Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Cơ ứng dụng: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Cơ sở lý thuyết động lực học chất điểm. Các định lý tổng quát của động lực học. Nguyên lý d''alembert. Nguyên lý di chuyển khả dĩ. Các khái niệm cơ bản. Các trường hợp thanh chịu lực đơn giản thường gặp. Mời các bạn cùng tham khảo!
PHẦN III ĐỘNG LỰC HỌC Động lực học phần thứ ba môn học ứng dụng, nghiên cứu mối quan hệ có tính chất quy luật giữa hai đại lượng: đại lượng lực đại lượng chuyển động chất điểm Tĩnh học giải hai vấn đề động lực học là: + Phương trình vi phân chuyển động chất điểm, hai toán động lực học + Hiểu áp dụng định luật, định lý dộng lực học vật rắn + Hiểu áp dụng nguyên lý D’Alembert + Hiểu áp dụng nguyên lý di chuyển Về phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý thuyết để giải toán động lực hoc Về ứng dụng: giải thích tượng thực tế, đồng thời làm sở để học môn học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM A MỤC TIÊU - Nắm vận dụng định luật Newton toán động lực học - Vận dụng phương trình vi phân chuyển động để giải hai toán động lực học B NỘI DUNG 6.1 CÁC TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 6.1.1 Tiên đề (định luật I NEWTON: định luật quán tính) Định luật: chất điểm giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng lực tác dụng lên vật F = => v = c ons t => w = (6.1) Trạng thái chuyển động thẳng hay đứng yên vật rắn gọi trạng thái chuyển động theo quán tính 122 Định luật I Newton hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu quán tính hệ quy chiếu gồm hệ tọa độ gắn với vật chọn làm mốc mốc thời gian để xác định thời điểm định vị chuyển động vật rắn Vật rắn thỏa mãn định luật I Newton vật rắn cân 6.1.2 Tiên đề (định luật II NEWTON: định luật bản) Định luật: Trong hệ quy chiếu quán tính, gia tốc chất điểm có hướng với hướng lực tác dụng tỷ lệ với trị số lực mw = F (6.2) Trong đó: + m: khối lượng chất điểm + w : gia tốc chất điểm Biểu thức (8.2) Phương trình động lực học * Chú ý: + Gia tốc tỷ lệ nghịch với khối lượng chất điểm + Chất điểm rơi tự trường trọng lực trọng lượng vật xác định: P = mg (với g = 9,81 N/m2 gia tốc trọng trường) + Trong hệ đo lường SI, khối lượng m có đơn vị kg, lực có đơn vị N (Newton) 6.1.3 Tiên đề (định luật III NEWTON: định luật lực tác dụng phản lực tác dụng) Định luật: Các lực tác dụng tương hỗ hai chất điểm có đường tác dụng (cùng giá), cường độ ngược chiều * Chú ý: + Định luật sở để nghiên cứu toán hệ + Lực tác dụng phản lực tác dụng (hai lực tương hỗ) hai lực cân chúng tác dụng lên hai vật khác 6.1.4 Tiên đề (định luật độc lập tác dụng) Định luật: Một chất điểm chịu tác dụng đồng thời nhiều lực có gia tốc tổng hình học gia tốc lực riêng rẽ sinh w = ∑w k = w + w + + w n (6.3) 123 Trường hợp vật chịu tác dụng nhiều lực, ta có biểu thức: m w = ∑ m w k = w + w + + w n Hay m w = ∑ Fk = R (6.4) (6.5) 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 6.2.1 Phương trình vi phân chuyển động chất điểm Biểu thức (6.5) phương trình vi phân chuyển động chất điểm chịu tác dụng hệ lực Ta thường chiếu biểu thức (6.5) lên trục tọa độ để tiến hành tính tốn Có dạng tọa độ thường khảo sát, sau: a Dạng