trọng lƣợng P3, bán kính R Dây song song với mặt phẳng nghiêng Tìm lực căng nhánh dây, lực liên kết trục O lực ma sát mặt phẳng nghiêng Bỏ qua ma sát lăn ma sát ổ trục O α a1 Bài 6: Cho vật có trọng lƣợng P1 rơi xuống làm cho rịng rọc trọng lƣợng Q, bán kính quán tính trục quay  quay quanh trục kéo vật nặng có trọng lƣợng P2 lên Kích thƣớc rịng rọc cho hình vẽ Áp dụng ngun lý Đalămbe xác định gia tốc góc rịng rọc phản lực trục O R O r Bài 7: Sợi dây nhẹ không dãn vắt qua rịng rọc tâm O, bán kính r, trọng lƣợng P1, đầu buộc vật A trọng lƣợng P, đầu buộc vào tâm I bánh xe B bán kính R trọng lƣợng Q Vật A rơi xuống làm bánh xe B lăn không trƣợt Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 đƣờng ngang Xác định gia tốc vật A bỏ qua ma sát lăn ma sát ổ trục ròng rọc, bánh xe ròng rọc xem nhƣ đĩa tròn đồng chất B I O A A 10 Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 Từ ph- ơng trình (4.18) => S y S cos Từ ph- ơng trình (4.19) (4.20) : => S x  S sin  ( Mah 1) J0z Từ ph- ơng trình (4.21) ta cã :   0  h S sin  J0z (4.22) Nh- vËy, d- íi t¸c dơng cđa xung lực va chạm S trục quay Oz xuất hai thành phần xung lực phản lực động S lµ S0 x vµ S y Hai thành phần xung lực có tác dụng phá hoại lớn ổ trục Điều kiện không xuất phản lực va đập trục quay ( S x  S y  0) S0 y  S cos     S x  S sin  (  (4.23) J Mah Mah  1)     h  z Ma J0z J0z (4.24) VËy, điều kiện để không xuất xung phản lực va đập trục quay vật rắn chịu tác dụng xung lực va chạm S : xung lực va chạm S phải vuông góc với đ- ờng OC điểm K cách O đoạn h OK J0z Ma Định nghĩa tâm va chạm : Điểm K đ- ờng OC mà OK J0z đ- ợc gọi Ma tâm va chạm vật rắn quay 4.4.2.Ví dụ Xác định tâm va chạm AB = b, quay mặt phẳng thẳng đứng quanh điểm O cố định Bài giải a a o O O a c c 2b/3 h c 2b/3 b/3 x a k y b/3 k b 45 b h×nh a K h×nh b b h×nh c Bài giảng Cơ lý thuyt 2-18402 Giả sử điểm O cách đầu A đoạn OA = x Gọi K tâm va chạm, cách đầu B đoạn KB = y Đặt OK = h vµ OC = a Theo biĨu thøc : OK  h  J0z Ma (a) Ta biÕt : J z  J Cz  Ma J Cz  Ma J Cz  a => h  Ma Ma b b Mb Thay : h  a   y ; a   x ; J Cz  2 12 Thay vµo biểu thức (a) biến đổi ta có :  1 12   y   x   b   2 (b) Tõ (b) ta thấy cho biết x xác định đ- ợc y ng- ợc lại Hai thông số hoán vị đ- ợc cho Điều có nghĩa tâm va chạm trục quay thay đổi vị trí cho b + Nếu giả sử cho y x , tức tâm va chạm K nằm đầu B trục quay O cách đầu đoạn b Với b chiều dài ( hình b ) Điều đ- ợc xác nhận tr- ờng hợp : cầm búa, cầm rìu, cầm cuốc để chỗ tay cầm không bị đau ( không xuất xung phản lực ) điểm cầm tay ( trục quay O ) phải cách đầu đoạn chiều dài cán búa b + NÕu cho x  th× y  , nghÜa trục quay O nằm đầu tâm va chạm K nằm cách trục quay O đoạn OK b Tr- ờng hợp thấy rõ máy