Chương DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Chương DẠNG TOÀN PHƯƠNG Chương 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 3.1 Ánh xạ tuyến tính – Dạng song tuyến tính 3.2 Dạng toàn phương 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân Ánh xạ tuyến tính 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân Ví dụ 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân Dạng song tuyến tính 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân Định lý: Ánh xạ f dạng song tuyến tính f có dạng: f : n  m ⎯⎯ → , n m f ( x, y ) =  aij xi y j i =1 j =1 Khi f ( x, y ) = x  A  y T Đặt Ví dụ: f ( x, y ) = x1 y1 + x1 y2 + x1 y3 − x2 y1 + x2 y2 − x3 y3  f ( x, y ) = ( x1 1/8/2019 x2    y1     x3 )  −4   y2   0 −5   y     Nguyễn Ngọc Ái Vân Dạng toàn phương Định nghĩa: Cho f : n  n ⎯⎯ dạng song tuyến → tính đối xứng Khi q(x)=f(x,x) gọi dạng toàn phương n m f ( x, y ) =  aij xi y j = xAy T  q ( x) = f ( x, x) = xAxT i =1 j =1 Nhận xét: 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 10 Dạng tắc dạng tồn phương • Giả sử S sở V cho dạng toàn phương q(x) có dạng: 0  1    T   q ( x) = [ x]S   0 0  n  [ x ]S  u1  nghĩa [ x]S =   q ( x) = 1u12 + 2u22 + u   n + nun2 Đây gọi dạng tắc dạng tồn phương 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 11 Nhận xét Nếu dạng toàn phương q(x1,x2, ,xn) có dạng tắc q ( x) = 1u12 + 2u22 + + nun2  x1   u1      x u2  2   với P ma trận vuông khả nghịch cấp n =P          xn   un  tập hợp vector cột ma trận P sở S biểu diễn: 0  u1   1     2 T T   u2   [ x]S = 1/8/2019      un  , q ( x ) = [ x ]S   0 Nguyễn Ngọc Ái Vân 0  n  [ x ]S 12 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 13 Suy R3 ứng với dạng tắc 1/8/2019 sở q = ( x ') − ( y ') + 2( z ') Nguyễn Ngọc Ái Vân 14 Xác định sở ứng với dạng toàn phương Cách 2:  −1   Q = 0  0     x'  x       y ' = Q  y   z' z      −1    1  P( E → S ) = Q −1 =  −   2 0    Suy R3 ứng với dạng tắc 1/8/2019  Q = P( S → E ) sở q = ( x ') − ( y ') + 2( z ') Nguyễn Ngọc Ái Vân 15 sở R3 ứng với dạng tắc q( x, y, z ) = 4( x ") − ( y ") − 3( z ") 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 16 Đưa DTP DCT phép biến đổi trực giao 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 17 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 18 ... = 1u12 + 2u22 + u   n + nun2 Đây gọi dạng tắc dạng toàn phương 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 11 Nhận xét Nếu dạng tồn phương q(x1,x2, ,xn) có dạng tắc q ( x) = 1u12 + 2u22 + + nun2 ...   0 −5   y     Nguyễn Ngọc Ái Vân Dạng toàn phương Định nghĩa: Cho f : n  n ⎯⎯ dạng song tuyến → tính đối xứng Khi q(x)=f(x,x) gọi dạng tồn phương n m f ( x, y ) =  aij xi y j = xAy... xét: 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 1/8/2019 Nguyễn Ngọc Ái Vân 10 Dạng tắc dạng tồn phương • Giả sử S sở V cho dạng tồn phương q(x) có dạng: 0  1    T   q ( x) = [ x]S   0 0  n  [ x