Véctơ Xét chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng hệ lực (F1 , F2 , , Fn ) Gọi r véctơ định vị chất điểm Từ biểu thức (6.5) ta có: m w = d r Mà w = = r dt nên ta được: m r = ∑F k ∑F (6.6) k Biểu thức (6.6) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng véctơ b Dạng tọa độ Descartes Giả sử chất điểm chuyển động hệ tọa độ Descartes Oxyz gắn liền với hệ quy chiếu quán tính chịu tác dụng hệ lực (F1 , F2 , , Fn ) có phương trình chuyển động phụ thuộc vào thời gian: x = x (t ) y = y (t ) z = z (t ) (6.7) Chiếu biểu thức (8.6) lên ba trục hệ tọa độ ta được: m x = ∑ Xk y = ∑ Yk m z = ∑ Zk m (6.8) Với r = ( x, y, z ) F = (X k , Yk , Z k ) 124 Hệ phương trình (6.8) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ Descartes c Dạng tọa độ tự nhiên Đối với chất điểm biết trước quỹ đạo chuyển động (như đường tròn, elip, đường cong Hyprebol, Parabol…) ta thưởng dùng hệ tọa độ tự nhiên để khảo sát phương trình vi phân chuyển động chất điểm Hệ tọa độ tự nhiên M nb gồm trục (như hình 6.1): + M trục tiếp tuyến với quỹ đạo + Mn trục pháp tuyến quỹ đạo + Mb trục trùng pháp tuyến quỹ đạo n M b Hình 6.1 Ta có hệ phương trình vi phân chuyển động: mw = mw n = m w b = ∑ F ∑F ∑F k (6.9) nk bk s; w n = Theo phần động học ta có: w = v = v2 = s ;wb = Do ta có: m s = ∑ F k s m = ∑ Fnk 0 = ∑ F bk Với: F = (F k , Fnk , Fbk = 0) bán kính cong quỹ đạo 125 (6.10) 6.2.2 Hai toán động lực học Dựa vào định luật II Newton mối quan hệ lực tác dụng chuyển động chất điểm, phân hai dạng tốn động lực học chất điểm: toán thuận toán ngược a Bài toán thuận Cho biết đặc trưng chuyển động (phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc, tính chất chuyển động), tìm lực tác dụng lên chất điểm a1 Các bước tính tốn thuận: Bước 1: Khảo sát vật rắn chuyển động dạng chất điểm Bước 2: Đặt lực lên chất điểm: lực hoạt động phàn lực liên kết Bước 3:Lựa chọn hệ tọa độ hợp lý: Hệ tọa độ Descartes hệ tọa độ tự nhiên viết phương trình vi phân chuyển động ứng với hệ trục tọa độ chọn Bước 4: Xác định gia tốc chiếu lên trục hệ trục tọa độ Bước 5: Tìm lực tác dụng lên chất điểm dựa vào phương trình vi phân chuyển động chất điểm a2 Các ví dụ: Ví dụ 6.1 (bài toán thuận): Thang máy chuyển động xuống với gia tốc w Xác định sức căng T sợi dây cáp Giải: T w P Hình 6.2 Thang máy chuyển động tịnh tiến nên xem chất điểm chuyển động thẳng đứng tác dụng trọng lực P sức căng dây T Phương trình vi phân chuyển động chất điểm theo trục z: - m.w= -P+T 126 P g => T= -m.w+P = − w+P=P.(1Vậy T = P.(1- w ) g w )P g - Khi thang rơi tự (tức w =g) T=0 Ví dụ 6.2 (bài tốn thuận): Một vật nặng có trọng lượng P treo vào đầu sợi dây L buộc vào điểm O Vật nặng quay quanh trục thẳng đứng vạch nên vòng tròn mặt phẳng nằm ngang, dây treo tạo với đường thẳng đứng góc Xác định vận tốc vật nặng sức căng dây Giải: T n b n v M P Hình 6.3 Vật khảo sát: vật nặng coi chất điểm Hệ lực tác dụng: P sức căng dây T Chọn hệ trục toạ độ tự nhiên M nb hình Ta có phương trình: P w =P+T g Chiếu phương trình lên hệ trục toạ độ tự nhiên, ta được: 127 P P w = g v = g P v2 P = T sin w n = T sin ⇔ g g R = T c os − P = T c os − P Vậy T = P ; v = sin c os (Với R=L.sinα) L.g = c ons t c os b Bài