A Đ T V N Đ Ặ Ấ Ề M t trong nh ng m c tiêu c b n c a nhà tr ng là đào t o và xây d ng thộ ữ ụ ơ ả ủ ườ ạ ự ế h h c sinh tr thành nh ng con ng i m i phát tri n toàn di n, có đ y đ ph mệ ọ ở ữ ườ ớ ể ệ[.]
A. ĐẶT VẤN ĐỀ Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với u cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh, cũng như trong phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ mơn nói chung và bộ mơn Tốn nói riêng Tốn học là một bộ mơn khoa học tự nhiên rất quan trọng, ảnh hưởng rất lớn đến các mơn khoa học khác. Một nhà tư tưởng Anh đã nói: "Ai khơng hiểu biết về Tốn học thì khơng thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng khơng thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình." Để giúp các em học tập mơn Tốn có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu, sách báo, giáo viên lâu năm, giáo viên giỏi đề cập tới. Nhưng chung quy lại, giáo viên khơng nắm vững kiến thức mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh đẽ hiểu nhất. Nhà khoa học LEP NITX đã nói: "Một phương pháp được coi là tốt nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích ". Với mỗi bài tốn ta có thể giải quyết được nó chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn và thường xun thực hành. Chương trình Tốn rất rộng, các em lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học các em khơng chỉ nắm chắc kiến thức cơ bản mà cịn phải rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp, từ đó biết vận dụng vào giải từng bài Tốn. Qua cách giải từng bài Tốn tự mình rút ra được phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó đề xuất lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn. Thơng qua q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 9, đồng thời kiểm tra đánh giá kết quả tiếp thu kiến thức của học sinh, tơi nhận thấy các em tiếp thu kiến thức cịn rất nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học vào giải phương trình cũng như dùng hệ phương trình để làm các bài tốn khác. Do vậy việc hướng dẫn học sinh phân loại các dạng hệ phương trình và đề ra các cách giải các dạng đó một phần nó tạo cho các em có một cách nhìn tổng quan hơn về hệ phương trình, mặt khác giúp cho các em rèn luyện phương pháp học Tốn có hiệu quả. Mặc dù thấy được sự cần thiết của vấn đề này, nhưng việc hướng dẫn học sinh tiếp thu phần kiến thức cũng gặp rất nhiều khó khăn, và tơi ln suy nghĩ phải từng bước để hồn thiện phương pháp của mình nên bản thân tơi đã dày cơng nghiên cứu đề tài này với hy vọng đề tài có thể giúp các em học sinh lớp 9 phát triển tư duy, cũng có thể dùng làm tài liệu dạy học mơn học tự chọn, chủ đề bám sát. Bên cạnh đó tơi suy nghĩ rằng nếu mỗi năm, một giáo viên tập trung nghiên cứu một vấn đề nào đó và chia sẻ với đồng nghiệp của mình thì chắc chắn hiệu quả giáo dục sẽ được nâng lên rõ rệt Từ những suy nghĩ trên đây bản thân tơi quyết tâm nghiên cứu viết đề tài: “Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng hệ phương trình” đáp ứng được u cầu đổi mới SGK lớp 9, qua đó giúp các em có thêm kinh nghiệm tiếp thu kiến thức về giải hệ phương trình cũng như ứng dụng của nó phục vụ cho việc thi HSG, thi vào THPT B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Hệ phương trình là một trong những dạng chun đề rất khó, nhưng ứng dụng của nó thì khá nhiều, và thực các em thường cảm thấy lúng túng khi tiếp xúc với loại Tốn này. Bởi vậy tơi thấy cần thiết phải tạo cho các em có niềm say mê, u thích trong học tập, ln tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời, khi gặp những bài tốn khó phải có nghị lực, tập trung tư tưởng tin vào khả năng của mình trong q trình học tập. Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải các dạng hệ phương trình là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xun, khơng chỉ giúp các em nắm vững lý thuyết mà cịn phải tạo cho các em một phương pháp học tập tốt của bản thân, rèn cho các em có thói quen thực hành và kỹ năng nhìn nhận một bài tốn sao cho: "Mỗi bài tốn tơi giải được đều trở thành kiểu mẫu để sau này giải các bài tốn khác" (ĐÊ CAC) I. PHÂN LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong q trình dạy học giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân loại các dạng hệ phương trình, rồi cùng các em tìm ra phương pháp giải tối ưu cho mỗi dạng đó. Ở trong chương trình lớp 9 các em thường gặp các dạng hệ phương trình như: 1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, 2. Hệ phương trình phân thức đơn giản, 3. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khơng phải bậc nhất, 4. Hệ phương trình hai ẩn trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được thành nhân tử, 5. Hệ phương trình đẳng cấp, 6. Hệ phương trình đối xứng loại I, 7. Hệ phương trình đối xứng loại II, 8. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn, 9. Hệ hốn vị dạng tổng, 10. Hệ hốn vị dạng tích, 11. Hệ phương trình vơ tỷ, 12. Hệ phương trình giải bằng cách đưa về hằng đẳng thức, 13. Hệ phương trình giải bằng cách đưa về tổng các bình phương, 14. Hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức, 15. Một số bài tốn ứng dụng của hệ phương trình II. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khi bắt tay vào giải bài tập, phần đầu tiên là phải nắm vững lý thuyết cơ bản, có như vậy mới hy vọng giải được bài tốn theo u cầu. Đối với phần này tơi giúp các em nhớ lại kiến thức bằng cách đưa ra hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về: nghiệm tổng qt của phương trình bậc nhất hai ẩn, về số nghiệm của hệ phương trình, về quy tắc thế, quy tắc cộng, về điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, cơng thức nghiệm, hệ thức Viet, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c và a’x + b’y = c’ Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax by c (1) (I) a' x b' y c' (2) Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x 0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ (I) Nếu hai phương trình ấy khơng có nghiệm chung thì thì ta nói hệ vơ nghiệm 2. Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng d Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng d’ Nếu d cắt d’ hệ có nghiệm duy nhất. Nếu d song song với d’ thì hệ vơ nghiệm Nếu d trùng với d’ thì hệ có vơ số nghiệm 3. Hệ hai phương trình tương đương Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm Giải hệ phương trình là đi tìm nghiệm của hệ phương trình đó III. NỘI DUNG Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: a.1. Quy tắc thế: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình mới tương đương Bước 1. Từ một phương trình của hệ đã cho ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ cịn một ẩn Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai của hệ (Phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1) a.2. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: (I) x y 17 2x y x y 17 (I ) 2x y x 8(2 x 1) 17 y 2x x Vậy hệ phương trình có nghiệm là y (1; 1) Đến đây Gv yêu cầu học sinh dùng quy tắc thế rút x từ phương trình (1) rồi x y 17 giải hệ phương trình. 2x y 17 y 17 y y 17 y 34 16 y y x x x y Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 1). Học sinh nhận xét hai cách giải rồi từ đó Gv u cầu học sinh làm tiếp ví dụ Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: Giải: (II) x y 2( x y ) y x y 2.5 y x y 2x 3y x y (II) Vậy hệ phương trình có nghiệm là (2; 3) Đối với hệ phương trình này Gv đã hướng dẫn học sinh thế cả một biểu thức a.3. Lưu ý: Khi một trong hai phương trình của hệ có ẩn nào đó có hệ số bằng 1 hoặc 1 thì có thể giải nó bằng phương pháp thế bằng cách rút ẩn có hệ số bằng 1 hay 1 theo ẩn kia Đối với một hệ tương đối phức tạp cần tìm cách thế cả một biểu thức a.4. Bài tập áp dụng Giải các hệ phương trình sau: x 3y 1. 