Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN PHƯƠNG HẬU ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Toán ứng dụn[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN PHƯƠNG HẬU ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN TS NGUYỄN HỮU SÁU Thái Nguyên, 11/2020 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Một số bổ đề bổ trợ 12 1.3 Bài toán ổn định thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ 13 1.4 Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên 17 Chương Điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 20 2.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 20 2.2 Ví dụ số 30 LỜI NÓI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [10, 11] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [11, 21] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [7] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [7, 21] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần Như biết, nhiều lý lỗi đo lường, xấp xỉ tuyến tính, khơng xác việc mơ hình hóa, nhiễu loạn thường khơng thể tránh khỏi hệ thống mạng thần kinh mơ tả hệ phương trình vi phân bậc ngun bậc khơng ngun Do nghiên cứu hiệu suất suy giảm nhiễu thơng qua phương pháp kiểm sốt H∞ toán quan trọng nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Trong năm gần đây, toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nước quốc tế [2, 4, 6, 22, 24] Sử dụng phương pháp tiếp cận thời gian dừng trung bình, Xiang cộng [24] nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch trung tính Sau kết Xiang cộng [24] cải tiến Wang cộng [22] cho lớp hệ chuyển mạch trung tính hệ không ổn định hữu hạn thời gian Ali Saravanan [4] đưa vài tiêu chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh khơng chắn chuyển mạch có trễ hỗn hợp cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Bài tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh trung tính Markovian nghiên cứu Baskar cộng [6] Chú ý kết nói áp dụng cho lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên Gần đây, M.V Thuan cộng [20] nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính số tính chất đạo hàm, tích phân phân thứ Luận văn tập trung trình bày tính số tiêu chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần (xem [20]) Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau đây: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Ngồi ra, chúng tơi trình bày tốn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc ngun chúng tơi trình bày chương Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [13, 14, 15, 17, 18] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [20] Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn 5 Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) p λmax (A> A) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [13, 14, 15] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 ([15]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([15]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([15]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn n−α dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := dαe số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) 1, t ≥ f (t) = 0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] d D= dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Hệ 1.1 ([15]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] Z t f (t ) f (s)ds RL α + t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville toán tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([14]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α tốn tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t dn t λ µ n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) Định nghĩa 1.3 ([14]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It n := dαe số nguyên nhỏ lớn α Dn = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n T Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α t0 Dt x(t) := T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) Định lý sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đào hàm Caputo phân thứ cấp α ... nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính số tính chất đạo hàm, tích phân phân thứ Luận văn tập... 12 1.3 Bài toán ổn định thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ 13 1.4 Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân với bậc... chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần (xem [20]) Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau đây: Trong chương