toán ngược Cho biết lực tác dụng lên chất điểm điều kiện ban đầu chuyển động Yêu cầu xác định: Chuyển động chất điểm (phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc, thời gian chuyển động) b1 Các bước tính tốn ngược: Bước 1: Khảo sát vật rắn chuyển động dạng chất điểm Bước 2: Đặt lực lên chất điểm: lực hoạt động phàn lực liên kết Bước 3:Lựa chọn hệ tọa độ hợp lý viết phương trình vi phân chuyển động điều kiện đầu có dạng: m r = ∑ x = ∑ X k ( t , x , x ) m y = ∑ Yk ( t , y , y ) Fk ( t , r , v ) ⇔ m z = ∑ Z k ( t , z , z ) m Giải hệ phương trình vi phân để tìm nghiệm tổng quát có dạng r = ∑ r ( t , C1 , C ) (Dựa vào điều kiện ban đầu tốn để tìm số tích phân C , C b2 Các ví dụ: Ví dụ 6.3 (bài tốn ngược): Vật có trọng lượng P bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên mặt phẳng nằm ngang tác dụng lực thay đổi theo thời gian F=at (a số) Tìm quy luật chuyển động vật Giải: 128 N F x P Hình 6.4 Vật khảo sát: vật nặng coi chất điểm Hệ lực tác dụng ( N , P , F ) Chọn trục x chiều với chuyển động Khi t=0 => x(0)=0 v = x (0) = Phương trình vi phân chuyển động theo trục x m x = F ⇔ m x = at ⇔ x= a t m (*) Tích phân lần theo t phương trình (*) ta được: x = a t + C1 m (* *) Tích phân lần theo t phương trình (**) ta được: x= a t + C1 t + C m (* * *) Kết hợp với điều kiện ban đầu (Khi t=0 => x(0)=0 v = x (0) = ) ta C = 0; C = Vậy quy luật chuyển động vật nặng x= a t 6m C CÂU HỎI ÔN TẬP Phát biểu định luật động lực học ? Viết phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng toạ độ Descartes, dạng toạ độ tự nhiên Cách giải hai toán cuả động lực học chất điểm D BÀI TẬP BỔ TRỢ 129 Bài tập 6.1 Một Một vật có khối lượng m =20kg ném thẳng đứng lên cao Ban đầu vật đứng n Lực cản khơng khí FC=k.m (với k=0,15) Hãy tìm quy luật chuyển động vật tính gia tốc vật lúc t= 2s Biết gia tốc trọng trường g=9,81 m/s2 Bài tập 6.2 Cho thang máy có khối lượng m=800 kg hoạt động treo sợi cáp Tính lực căng sợi cáp thang máy lên với gia tốc w = m/s2 Biết lực cản khơng khí FC=k.m ( với k=0,1), gia tốc trọng trường g=9,81 m/s2 130 Chương CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC A MỤC TIÊU - Nắm vận dụng định lý biến thiên động lượng, định lý chuyển động khối tâm, định lý biến thiên mô men động lượng, định lý biến thiên động để giải toán động lực học chất điểm hệ B NỘI DUNG Phương pháp tìm quy luật chuyển động chất điểm (hoặc hệ) cách lập phương trình vi phân chuyển động tích phân phương trình vi phân có nhiều nhược điểm như: Khơng phải phương trình vi phân tích phân được, với hệ có nhiều chất điểm khối lượng tính tốn lớn Do vậy, để lập phương trình chuyển động mà khơng thiết phải biết chuyển động chất điểm cụ thể ta dùng định lý tổng quát ĐLH Các định lý tổng quát ĐLH hệ phương trình ĐLH, cho biết mối quan hệ đặc trưng động lực (động lượng, momen động lượng, động năng) đại lượng tác dụng lực (xung lượng lực, momen lực công lực) 7.1 ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG 7.1.1 Động lượng 7.1.1.1 Động lượng chất điểm Động lượng chất điểm q đại lượng véctơ tích số khối lượng chất điểm vận tốc q = mv (7.1) Trong đó: m: khối lượng chất điểm v vận tốc chuyển động chất điểm 7.1.1.2 Động lượng a