A Đ T V N Đ Ặ Ấ Ề Hi n nay, s nghi p giáo d c và đào t o đang đ i m i tr c yêuệ ự ệ ụ ạ ổ ớ ướ c u phát tri n kinh t xã h i theo h ng công nghi p hoá và hi n đ iầ ể ế ộ ướ ệ ệ ạ hoá c a đ t n c Đó l[.]
A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước u cầu phát triển kinh tế xã hội theo hướng cơng nghiệp hố và hiện đại hố của đất nước. Đó là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học tập, thích nghi tốt với cuộc sống và lao động. Vì thế, người giáo viên bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, cịn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong q trình học tập Trong tất cá các mơn học cấp THCS, tốn học nói chung và hình học nói riêng thì hình học là một phân mơn rất quan trọng trong việc rèn luyện tính lơgic, tư duy sáng tạo, giúp học sinh khơng những học tốt mơn Tốn mà cịn có thể học tốt các mơn học khác. Việc khai thác, phát triển một bài tốn đơn giản góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy, bản thân tơi nhận thấy: Các giáo viên giảng dạy tốn đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát triển từ một bài tốn mà học sinh đã giải được. Việc khai thác giả thiết, khai thác sâu thêm kết quả của bài tốn để tạo ra các bài tốn khác (đơn giản hoặc phức tạp hơn) là rất quan trọng và có ích. Nó khơng chỉ giúp người dạy và người học nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng tốn mà nó cịn nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố, tổng qt hố một bài tốn; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lơgic, khoa học; tạo hứng thú u thích bộ mơn tốn hơn. Nhưng hầu hết học sinh ( kể cả học sinh khá giỏi) sau khi giải xong một bài tốn đều thỗ mãn với nó mà khơng có ý thức khai thác, phát triển nó thành chùm bài tốn liên quan nhau Chính điều này làm hạn chế sự phát triển tư duy, tính sáng tạo và linh hoạt của học sinh. Chúng ta biết rằng, mỗi một bài tốn đều có giả thiết và kết luận của nó. Việc chứng minh kết luận đó là u cầu bắt buộc học sinh phải thực hiện. Song, chúng ta cần rèn cho học sinh suy nghĩ đằng sau bài tập đó cịn có thể khai thác được gì, khai thác như thế nào đó mới là vấn đề cần thiết để giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo và linh hoạt. Chẳng hạn: Chúng ta khai thác thêm được bài tốn mới nào từ bài tốn đó, thay đổi một số giả thiết thì cho ra bài tốn mới nào, hay như đảo ngược bài tốn thì sao? Trong chương trình hình học 8, có nhiều bài tốn hay và khó dành cho học sinh giỏi nhưng lại xuất phát từ bài tốn đơn giản. Chỉ với sự thay đổi một vài giả thiết có thể tạo ra một hệ bài tập hay và nó giúp cho học sinh phát triển tư duy rất nhiều. Qua dạy giảng dạy nhiều năm lớp 8 tơi xin trao đổi kinh nghiệm: “Khai thác và phát triển từ một bài tốn đơn giản để bồi dưỡng tốn 8“ B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chúng ta bắt đầu bằng bài tốn cơ bản sau: Bài tốn 1 ( Bài tốn cơ bản): Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. Chứng minh rằng: Tam giác DIL cân. Hướng dẫn: A D I L B C ADI, CDL có: AD=CD = =90 ( tính chất hình vng) = ( cùng phụ với ) ADI = CDL ( c.g.c) DI = DL Vậy : DIL cân tại D. Khai thác bài tốn: Từ bài tốn 1, nếu ta kẻ đường phân giác cắt cạnh BC tại M. A D I L C M B Khi đó: = 45 LDM = IDM ML = MI P = IB + BM + MI = IB + BM + ML = IB + BC + CL = BC + BA = P ( Với P là chu vi ) Do đó ta có bài tốn 2 sau đây: Bài tốn 2: Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho = 45 . Chứng minh rằng: Chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình vng ABCD Hướng dẫn: Như vậy từ bài toán 1, ta cần phải tạo ra ADI = CDL ( c.g.c) bằng cách vẽ thêm đường phụ như sau: Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI A D 45° I L C M CLD= AID (c.g.c) DL=DI, = (1) Mà + + = = 90 ( tính chất hình vng) B + = 90 = 45 (2) Từ 1,2 suy ra: + = 45 hay = 45 LDM = IDM (c.g.c) ML = MI Do đó: P = IB + BM + MI = IB + BM + ML = IB + BM + CL + CM = IB + BM + AI + CM = (BI + AI) + (BM + MC) = AB + BC= P Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể chia bài tốn thành nhiều ý như sau: “Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho = 45 . a, Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI. Chứng minh rằng: CLD = AID. b, Chứng minh rằng: ML = MI c, Chứng minh rằng: Chu vi IBM bằng một chu vi hình vng ABCD.” Khai thác bài tốn: Đặt câu hỏi ngược lại với bài tốn 2, nếu chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình vng ABCD thì số đo = 45 hay khơng? Ta có tiếp bài tốn 3 sau đây: Bài tốn 3: Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình vng ABCD. Chứng minh rằng: = 45. Hướng dẫn: Vẫn từ bài tốn 1, ta cần phải tạo ra ADI = CDL ( c.g.c) bằng cách vẽ thêm đường phụ như sau: A D ểm L sao cho CL=AI Trên tia đối của tia CB, lấy đi I L C M B CLD= AID (c.g.c) DL=DI, = (1) Ta có:P = P IB + BM + MI = AB + BC IB + BM + MI = BI + AI + BM + MC MI = AI + MC (2) Từ 1,2 suy ra: MI = CL + MC = ML LDM = IDM (c.c.c) = hay + = + = Mà + + = = 90 ( tính chất hình vng) = 45. Vậy : = 45 Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể chia bài tốn thành nhiều ý như sau: “Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình vng ABCD. a, Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI. Chứng minh rằng: CLD= AID. b, Chứng minh rằng: LDM = IDM c, Chứng minh rằng: = 45.” Khai thác bài tốn: Trong bài tốn 3, chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình vng ABCD. Nên chu vi IBM bằng 2a ( với a là độ dài cạnh hình vng ABCD cho trước) khơng đổi nhưng diện tích IBM thì ln thay đổi do độ dài cạnh MI phụ thuộc vào vị trí điểm di động I trên cạnh AB kéo theo diện tích DMI cũng thay đổi. Lúc này vấn đề đặt ra là diện tích DMI lớn nhất là bao nhiêu khi điểm I ở vị trí nào trên AB? Khai thác giả thiết này ta có bài tốn cực trị hình học sau đây: Bài tốn 4: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi IBM bằng một nữa chu vi hình vng ABCD. Xác định vị trí của điểm M và I để diện tích DMI đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó? Hướng dẫn: A D I L C M B Theo bài tốn 3, thì CLD = AID (c.g.c); LDM = IDM (c.c.c) S = S ( S + S + S ) = S ( S + S + S ) = S ( S + S ) = S ( S + S ) 2S = S S S = S S = a S S a. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi S = 0 I B và M C hoặc I A và M B Vậy: S đạt giá trị lớn nhất là a khi và chỉ khi I B và M C hoặc I A và M B Bài tốn này chủ yếu dành cho học sinh giỏi Khai thác bài tốn: Trở lại bài tốn 1, khi điểm I thay đổi trên AB kéo theo độ dài đoạn thẳng LI cũng thay đổi. Nên trung điểm M của LI là một điểm di động nhưng khoảng cách từ M tới D và tới B thì như nào với nhau? DB là đoạn thẳng cố định vì sao? Vậy M di động trên đường cố định nào? Với sự khai thác giả thiết bài tốn 1 theo hướng này cho ta bài tốn chứng minh điểm di động trên một đường cố định như sau: Bài tốn 5: Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. M là trung điểm của IL.Chứng minh rằng: M di chuyển trên đường cố định khi I thay đổi trên AB Hướng dẫn: A D I M L C B DIL vuông tại D(gt) và M là trung điểm của cạnh huyền IL MD = LI (1) BIL vuông tại B(gt) và M là trung điểm của cạnh huyền IL MB = LI ( 2). Từ 1,2 suy ra: MD = MB M cách đều hai đầu đoạn thẳng BD Mà đoạn thẳng cố định BD ( do hình vng ABCD cố định) nên đường trung trực của BD cố định khi I thay đổi trên AB Vậy: M di động đường trung trực BD cố định khi I thay đổi trên AB Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể viết bài tốn thành như sau: Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. M là trung điểm của IL.Chứng minh rằng: M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BD.” Khai thác tiếp bài tốn 4: Tiếp tục khai thác sự thay đổi độ dài đoạn thẳng LI khi điểm I di động trên AB thì đoạn thẳng LI ngắn nhất là bao nhiêu khi đó I nằm ở đâu trên AB? Ta có tiếp câu b, câu c của bài 4 như sau: ... cho học sinh? ?phát? ?triển? ?tư duy rất nhiều. Qua dạy giảng dạy nhiều năm lớp 8 tơi xin trao đổi? ?kinh? ?nghiệm: ? ?Khai? ?thác? ?và? ?phát? ?triển? ?từ ? ?một bài? ?tốn? ?đơn? ?giản? ?để? ?bồi? ?dưỡng? ?tốn 8“ B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chúng ta bắt đầu bằng? ?bài? ?tốn cơ bản sau:...Trong chương trình hình học 8, có nhiều? ?bài? ?tốn hay? ?và? ?khó dành cho học sinh giỏi nhưng lại xuất? ?phát? ?từ? ?bài? ?tốn? ?đơn? ?giản. Chỉ với sự thay đổi? ?một? ?vài giả thiết có thể tạo ra? ?một? ?hệ? ?bài? ?tập hay? ?và? ?nó giúp cho học sinh? ?phát? ?triển? ?tư duy rất nhiều. Qua dạy giảng dạy nhiều năm ... a. Dấu “ = “ xảy ra khi? ?và? ?chỉ khi S = 0 I B? ?và? ?M C hoặc I A? ?và? ?M B Vậy: S đạt giá trị lớn nhất là a khi? ?và? ?chỉ khi I B? ?và? ?M C hoặc I A? ?và? ?M B Bài? ?tốn này chủ yếu dành cho học sinh giỏi Khai? ?thác? ?bài? ?tốn: Trở lại? ?bài? ?tốn 1, khi điểm I thay đổi trên AB