Chương KHÔNG GIAN VECTOR RIÊNG

Chương KHÔNG GIAN VECTOR RIÊNG Chương 4: KHÔNG GIAN VECTOR RIÊNG 3.1 Khái niệm trị riêng, vector riêng 3.2 Chéo hóa ma trận 12/26/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Trị riêng, vector riêng Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝሻ 𝜆 ∈ ℝ Giả sử tồn ≠ v ∈ ℝ𝑛 cho 𝐴𝑣 𝑇 = 𝜆𝑣 𝑇 Khi ta gọi: • 𝜆 trị riêng A • v vector riêng A ứng với trị riêng 𝜆 Nhận xét: Vector riêng A nghiệm PT: ( A −  I n ) X = (*) Định nghĩa: Không gian nghiệm pt (*) gọi không gian vecrtor riêng ứng với trị riêng 𝜆 12/26/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Đa thức đặc trưng Định nghĩa: Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝሻ Khi đó, đa thức p ( ) = det( A −  I n ) gọi đa thức đặc trưng A Nhận xét: 𝜆0 trị riêng A  AX = (0 I n ) X có nghiệm X ≠0  ( A − 0 I n ) X = có nghiệm X ≠0  det( A − 0 I n ) =  𝜆0 nghiệm đa thức đặc trưng 12/26/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Tìm sở chiều KGVT riêng Tìm trị riêng sở không gian riêng ứng với trị riêng ma trận A ta tìm nghiệm đa thức đặc trưng A • Giải phương trình: det( A −  I n ) = Nghiệm PT trị riêng A, giả sử 𝜆1, …, 𝜆t • Với trị riêng 𝜆i A, giải PT ( A − i I n ) X = để suy sở chiều không gian riêng E(𝜆i) 12/26/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Tìm sở chiều KGVT riêng 12/26/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân Ma trận chéo hóa Định nghĩa: Ma trận 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝሻ đgl chéo hóa tồn ma trận khả nghịch P ∈ 𝑀𝑛 (ℝሻ cho  1  2 −1  P AP =   0 12/26/2018 0  0   n  Nguyễn Ngọc Ái Vân Điều kiện chéo hóa Định lý: Ma trận 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝሻ chéo hóa điều sau thỏa mãn • Đa thức đặc trưng có dạng p ( ) =| A −  I n | = ( − 1 ) n ( − 2 ) n ( − t ) n t với 𝜆1, …, 𝜆t trị riêng đơi khác • Các khơng gian vector riêng E(𝜆i) thỏa dim( E (i )) = ni 12/26/2018  i = 1, , t Nguyễn Ngọc Ái Vân Chéo hóa ma trận Để xác định tính chéo hóa tìm dạng chéo hóa ma trận A, ta thực sau: Tìm đa thức đặc trưng phân tích đa thức dạng p ( ) =| A −  I n | = ( − 1 ) n1 ( − 2 ) n2 ( − t ) nt Nếu khơng phân tích dạng A khơng chéo hóa Với 𝜆i , giải PT ( A − i I n ) X = tìm sở chiều E(𝜆i) • Nếu tồn i cho dim( E (i ))  ni A khơng chéo hóa • Nếu dim E (i ) = ni i A chéo hóa Giả sử E (1 ), , E (t ) có sở S1 = {u1 , , un1 }, S = {un1 +1 , , un1 + n2 }, Đặt P = (u1T u2T unT ) Dạng chéo hóa A : P −1 AP = diag (1 , , 1 , 2 , , 2 , , t , , t ) n1 12/26/2018 n2 Nguyễn Ngọc Ái Vân nt 12/26/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 10 b33  