Khối tâm hệ Xét hệ gồm n chất điểm chất điểm thứ k (với k = 1, 2,…, n) có khối lượng m k vị trí chất điểm k xác định véctơ định vị rk hình (7.1) 131 - Cho biết: Sơ đồ liên kết chịu lực dầm, tải trọng tác dụng, hình dạng tiết diện, loại vật liệu - Yêu cầu: Chọn kích thước tiết diện cho dầm theo điều kiện bền - Trình tự giải: + Từ sơ đồ liên kết chịu lực dầm, tải trọng tác dụng vẽ biểu đồ nội lực (Qy) & (Mx); + Xác định vị trí tiết diện có |Mx|max, |Qy|max; + Từ điều kiện bền ứng suất pháp, suy ra: Wxyc ≥ |Mx|max/[σ]; + Sơ chọn kích thước tiết diện; + Kiểm tra lại kích thước tiết diện chọn theo điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất trượt túy điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất phẳng Ví dụ 11.10: Cho dầm AD có sơ đồ liên kết chịu lực hình vẽ 11.35a, biết P1= 31kN, P2= 10kN, q= 6kN/m Biết vật liệu dầm có [σ]= 16kN/cm2, [τ]= 8kN/cm2 q A P1 B 3m b) P2 C 2m D 1,5m c) b d) IN x h a) y [ N0 x y x y Hình 11.35 a) Hãy chọn kích thước tiết diện cho dầm tiết diện dầm hình chữ nhật (bxh) với h= 1,5b hình vẽ 11.35b b) Hãy chọn số hiệu thép cho dầm tiết diện dầm thép hình chữ I hình vẽ 11.35c Giải: Xác định phản lực liên kết: Giải phóng liên kết cho dầm hình vẽ 11.35e + ∑X= ⇒ HA= (q.3)3,5 + P1.2 - P2 1,5 = 22kN (q.3)1,5 + P1.3 + P2 6,5 + ∑mA= = 37kN ⇒ VB= Biểu đồ nội lực dầm vẽ phương pháp nhận xét hình 11.35f, g + ∑mC= ⇒ VA= Từ biểu đồ nội lực, ta có: |Mx|max= 39kNm= 3900kNcm; |Qy|max= 27kN 235 P1 q e) P2 HA B A C VA 3m 22 f) 2m VC 1,5m 10 + + D _ (Qy) kN 27 15 g) (Mx) kNm 39 Hình 11.35 Theo điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất đơn, suy ra: Mx 3900 = 243,75cm3 16 σ [ ] a) Khi tiết diện dầm hình chữ nhật (bxh) với h= 1,5b Wxyc ≥ max = bh Ta có: W = ≥ 243,75 Và h ≥ 1,5b= 12,993cm yc x ⇔ b(1,5b)2 ≥ 1462,5 ⇒ b ≥ 8,662cm Sơ chọn (bxh)= (9x13)cm2 Kiểm tra lại theo điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất trượt túy: Với tiết diện hình chữ nhật thì: Q y max 27 = = 0,346kN/cm2 ≤ [τ]= 8kN/cm2 F 9.13 Vậy chọn (bxh)= (9x13)cm2 hợp lý τmax= b) Khi tiết diện dầm thép hình chữ I Tra bảng thép hình, sơ chọn IN022a có đặc trưng hình học sau: + Wx= 251cm3 > Wxyc = 243,75cm3; + Jx= 2760cm4; Sx= 141cm3; d= 0,53cm; t= 0,88cm Kiểm tra lại theo điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất trượt túy: Với tiết diện hình chữ I thì: 236 Qy Sx 27.141 = 2,603kN/cm2 ≤ [τ]= 8kN/cm2 d.J x 0,53.2760 Kiểm tra lại theo điều kiện bền phân tố trạng thái ứng suất phẳng: τmax= max = Mặt cắt kiểm tra bên phải điểm B có mơmen uốn lực cắt tương đối lớn: |Mx|= 39kNm= 3900kNcm; |Qy|= 27kN + Điểm kiểm tra nơi tiếp giáp cánh với bụng, thuộc phần bụng: ykt= h -t + Ứng suất pháp: + Ứng suất tiếp: σz= τyz= Mx 3900 22 |ykt|= - 0,88 = 14,3kN/cm2 Jx 2760 Q y SCx d.J x Qy dh = Sx - - t d.J x 27 = 0,53.2760 Suy ra: σtđ= 0,53 22 141 - 0,88 = 2,102kN/cm 2 σz2 + 4τ 2yz = (14,3) + 4(2,102) = 14,905kN/cm2 ≤ [σ] Vậy chọn thép IN022a hợp lý * Bài toán 3: Xác định tải trọng cho phép - Cho biết: Sơ đồ liên kết chịu lực dầm, kích thước tiết diện, loại vật liệu - Yêu cầu: Xác định tải trọng cho phép dầm chịu mà không bị phá hoại - Trình tự giải: + Từ sơ đồ liên kết chịu lực dầm, tải trọng tác dụng vẽ biểu đồ nội lực (Qy) & (Mx); (trong giá trị nội lực biểu thức theo tải trọng) + Xác định vị trí tiết diện có |Mx|max, |Qy|max; + Từ điều kiện bền ứng suất pháp, suy ra: |M x|max ≤ Wx.