nghiền bủa để nghiền vật liƯu Mn trơc quay cđa bóa kh«ng xt hiƯn xung phản lực, cần phải cho vật liệu nghiền va chạm với búa điểm cách trục quay chiều dài cán búa ( hình c ) 46 Bi giảng Cơ lý thuyết 2-18402 Chƣơng DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH HỆ MỘT BẬC TỰ DO Dao động q trình thay đổi theo thời gian mà có đặc điểm lặp lại lần Dao động tƣợng phổ biến thiên nhiên nhƣ kỹ thuật sản xuất Nghiên cứu lý thuyết dao động cho phép vận dụng giải toán dao động thực tế, lý thuyết dao động trở thành yêu cầu cán kỹ thuật, đặc biệt ngành khí, chế tạo máy, xây lắp máy, giao thông vận tải, xây dựng, cầu đƣờng, thuỷ lợi, kiến trúc, Trong phạm vi giảng, thông qua nghiên cứu dao động tuyến tính hệ bậc tự do, tiếp cận khái niệm ban đầu môn học quan trọng 5.1 Dao động tự khơng cản 5.1.1 Các thí dụ thiết lập phương trình vi phân dao động Thí dụ 1: Dao động vật nặng treo vào lò xo Xét vật nặng có khối lƣợng m treo vào lị xo có hệ số cứng c Bỏ qua khối lƣợng lị xo Động hệ có dạng 1 T  mx   cx 2 Thế vào phƣơng trình Lagrange II c x d  T  T     dt  x  x x Ta nhận đƣợc phƣơng trình dao động hệ mx  cx  Thí dụ 2: Dao động lắc tốn học Động hệ có dạng T 1 m( x  y )  ml 2 2 Vị trí CB ĩ m o  l Q   mgy  mgl cos Thê vào phƣơng trình Lagrange loại hai ta có phƣơng trình sau   g sin   l Trƣờng hợp lắc dao động nhỏ, ta có sin    Khi phƣơng trình dao động nhỏ lắc tốn học có dạng 47 P Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402   g  0 l 5.1.2 Tính tốn dao động tự khơng cản Nếu sử dụng ký hiệu 02  c m (1.1) Thì phƣơng trình dao động tự khơng cản có dạng q   02 q  (1.2) Nghiệm phƣơng trình (2.1) có dạng q  C1 cos  t  C sin  t (1.3) Trong C1, C2 số tùy ý Các số đƣợc xác định từ điều kiện đầu t  0; q(0)  q ; q (0)  q Để xác định số C1, C2 ta đạo hàm (1.3) theo thời gian q  C1 sin  t  C 2 cos  t (1.4) Thế điểu kiện đầu vào (1.3) (1.4) ta đƣợc C1 = q0, C2  q (1.5) 0 Chú ý nghiệm (1.3) viết dƣới dạng q  A sin( t   ) (1.6) Trong A  số tùy ý Do hệ thức sin( t   )  sin  t cos   sin  cos  t Nên từ (1.3) (1.5) (1.6) dễ dàng tính đƣợc  q A  C12  C 22  q 02    0  ,   tg  q C1  0 C2 q (1.7) Biểu thức (1.6) ta thấy dao động tự không cản hệ bậc tự đƣợc mơ tả hàm điều hịa Vì dao động tự khơng cản cịn đƣợc gọi dao động điều hòa * Nhận xét, dao động tự không cản hệ bậc tự dao động điều hịa có tính chất sau: - Tần số riêng chu kỳ dao động không phụ thuộc vào điều kiện đầu mà phụ thuộc vào tham số hệ - Biên độ dao động số Biên độ dao động pha ban đầu dao động tự không cản phụ thuộc vào điều kiện đầu tham số hệ 48 Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 Việc xác định tần số dao động riêng (1.1) nhiệm vụ quan trọng toán dao động tự 5.2 Dao động tự có cản Quan