f  e3 , e3    4 Vậy: A e   3  4 6   1 0 2) Cách 2: Trong sở (e), f có ma trận A e    0 2    1 1 Ma trận chuyển từ sở (e) sang sở (e) : Tee   1  1   T A e  Te e A e Te e  Vậy 1   0   1   4    1     1    3  1 1   0   1          6.2 Dạng toàn phương Định nghĩa 6: Cho DSTT đối xứng f(x,y) Nếu thay y = x f(x,x) gọi dạng toàn phương (DTP) Vậy sở (e) cho trước X ta có: n f (x, x)   a ij x i x j (3) , i, j1 aij =aji , x  x1e1  x e2   x n en Hay ta viết (3) dạng: f (x, x)  x T A.x ,  x1  x  với x    , x T  (x1 , x , , x n )      xn  Chú ý 5: Khai triển (3) ta được: f (x, x)  a11x12  a 22 x 22   a nn x n2  2a12 x1x  2a13 x1x   2a1n x1x n   2a (n 1)n x n 1x n (3) Chú ý 6: DTP xác định qua DSTT, nên tính chất cho DSTT cho DTP Đặc biệt ta có cơng thức đổi sở (2): A e  TeTe A e Te e 6.3 Dạng tắc DTP Định nghĩa 7: Nếu DTP f(x,x) sở (e) KGTT n chiều X có dạng: f (x, x)  λ1x12  λ x 22   λ n x n2 (4) , λ k (k 1,n ) số (có thể khác 0), (4) gọi dạng tắc (DCT) DTP f(x,x); λ k (k 1,n ) gọi hệ số tắc; sở (e) để f(x,x) có dạng tắc (4) gọi sở tắc tương ứng 6.3.1 Đưa DTP DCT phép biến đổi trực giao Do ma trận A DTP ma trận đối xứng , nên tốn trở thành chéo hóa trực giao ma trận A Khi DTP đưa DCT: f  λ1x12  λ x 22   λ n x n2 , với phép biến đổi trực giao:  x1   x1   x1   x1      x       Q  x  , hay  x   Q T  x  (5),                  x n   xn   xn   x n  λ k (k 1,n ) - GTR A, Q ma trận chéo hóa trực giao ma trận A Ma trận trực giao Q biến sở trực chuẩn cho thành sở trực chuẩn gồm VTR A Ví dụ 5: Đưa DTP sau DCT phép biến đổi trực giao f (x, x)  x12  x 22  x 32  4x1x  4x1x  4x x Giải: Ma trận DTP f (trong sở trực chuẩn (e)  e1 , e2 ,e3  cho tọa độ VT x  (x1 , x , x ) ) là: 1 2 A   2  2 1   Thực chéo hóa trực giao ma trân A (Xem ví dụ 10 chương 5) Kết thu được: 1        5 0      Q  , B   1    0 1     1       6  Vậy DTP f đưa DCT: f  5x12  x 22  x 32 , phép biến đổi trực giao: 1   x  x  x  x3 1  3  1  x1  x (từ công thức (5))  x 2  2   x1  x2  x3  x 2   6  6.3.2 Đưa DTP DCT phương pháp Lagrange Nội dung phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp không suy biến đưa DTP DCT Phương pháp khơng địi hỏi phải giải pt đặc trưng để tìm GTR – công việc không đơn giản pt bậc cao Xét trường hợp: I) Trước hết ta xét trường hợp  a ii  Ta giả thiết a11  , a11   a ii  0(i  2,n) , ví dụ chẳng hạn a 22  ta việc đổi thứ tự vectơ e1 e2 sở (e), tức dùng phép biến đổi: x1  x , x2  x1 , x3  x , , xn  x n   (hệ số x12 ) Ta đưa trường hợp a11 *Phương pháp Lagrange tiến hành theo bước sau: B1: Nhóm tất số hạng có chứa thừa số x1 thêm bớt vào tổng số hạng dạng