2x y 2. 12 x x y 3. x y 11 1y 1x y Sau khi đã đưa ra lưu ý Gv yêu cầu học sinh giải hệ phương trình: 2x y (I ) 3x y Lúc này học sinh sẽ cảm thấy lúng túng bởi khơng có hệ số nào của cả hai phương trình bằng 1 và 1. Vậy có cách nào giải khác chăng? b. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: b.1. Quy tắc cộng đại số: Quy tắc cộng đại sơ dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình mới tương đương Bước 1. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một hệ phương trình mới tương đương Bước 2. Dùng phương trình mới thay thế cho một trong hai phương trình của hệ ( và giữ nguyên phương trình kia) b.2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: 2x y (I ) 3x y Giải: Cộng từng vế hai phương trình của hệ (I) ta có x 10 2x y x Vậy y hệ phương trình có nghiệm là (2; 1) Ví dụ 2. 3x 2x y y ( II ) Giải: Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta có: 3x y x 10 x y Hệ có nghiệm là (2; 3) Ở hai hệ phương trình trên ta nhận thấy hệ số của cùng một ẩn hai phương trình đối nhau hoặc bằng nhau thì ta cộng hay trừ vế với vế. Vậy nếu khơng ở vào trường hợp trên thì sao? b.3. Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hay trừ) vế với vế của hai phương trình của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn hai phương trình khơng bằng nhau cũng khơng đối nhau thì ta chọn nhân với một số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau Giải hệ phương trình: 2x 3y ( III ) 6x y Giải: Nhân phương trình (1) với 3 rồi trừ phương trình này cho phương trình (2) vế với vế ta có 2x 3y 14 y 14 x 3.1 y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1) b.4. Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1. 4x 3y 2x y 2. x 1y 1x y 3. x x y y c. Giải và biện luận hệ phương trình: c.1.Quy trình giải và biện luận Bước 1. Tính các định thức: * D * D x a1 a2 c1 c2 b1 b2 b1 b2 a1b2 c1b2 a b1 (gọi là định thức của hệ) c b1 (gọi là định thức của x) a1 a2 * D y c1 c2 a1c a c1 (gọi là định thức của y) Bước 2. Biện luận x * Nếu D thì hệ có nghiệm duy nhất y * Nếu D = 0 và D x hoặc D y Dx D Dy D thì hệ phương trình vơ nghiệm * Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vơ số nghiệm c.2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải và biện luận hệ phương trình sau: Ta có D= m m m2 D = 0 m = 2; m = 2 Dx = 0 m = 2; m = Dy = 0 m = 0; m = 2 ; Dx = 2m m m mx y 2m với m là tham số x my m 2m m ; Dy = m 2m m m2 2m Biện luận: Nếu m Dx x = D 2. D 0 hệ phương trính có nghiệm duy nhất (x; y), trong đó Dy 2m ; y = m D m m Nếu m = 2. D = 0; Dx = 4 Hệ phương trình vơ nghiệm Nếu m = 2. D=0 và Dx=Dy = 0. Hệ phương trình có vơ số nghiệm (x; 2x – 4) x R Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: Giải: D= m 2 m m2 ; Dx = D = 0 m = 2; m = 2, Dx = 0 m = 1; m = 2, Dy = 0 m = 2; m = mx y x my m 2m m m2 m 2m 3m ; Dy = m m 2m 2m 3m 2 Biện luận: Nếu m 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất Nếu m = 2 hệ vơ nghiệm Nếu m = 2 Hệ vơ số nghiệm c.3. Lưu ý: Đối với bài tốn giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì việc sử dụng định thức là rất hữu hiệu. Có một cách dễ nhớ là: D:anh bạn; Dx: có – bát; Dy : ăn – cơm Đơi khi có thể sử dụng tính chất: Nếu hệ phương trình a a' b thì hệ có nghiệm duy nhất b' a a' b b' c thì hệ vơ nghiệm c' a a' b b' c thì hệ có vơ số nghiệm c' ax by c có: a ' x b' y c ' Ngồi Gv có thể hướng