Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ DUY TOẢN THUẬT TOÁN TÁCH LIONS MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LUÂN HƯỚNG TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ DUY TOẢN THUẬT TỐN TÁCH LIONS-MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LN HƯỚNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ DUY TOẢN THUẬT TỐN TÁCH LIONS-MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LN HƯỚNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Khơng gian Hilbert tốn tử đơn điệu cực đại 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử đơn điệu cực đại Chương Thuật toán tách Lions–Mercier phương pháp ln hướng tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại 16 2.1 Phương pháp tách 16 2.1.1 Mô tả phương pháp 16 2.1.2 Triển khai phương pháp 20 2.2 Mối quan hệ phương pháp ngược phần 24 2.2.1 Giới thiệu 24 2.2.2 Mối quan hệ với thuật toán tách Lions–Mercier 26 2.3 Phương pháp luân hướng 27 2.3.1 Nguồn gốc phương pháp luân hướng 27 2.3.2 Mối liên hệ với phương pháp tách 28 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực Rn , Rm H H∗ không gian véc tơ n, m chiều tương ứng không gian Hilbert thực không gian liên hợp H C[a, b] conv C tập hàm thực lien tục [a, b] bao lồi tập C conv C A∗ A bao lồi đóng tập C tốn tử liên hợp toán tử A toán tử mở rộng toán tử A dom A gra A domf miền xác định toán tử A đồ thị toán tử A miền hữu hiệu hàm f epif zer(A) Jr,T tập đồ thị hàm f tập tất khơng điểm A, A−1 (0) tốn tử giải tốn tử T NC ∅ δC (.) hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C tập rỗng hàm C V⊥ bù vng góc khơng gian V Mở đầu Cho A B hai tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert H, C := A + B Nội dung đề tài luận văn nghiên cứu tốn tìm khơng điểm toán tử C sở kết J Eckstein [4] Để giải toán này, J Eckstein [4] đưa vào toán tử đơn điệu cực đại Sλ,A,B mà tập khơng điểm xấp xỉ tập khơng điểm A + B Trong trường hợp B nón chuẩn tắc khơng gian tuyến tính Sλ,A,B trùng với ngược phần tốn tử Spingarn (xem [12], [13]) Ngoài ra, r = tốn tử giải (I + rSλ,A,B )−1 Sλ,A,B tốn tử G(λ) Lions–Mercier [6] Vì vậy, thuật toán Lions–Mercier thực thuật toán điểm gần kề ứng dụng cho tốn tử Sλ,A,B Ngồi ra, J Eckstein [4] kỹ thuật Spingarn cho cực tiểu phiếm hàm lồi không gian tuyến tính thực chất trường hợp riêng cách tiếp cận Lions–Mercier Đồng thời thuật toán Lions–Mercier mở rộng thuật toán luân hướng qui hoạch lồi Gabay [5] thuật toán ln hướng ví dụ thuật tốn điểm gần kề Mục đích đề tài luận văn trình bày lại kết J Eckstein [4] mối quan hệ số thuật tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại: thuật toán điểm gần kề đưa Martinet [7], sau phát triển Rockafellar [10]; phương pháp Lions–Mercier tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại [6]; phương pháp ngược phần Spingarn cho toán tử đơn điệu cực đại [12], [13] Nội dung đề tài luận văn viết hai chương: Chương 1: "Khơng gian Hilbert tốn tử đơn điệu cực đại" Chương giới thiệu không gian Hilbert trường số thực số kiến thức giải tích lồi Tiếp theo giới thiệu toán tử đơn điệu cực đại định nghĩa tốn tìm khơng điểm tốn tử Chương 2: "Thuật toán tách Lions–Mercier phương pháp ln hướng tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại" Chương nghiên cứu số phương pháp tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại, phương pháp