b k x 2k ,ck x i x j để bình phương đủ được: f (x, x)  (a11x1   a1n x n )  g(x, x), a11 g(x,x) chứa bình phương số hạng tích chéo x1 ,x , ,x n  x1  a11x1   a 1n x n  x  x  B2: Đặt  Khi   x 2  x n n f (x, x)  x1   a ij x i x j a11 i, j B3: Lặp lại bước 1, n  a  x x  i, j ij i j Thực sau số hữu hạn lần trên, ta đưa DTP DCT: f  λ1x12  λ x 22   λ r x r2 (r  n) (6) Chú ý 7: 1) DCT (6) có ma trận dạng đường chéo (cũng ma trận f sở (e) ) 0  λ1 0 λ 0       Ae   0 λr  0 0 0     0 0   1) Ma trận Tee chuyển từ sở cũ (e) sang sở (e) xác định phép biến đổi Lagrange:  x1   x1   x1   x1      x       T 1  x  , hay  x   T  x  (7), ee ee                  xn   xn   xn   xn  Ví dụ 6: Đưa DTP sau DCT: f (x, x)  9x12  6x 22  6x 32  6x1x  6x1x  12x x Hãy tìm sở (e) , ma trận chuyển sở Tee để sở (e) DTP f có DCT ma trận A e f sở (e) Giải: f (x, x)  (9x12  6x1x  6x1x )  6x 22  6x 32  12x x   [(3x1 )  2.3x1 x  2.3x1 x  x 22  x 22  2x x ]  x 22  x 22  2x x  6x 22  6x 32  12x x   (3x1  x  x )  (5x 22  5x 32  10x x )   (3x1  x  x )  5(x  x )  x1  3x1  x  x  (*) , ta đưa DTP f DCT: f  x12  5x 22 Đặt  x 2  x  x  x  x  Từ (*) ta có (**) 1  0   x1   1 1  x1  (7)  1 1 3  x     1   x    T 1   1   T   1    ee ee  2      0   x   0   x  0       3      Hoặc tìm Tee cách giải hệ (*) để tìm biểu diễn tọa độ cũ qua tọa độ mới: 1  1  3   x1  x1  x 2     Tee   1   x  x 2  x 3  x  x 0  3       1  1  Vậy sở (e) e1   ,0,0  , e2   ,1,0  , e3   0, 1,1 Và từ (**) ta có: 3  3  1 0 A e    0 0   Ví dụ 7: Cho DTP: f (x, x)  2x12  3x 22  4x 32  2x1x  4x1x  3x x Hãy đưa DTP f DCT phương pháp Lagrange Xác định sở mà f có DCT Giải: (Giải sử (e)  e1  (1,0,0),e2  (0,1,0),e3  (0,0,1) sở mà x  (x1 , x , x ) ) f (x, x)  2(x12  x1x  2x1x )  3x 22  4x 32  3x x  1  2(x1  x  x )  x 22  2x 32  2x x  3x 22  4x 32  3x x  2  2(x1  x  x )  x 22  x x  2x 32  2 x  2(x1  x  x )  (x  )  x 32 2 10      x  x  x  x3 x  x  x  x 1 1   10   1   Đặt  x 2  x  x   x  x 2  x 3 5    x 3  x  x  x 3    DTP f đưa DCT: 5x 22 f  2x1   x 3 10 Ma trận Tee chuyển từ sở (e)  e1 , e2 ,, en  sang sở (e)   e1 , e2 ,, en  để f có DCT trên: 9    10     Tee         0    1    Vậy sở (e) e1  1,0,0  , e2   ,1,0  , e3    , ,1 2   10  Chú ý 8: Một DTP biểu diễn dạng nhiều DCT khác nhau, có nhiều sở để DTP có DCT sở Ví dụ 8: Từ ví dụ ta đưa DTP: f (x, x)  9x12  6x 22  6x 32  6x1x  6x1x  12x x , DCT f  x12  5x 22 Bây giờ, ta xét phép biến đổi khác: 2 f (x, x)  9(x12  x1x  x1x )  6x 22  6x 32  12x x  3 x 22 x 32 x x 1  9(x1  2x1 x  2x1 x    2 )  5x 22  5x 32  10x x  3 9 3 x x  9(x1   )  5(x  x ) 3 Bằng cách đổi biến: x x3 x 