Chuong 3 Vector ngu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Vector ngẫu nhiên 1 Vector ngẫu nhiên rời rạc 2 Vector ngẫu nhiên liên tục Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ng[.]
Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Introduction Trong nhiều trường hợp, phải làm việc với lúc nhiều biến ngẫu nhiên VD: kích thước RAM tốc độ CPU độ bền máy tính giá nhiệt độ độ ẩm khơng khí điểm kỹ thuật điểm nghệ thuật trình diễn trượt băng Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên (X , Y ) vector ngẫu nhiên Phân phối vector (X , Y ) gọi phân phối đồng thời Phân phối biến X , Y gọi phân phối biên Các khái niệm mở rộng cho vector ngẫu nhiên n thành phần (X1 , X2 , , Xn ) Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Phân phối xác suất vector ngẫu nhiên rời rạc Cho X , Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc Xác suất đồng thời P(X ,Y ) (x, y ) = P(X = x, Y = y ) = P ({X = x} ∩ {Y = y }) Tính chất X P(X ,Y ) (x, y ) = x∈Ω(X ) y ∈Ω(Y ) Hàm khối xác suất thành phần (biên/lề) PX (x) = P(X = x) = X P(X ,Y ) (x, y ) y ∈Ω(Y ) X PY (y ) = P(Y = y ) = P(X ,Y ) (x, y ) x∈Ω(X ) Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Bảng phân phối xác suất thành phần X (tương tự cho Y ) X x1 x2 xn P(X = x) · · ··· · Xác suất có điều kiện: P(X = x, Y = y ) , PY (y ) P(X = x, Y = y ) P(Y = y |X = x) = , PX (x) P(X = x|Y = y ) = PY (y ) > PX (x) > Bảng phân phối xác suất điều kiện Y = y X x1 x2 P(X = x|Y = y ) · · ··· Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên xn · Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Sự độc lập BNN rời rạc X , Y độc lập ⇐⇒ P(X ,Y ) (x, y ) = PX (x) · PY (y ) ∀ x, y Hai BNN X , Y độc lập nghĩa biến cố {X = x} {Y = y } độc lập với giá trị (x, y ) Chứng minh X , Y phụ thuộc nhau: cặp giá trị (x, y ) cho P(X ,Y ) (x, y ) 6= PX (x) · PY (y ) Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục VD 1: Một chương trình gồm module Gọi X , Y số lỗi module có xác suất đồng thời sau: P(0, 0) = P(0, 1) = P(1, 0) = 0.2, P(1, 1) = P(1, 2) = P(1, 3) = 0.1, P(0, 2) = P(0, 3) =0.05 Tìm phân phối thành phần X, Y Hỏi X , Y có độc lập khơng ? Tính xác suất module thứ khơng có lỗi Tìm phân phối xác suất tổng số lỗi chương trình Giả sử chương trình có lỗi Hỏi xác suất module có lỗi ? Giả sử module có lỗi Hỏi xác suất module có lỗi ? Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Vector ngẫu nhiên liên tục Cho BNN liên tục X , Y , hàm phân phối xác suất đồng thời X , Y hàm F(X ,Y ) (x, y ) = P(X ≤ x ∩ Y ≤ y ) Hàm mật độ đồng thời: f (x, y ) = ∂2 F (x, y ) ∂x∂y (X ,Y ) Tính chất: ZZ P((X , Y ) ∈ D) = f (x, y )dxdy D ZZ f (x, y )dxdy = R2 Z y Z x F (x, y ) = f (u, v ) du dv −∞ −∞ Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ thành phần (mật độ biên) Hàm mật độ X ∞ Z fX (x) = f (x, y )dy −∞ Hàm mật độ Y Z ∞ f (x, y )dx fY (y ) = −∞ Trung bình thành phần Z Trung bình X : ∞ E (X ) = x fX (x)dx Z−∞ ∞ Trung bình Y : E (Y ) = y fY (y )dy −∞ Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Sự độc lập BNN liên tục X , Y độc lập ⇐⇒ F(X ,Y ) (x, y ) = FX (x) · FY (y ) ∀ x, y ⇐⇒ f (x, y ) = fX (x) · fY (y ) ∀ x, y Để chứng minh X , Y phụ thuộc nhau, cần cặp giá trị (x, y ) cho F(X ,Y ) (x, y ) 6= FX (x) · FY (y ) f (x, y ) 6= fX (x) · fY (y ) Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ X điều kiện Y = y , fY (y ) > fX (x|y ) = f (x, y ) fY (y ) (Với giá trị y , hàm biến theo x.) Hàm mật độ Y điều kiện X = x, fX (x) > fY (y |x) = f (x, y ) fX (x) (Với giá trị x, hàm biến theo y) Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục VD 1: Giả sử BNN X , Y có hàm mật độ ( 6x < x < 1, < y ≤ − x f (x, y ) = nơi khác X , Y có độc lập khơng ? Tính P(Y ≥ 1/2), P(X + Y ≤ 1/2) Tính giá trị trung bình X , Y Tính P(X > 0.3 Y = 0.5) Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục VD 2: Giả sử BNN X , Y có hàm mật độ ( Cx y ≤ y ≤ x < f (x, y ) = nơi khác Tìm C Tính xác suất P(Y ≥ X ) Tìm hàm mật độ thành phần X , Y Tính E (X ), E (Y ) X , Y có độc lập khơng ? Tìm hàm mật độ có điều kiện fX (x|y ) Tính xác suất P(Y > 1/4 X = 1/3) Tính xác suất P(X > 1/3, Y > 1/4) Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên ... Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu. .. rộng cho vector ngẫu nhiên n thành phần (X1 , X2 , , Xn ) Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Phân phối xác suất vector ngẫu nhiên rời... trượt băng Nguyễn Ngọc Ái Vân Vector ngẫu nhiên Vector ngẫu nhiên rời rạc Vector ngẫu nhiên liên tục Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên (X , Y ) vector ngẫu nhiên Phân phối vector (X , Y ) gọi phân phối