[σ]; + Từ điều kiện bền ứng suất tiếp, suy ra: |Q y|max ≤ b.Jx.[τ]/Sx Ví dụ 11.11: Cho dầm có sơ đồ liên kết chịu lực hình vẽ 11.36a; biết [σ]k= 3kN/cm2; [σ]n= 6kN/cm2; a= 0,5m;bxh = 6x12cm2 Hãy xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền ứng suất pháp Giải: 237 P D C B 2a h 2P A 2a a a) b Pa Mx b) 1,5Pa Hình 11.36 Biểu đồ mơmen uốn Mx thể hình vẽ 11.36b Mơ men chống uốn tiết diện: 1 Wxk = Wxn = bh = × × 122 = 144 cm3 6 Mômen B làm căng thớ nên tiết diện có: M x 1,5 P.0,5.100 = ≤ [ ]k = 3kN / cm ⇒ P ≤ 5,76 kN k Wx 144 M 1,5 P.0,5.100 = nx = ≤ [ ]n = 6kN / cm ⇒ P ≤ 11,52 kN Wx 144 Mômen C làm căng thớ nên tiết diện có: max = M x P.0,5.100 = ≤ [ ]k = 3kN / cm ⇒ P ≤ 8,64kN k Wx 144 M P.0,5.100 = nx = ≤ [ ]n = 6kN / cm ⇒ P ≤ 17, 28 kN Wx 144 Tải trọng cho phép P = 5,76 kN max = 11.3 THANH TRÒN CHỊU XOẮN THUẦN TÚY 11.3.1 Các khái niệm 11.3.1.1 Định nghĩa Thanh chịu xoắn túy mặt cắt ngang có thành phần nội lực mơmen xoắn Mz (Hình 13.37) Ví dụ: Các cấu kiện chịu xoắn như: trục động Mz cơ, kết cấu chịu lực không gian… Mz Hình 13.37 238 z Ngoại lực gây xoắn mômen tập trung hay phân bố tác dụng mặt phẳng thẳng góc với trục Quy ước dấu: Mz > nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay chiều kim đồng hồ (Hình 13.37) Mz < nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay ngược chiều kim đồng hồ 11.3.1.2 Biểu đồ nội lực Biểu đồ nội lực biểu đồ mômen xoắn nội lực, biểu diễn trị số Mz mặt cắt dọc theo trục Biểu đồ nội lực chịu xoắn vẽ cách xác định nội lực theo phương pháp mặt cắt điều kiện cân ∑ M / z = Ví dụ 11.12: Vẽ biểu đồ Mz trục chịu xoắn hình 11.38 Cho M1 = 10 kNm, M2 = kNm, M3 = kNm M2 M3 R y M1 x τ m ax y M1 3kNm c) d) + A M2 b) a) 10kNm Mz A C B A M1 A Mz B a) P qM b) t IN27 DB x 2m 4m 2m d AC + y Hình 11.38 Giải: Trong đoạn AB dùng mặt cắt (1-1), xét cân phần bên trái (hình 11.38b): ΣM / z = ⇒ M z − M1 = ⇒ M z = 10 kNm Trong đoạn BC dùng mặt cắt (2-2), xét cân phần bên trái (hình 11.38c): ΣM / z = ⇒ M z − M1 + M = ⇒ M z = kNm Biểu đồ nội lực hình 11.38d 11.3.1.3 Quan hệ mômen xoắn ngoại lực M với công suất W số vịng quay n trục Giả sử có ngẫu lực xoắn M (đơn vị N.m) tác dụng làm trục quay góc α (radian) thời gian t, công sinh là: A = M (11.44a) 239 Công suất là: A M = = M = M t t t ω vận tốc góc (đơn vị rad/s), đơn vị cơng suất Nm/s W= (11.44b) Gọi n số vòng quay trục phút (vịng/phút), ta có: 2 n n = 60 30 Từ (11.44b) (11.44c) suy ra: = (11.44c) + Nếu W tính mã lực (CV, HP), mã lực = 750 Nm/s = 0.736 kW: 30W 30(750)W W = = 7162 ( Nm) n n n + Nếu W tính kilowatt (kW), kW = 1020 Nm/s: M= M= (11.45a) 30W 30(1020)W W = = 9740 ( Nm) n n n (11.45b) 11.3.2 Ứng suất mặt cắt ngang 11.3.2.1 Thí nghiệm quan sát Lấy thẳng tiết diện trịn, mặt ngồi có vạch đường song song đường trịn thẳng góc với trục thanh, tạo thành lưới vng (Hình 11.39a) Tác dụng lên hai đầu hai ngẫu lực xoắn ngược chiều, ta thấy trục thẳng, chiều dài khơng đổi, đường trịn thẳng góc với trục phẳng thẳng góc với trục, đường song song với trục