(NB) Phần 2 Bài giảng Cơ lý thuyết gồm 5 chương: nói về động học của chất điểm, chuyển động cơ bản của vật rắn, cơ sở động lực học chất điểm, cơ sở động lực học hệ chất điểm, các định lý tổng quát của động lực học.
PHẦN II ĐỘNG HỌC Động học nghiên cứu tính chất hình học chuyển động vật thể mà khơng quan tâm đến nguyên nhân gây chuyển động (lực tác dụng khối lượng) Đối tượng khảo sát động học động điểm (chất điểm chuyển động) vật rắn Nội dung khảo sát chuyển động vật thể gồm vấn đề chính: - Lập phương trình chuyển động - Xác định đặc trưng chuyển động (vận tốc, gia tốc) - Tìm quan hệ vận tốc, gia tốc điểm thuộc vật, với chuyển động vật Kết nghiên cứu phần động học ứng dụng để phát triển phần Động lực học học phần Nguyên lý máy, Thiết kế máy, Cơ học kết cấu, Chương ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM A MỤC TIÊU - Hiểu phương pháp thiết lập phương trình chuyển động đại lượng đặc trưng động học - Nhớ công thức xác định đại lượng đặc trưng chuyển động mối quan hệ chúng để giải toán kỹ thuật B NỘI DUNG 6.1 Khái niệm động học chất điểm 6.1.1 Nhiệm vụ động học chất điểm Động học chất điểm nghiên cứu hai vấn đề chính: - Thiết lập phương trình chuyển động chất điểm - Tìm đặc trưng động học chất điểm (vận tốc gia tốc) 6.1.2 Các khái niệm Chuyển động chất điểm thay đổi vị trí khơng gian theo thời gian so với vật chọn trước gọi hệ qui chiếu Hệ qui chiếu vật mốc để so sánh vị trí chất điểm khảo sát thường chọn hệ trục toạ độ 57 Tập hợp vị trí chất điểm không gian qui chiếu chọn gọi quĩ đạo chất điểm hệ qui chiếu Khi đối tượng nghiên cứu có kích thước q nhỏ so với quỹ đạo nó, khơng cần ý tới, coi chất điểm chuyển động (động điểm) Ta có chuyển động thẳng hay chuyển động cong tùy thuộc quĩ đạo chất điểm đường thẳng hay đường cong 6.1.3 Các phương pháp khảo sát động học chất điểm Có nhiều phương pháp để khảo sát chuyển động chất điểm, có ba phương pháp thường sử dụng là: phương pháp vector, phương pháp tọa độ Descartes phương pháp tọa độ tự nhiên 6.2 Khảo sát động học chất điểm phương pháp vector 6.2.1 Phương trình chuyển động chất điểm z M r x y Hình 6.1 Vector định vị chất điểm M Khảo sát chất điểm M hệ quy chiếu cố định Oxyz Tại thời điểm, vị trí uuuur r điểm M xác định vector định vị O M = r Khi M chuyển động vector r r biến thiên hướng, độ dài hàm thời gian t: r r r = r (t ) (6.1) Biểu thức (6.1) phương trình chuyển động chất điểm dạng vector đồng thời phương trình quỹ đạo điểm M hệ Oxyz 6.2.2 Vận tốc chuyển động chất điểm r uur ∆ r uur , v tb mơ Gọi vận tốc trung bình điểm khoảng thời gian Δt là: v tb = ∆t tả gần hướng độ nhanh chậm chuyển động 58 z M v r r M1 v tb r1 x y Hình 6.2 Xác định vận tốc chuyển động chất điểm r uur Khi Δt → 0, v tb tiến đến vận tốc tức thời v điểm M thời điểm t: () r r r uur ∆ r d r r& v = lim v tb = lim = =r ∆t → ∆t → ∆ t dt (6.2) Vậy: Vận tốc điểm thời điểm t đạo hàm bậc theo thời gian r vector định vị r Đơn vị đo vận tốc: m/s hay km/h Phương vận tốc điểm phương với tiếp tuyến quỹ đạo chuyển động 6.2.3 Gia tốc chuyển động chất điểm z M v x w v v1 M1 v1 y Hình 6.3 Xác định gia tốc chuyển động chất điểm Gia tốc điểm đại lượng vector đặc trưng cho biến đổi vận