dẫn học sinh chuyển giải biện luận phương trình bậc nhất một ẩn Chẳng hạn: Đối với hệ phương trình: Từ phương trình ta có y = 2x m m mx Nếu 4 m2 = 0 2m mx y x my m 1(1) 2m 1(2) m mx thay vào phương trình ta được x m(m mx) 4m (4 m ) x m 3m m = 2; m = 2 Khi m = 2 ta có 0x = 0, phương trình có vơ số nghiệm Khi m = 2 ta có 0x = 12, phương trình vơ nghiệm hệ vơ số nghiệm hệ vơ nghiệm Nếu m 2 và m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất Đến đây chắc chắn học sinh sẽ nhận thấy rằng theo định thức việc biện luận nó sẽ trở nên nhẹ nhàng và đơn giản hơn c.4. Bài tập áp dụng Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 1. mx + y = m + ; x + my = 2. mx + y = 2m + ; x + my = 3m 4. mx y x my 5. (m 5) x y (m 1) x my 3. ( a + b) x + ( a − b) y = a (2a − b) x + (2a + b) y = b m x ay 6. 3m ax y 2a Tìm điều kiện của m, n để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm 1) mx (2m 1) y (2m 1) x my 3m mx ny 2) 3m nx my m2 n2 2mn Dạng 2. Hệ phương trình phân thức đơn giản Sau khi giải xong hệ phương trình 2x 3y ( III ) tìm ra được nghiệm (1; 1) Gv đặt 6x y 1 y x vấn đề, nếu bây giờ ta thay x bởi và thay y bởi ta được một hệ phương trình: x x y y ta sẽ giải phương trình này như thế nào? a. Ví dụ minh họa x Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: x y y ( I ) Ta phải chuyển hệ phương trình 1 x ban đầu về hệ phương trình dạng 1 bằng cách đặt ẩn phụ Đặt u = ; v = Hệ (I) y Giải hệ phương trình này ta suy ra u = ; v = từ đó suy ra 5 3u v u v nghiệm x, y của hệ phương trình. Cịn nếu bây giờ ta thay x bởi x và y bởi y thì ta có một hệ phương trình mới khó hơn đơi chút! Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: x y x y ( II ) Đặt u = x ; v = y ( u,v ) u 2v 2u v (II) giải hệ phương trình này ta có u = 2; v = 0 suy ra x = 1; y = 1 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: (I) x y x y Khi gặp hệ này học sinh dễ dàng giải được tương tự như ví dụ 1. Lúc này giáo viên có thể khai thác thêm bài tốn. x y xy Rõ ràng x và y đều khác 0 nên ta có: (I) x y xy x xy y xy x y học sinh muốn giải được hệ này thì địi hỏi phải chuyển về hệ phương trình trên. Lại tiếp phân xy tích bài tốn x y xy x y xy xy 2( x y ) Để giải hệ phương trình mới học sinh 6( x y ) phải xét trường hợp (x; y) = (0; 0). Rồi đưa về các hệ phương trình trên để giải b. Lưu ý: Khi đặt ẩn phụ nhớ điều kiện của hệ phương trình Cần nhìn nhận các phương trình để dễ dàng tìm ra ẩn phụ thích hợp Đơi khi cần phải xét nhiều trường hợp có thể xảy ra của một bài tốn c. Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: x 1) x y y 2) 15 x y x y 3) 35 x y x y + =5 2x + y 2x − 3y 5) 6) 15 + =5 2x + y 2x − 3y x y y x x y x y 7x y + =3 − x 10 + y 4) x 3y + = −11 − x 10 + y 10 ...Từ những suy nghĩ trên đây bản thân tơi quyết tâm nghiên cứu viết đề tài: ? ?Hướng? ?dẫn? ?học? ?sinh? ?phân? ?loại? ?và? ?giải? ?một? ?số ? ?dạng? ?hệ ? ?phương? ?trình? ?? đáp ứng được u cầu đổi mới SGK lớp 9, qua đó giúp các em có thêm? ?kinh? ?nghiệm? ? tiếp thu? ?kiến? ?thức về ? ?giải? ?hệ ? ?phương? ?trình? ?cũng như... (ĐÊ CAC) I. PHÂN LOẠI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong q? ?trình? ?dạy? ?học? ?giáo viên cần? ?hướng? ?dẫn? ?học? ?sinh? ?phân? ?loại? ?các dạng? ?hệ ? ?phương? ?trình, rồi cùng các em tìm ra? ?phương? ?pháp? ?giải? ?tối ưu cho mỗi dạng? ?đó. Ở trong chương? ?trình? ?lớp 9 các em thường gặp các? ?dạng? ?hệ? ?phương? ?trình? ?... dạng? ?đó. Ở trong chương? ?trình? ?lớp 9 các em thường gặp các? ?dạng? ?hệ? ?phương? ?trình? ? như: 1.? ?Hệ? ?hai? ?phương? ?trình? ?bậc nhất hai ẩn, 2.? ?Hệ? ?phương? ?trình? ?phân? ?thức đơn giản, 3.? ?Hệ ? ?phương? ?trình? ?gồm? ?một? ?phương? ?trình? ?bậc nhất? ?và? ?một? ?phương? ?trình? ?