thành đường xoắn ốc, lưới vng thành lưới bình hành (Hình 11.39b) Mz z Mz z Mz Mz a) b) Hình 11.39 11.3.2.2 Các giả thiết a) Giả thiết mặt cắt ngang: Trong trình biến dạng, mặt cắt ngang phẳng vng góc với trục thanh, khoảng cách mặt cắt ngang không đổi b) Giả thiết bán kính: Trong q trình biến dạng, bán kính thẳng chiều dài không đổi 240 c) Giả thiết thớ dọc: Trong trình biến dạng thớ dọc không ép lên đẩy xa 11.3.2.3 Công thức ứng suất tiếp Theo giả thiết trên, biến dạng chịu xoắn túy xoay tương đối mặt cắt ngang quanh trục z Để xét biến dạng xoắn phân tố điểm bán kính ρ thanh, ta tách phân tố (Hình 11.40a) ba cặp mặt cắt sau: Hai mặt cắt (1-1) (2-2) thẳng góc với trục cách đoạn dz Hai mặt cắt chứa trục hợp với góc dα Hai mặt cắt trụ đồng trục z (trục thanh) bán kính ρ ρ+dρ Theo giả thiết, trình biến dạng, so với điểm E,F,G,H thuộc mặt cắt (1-1), điểm A,B,C,D phân tố mặt cắt (2-2) dịch chuyển đến A’,B’,C’,D’ phải nằm cung trịn bán kính ρ ρ+dρ, đồng thời OA’B’ OC’D’ phải thẳng hang (Hình 11.40b) z Mz B' z F A E G H B C' C A' D' dz D dz Hình 11.40 Gọi dφ góc hai đường thẳng OAB OA’B’, góc xoay mặt cắt (2-2) so với mặt cắt (1-1) quanh trục z, gọi góc xoắn tương đối hai tiết diện lân cận cách dz Góc B’FB biến dạng trượt (góc trượt) γ phân tố, ta có: tan ≈ = BB ' d = FB dz (11.46a) 241 Theo giả thiết (a) mặt cắt ngang, khơng có biến dạng dài theo phương dọc trục; theo giả thiết c), thớ dọc không chèn ép lên nên ứng suất pháp tác dụng lên mặt phân tố Theo giả thiết a), góc vng mặt CDHG mặt BAEF không thay đổi nên ứng suất tiếp hướng tâm mặt (ABCD) F Do giả thiết b), bán kính thẳng nên khơng có ứng suất tiếp hướng tâm mặt (ABEF) E Như vậy, mặt cắt ngang chịu xoắn τρ B A C túy tồn ứng suất phương vng góc bán kính, gọi τρ phân tố xét trạng thái trượt túy (Hình 11.41) Áp dụng định luật Hooke trượt, ta có: = G τρ G H D Hình 11.41 (11.46b) Thay (11.46a) vào (11.46b), ta được: d = G (11.46c) dz Gọi dF diện tích vơ nhỏ bao quanh điểm xét, τρdF lực tiếp tuyến tác dụng diện tích τρdFρ mơmen lực τρdF tâm O Tổng mômen phải Mz, ta viết: M z = ∫ dF (11.46d) A Thay (11.46 c) vào (11.46d): d M z = ∫ G dF (11.46 e) dz A Vì Gdφ/dz số điểm thuộc mặt cắt A, nên ta đưa ngồi dấu tích phân, tích phân ∫ dF mơmen qn tính cực Jp mặt F cắt ngang tâm O, ta được: d d (11.46 f) dF = G Jo ∫ dz A dz Từ (f) ta có: d M z = (11.46 g) dz GJ o dφ/dz góc xoắn đơn vị chiều dài gọi góc xoắn tỉ đối Mz = G (rad/m) Đặt θ=dφ/dz, ta có: 242 Mz GJ o Thay (g) vào (c) ta cơng thức tính ứng suất tiếp: = = Mz Jo (11.47a) (11.47b) Ứng suất tiếp biến đổi theo quy luật bậc nhất, không tâm O cực đại điểm chu vi Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp điểm mặt cắt ngang thể hình 11.42a Trên hình 11.42b, thể ứng suất tiếp đối ứng mặt cắt chứa trục Hình 11.42 Ứng suất tiếp cực đại chu vi (ρ=R): max = Với: Wo = Mz M R= z Jo Wo (11.48) Jo mômen chống xoắn mặt cắt ngang R Với tiết diện tròn đặc: Wo = J o R3 D3 = = ≈ 0.2 D3 R 16 Với tiết diện tròn rỗng: Wo = I o R3 D3 = (1 − ) = (1 − ) ≈ 0.2 D3 (1 − ) R 16 Trong = d / D , với d đường kính D đường kính ngồi tiết diện 243 11.3.3 Biến dạng tròn chịu xoắn Từ (g) ta có: d = Mz dz GJ o dφ góc xoắn tương đối hai mặt cắt cách dz Suy góc xoắn tương đối hai mặt cắt cách đoạn dài L là: L L Mz dz GJ o = ∫ d = ∫ (11.49) Khi gồm nhiều đoạn, đoạn có Mz/GJp số, cơng thức (11.49) trở thành: MzL i =1 GJ o i n = ∑ (11.50) Góc xoắn φ có đơn vị radian, quy ước dương theo chiều dương mômen nội lực ngược lại 11.3.4 Điều kiện bền điều kiện cứng – Ba toán 11.3.4.1 Điều kiện bền Để chịu xoắn không bị phá hoại bền phải đảm bảo điều kiện bền: max ≤ [ ] = 0 n (11.51) Với: τ0 ứng suất tiếp nguy hiểm vật liệu, xác định từ thí nghiệm; n hệ số an tồn Thí nghiệm xác định τ0 khó đạt u cầu xác, ta dùng thuyết bền a) Thuyết bền ứng suất tiếp (thuyết bền thứ ba): max ≤ [ ] (11.52) b) Thuyết bền biến đổi hình dáng (thuyết bền thứ tư): max ≤ [ ] (11.53) 11.3.4.2 Điều kiện cứng Ngoài yêu cầu thỏa điều kiện bền, chịu xoắn phải đảm bảo điều kiện cứng: 244 max ≤ [ ] (11.54) [θ] góc xoắn tỷ đối cho phép, cho từ sổ tay kỹ thuật, thường [θ] = 0.15 – độ/m Chú ý: θ = Mz/GJo có đơn vị rad/m Do đó, [θ] cho độ/m (o/m) phải đổi rad/m theo hệ thức: (rad / m) (0 / m) = 2 360 11.3.4.3 Điều kiện cứng a) Kiểm tra bền cứng b) Xác định tải trọng cho phép c) Xác định đường kính mặt cắt ngang 11.3.5 Ứng suất mặt cắt ngang Cách giải toán xoắn siêu tĩnh tương tự cách giải toán kéo (nén) siêu tĩnh Để giải tốn ta lập them phương trình biến dạng (góc xoắn) Ví dụ 11.13: Vẽ biểu đồ mơmen Mz trục chịu xoắn hình 11.43a Cho biết: m = kNm/m, M1 = 10 kNm, M2 = kNm m A B D b) A m a) 1m 0.5m Mz m M2 M1 C 1m c) z Mz A B z Mz e) M1 m d) A Mz B z Hình 11.43 Giải: Trong đoạn AB, ngoại lực mômen phân bố đều, tưởng tượng dùng mặt cắt (11) cắt qua vị trí cách A đoạn z, xét cân phần bên trái (Hình 11.43b), ta có: ΣM / z = ⇒ M z − z = ⇒ M z = z 245 Trong đoạn BC, dùng mặt cắt (2-2) cắt qua vị trí cách A khoảng z, xét cân phần bên trái, ta có: ΣM / z = ⇒ M z − × = ⇒ M z = kNm Tương tự đoạn CD, dùng mặt cắt (3-3), ta được: ΣM / z = ⇒ M z − ×1 + 10 = ⇒ M z = −5 kNm Biểu đồ nội lực vẽ hình 11.43e) Ví dụ 11.14: Một trục có liên kết chịu lực hình vẽ 11.44a Vẽ biểu đồ nội lực, kiểm tra bền cho trục theo thuyết bền thứ ba thuyết bền thứ tư Xác định góc xoay mặt cắt qua A Cho biết: G = 8.103 kN/cm2, [σ] = 10 kN/cm2, tiết diện đoạn AC có đường kính d1 = cm, tiết diện đoạn CE có đường kính d2 = 6cm M1 = 1kNm M2 = 2.5kNm A M3 = 3.5kNm C B D E a) 0.2m 0.1m 0.2m 0.15m 1kNm Mz1 b) c) 2.5 kNm Mz2 3.5 kNm Mz3 d) kNm 1kNm Mz B e) C D E A 1.5 kNm Hình 11.44 246 Giải: Biểu đồ nội lực hình vẽ 11.44b) Kiểm tra bền cho trục AD BC max = max = DE max M zBC M zBC 1.5 × 10 = = = 6kN / cm WoBC 0.2d13 0.2 × 53 M zDE M zDE × 10 = DE = = = 4.63kN / cm 3 Wo 0.2d 0.2 × BC Do đó: max = max = 6kN / cm Theo thuyết bền thứ ba: [ ] 11 = = 5.5kN / cm < max nên trục không thỏa điều kiện bền 2 Theo thuyết bền thứ tư: [ ] 11 = = 6.35kN / cm > max nên trục thỏa mãn điều kiện bền 3 Góc xoay mặt cắt qua A: A = AE = ∑ i =1 M zi Li GJ oi × 0, × 104 1,5 × 0, × 104 1,5 × 0,1 × 10 × 0,15 × 10 −4 − − + = −5,53 × 10 rad × 103 0,1 × 54 0,1 × 54 0,1 × 64 0,1 × 64 Mặt cắt qua A xoay góc 5,53 × 10-4 rad ngược chiều kim đồng hồ = C CÂU HỎI ƠN TẬP Các tốn kiểm tra bền, tính toán chuyển vị chịu kéo nén tâm? Các tốn kiểm tra bền, tính tốn chuyển vị chịu uốn