Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR

Chương KHƠNG GIAN VECTOR KHƠNG GIAN VECTOR ℝn Tính chất phép tốn ℝn Khơng gian vector tổng qt • Khi V với phép cộng nhân đgl không gian vector ℝ thỏa tính chất sau: (1) u  v  v  u u , v  V (2) (u  v)  w  u  (v  w) u, v  V (3)  OV  V : u  OV  u u  V (4)  u  V ,  u '  V : u  u '  OV (5) 1.u  u u  V (6) ( )u   (  u ) u  V ,  ,    (7) (   )u   u   u u  V ,  ,    (8)  (u  v)   u   v u , v  V ,    10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Các ví dụ khơng gian vector Các ví dụ khơng gian vector 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Không gian vector 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Phương pháp xác định không gian vector 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 10 Kiểm tra tập hợp có sở ℝn Cho S = {u1 , u2 …, um } ⸦ ℝn Kiểm tra S có sở ℝn hay không Nếu m ≠ n S khơng sở ℝn Nếu m = n, đặt  u1  u  2  A    un  Cách 1: Tính rank(A) S sở ↔ rank(A) = n Cách 2: Tính định thức S sở ↔ det(A) ≠ 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 27 Cơ sở chiều không gian sinh tập hợp 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 28 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 29 Không gian nghiệm HPTTT Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn AX = Tập hợp tất nghiệm hệ không gian vector ℝn Bài tốn: Tìm sở chiều không gian nghiệm W hệ AX =  Giải hệ AX=0 (dùng phép BĐSC dòng)  TH: hệ có nghiệm tầm thường, W={0} sở tập rỗng, dim(W) =  TH hệ có vơ số nghiệm: Biểu diễn nghiệm tổng qt theo ẩn tự suy sở chiều 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 30 Không gian nghiệm: W  (3s, 2s  t , s, t ) |  s, t    s (3, 2,1, 0)  t (0,1, 0,1) |  s, t    u  ( 3, 2,1, 0), v  (0,1, 0,1) {u,v} tập sinh độc lập tuyến tính W suy {u,v} sở W dim(W)=2 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 31 Tọa độ Cho V không gian vector ℝ với sở thứ tự B  u1 , u2 , , un  Định lý Mọi phần tử x  V viết cách dạng tổ hợp tuyến tính vector sở x  x1u1  x2u2    xnun Kí hiệu 10/3/2018  x1    x2   [ x ]B       xn  tọa độ vector x theo sở B Nguyễn Ngọc Ái Vân 32 Ví dụ Gọi E = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} sở tắc ℝ3  x1    n  x  ( x1 , x2 , x3 )    [ x]E   x2  x  1  3   x  (1, 2,3)  [ x]E     3   B  (1,1, 0), (0,1, 1), (0, 0, 2) sở ℝ3 x  (1, 2,3)  1 (1,1, 0)   (0,1, 1)   (0, 0, 2) 1    [ x ]B     4   10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 33 PP tìm tọa độ Tìm tọa độ vector u theo sở B  u1 , u2 , , un   Cách 1: Giải phương trình Lập ma trận Dùng phép biến đổi sơ cấp dịng để tìm nghiệm (1 , ,  n ) Tọa độ u  1    [u ]B        n 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 34 Ma trận chuyển sở Giả sử B  b1 , b2 , , bn  , C  c1 , c2 , , cn  sở thứ tự không gian vector V Ma trận P( B  C )  [c1 ]B [c2 ]B  [cn ]B  gọi ma trận chuyển sở từ B sang C Khi biết tọa độ vector theo sở B, ta tính tọa độ vector theo sở C công thức sau 1 [ x]C  PC  B  [ x]B  ( PB C )  [ x]B 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 35 Ma trận chuyển sở từ sở tắc Cho E sở tắc B sở khác ℝn B  b1 , b2 , , bn   PE  B   b T T b  b T n Ví dụ B  {(1, 2,1),(0,1,1), (1, 0,1)} 10/3/2018  Nguyễn Ngọc Ái Vân PE  B  1 1     0 1 1   36 Tính chất (1) PB  B  I n (2) PAC  PA B  PB C 1 (3) PAB  PB  A (4) [ x]B  PB C  [ x]C 10/3/2018  x V Nguyễn Ngọc Ái Vân 37 PP tìm ma trận chuyển sở từ B sang C Giả sử B  b1 , b2 , , bn  , C  c1 , c2 , , cn  sở thứ tự không gian vector V Tìm PB C Cách 1: B | C Cách 2: với 10/3/2018 I BĐSC   dòng n | PBC  PB C  PB E  PE C  ( PE  B ) 1  PE C PE  B   b T  b T n  , Nguyễn Ngọc Ái Vân PE C   c T  c T n 38  PP tìm tọa độ ma trận chuyển sở Tìm tọa độ vector u theo sở B  u1 , u2 , , un     Gọi E sở tắc ℝn  Đặt P  PE  B  u1T u2T  unT    Tìm P-1  10/3/2018 [u ]B  PB  E  [u ]E  P 1  u T Nguyễn Ngọc Ái Vân 39 n Tính chất Định lý Cho V khơng gian vector n chiều B sở V Giả sử C   c1 , , cn  họ n vector V Đặt P  ([c1 ]B [c2 ]B  [cn ]B ) Khi C sở V P khả nghịch Hơn nữa, trường hợp P  PB C 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 40 Kiểm tra họ n vector sở ℝn Kiểm tra họ vector C ⸦ ℝn sở ℝn  TH: |C| ≠ n → C không sở  TH: |C| = n Giả sử C   c1 , , cn  Gọi E sở tắc ℝn Đặt P  ([c1 ]E [c2 ]E  [cn ]E )   c T T c  c T n  Kiểm tra P khả nghịch Cách 1: tính định thức , P khả nghịch ↔ det(P) ≠ Cách 2: xét hạng P, dùng phép BĐSC, P khả nghịch ↔ rank(P) = n  Kết luận: P khả nghịch → C sở P không khả nghịch → C không sở 10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 41  ... 10 /3/ 2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Các ví dụ khơng gian vector Các ví dụ khơng gian vector 10 /3/ 2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Không gian vector 10 /3/ 2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Phương pháp xác định không gian vector. .. tính vector S không gian vector V) • W khơng gian vector nhỏ V chứa S, nghĩa là, U ≤ V S ⸦ U W ⸦ V W = span (S) đgl không gian vector V sinh S 10 /3/ 2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 21 Ví dụ: Không gian vector. .. gian vector ? ?3 10 /3/ 2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 22 Tập sinh, sở số chiều KGVT Cho V không gian vector tập hợp S gồm n vector thuộc V  Nếu V = span (S), nghĩa vector V tổ hợp tuyến tính vector S, S