sát hệ dao động, ta thấy dao động tự nói chung tắt dần theo thời gian ảnh hƣởng lực cản Hai loại lực cản phổ biến lực ma sát nhớt tỷ lệ bậc với vận tốc lực ma sát khơ  Tính tốn dao động tự có ma sát nhớt Xét dao động hệ nhƣ hình vẽ Do có thêm lực cản nhớt tỷ lệ bậc với vận tốc, nên phƣơng trình vi phân dao động hệ mq  bq  cq  (2.1) Nếu ta đƣa vào ký hiệu c   ; m q b 2  m (2.2) Phƣơng trình (2.1) có dạng b c q  2q   02 q  m (2.3) Phƣơng trình đặc trƣng (2.3) 2  2   02  (2.4) Tùy theo quan hệ   , xảy trƣờng hợp sau    (lực cản nhở): 1,    i 02      (lực cản lớn): 1,      02 a) Trường hợp thứ    (lực cản nhỏ) Nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân dao động (2.3) có dạng Trong q  e t (C1 cos t  C sin t ) (2.5)   02   (2.6) Các số C1 C2 đƣợc xác định từ điều kiện đầu t=0: q (0)  q q(0)=q0 Từ điều kiện đầu dễ dàng xác định đƣợc C1 = q0; C2  q  q0  (2.7) Để biến đổi biểu thức (2.5) ta đƣa vào số A  xác định theo biểu thức sau C1 = Asin 49 C2 = Acos Bài giảng Cơ lý thuyết 2-18402 Từ suy A  C12  C 22 tg  C1 C2 Biểu thức nghiệm (2.5) viết dƣới dạng q  Ae t sin(t   ) (2.8) Từ biểu thức nghiệm (2.8) ta thấy: Khi lực cản đủ nhỏ, hệ thực dao động tắt dần Độ lệch Ae t giảm theo luật số mũ, tiệm cận tới khơng Dao động đƣợc mơ tả phƣơng trình (2.8) dao động họ hình sin Để đặc trƣng cho độ tắt dần dao động tự có cản nhớt, ta đƣa vào khái niệm độ tắt lôga Độ tắt lôga  đƣợc xác định hệ thức   ln q(t )  T q(t  T ) Độ tắt lôga đặc trƣng cho độ giảm “biên độ” dao động tắt dần Trong thực tế ta thƣờng xác định tỷ số hai biên độ dao động sau k chu kỳ q (t ) e t   ( t  kT )  e kT q (t  kT ) e Từ ta suy   T  q(t ) ln k q(t  kT ) (*) b) Trường hợp thứ hai    (lực cản lớn) Nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân (2.3) có dạng q  Aet sh(   02 t   ) (2.9) c Trường hợp thứ ba    (lực cản tới hạn) Nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân (2.3) có dạng q  e t (C1t  C ) (2.10) Chuyển động hệ tắt dần, không dao động Trong số tài liệu ngƣời ta sử dụng khái niệm độ cản Lehr(Ký hiệu D) đƣợc xác định hệ thức  b b   D  2m mc Phƣơng trình vi phân dao động tự có cản nhớt (2.3) viết dƣới dạng q  D q   02 q  Do hệ thức 02    0  D chuyển động hệ đƣợc phân thành ba trƣờng hợp sau: D1(    ): độ cản lớn Căn vào độ cản Lehr ta có kết luận: Khi D T  T1  T2  m1 (v 12  v' 12 )  m2 (v 22  v '22 )  m1  m2 2 C«ng thức... J Cz  m2 l Bài giảng Cơ lý thuyết 2- 184 02 T  (m1  m2 ) x  m2 l cos x d  T   cos   m2 l sin    (m1  m2 ) x  m2 l  dt  x  T 0 x T  m2 lx cos   m2 l  ... C1 = Asin 49 C2 = Acos Bài giảng Cơ lý thuyết 2- 184 02 Từ suy A  C 12  C 22 tg  C1 C2 Biểu thức nghiệm (2. 5) viết dƣới dạng q  Ae t sin(t   ) (2. 8) Từ biểu thức nghiệm (2. 8) ta thấy: