Luận văn thạc sĩ toán học đường tròn lucas của tam giác và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Tiến Hưng ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Tiến Hưng ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN 2020 i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12A7; Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục Đào tạo Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K12A7 ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Nguyễn Thị Tiến Hưng ii Danh mục hình 1.1 Hình vng nội tiếp tam giác 1.2 Ba tam giác Lucas 1.3 Các đường tròn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas 1.4 Khoảng cách hai tâm Lucas 1.5 Đường tròn Lucas (OA , RA ) tiếp xúc với (ABC) 1.6 Đường tròn Lucas đường tròn Apollonius 1.7 O1 tâm đường tròn A−Apollonius 1.8 4ABC 4A0 B C trực giao với 1.9 4OA OB OC vị tự với 4ABC , trực giao với 4TA TB TC 1.10 2Ra − bc > 0, 2Rb − ca > 0, 2Rc − ab > 1.11 Các đường tròn tiếp xúc 1.12 Hình vng nội tiếp với hai đỉnh BC 1.13 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 10 11 12 14 15 17 18 19 20 2.1 Ba điểm X , Y , Z thẳng hàng 2.2 Tâm vị tự hai đường tròn 2.3 Trục vị tự ba đường tròn 2.4 Cặp điểm liên hợp đẳng cự 2.5 Cặp điểm liên hợp đẳng cự: Ge N 2.6 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L G 2.7 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L G 2.8 Tam giác Kiepert tâm phối cảnh Kiepert theo θ 2.9 Đường tròn trực giao với đường tròn bàng tiếp 2.10 Hai đường trịn vị tự từ hai hình vng vị tự 2.11 Tam giác Ta Tb Tc vị tự với tam giác ABC 2.12 Đường tròn đẳng phương ba đường tròn Lucas 25 26 27 29 30 33 34 36 40 42 43 45 3.1 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 51 iii 3.2 Các đường tròn C1a , C1b , C1c 52 a b c 3.3 Đường tròn đẳng phương C1 , C1 , C1 54 3.4 Các đường níc sinh từ hình vng nội tiếp 60 iv Mục lục Chương Đường tròn Lucas tam giác 1.1 Đường tròn Lucas tính chất 1.2 Đường trịn Lucas cơng thức Descartes 16 Chương Đường tròn Lucas tọa độ barycentric 2.1 Tọa độ barycentric 2.1.1 Các định nghĩa ký hiệu 2.1.2 Công thức Conway tâm phối cảnh Kiepert 2.2 Đường tròn Lucas với tâm tam giác 2.2.1 Đường tròn đẳng phương Lucas 2.2.2 Họ đường tròn đồng trục Schoute Chương Một số vấn đề liên quan 3.1 Đường tròn Lucas đường tròn Soddy 3.1.1 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 3.1.2 Điều kiện tồn đường tròn Soddy 3.2 Ba họ vơ hạn đường trịn 3.2.1 Các tâm vị tự 3.2.2 Hai đường cô níc Tài liệu tham khảo 22 22 22 34 41 44 47 50 50 50 51 52 57 58 64 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu A−Lucas, Ca B−Lucas, Cb C−Lucas, Cc (OA , RA ) A−Apollonius Ta Tb Tc CA (RA ) Ge N 10 L, LA , LB , LC 11 σ 12 σθ 13 K(θ) 14 15 16 17 X( ) OL Ca , Cb , Cc Cna , Cnb , Cnc Nội dung ký hiệu Trang Đường tròn Lucas qua A Đường tròn Lucas qua B Đường tròn Lucas qua C Đường tròn Lucas tâm OA , bán kính RA Đường trịn Apollonius ứng với đỉnh A 11 Tam giác tiếp xúc 13 R−RA Đường tròn tâm R A bán kính RA 16 Điểm Gergonne 29 Điểm Nagel 29 Điểm đối trung điểm đối trung mở rộng 32 Ký hiệu Conway, σ = 2SABC 33 Ký hiệu Conway, σθ = σ cot θ 33   1 Tâm Kiepert : : 35 σA + σθ σB + σθ σC + σθ Tâm tam giác, [4] 35 Trục Brocard 40 Các đường tròn Lucas 40 Ba họ đường tròn tiếp xúc 53 Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Đề tài “Đường tròn Lucas tam giác số vấn đề liên quan” bao gồm cách xác định ba đường trịn Lucas, tâm Lucas, phương trình Lucas, đường trịn đẳng phương Lucas mối liên hệ đường tròn Lucas tâm tam giác Các khái niệm gắn liền với tên tuổi Edouard Lucas (1842-1891), nhà toán học người Pháp, người phát tính chất thú vị dãy số Lucas, dãy sinh đôi với dãy số Fibonacci Mục đích đề tài là: - Nghiên cứu tính chất đường trịn Lucas phương pháp hình học truyền thống phương pháp tọa độ (barycentric), tìm mối liên quan đường tròn Lucas với tâm tam giác xác định danh sách C Kimberling, [4] - Trình bày tính chất liên quan đường trịn Lucas đường tròn Apollonius, đường tròn Soddy - Dùng phương pháp tọa độ tìm cặp tam giác phối cảnh, tam giác vị tự Các tâm phối cảnh, tâm vị tự tìm tâm tam giác có [4] điểm chưa có danh sách Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Dựa vào tài liệu [1], [2] [3] luận văn trình bày tính chất đường tròn Lucas tam giác mối quan hệ với đường tròn khác, điểm đặc biệt khác tam giác; số ứng dụng quan trọng kết tìm đường trịn đẳng phương Lucas, cơng thức Descartes, họ đường trịn đồng trục Schoute, Nội dung luận văn chia làm chương Chương Đường tròn Lucas tam giác Xuất phát từ ba hình vng nội tiếp tam giác xây dựng ba đường tròn Lucas tam giác Bằng phương pháp hình học truyền thống giới thiệu tính chất đường trịn Lucas thơng qua hệ thức hình học Chương bao gồm (nội dung tham khảo [2], [5]): 1.1 Đường tròn Lucas tính chất 1.2 Đường trịn Lucas cơng thức Descartes Chương Đường tròn Lucas tọa độ barycentric Các tính tốn chủ yếu sử dụng kết tọa độ barycentric Từ phương trình đường trịn tìm cặp tam giác phối cảnh tam giác vị tự, từ có mối liên hệ đường tròn Lucas tâm tam giác (tổng hợp mệnh đề [3]) Chương bao gồm mục: 2.1 Tọa độ barycentric 2.2 Đường tròn Lucas với tâm tam giác Chương Một số vấn đề liên quan Bằng cách tính tương tự rút điều kiện tồn đường trịn Soddy tam giác Giới thiệu ba họ đường tròn ứng dụng kết vào việc xây dựng chuỗi đường trịn, từ thu loạt cặp tam giác phối cảnh vị tự Nội dung chương bao gồm: 3.1 Đường tròn Lucas đường trịn Soddy 3.2 Ba họ vơ hạn đường tròn 4 Chương Đường tròn Lucas tam giác 1.1 Đường trịn Lucas tính chất Ta bắt đầu khái niệm quen thuộc: hình vng X1 X2 X3 X4 nội tiếp ∆ABC Vì hình vng có đỉnh cịn tam giác có cạnh nên cạnh tam giác phải chứa đỉnh hình vng Dựng hình vng nội tiếp tam giác toán biết phổ thơng (Hình 1.1) Dựng hình vng