phẳng? Điều kiện bền trịn chịu xoắn, tốn áp dụng? D BÀI TẬP BỔ TRỢ Bài tập 11.1 Một trục bậc chịu tải trọng (như hình 11.45) Biết P1 = 50 kN, P2 = 80 kN, P3 = 40 kN; L1=L2=40 cm, L3=L4=50 cm; diện tích tiết diện trục là: F1 = cm2, F2= cm2 Vật liệu có: [σ] = 16 kN/cm2, E = 2.104 kN/cm2 a) Vẽ biểu đồ lực dọc Nz b) Kiểm tra độ bền trục c) Tính độ biến dạng dài trục 247 F1 F2 P1 A P3 P2 B C L1 D L2 E L3 L4 Hình 11.45 Bài tập 11.2 Một dầm mặt cắt hình chữ nhật (h = 2b) có sơ đồ liên kết chịu lực hình vẽ 11.46, với: P = qa a) Vẽ biểu đồ nội lực Qy, Mx theo q,a b) Xác định kích thước bxh mặt cắt dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp Biết: a = 1m, q = 5kN/m, [σ] = 12 kN/cm2 q P B C 2a h A b a Hình 11.46 Bài tập 11.3 Cho trục tiết diện thay đổi có đường kính d1 = 2,8 cm, d2 = cm chịu tải trọng hình 11.47 Biết: L1 = L3 = 0,6 m, L2 = 0,4 m; M1 = 1,22 kNm, M2 = 0,36 kN.m, M3 = 0,57 kNm; G = 8.103 kN/cm2; [τ] = kN/cm2 Yêu cầu: a) Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz b) Kiểm tra độ bền trục c) Tính góc xoắn hai đầu trục d1 A M1 M2 C B L1 L2 Hình 11.47 248 d2 M3 D L3 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Văn Cúc, Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb Xây dựng – Hà Nội (2003) [2] Đỗ Kiến Quốc, Nguyễn Thị Hiền Lương, Bùi Cơng Thành, Lê Hồng Tuấn, Trần Tấn Quốc, Sức bền vật liệu, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2007; [ 2] Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nxb Xây dựng, Hà Nội (1999) [ 3] Trần Trọng Hỉ - Đặng Thanh Tân, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2010) [4] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ lý thuyết, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2003) [5] Lê Thanh Phong, Sức bền vật liệu, trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM, 2005; [6] Phan Kì Phùng, Thái Hoàng Phong, Sức bền vật liệu tập 1, trường Đại học Bách khoa Đà Nẵng, 2007; [7] Thái Thế Hùng, Sức bền vật liệu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2006; [8] Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thăng, Nhữ Phương Mai, Sức bền vật liệu tập 1, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2003; [9] Lê Ngọc Hồng, Sức bền vật liệu, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2000 [10] X M Targ, Giáo trình giản yếu học lý thuyết (dịch), Nxb ĐH & THCN, Hà Nội (1979) [11] Nguyễn Quốc Bảo, Đỗ Minh Tiến, Bài giảng Cơ lý thuyết (Cao đẳng), Trường ĐH Phạm Văn Đồng (Tài liệu lưu hành nội bộ) (2016) [12] Nguyễn Quốc Bảo, Sức bền vật liệu 1,2, Trường ĐH Phạm Văn Đồng (Tài liệu lưu hành nội bộ) (2016) 249 ... phẳng - Ta có động hệ: T = T A + T B + TC Mà T A = 1Q m A v A2 = vA 2 g 1 P vA P T B = J z B2 = ( R ) vA = 2 g g R 1 1 P vA P P TC = J C z E2 + m C v C2 = ( R ) vA = vA + 2 2... khảo sát hệ 7 .2. 3 Bài toán áp dụng 7 .2. 3.1 Phạm vi áp dụng Định lý áp dụng toán sau: - Bài toán thuận: Biết chuyển động phận hệ , tìm Lực tác dụng lên hệ (thường phản lực liên kết) - Bài toán ngược:... Momen qn tính J zc = Thanh đồng chất ML2 12 Vành tròn đồng J zc = MR chất (ống tròn) Tấm tròn đồng chất J zc = (trụ trịn) 141 MR 2 7.3 .2 Mơmen động lượng 7.3 .2. 1 Mômen động lượng tâm a Moomen động