tốc theo thời gian r Tại thời điểm t, động điểm M có vận tốc v Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt, ur r r động điểm M có vận tốc là: v1 = v + ∆ v 59 r ur r Sau khoảng thời gian: Δt = t1 – t vận tốc biến đổi: ∆ v = v1 − v (H 6.3) Gia tốc r uur ∆v trung bình động điểm khoảng thời gian Δt là: w tb = ∆t uuur ur Khi Δt → 0, w tb tiến đến gia tốc tức thời w điểm M thời điểm t: ( ) r r uur uuur ∆ v d v r& &&r w = lim w tb = lim = =v =r ∆t → ∆t → ∆ t dt (6.3) Vậy: Gia tốc điểm thời điểm t đạo hàm bậc theo thời gian r r vận tốc v hay đạo hàm bậc hai theo thời gian vector định vị r 2 Đơn vị đo gia tốc: m/s hay km/h * Chú ý: r uur 1) Về mặt hình học: vector ∆ v , w hướng phần lõm quỹ đạo đường cong r uur 2) Tính chất chuyển động: Căn vào tích v.w xác định tính chất chuyển uur r r r động: động điểm chuyển động nhanh dần v tăng, v = v.v tăng, từ uur uur r d v2 = 2.w v > suy dt Kết quả: uur r w v > ⇒ động điểm chuyển động nhanh dần uur r w v < ⇒ động điểm chuyển động chậm dần uur r w v = ⇒ động điểm chuyển động 6.3 Khảo sát động học chất điểm phương pháp tọa độ Descartes 6.3.1 Phương trình chuyển động chất điểm Vị trí động điểm M hệ tọa độ Descartes Oxyz xác định tọa độ x, y z Khi điểm M chuyển động tham số x, y, z biến đổi liên tục theo thời gian t Cho nên: x = x (t ) y = y (t ) z = z (t ) (6.4) Phương trình (6.4) phương trình động điểm hệ tọa độ Descartes 60 z r k x i M j y Hình 6.4 Vị trí động điểm M hệ tọa độ Descartes Khi khử biến số thời gian t phương trình chuyển động, ta có phương trình quỹ đạo 6.3.2 Vận tốc chuyển động chất điểm r r r Gọi i, j, k vector đơn vị ba trục x, y, z hình chiếu vector vận tốc lên ba trục tọa độ vx, vy, vz Ta có liên hệ: r r r r r = xi + y j + z k r r r r r d r d ( x i + y j + z k ) dx r dy r dz r = = i+ j+ k Mặt khác: v = dt dt dt dt dt (6.5) (6.6) Chiếu biểu thức (6.6) lên ba trục tọa độ ta có: vX = dx dy dz = x& ; v y = = y& ; vz = = z& dt dt dt (6.7) Vậy: Hình chiếu vector vận tốc lên trục tọa độ đạo hàm bậc theo thời gian tọa độ tương ứng r Ta dễ dàng xác định độ lớn hướng vector vận tốc v theo hình chiếu vx, vy, vz: v = vX2 + v y2 + vz2 = x& + y& + z& (6.8) vx cos α = v vy cos β = v vz cos γ = v (6.9) r Gọi α, β, γ góc hợp v với trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta có: 61 6.3.3 Gia tốc chuyển động chất điểm Hoàn toàn tương tự xác định vận tốc Gọi hình chiếu vector gia tốc lên r r ur d v d r = trục tọa độ wx, wy, wz dựa vào kết phần trước: w = ta có dt dt được: dv x d 2x = = = && x w x dt dt dv y d2y = = = && y w y dt dt dv z d 2z z w z = dt = dt = && (6.10) Vậy: Hình chiếu véctơ gia tốc lên trục tọa độ đạo hàm bậc theo thời gian hình chiếu vận tốc lên trục hay đạo hàm bậc hai theo thời gian phương trình động theo trục tương ứng Trị số vector gia tốc xác định theo công thức: w = w X2 + w 2y + w 2z = && x + && y + && z2 (6.11) uur Gọi α1, β1, γ1 góc hợp w với trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta có: wx cos α1 = w wy (6.12) cos β1 = w wz cos γ = w r uur && & && & && ta xác định tính chất chuyển * Chú ý: Căn vào tích: v.w = x& x+y.y+z.z động, kết cụ thể: uur r w v > ⇒ động điểm chuyển động nhanh dần uur r w