Hình 1.1: Hình vng nội tiếp tam giác DEF G Hình 1.1a Nếu đường thẳng LM qua G, song song với AC ∆LBM với hình vng DEF G nội tiếp hồn tồn thỏa mãn điều kiện đặt kích thước nhỏ Nhắc lại góc tương ứng b thành phần hai hình đồng dạng nhau, kéo theo BG chia góc B [ Kéo dài BG gặp AC X3 , sau ta dựng hình x, y BS chia góc ABC vng X1 X2 X3 X4 nội tiếp tam giác, có đỉnh BC , Hình 1.1b Tương tự có hình vng nội tiếp Y1 Y2 Y3 Y4 , Z1 Z2 Z3 Z4 , hai đỉnh CA AB Có thể dựng hình vng nội tiếp đơn giản cách dựng hình vng cạnh tam giác, phía ngồi tam giác, Hình 1.2 Ta biết hình Hình 1.2: Ba tam giác Lucas vng hình vng phải có cạnh nằm cạnh (hoặc phần kéo dài) tam giác Định nghĩa 1.1 Cho ∆ABC , ta gọi tam giác có đỉnh đỉnh tam giác ABC , hai đỉnh hai đỉnh hình vng nội tiếp thuộc cạnh bên, tam giác Lucas Đường tròn ngoại tiếp tam giác Lucas gọi đường tròn Lucas 6 Mỗi tam giác ABC cho trước có tam giác Lucas tương ứng có ba đường trịn Lucas Đường tròn Lucas qua A ký hiệu (OA , RA ), gọi đường tròn A−Lucas Tương tự với ký hiệu (OB , RB ), (OC , RC ) cách gọi đường tròn B−Lucas C−Lucas Các điểm OA , OB , OC gọi tâm Lucas, RA , RB , RC gọi bán kính Lucas Tam giác OA OB OC gọi tam giác tâm Lucas Ta có hệ thức liên quan đến bán kính đường trịn Lucas Hình 1.3: Các đường trịn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas Mệnh đề 1.1 Khoảng cách từ tâm ngoại tiếp đến tâm Lucas OOA = R − RA ; OOB = R − RB ; OOC = R − RC (1.1) Chứng minh Xét đường tròn Lucas qua A (Hình 1.1b) Vì X4 X3 k BC nên [ 4AX4 X3 v 4ABC bán kính OA đường trịn (ABC) chia góc BAC [ thành hai phần u, v hồn tồn giống bán kính OA A chia góc X\ AX3 = BAC Điều kéo theo A, OA , O thẳng hàng từ OOA = R − RA Tương tự ta có hai đẳng thức cịn lại Mệnh đề 1.2 Bán kính đường trịn Lucas RA = bcR ; bc + 2aR RB = acR ; ac + 2bR RC = abR ab + 2cR (1.2) Chứng minh Xét đường trịn Lucas qua A Giả sử hình vng nội tiếp X1 X2 X3 X4 có cạnh x, Hình 1.5 Từ tam giác ABC AX4 X3 ta có a x R= RA = Gọi AY , AZ đường cao hạ từ A 4AX4 X3 sin A sin A 4ABC Khi Y Z = x AZ = b sin C (do 4AZC vuông Z ) Tỉ số hai đường cao AZ − x x AY = =1− AZ AZ b sin C AY X4 X3 x Vì 4AY Z 4AZC đồng dạng nên = = (do 4AX4 X3 v 4ABC ) AZ X4 C a x x thay x 2RA sin A ta thu Từ đó, = − a b sin C 2RA sin A 2RA sin A =1− a b sin C a sin A = , đẳng thức tương đương với Theo Định lý sin : sin C c 2RA sin A 2RA a + = a bc Nhân hai vế với abc, rút gọn được: RA = Bây từ R = abc 2bc sin A + 2a2 a ta có: sin A R= abc 2bc sin A 2bc sin A = abc R Do đó, RA = abc abc bcR = = abc 2bc sin A + 2a bc + 2aR + 2a R Tương tự, acR ; ac + 2bR RB = RC = abR ab + 2cR Hệ thức (1.2) hệ thức tương tự chứng minh Eduard Lucas (1842 − 1891) vào năm 1879 chúng tiếp tục “giấy khai sinh” đường trịn Lucas Hệ 1.1 Ta có đồng thức
a2 + b + c 1 + + = + RA RB RC R abc Chứng minh Từ (1.2) ta suy 1 + + RA RB RC bc + 2aR ac + 2bR ab + 2cR + + bcR acR abR 2a 2b 2c = + + + R bc ca ab 2a2 2b2 2c2 + + + = R bca cab abc
