Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Khai thác và phát triển từ một bài toán đơn giản để bồi dưỡng toán 8

Sáng kiến kinh nghiệm THCS Khai thác và phát triển từ một bài toán đơn giản để bồi dưỡng toán 8 nghiên cứu với mục đích giúp người dạy và người học nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú yêu thích bộ môn toán hơn. Mời các bạn cùng tham khảo.

A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước u  cầu phát triển kinh tế ­ xã hội theo hướng cơng nghiệp hố và hiện đại  hố của đất nước. Đó là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ  động trong học tập, thích nghi tốt với cuộc sống và lao động. Vì thế,   người giáo viên bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội   dung cơ bản về kiến thức, cịn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư  duy sáng tạo, tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong q trình  học tập Trong tất cá các mơn học cấp THCS, tốn học nói chung và hình  học nói riêng thì hình học là một phân mơn rất quan trọng trong việc   rèn luyện tính lơgic, tư  duy sáng tạo, giúp học sinh khơng những học  tốt mơn Tốn mà cịn có thể học tốt các mơn học khác. Việc khai thác,  phát triển một bài tốn đơn giản góp phần rất quan trọng trong việc  nâng cao năng lực tư duy cho học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy, bản  thân tơi nhận thấy: Các giáo viên giảng dạy tốn đều đánh giá cao tầm quan trọng của  việc khai thác, phát triển từ  một bài tốn mà học sinh đã giải được.  Việc khai thác giả thiết, khai thác sâu thêm kết quả của bài tốn để tạo   ra các bài tốn khác (đơn giản hoặc phức tạp hơn)   là rất quan trọng và  có ích. Nó khơng chỉ  giúp người dạy và người học nắm bắt kĩ kiến  thức của một dạng tốn mà nó cịn nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt   hố, tổng qt hố một bài tốn; từ  đó phát triển tư duy, nâng cao tính   sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc,  hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lơgic, khoa học; tạo hứng thú  u thích bộ  mơn tốn hơn. Nhưng hầu hết học sinh ( kể cả học sinh   khá giỏi) sau khi giải xong một bài tốn đều thỗ mãn với nó mà khơng   có ý thức khai thác, phát triển nó thành chùm bài tốn liên quan nhau   Chính điều này làm hạn chế  sự phát triển tư duy, tính sáng tạo và linh   hoạt của học sinh.  Chúng ta biết rằng, mỗi một bài tốn đều có giả thiết và kết luận   của nó. Việc chứng minh kết luận đó là u cầu bắt buộc học sinh   phải thực hiện. Song, chúng ta cần rèn cho học sinh suy nghĩ đằng sau   bài tập đó cịn có thể khai thác được gì, khai thác như thế nào đó mới là  vấn đề  cần thiết để  giúp học sinh phát triển tư  duy, tính sáng tạo và  linh hoạt. Chẳng hạn: Chúng ta khai thác thêm được bài tốn mới nào  từ bài tốn đó, thay đổi một số giả thiết thì cho ra bài tốn mới nào, hay  như đảo ngược bài tốn thì sao? Trong chương trình hình học 8, có nhiều bài tốn hay và khó dành  cho học sinh giỏi nhưng lại xuất phát từ bài tốn đơn giản. Chỉ với sự  thay đổi một vài giả  thiết có thể tạo ra một hệ bài tập hay và nó giúp  cho học sinh phát triển tư duy rất nhiều. Qua dạy giảng dạy nhiều năm  lớp 8  tơi xin trao đổi kinh nghiệm: “Khai thác và phát triển từ  một   bài tốn đơn giản để bồi dưỡng tốn 8“ B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chúng ta bắt đầu bằng bài tốn cơ bản sau: Bài tốn 1 ( Bài tốn cơ bản): Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.  Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. Chứng minh  rằng: Tam giác DIL cân.  Hướng dẫn: A D I L B C ADI,  CDL có: AD=CD  =  =90 ( tính chất hình vng)  =  ( cùng phụ với  )   ADI =  CDL ( c.g.c)  DI = DL Vậy :  DIL cân tại D.   Khai thác bài tốn: Từ bài tốn 1, nếu ta kẻ đường phân giác  cắt  cạnh BC tại M.  A D I L C M B Khi đó:  = 45    LDM =  IDM         ML = MI  P = IB + BM + MI                 = IB + BM + ML                = IB + BC + CL                 = BC + BA =  P    ( Với P là chu vi ) Do đó ta có bài tốn 2 sau đây: Bài tốn 2: Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.  Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho  = 45 .  Chứng minh rằng: Chu vi  IBM bằng một nữa chu vi hình vng  ABCD Hướng dẫn: Như  vậy từ  bài toán 1, ta cần phải tạo ra  ADI =  CDL ( c.g.c)  bằng cách vẽ thêm đường phụ như sau: Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI A D 45° I L C M   CLD= AID (c.g.c)  DL=DI,  =   (1) Mà    +  +  =   = 90 ( tính chất hình vng) B     +  =  90 ­   = 45 (2) Từ 1,2 suy ra:   +  = 45 hay  = 45       LDM =  IDM (c.g.c)         ML = MI Do đó: P = IB + BM + MI                       = IB + BM + ML                      = IB + BM + CL + CM                       = IB + BM + AI + CM                       = (BI + AI) + (BM + MC)                       = AB + BC=  P  Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể chia bài tốn thành nhiều ý   như sau: “Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB   Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho  = 45 .  a, Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI. Chứng minh   rằng:  CLD = AID.  b, Chứng minh rằng: ML = MI c,   Chứng   minh  rằng:   Chu  vi   IBM   bằng  một    chu  vi   hình   vng ABCD.” Khai thác bài tốn: Đặt câu hỏi ngược lại với bài tốn 2, nếu chu   vi  IBM bằng một nữa chu vi hình vng ABCD thì số  đo  = 45 hay  khơng? Ta có tiếp bài tốn 3 sau đây: Bài tốn 3: Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.  Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi  IBM bằng một nữa chu vi  hình vng ABCD. Chứng minh rằng:  = 45.  Hướng dẫn: Vẫn từ bài tốn 1, ta cần phải tạo ra  ADI =  CDL ( c.g.c) bằng  cách vẽ thêm đường phụ như sau: A D ểm L sao cho CL=AI Trên tia đối của tia CB, lấy đi I L C M B   CLD= AID (c.g.c)  DL=DI,  =   (1) Ta có:P =  P  IB + BM + MI = AB + BC  IB + BM + MI = BI + AI + BM + MC  MI = AI + MC (2) Từ 1,2 suy ra: MI = CL + MC = ML   LDM =  IDM (c.c.c)     =  hay  +  =       +  =   Mà  +  +  =   = 90 ( tính chất hình vng)      = 45.  Vậy :   = 45   Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể chia bài tốn thành nhiều ý   như sau: “Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB   Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi  IBM bằng một nữa chu vi   hình vng ABCD.  a, Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI. Chứng minh   rằng:  CLD= AID.  b, Chứng minh rằng:  LDM =  IDM  c, Chứng minh rằng:  = 45.”  Khai thác bài tốn: Trong bài tốn 3, chu vi  IBM bằng một nữa  chu vi hình vng ABCD. Nên chu vi  IBM bằng 2a ( với a là độ  dài  cạnh hình vng ABCD cho trước) khơng đổi nhưng diện tích  IBM  thì ln thay đổi do độ dài cạnh MI phụ thuộc vào vị trí điểm di động I   trên  cạnh AB kéo theo diện tích  DMI cũng thay đổi. Lúc này vấn đề  đặt ra là diện tích   DMI lớn nhất là bao nhiêu khi điểm I ở vị trí nào  trên AB? Khai thác giả thiết này ta có bài tốn cực trị hình học sau đây: Bài tốn 4: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một điểm  thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi  IBM  bằng một nữa chu vi hình vng ABCD. Xác định vị trí của điểm M và  I để diện tích  DMI đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó? Hướng dẫn: A D I L C M B Theo bài tốn 3, thì  CLD =  AID (c.g.c);  LDM =  IDM (c.c.c)   S = S ­ ( S + S + S )            = S ­ ( S + S + S )            = S ­ ( S + S )        = S ­ ( S + S )   2S = S ­ S    S =  S ­ S = a ­ S     S    a. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi S = 0   I   B và M   C hoặc I   A và M   B Vậy: S đạt giá trị  lớn nhất là   a khi và chỉ  khi I     B và M     C  hoặc  I   A và M   B Bài tốn này chủ yếu dành cho học sinh giỏi Khai thác bài tốn: Trở lại bài tốn 1, khi điểm I thay đổi trên AB  kéo theo độ dài đoạn thẳng LI cũng thay đổi. Nên trung điểm M của LI  là một điểm di động nhưng khoảng cách từ  M tới D và tới B thì như   nào với nhau? DB là đoạn thẳng cố  định vì sao? Vậy M di động  trên đường cố định nào?   Với sự  khai thác giả  thiết bài tốn 1 theo hướng này cho ta bài  tốn chứng minh điểm di động trên một đường cố định như sau: Bài tốn 5:  Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB.  Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. M là trung điểm  của IL.Chứng minh rằng: M di chuyển trên đường cố  định khi I thay   đổi trên AB Hướng dẫn: A D I M L C B DIL vuông tại D(gt) và M là trung điểm của cạnh huyền IL    MD =  LI (1) BIL vuông tại B(gt) và M là trung điểm của cạnh huyền IL    MB =  LI ( 2). Từ 1,2 suy ra: MD = MB  M cách đều hai đầu đoạn thẳng BD Mà đoạn thẳng cố  định BD ( do hình vng ABCD cố  định) nên  đường trung trực của BD cố định khi I thay đổi trên AB Vậy: M di động đường trung trực BD cố  định khi I thay đổi trên  AB Để  dạy cho học sinh đại trà, ta có thể  viết bài tốn thành   như   sau: Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB   Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC tại L. M là trung điểm   của  IL.Chứng  minh rằng:   M  nằm trên   đường trung  trực  của  đoạn   thẳng BD.” Khai thác tiếp bài tốn 4: Tiếp tục khai thác sự  thay đổi độ  dài  đoạn thẳng LI  khi điểm I di động trên AB thì đoạn thẳng LI ngắn nhất  là bao nhiêu khi đó I nằm ở đâu trên AB? Ta có tiếp câu b, câu c của bài   4 như sau: b, Đặt AI = x ( 0  0 ) Vậy LI có độ dài ngắn nhất là 2a, đạt được khi  = x   x = a   I   B C. KẾT LUẬN Trên đây là một số cách khai thác và phát triển từ một giả thiết I là  điểm di động trên cạnh AB của hình vng cho trước trong bài tốn cơ  bản 1 kết hợp với sự  thay đổi một số  giả  thiết khác, hay đảo ngược  bài tốn, cũng có khi khai thác thêm các giả  thiết của bài tốn gốc để  tạo ra chùm bài tốn liên quan với nhiều dạng tốn nhằm mục đích rèn  kĩ năng giải tốn cũng như kĩ năng khai thác phát triển bài tốn cho học   sinh nói chung và học sinh giỏi tốn 8 nói riêng đáp ứng mục tiêu chính  là phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho người học Và sau khi cho học sinh được thực hành theo kinh nghiệm này, tơi  nhận thấy ban đầu các em cịn bỡ ngỡ nhưng càng về sau các em hứng  thú và say mê hơn, đa số  các em đã tập được thói quen khi làm xong   một bài tốn thì ln hướng bản thân suy nghĩ bài tốn đó theo hướng: ­ Tìm thêm những kết luận khác từ các giả thiết đó ­ Tìm ra những bài tốn họ hàng của nó  ­ Tìm ra những bài tốn hay và khó hơn bằng cách thử  thay đổi  một số giả thiết Dưới đây là kết quả khảo sát của bản thân tơi trước và sau khi áp  dụng kinh nghiệm đối với học sinh lớp 8 mà tơi được dạy đại trà cũng  như bồi dưỡng: Kĩ năng Khai   thác     toán  một cách linh hoạt, sáng  tạ o    Trước khi áp  dụng 30%         Sau khi áp  dụng 60% Đây là một kinh nghiệm nhỏ mà trong q trình dạy học tơi đúc rút  được tuy nhiên vẫn cịn hạn chế, thiếu sót cần bổ  sung. Tơi rất mọng  nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp D. KIẾN NGHỊ ­ Hàng năm trường, huyện thường tổ  chức viết sáng kiến kinh   nghiệm. Nên sau khi chấm đề nghị  ban tổ chức đánh giá và triển khai  kinh nghiệm hay có ích cho việc dạy học đến đồng nghiệp các đơn vị  để chất lượng dạy học ngày càng được nâng lên                                                                                                                  Tơi xin chân thành cảm ơn!                  ... cho học sinh? ?phát? ?triển? ?tư duy rất nhiều. Qua dạy giảng dạy nhiều năm  lớp? ?8? ? tơi xin trao đổi? ?kinh? ?nghiệm:  ? ?Khai? ?thác? ?và? ?phát? ?triển? ?từ ? ?một   bài? ?tốn? ?đơn? ?giản? ?để? ?bồi? ?dưỡng? ?tốn? ?8? ?? B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ...Trong chương trình hình học? ?8,  có nhiều? ?bài? ?tốn hay? ?và? ?khó dành  cho học sinh giỏi nhưng lại xuất? ?phát? ?từ? ?bài? ?tốn? ?đơn? ?giản.  Chỉ với sự  thay đổi? ?một? ?vài giả  thiết có thể tạo ra? ?một? ?hệ? ?bài? ?tập hay? ?và? ?nó giúp ... Dưới đây là kết quả khảo sát của bản thân tôi trước? ?và? ?sau khi áp  dụng? ?kinh? ?nghiệm? ?đối với học sinh lớp? ?8? ?mà tôi được dạy đại trà cũng  như? ?bồi? ?dưỡng: Kĩ năng Khai   thác     toán? ? một? ?cách linh hoạt,? ?sáng? ? tạ o    Trước khi áp