v < ⇒ động điểm chuyển động chậm dần uur r w v = ⇒ động điểm chuyển động 6.4 Khảo sát động học chất điểm phương pháp tọa độ tự nhiên Phương pháp tọa độ tự nhiên dùng để nghiên cứu chuyển động điểm biết đường cong quỹ đạo Hệ trục có ba trục: 62 r + Trục tiếp tuyến (trục τ): hướng theo chiều dương với véctơ đơn vị τ + Trục pháp tuyến (trục n): nằm mặt phẳng đường cong hướng r phía lõm đường cong với véctơ đơn vị n r + Trục trùng pháp tuyến (trục b): có véctơ đơn vị b, tạo với trục τ trục n r r r thành tam diện thuận (b = τ ^ n ) 6.4.1 Phương trình chuyển động chất điểm n r b b n M Hình 6.5 Vị trí động điểm M hệ tọa độ tự nhên Hệ trục tọa độ tự nhiên: đường cong phẳng chọn gốc O chiều dương đường cong hình 6.5 ¼ M = s (s gọi tọa độ cong hay Vị trí điểm M xác định cung O hoành độ cong điểm M hình 6.6) Khi điểm M chuyển động tọa độ cong s biến thiên theo thời gian: s = s(t) (6.13) Phương trình (4.13) phương trình chuyển động chất điểm M hệ tọa độ tự nhiên * Chú ý: tọa độ cong s dương âm tùy vào chiều chuyển động 6.4.2 Vận tốc chất điểm Để xác định vận tốc điểm ta dựa vào biến thiên tọa độ cong s Giả sử thời điểm t, động điểm M xác định tọa độ cong OM = s Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt, động điểm M1 có tọa độ cong OM1 = s1 = s + Δs Vận tốc trung bình khoảng thời gian Δt: v tb = ∆s ∆t r Khi Δt → 0, vtb tiến đến vận tốc tức thời v điểm M thời điểm t: ( ) 63 v = lim v tb = lim ∆t → ∆t → ∆ s ds = = s& ∆t dt (6.14) Vậy: Giá trị vận tốc thời điểm t đạo hàm bậc theo thời gian tọa độ cong s quỹ đạo M M1 O Hình 6.6 Biến thiên tọa độ cong s theo thời gian r Phương chiều vector vận tốc v hướng theo tiếp tuyến đường cong quỹ đạo M, chiều vector phụ thuộc vào dấu giá trị v = s& : r + Nếu v = s& > : v hướng theo chiều dương quỹ đạo r + Nếu v = s& < : v hướng theo chiều âm quỹ đạo r ur Nên: v = s&.τ 6.4.3 Gia tốc chất điểm r r r uur d v d ( s&.τ ) ds& r dτ w = = = τ + s& Ta có: dt dt dt dt (6.15) (6.16) r r dτ n = Mà hệ tọa độ tự nhiên, Xerơ – Frênê chứng minh được: ds ρ Trong đó: ρ bán kính cong đường cong điểm M r r r dτ ds d τ n = = s& Nên: dt dt ds ρ r r uur ds& r r r s& r r v2 r r r dτ n τ + s& = && sτ + s&.( s& ) = && sτ + n = && sτ + n = wττ + w n n Do đó: w = dt dt ρ ρ ρ Với: w τ = && s= dv v2 = v& ; w n = dt ρ (6.17) Vậy: Gia tốc điểm hệ tọa độ tự nhiên bao gồm hai thành phần tiếp tuyến pháp tuyến chính: 64 s= + w τ = && dv = v& : gọi gia tốc tiếp, nằm tiếp tuyến quỹ đạo, đặc dt trưng cho biến đổi vận tốc theo thời gian + wn = v2 : gọi gia tốc pháp, ln nằm pháp tuyến quỹ đạo, ρ đặc trưng cho thay đổi phương vận tốc uur uuur uuur uuur uuur Vì: w = w τ + w n w τ ⊥ w n nên: w = w τ2 + w 2n (6.18) 6.4.4 Các dạng chuyển động đặc biệt chất điểm a) Chuyển động Chuyển động chuyển động có vận tốc số (v = const, wτ = ) Phương trình chuyển động đều: s = so + vt (6.19) Trong đó: s0 tọa độ ban đầu (t = 0) b) Chuyển động biến đổi Chuyển động biến đổi chuyển động có gia tốc tiếp khơng đổi ( wτ = const) Vận tốc đoạn đường xác định công thức: v = v + w τ t; s = s + v t + w τ t (6.20) Trong đó: + s0 tọa độ ban đầu (t = 0) + v0 vận tốc ban đầu (t = 0) + wτ > chuyển động nhanh dần + wτ < chuyển động