a2 + b + c = + R abc = Đồng thức chứng minh Mệnh đề 1.3 Biểu diễn khác công thức (1.1) OOA = 2aRRA ; bc OOB = 2bRRB ; ac Chứng minh Từ hai tính chất ta có  OOC = bcR bc OOA = R − =R 1− bc + 2aR bc + 2aR Từ (1.2), RA =  = 2cRRC ab 2aR2 bc + 2aR bcR bcR kéo theo bc + 2aR = , vậy: bc + 2aR RA OOA = R − RA = Tương tự, OOB = 2bRRB ; ac 2aR2 2aRRA 2aR2 = = bcR bc + 2aR bc RA OOC = 2cRRC ab (1.3) Hình 1.4: Khoảng cách hai tâm Lucas Mệnh đề 1.4 Khoảng cách hai tâm Lucas OA OB = RA + RB ; OB OC = RB + RC ; (1.4) OC OA = RC + RA Chứng minh Khoảng cách tính dựa vào Định lý sin lưu ý b O\ A OOB = 2C Ta có |OA OB |2 = (R − RA )2 + (R − RB )2 − 2(R − RA )(R − RB ) cos 2C = (R − RA )2 + (R − RB )2 − 2(R − RA )(R − RB ) − sin2 C = (RA − RB )2 + 4(R − RA )(R − RB ) sin2 C = (RA − RB )2 + 4RA RB · 4R2 sin2 C c2 = (RA − RB )2 + 4RA RB (vì R = c ) sin C = (RA + RB )2 Kéo theo OA OB = RA + RB Tương tự với hai đẳng thức cịn lại Ta suy tính chất:
10 Tính chất 1.1 Ba đường trịn Lucas tiếp xúc với đường tròn (ABC) đỉnh A, B , C đơi tiếp xúc ngồi Hình 1.5: Đường trịn Lucas (OA , RA ) tiếp xúc với (ABC) Chứng minh Theo chứng minh Mệnh đề 1.1, ba điểm A, O, OA thẳng hàng nên (OA , RA ) tiếp xúc với (O, R) A Ba đường trịn Lucas đơi tiếp xúc ngồi (1.4) Từ ta thu kết sau: Ba đường tròn Lucas tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo thành đường tròn mà đường tròn tiếp xúc với ba đường trịn Định nghĩa 1.2 Đường trịn quỹ tích điểm mà tỷ số khoảng cách từ đến hai điểm cố định số k gọi đường trịn Apollonius đoạn thẳng ứng với tỷ số k , người ta gọi đường tròn Apollonius kiểu đoạn thẳng Chú ý k = 1, đường tròn Apollonius suy biến thành đường trung trực đoạn thẳng 11 Hình 1.6: Đường trịn Lucas đường trịn Apollonius Từ định nghĩa tính chất đường trịn Apollonius đoạn thẳng xác định ba đường trịn Apollonius tam giác: Đường tròn Apollonius 4ABC ứng với đỉnh A đường tròn qua A hai chân đường phân giác Ab Như tam giác, có ba đường tròn Apollonius kiểu ứng với ba đỉnh tam giác Ta gọi đường tròn A−Apollonius, B−Apollonius C−Apollonius, tương ứng Sau số tính chất liên quan đường tròn Lucas đường tròn Apollonius tam giác tùy ý cho trước Tính chất 1.2 Giả sử (OA , RA ), (OB , RB ), (OC , RC ) ba đường tròn Lucas 4ABC Khi O1 = OB OC ∩ BC , O2 = OC OA ∩ CA, O3 = OA OB ∩ AB tâm đường tròn A, B , C−Apollonius 4ABC Chứng minh Áp dụng Định lý Menelaus vào tam giác OBC : O1 B OC C OB O · · = O1 C OC O OB B Do O1 B RC R − RB · · = O1 C R − RC RB 12 Hình 1.7: O1 tâm đường tròn A−Apollonius Theo hệ thức (1.2), RB = abR acR ; RC = ta có ac + 2bR ab + 2cR O1 B RB (R − RC ) 2ac2 R3 c2 = = = O1 C RC (R − RB ) 2ab2 R3 b Đẳng thức chứng tỏ O1 chân đường đối trung qua A 4ABC , nghĩa O1 tâm đường tròn A−Apollonius Tương tự cho điểm O2 , O3 Tính chất 1.3 Ký hiệu N1 tiếp điểm B−Lucas C−Lucas