2     x  x   x  x  1   3     x  x 2  x 3 ,  x 2  x  x  x  x x  x 3     ta đưa f DCT: f  9x12  5x 22 (3*) Nhận xét: (**) (3*) hai DCT khác DTP Tuy nhiên số hệ số tắc khác chúng II) Nếu biểu thức DTP có a ii  0, i  1,2, ,n phải  a ij  0, (i, j 1,n,i  j) , ví dụ chẳng hạn a12  (vì a ij  0, (i, j 1,n,i  j) ta DCT f(x,x) = 0) Khi dùng phếp biến đổi: x  x2 x  x1 x1  , x 2  , x 3  x , , x n  x n 2  x1  x1  x2 , x  x1  x2 , x  x3 , , x n  xn Vậy: f  2a12 x1 x  2a13 x1 x   2a12 (x12  x 22 )  2a13 (x1  x 2 )x    2a12 x12  2a12 x 22  Ví dụ 9: Bằng phương pháp Lagrange đưa DTP sau DCT: f (x, x)  x1x  x x  x x Tìm sở để f có DCT tắc  x1  x1  x 2  x  x  x  Giải: Đặt  Thay vào DTP cho ta có:  x  x   x  x 4 f (x, x)  x12  x 22  x1 x 3  x 2 x 3  x 3 x 4  x x x  (x12  2x1  )  x 22  x 2 x 3  x 3 x 4   4 x x x  (x1  )  (x 22  2x 2  )  x 3 x 4  2 x x  (x1  )  (x 2  )  x 3 x 4 2 x2   x  x  1    x  x  x3  2 Đặt  (4*)   x  x x    x  x3  x4   Khi f có DCT sở (e)   e1 , e2 , e3 , e4  : f (x, x)  x12  x 22  x32  x 24 Để tìm ma trận chuyển sở Tee từ hệ (4*), ta có: x3 x   x  x     x1  x1  x 2   x  x  x3  x  x  x1  x  x  x   2   x 3  x  x  x 3  x  x  x 4  x  x  x  x  x   1 0   1 1    Tee    0 1   0 1  Vậy e1  (1,1,0,0); e2  ( 1,1,0,0); e3  (0, 1,1,1); e  (0,1, 1,1) 6.3.3 Đưa DTP DCT phương pháp Jacobian a.Tiêu chuẩn Sylvester: Cho a1n   a11 a12 a  a a 21 22 2n  A=     a nn   a n1 a n Từ A ta lập định thức góc bên trái A (hay có đường chéo gồm phần tử thuộc đường chéo A) a a12 1  a11 ,   11 , ,  n  det A a 21 a 22 1 ,  , ,  n gọi định thức A b.Tiêu chuẩn Jacobian: Giải sử A ma trận DTP f Nếu 1 ,  , ,  n khác đưa DTP f DCT: f  λ1x12  λ x 22   λ n x n2 ,  λ1  , λ i  i1 (i  2,3, , n) 1 i c.Tiêu chuẩn Jacobian để đưa DTP DCT tìm sở để DTP có DCT sở  a11 a B1: Lập ma trận A =  21    a n1 1 ,  , ,  n a12 a 22 an2 a1n  a 2n  DTP f sau tính định thức   a nn   , λ i  α ii  i1 (i  2, , n) 1 i B3: Tìm αij (i  j, j  2, ,n) lại cách ứng với j = 2,…,n ta giải hệ: B2: Tìm λ1  α11   α1ja11  α ja12   α jja1j   α a  α a   α a  j 22 jj j  1j 21  α a  α ja ( j1)2   α jja ( j1) j   1j ( j1)1  α1ja j1  α ja j2   α jja jj  Cơ sở (e) để f có DCT: f  λ1x12  λ x 22   λ n x n2 , λi  αii vectơ sau:  e1  α11e1 e  α e  α e  12 22    en  α1n e1  α 2n e1   α nn e n Ví dụ 10: Bằng phương pháp Jacobian đưa DTP sau DCT, tìm sở để DTP có DCT đó: f (x, x)  5x12  x 22  3x 32  4x1x  2x1x  2x x Giải: Ma trận A DTP f sở (e)  e1  (1,0,0),e2  (0,1,0),e3  (0,0,1)  1 A   1  1  5,   1,     1      1  , λ  α 22   5, λ  α 33    λ1  α11  1 2 3  Ta tìm α12 ,α13 ,α23 cách giải hệ phương trình sau: α a  α 22 a12  α12  5.2  + Với j = ta có:  12 11   a12  2 α a  α a  α  5.1   12 21 22 22  12 + Với j = ta có:  α13a11  α 23a12  α 33a13   α13  α 23  1.