chậm dần 6.5 Bài toán động học chất điểm 6.5.1 Các loại tốn Ta có hai loại toán động học chất điểm: - Bài tốn 1: Biết phương trình chuyển động Tìm đặc trưng chuyển động như: quĩ đạo, vận tốc, gia tốc, tính chất chuyển động chất điểm? 65 - Bài toán 2: Biết số điều kiện chuyển động Tìm phương trình chuyển động đặc trưng chuyển động? 6.5.2 Phương pháp giải toán Khi giải toán cần ý số nội dung sau: 1) Chọn phương pháp để giải: - Phương pháp vector dùng để nghiên cứu lý thuyết toán chuyển động - Để giải cụ thể toán chuyển động ta sử dụng hai phương pháp: toạ độ Descartes toạ độ tự nhiên Phương pháp toạ độ tự nhiên dùng ta biết quỹ đạo chất điểm 2) Tìm phương trình chuyển động: Căn vào điều kiện chuyển động chất điểm để thiết lập phương trình 3) Tìm quĩ đạo: Các phương trình chuyển động cho phương trình tham số Để xác định phương trình quĩ đạo ta cần khử t thiết lập quan hệ toạ độ * Chú ý: Đối với phương trình dạng lượng giác để khử t ta thường dùng công thức lượng giác như: sin α + cos α = 4) Tìm vận tốc gia tốc: Tùy theo phương pháp phù hợp ta dùng công thức tương ứng để tính 5) Tìm tính chất chuyển động: Để xác định tính chất chuyển động cụ thể ta vào dấu hiệu tích vơ r uur hướng: v.w - Trong toạ độ Descartes: v.w = x&.&x& + y& &y& + z&.&z& - Trong toạ độ tự nhiên: v.w = v.wτ Ta có tính chất chuyển động dạng chuyển động bảng Tính chất chuyển động dạng chuyển động 6) Tìm bán kính cong quĩ đạo: Theo công thức: w n = v2 v2 ρ= wn ρ 66 * Chú ý: Ta tính động lượng hệ qua vận tốc khối tâm Đạo hàm biểu thức (10.3) theo thời gian, ta được: M.v C = ∑ m k v k = Q ur r Q = M.v C (10.8) Vậy: Động lượng hệ tích khối lượng hệ với vận tốc khối tâm Nếu hệ chuyển động khối tâm hệ đứng yên ( vC = 0) Q = Hình chiếu Q lên trục toạ độ, ta có: Qx = M x&C = ∑ mk x&k Qy = M y&C = ∑ mk y& k Qz = M z&C = ∑ mk z&k Nếu hệ chuyển động phức hợp động lượng Q đặc trưng cho phần chuyển động tịnh tiến hệ với khối tâm không đặc trưng cho chuyển động quay quanh khối tâm 10.1.3 Xung lượng lực a) Xung lượng nguyên tố lực ( d S ) Xung lượng nguyên tố lực đại lượng vector tích số lực thời gian vô bé dt d S = F dt (10.9) b) Xung lượng hữu hạn lực ( S ) Xung lượng hữu hạn lực khoảng thời gian từ t → t1 xác định theo biểu thức: t1 t1 t0 t0 S = ∫ d S = ∫ F dt Đơn vị xung lượng hệ SI N.s (Niutơn.giây) * Chú ý: Nếu chiếu biểu thức (10.10) lên hệ trục toạ độ Descartes, ta có: 112 (10.10) t1 Sx = ∫ Fx dt to t1 Sy = ∫ Fy dt to t1 S = F dt z t∫ z o (10.11) Nếu F = const → S = F (t1 − t ) = F t 10.1.4 Các định lý 10.1.4.1 Định lý Đạo hàm vector động lượng hệ theo thời gian tổng hình học tất ngoại lực tác dụng lên hệ dQ = ∑ Fke dt CM: Theo định luật Newton 4: mk wk = Fke + Fki r ur e ur i d vk Đối với hệ: ∑ mk = ∑ Fk + ∑Fk dt ⇔ ⇔ (10.12) ⇔ mk d vk = Fke + Fki dt r ur e d (∑ mk v k ) = ∑ F k (Vì: Fki = ) dt ur ur e dQ = ∑ Fk dt 10.1.4.2 Định lý Biến thiên động lượng hệ khoảng thời gian tổng xung lượng tất ngoại lực tác dụng lên hệ khoảng thời gian Q1 − Q0 = ∑ Ske ur ur e CM: Từ biểu thức (9.12), ta có: dQ = ∑ F k dt Tích phân vế: t0 → t1 ; Q0 → Q1 Q1 ∫ ur uur uur dQ = Q1 − Qo = Q0 t1 ur ur e ur e e F dt = ∫ ∑ k ∑ ∫ F k dt = ∑ S k t1 t0 t0 * Chú ý: Nội lực không ảnh hưởng đến biến đổi động lượng hệ 113 (10.13) Chiếu biểu thức (10.12) lên hệ trục toạ độ vng góc, ta có: dQ x e dt = ∑ Fxk dQ y = ∑ Fyke dt dQ z e dt = ∑ Fzk (10.14) Chiếu biểu thức (10.13) lên hệ trục toạ độ vng góc, ta có: Q1x − Q 0x = ∑ Sexk e Q1y − Q 0y = ∑ Syk e Q1z − Q0z = ∑ Szk (10.15) 10.1.5 Định luật bảo toàn động lượng - Nếu tổng ngoại lực tác dụng 0, động lượng hệ bảo toàn uur ∑F e k =0 ⇒ ur Q = const - Nếu tổng hình chiếu ngoại lực trục 0, hình chiếu động lượng hệ trục bảo toàn Đối với trục Ox: ∑X CM: Theo (10.12), ta có: e k =0 ⇒ Qx = const uur ur ∑ Fke = ⇒ Q = const : động lượng hệ bảo toàn Tương tự, theo (10.14), ta có: ∑X e k = ⇒ Q x = const : động lượng hệ theo phương x bảo tồn 10.1.6 Bài tốn áp dụng a) Phạm vi áp dụng Trong công thức định lý biến thiên động lượng có ba đại lượng: v, w t, dó thường áp dụng toán va chạm chuyển động chất lỏng b) Trình tự giải: Xác định hệ khảo sát Đặt ngoại lực tác dụng lên hệ: gồm lực hoạt động phản lực lên kết Chọn hệ trục toạ độ áp dụng định lý để viết phương trình 114 Giải phương trình, dựa vào biểu thức định nghĩa động lượng xung lượng để tìm đại lượng yêu cầu Ví dụ 10.1: Nịng súng đại bác đặt nằm ngang có trọng lượng Q = 115kN Viên đạn có trọng lượng P = 550N Khi bắn viên đạn khỏi nòng súng với vận tốc v0 = 900m/s Xác định vận tốc giật lùi nòng súng thời điểm viên đạn bay (H 10.2) Giải: N v vo P Q Hình 10.2 Minh họa cho ví dụ 10.1 Xét hệ gồm: súng viên đạn Hệ ngoại lực tác dụng lên hệ: trọng lượng P, Q phản lực liên kết bệ lên nòng súng N có phương thẳng đứng Chọn trục x hình vẽ Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương x, ta có: ∑X e k =0 ⇔ Q1x = Q0x Trong đó: + Q1x động lượng hệ theo phương x thời điểm viên đạn bay + Qx0 động lượng hệ theo phương x trước bắn Ban đầu hệ đứng yên nên Qx0 = Gọi v vận tốc giật lùi viên đạn, ta có: Q1x = ⇒ Q P v + v0 = g g P 550 v = − v0 = − 900 = − 4,3 (m / s ) Q 115000 Trả lời: v0 = - 4,3(m/s) (giá trị âm nịng súng bị giật lùi) 115 * Nhận xét: Ví dụ 10.1 cho ta giải thích chuyển động phản lực tàu thủy, máy bay, tên lửa, … luồng nước luồng khí phía sau tàu thủy, máy bay, tên lửa, … tiến lên phía trước Ví dụ 10.2: Một dịng nước chảy từ ống có tiết diện F dội vào tường với vận tốc v vng góc với tường thẳng đứng Xác định lực tác dụng nước lên tường Giải: 2' 1' 2' v 1' 3 3' 3' Hình 10.3 Minh họa cho ví dụ 10.2 Khảo sát khối nước giới hạn mặt cắt 1, 2, Sau thời gian dt di chuyển đến vị trí 1’, 2’, 3’ Áp dụng định lý bảo toàn động lượng khối nước theo phương x khoảng thời gian dt: Qx − Qox = ∑ Skxe Với: ∆Q = Qx − Qox = − m.v ∑S Mà: e kx = − R.dt m = γ V = γ F s = γ F v.dt Do đó: − γ F v dt = − R.dt R = γ F v 10.2 Định lý biến thiên động 10.2.1 Công lực 10.2.1.1 Các định nghĩa a) Công nguyên tố (dA) 116 z M v α F r (C) O y x Hình 10.4 Xác định cơng ngun tố * Định nghĩa: Công nguyên tố lực F đoạn dịch chuyển vô bé ds đại lượng vô hướng xác định biểu thức (H 10.4): dA = F ds cosα (10.16) Trong α góc lực đoạn dịch chuyển Mặt khác: ds = v.dt, nên: dA = F v cosα dt = F v.dt = F dr dA = F dr Vậy: (10.17) * Nhận xét: Từ biểu thức ta nhận thấy cơng lực dương, âm không: π dA > : công động π