Khi đó, N1 thuộc đường tròn A−Apollonius Tương tự N2 , N3 Chứng minh Tâm đẳng phương ba đường tròn B−Lucas, C−Lucas (ABC) điểm TA giao hai tiếp tuyến B , C (ABC), Hình 1.7 Ta suy BTA = CTA = N1 TA nên N1 thuộc đường trịn CA có tâm TA , trực giao với (ABC) B C Mặt khác trục đẳng phương hai đường tròn B−Lucas C−Lucas đường thẳng TA N1 OA N1 tiếp xúc với CA N1 Xét phương tích OA CA , ta có OA N12 = OA B · OA C 13 Cũng vậy, OA A2 = OA B · OA C Ta suy OA A = OA N1 , nghĩa N1 thuộc đường trịn A−Apollonius Chú ý Ta có kết quả: N1 tâm đẳng phương ba đường tròn A−Apollonius, B−Lucas, C−Lucas Tương tự cho N2 , N3 Tính chất 1.4 Hai đường trịn A−Lucas A−Apollonius trực giao Chứng minh Thật vậy, bán kính đường trịn A−Apollonius ln vng góc với bán kính đường trịn ngoại tiếp (ABC) OA nên bán kính A−Apollonius ln vng góc với bán kính đường trịn A−Lucas Do đó, hai đường tròn A−Lucas A−Apollonius trực giao Tương tự ta có đường trịn B−Lucas trực giao với đường trịn B−Apollonius đường tròn C−Lucas trực giao với đường tròn C−Apollonius Nhắc lại tam giác TA TB TC xác định tiếp tuyến A, B , C đường tròn (ABC) tam giác tiếp xúc 4ABC Ta có khái niệm hai tam giác trực giao sau: Định nghĩa 1.3 Ta gọi 4ABC 4A0 B C hai tam giác trực giao với đường thẳng vng góc kẻ từ A, B , C tương ứng tới B C , C A0 , A0 B đồng quy điểm Mệnh đề 1.5 Cho hai tam giác 4ABC 4A0 B C Khi đường thẳng vng góc kẻ từ A, B , C tương ứng tới B C , C A0 , A0 B đồng quy đường thẳng vng góc kẻ từ A0 , B , C tương ứng tới BC , CA, AB đồng quy Chứng minh Gọi AA1 ⊥ B C , BB1 ⊥ C A0 , CC1 ⊥ A0 B , A0 A01 ⊥ BC , B B10 ⊥ CA, C C10 ⊥ AB Theo Định lý Carnot (phát biểu [2]), đường AA1 , BB1 , 14 Hình 1.8: 4ABC 4A0 B C trực giao với CC1 đồng quy P (AB 02 − AC 02 ) + (BC 02 − BA02 ) + (C B − CB 02 ) = ⇔ (B A2 − B C ) + (A0 C − A0 B ) + (C B − C A2 ) = 0, đường thẳng A0 A01 , B B1 , C C10 đồng quy, Hình 1.8 Ta gọi P tâm trực giao 4A0 B C ứng với ba điểm A, B , C ; Q tâm trực giao 4ABC ứng với ba điểm A0 , B , C Trong Hình học, hệ thống trực giao tập hợp bốn điểm mặt phẳng mà điểm chúng trực tâm tam giác tạo ba điểm lại Nếu bốn điểm A, B , C , D lập thành hệ thống trực giao bốn tam giác ABC , BCD, CDA, DAB có đường trịn chín điểm (đường trịn coi đường trịn chín điểm hệ thống trực giao) Hệ đường ... σC + σθ Tâm tam giác, [4] 35 Trục Brocard 40 Các đường tròn Lucas 40 Ba họ đường tròn tiếp xúc 53 Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Đề tài ? ?Đường tròn Lucas tam giác số vấn đề liên quan? ?? bao gồm... thuộc cạnh bên, tam giác Lucas Đường tròn ngoại tiếp tam giác Lucas gọi đường tròn Lucas 6 Mỗi tam giác ABC cho trước có tam giác Lucas tương ứng có ba đường trịn Lucas Đường tròn Lucas qua A ký... 2.2 Đường tròn Lucas với tâm tam giác 2.2.1 Đường tròn đẳng phương Lucas 2.2.2 Họ đường tròn đồng trục Schoute Chương Một số vấn đề liên quan 3.1 Đường tròn Lucas đường