( 1)    α13a 21  α 23 a 22  α 33 a 23    α13  α 23  1.( 1)   α a  α a  α a 1 α ( 1)  α ( 1)  1.3  23 32 33 33 23  13 31  13 α13  α 23   α  1    α13  α 23    13 α  23    α  α  2 23  13 Vậy sở mới: 1  e  α e  (1,0,0)  ( ,0,0) 11  5   e2  α12 e1  α 22 e1  2(1,0,0)  (0,1,0)  ( 2,5,0)  e  α e  α e  α e   (1,0,0)  (0,1,0)  (0,0,1)  ( 1,3,1) 13 22 33   Trong sở f có DCT: f  x12  5x 22  x 32 6.4 Luật quán tính dạng tồn phương xác định dấu 6.4.1 Luật qn tính dạng toàn phương Định nghĩa 8: Cho DCT DTP f(x,x) có dạng: f (x, x)  λ1x12  λ x 22   λ n x 2n Nếu λi  1, 1 (i = 1, 2, , n) DCT gọi dạng chuẩn tắc DTP f Tức dạng chuẩn tắc DTP f có dạng: f (x, x)  (1)x12  (1)x 22   ( 1)x r2 (r  n) (8) Chú ý 9: Mọi DCT DTP f đưa dạng chuẩn tắc (!!?) Định lý (Luật quán tính): Số số hạng có hệ số dương số số hạng có hệ số âm dạng chuẩn tắc DTP không phụ thuộc vào cách đưa DTP dạng chuẩn tắc Định nghĩa 9: Giải sử DTP f đưa dạng chuẩn tắc  Số hệ số khác (8) gọi số quán tính (CSQT) DTP f  Số hệ số (-1) (8) gọi CSQT âm DTP f  Số hệ số (8) gọi CSQT dương DTP f 6.4.2 Phân loại dạng toàn phương Định nghĩa 10: DTP f(x,x) gọi: a) Xác định dương f (x, x)  0, x  θ b) Xác định âm f (x, x)  0, x  θ c) Bán xác định dương f (x, x)  0, x  x  θ : f (x , x )  d) Bán xác định âm f (x, x)  0, x  x  θ : f (x , x )  e) Không xác định dấu  x1 , x : f  x1 , x1   0, f  x , x2   Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester): Cho DTP f  f(x,x) xác định dương 1  0, 2  0, , n   f(x,x) xác định âm 1  0,   0, ,(1)n  n  Định lý (Phân loại DTP theo CSQT): Cho f(x,x) DTP KGTT n chiều X Ta phân loại DTP sau: a) f(x,x) xác định dương (tương ứng, âm) CSQT dương (tương ứng, âm) n.(f có dấu khơng đổi) b) f(x,x) khơng xác định dấu (có dấu thay đổi) CSQT dương CSQT âm khác c) f(x,x) bán xác định dương (tương ứng, bán xác định âm) CSQT dương (tương ứng, âm) nhỏ n CSQT âm (tương ứng, dương) Sinh viên tự xem ví dụ phần Chương KHƠNG GIAN EUCLIDE 4.1 Khơng gian Euclide 4.1.1 Các định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1: Cho V – KGVT R Ta gọi tích vơ hướng hai vectơ u, v  V ánh xạ ,: V  V  R (u, v)  u ,v  thỏa tiên đề sau: u, v, w V, k R  u, v   v,u   u  v, w   u, w    v, w   ku, v   k  u, v   u, u   0,  u, u    u  θ Định nghĩa 2: KGVT V có trang bị tích vơ hướng gọi KG Euclide Ví dụ 1: Trong KGVT R2, R3 vectơ tự mặt phẳng không gian, ta xét tích vơ hướng vectơ theo ý nghĩa thơng thường:        u, v  | u | | v | cos(u, v) R2, R3 KG Euclide Ví dụ 2: Xét KGVT Rn với u  (u1 ,u , ,u n ), v  (v1, v , , v n ) , ta định nghĩa:  u, v  u1v1  u v   u n v n (R , < , >) KGVT Euclide n 4.1.2 Độ dài góc khơng gian Euclide, bất đẳng thức Định nghĩa 3: Cho (V, < , >) – KG Euclide Với u V ta định nghĩa ký hiệu độ dài (môđun) hay chuẩn u: u :  u,u  Nếu u  u gọi vectơ đơn vị Ví dụ 3: Trong Rn, u  (u1, u , , u n ) , ta có: u  u12  u 22   u n2  (u12  u 22   u n2 )1/2 Tính chất độ dài Độ dài vectơ có tinh chất sau: u  0, u   u  θ ku  |k| u u  v  u  v Định nghĩa 4: Cho (V, < , >) – KG Euclide Góc hai vectơ u, v V cho công thức: ^  u, v  cos(u, v) : u.v Bất đẳng thức Cauchy – Schwars (BĐT C-S): Cho (V, < , >) – KG Euclide Khi u, v V | u, v |  u v Dấu "  " xảy u,v tỉ lệ Áp dụng BĐT C-S vào KG Euclide Rn ta có BĐT Bunnhiacopsky: u  (u1 , u , , u n ), v  (v1 , v , , v n ) (u1v1  u v   u n v n )  (u12  u 22   u n2 )(v12  v 22   v n2 ) 4.2 Hệ trực giao Quá trình trực giao – trực chuẩn hóa Gram – Schmid 4.2.1 Hệ trực giao – Hệ trực chuẩn Định nghĩa 1:Trong KG Euclide, hai vectơ u v gọi trực giao, ký hiệu u v,  u, v   Định nghĩa 2: Giả sử V KG Euclide Ta gọi hệ u1 , u ,, u k  V i) trực giao  u i , u j  0, i, j  1, ,k, i  j ii) trực chuẩn trực giao u i  1, i  1, ,k Định lý 1: Mọi hệ trực giao vectơ khác không (trực chuẩn) hệ độc lập tuyến tính Định lý 2: Giả sử S  {u1 , u ,, u n } hệ độc lập tuyến tính vectơ KG Euclide V Khi ta tìm hệ trực giao (trực chuẩn) S'  {v1, v ,, v n } cho span{u1 ,u ,,u k } = span{v1 , v ,, v k },k  1, 2, , n 4.2.2 Quá trình trực giao- trưc chuẩn hóa Gram – Schmidt Trong khơng gian Euclide Vcho hệ vectơ đltt u1, u ,, u n  Quá trình trực trao: Đặt v1  u1 , v2  u   u , v1  v1,  v1, v1  n 1  u n   i 1  u n , vi  vi  vi , vi  Khi v1, v ,, v n  hệ trực giao Quá trình trực chuẩn: Đặt v1  u1 , u1 v2  v2 v2   vn v2  u   u , v1  v1 ,  n 1 v n  u n    u n , vi  vi i 1 Khi v1, v ,,v n  hệ trực chuẩn Ví dụ: Hãy trực chuẩn hóa hệ S  {u1 , u , u 3} R3 u1  (1,1,1), u  ( 1,1,1),u  (1, 2,1) Giải: u1 1 ( , , ), u1 3  v1   v2  u   u , v1  v1  ( 1,1,1)  v2    v2  1 1 2 ( , , )  ( , , ) 3 3 3 v2 1  ( , , ), v2 6 v3  u   u , v1  v1   u , v2  v   (1, 2,1)  1 1 1 1 ( , , ) ( , , )  (0, ,  ) 2 3 3 6 6 v3  v 1  v3   (0, , ) v3 2 Vậy S'  {v1, v , v3} hệ trực chuẩn hóa hệ S Bổ sung: Định nghĩa: Một sở KGVT V mà hệ trực giao (trực chuẩn) gọi sở trực giao (trực chuẩn) Định lý: Mọi hệ trực giao (trực chuẩn) KGVT V bổ sung để trở thành sở trực giao (trực chuẩn) Hệ quả: Mọi KGVT V tồn sở trực giao (trực chuẩn) ... trị riêng A • v vector riêng A ứng với trị riêng