Lion–Mercier thực chất trường hợp đặc biệt thuật toán điểm gần kề, đồng thời nêu nguồn gốc phương pháp luân hướng đưa mối quan hệ với thuật tốn tách Luận văn hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Học viên Ngô Duy Toản Chương Không gian Hilbert tốn tử đơn điệu cực đại Chương trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert thực H, giới thiệu tốn tử đơn điệu cực đại, định nghĩa không điểm để phục vụ cho chương sau Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [7], [10] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian tuyến tính xác định trường số thực R Một tích vô hướng H ánh xạ h·, ·i : H × H → R thỏa mãn tính chất sau: i hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H hx, xi = x = 0, ii hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H, iii hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H, iv hαx, yi = α hx, yi , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R Số thực hx, yi gọi tích vơ hướng hai véctơ x y Cặp (H, h·, ·i) gọi không gian tiền Hilbert Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, ∀x, y ∈ H ta có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi 4 Chứng minh Với y = bất đẳng thức hiển nhiên Giả sử y 6= ∀λ ∈ R ta có: hx + λy, x + λyi > 0, nghĩa hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2 hy, yi > |hx, yi|2 hx, yi ta hx, xi− > hay |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi Chọn λ = − hy, yi hy, yi Bất đẳng thức chứng minh Dấu bất đẳng thức Schwarz xảy x y phụ thuộc tuyến tính Mối quan hệ khái niệm chuẩn tích vơ hướng thể qua nhận xét sau: Nhận xét 1.1.3 Mọi không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định: kxk = p hx, xi, x ∈ H Bất đẳng thức Schwarz viết lại: |hx, yi| ≤ kxk.kyk Định nghĩa 1.1.4 Cho X không gian định chuẩn, dãy {xn } ⊂ X gọi dãy nếu: lim kxn − xm k = m,n→∞ Nếu X dãy hội tụ, tức kxn − xm k → kéo theo tồn x0 ∈ X cho xn → x0 X gọi khơng gian đủ Định nghĩa 1.1.5 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Ví dụ 1.1.6 Trong Rn , x = (x1, x2 , xn) , y = (y1 , y2 , yn) ∈ Rn, ta đưa n P xk yk vào tích vơ hướng hx, yi = k=1 kxk = hx, xi = n X xk xk = |xk |2 k=1 k=1 Khi Rn khơng gian Hilbert n X Ví dụ 1.1.7 Trong khơng gian C[a, b] tập tất hàm thực liên tục [a, b] Xét tích vơ hướng: hx, yi = Zb x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] a Khi đó: i Khơng gian C[a,b] với chuẩn kxk = max |x(t)| không gian Banach a6t6b nên C[a, b] không gian Hilbert; ii Không gian C[a,b] với chuẩn kxk = Rb !1/2 |x(t)|2 dt a không không gian Banach C[a, b] khơng khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1.8 Tập A ⊂ H gọi tập lồi ∀x1, x2 ∈ A số thực t ∈ [0, 1] ta có tx1 + (1 − t)x2 ∈ A Nhận xét 1.1.9 Theo định nghĩa, tập ∅ tập lồi Ví dụ 1.1.10 Các tập sau tập lồi: Rn , ∅, {x} , hình cầu đóng, hình cầu mở, nửa khơng gian đóng, nửa khơng gian mở Định nghĩa 1.1.11 Cho C ⊂ H Bao lồi C giao tất tập lồi H chứa C, ký hiệu conv C Bao lồi đóng C tập lồi đóng nhỏ H chứa C, ký hiệu conv C Định nghĩa 1.1.12 Tập A ⊆ Rn gọi nón có đỉnh gốc O nếu: ∀x ∈ A, ∀λ > ⇒ λx ∈ A 6 A ⊆ Rn gọi nón có đỉnh x0 A − x0 có đỉnh O Nón A gọi nón lồi tập A lồi Định nghĩa 1.1.13 Cho tập lồi S ⊆ Rn , hàm f : S → (−∞, +∞) gọi là: i Hàm lồi S với số thực ≤ λ ≤ 1, ∀x, y ∈ S, ta có: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y); ii Hàm lồi chặt S với số thực ≤ λ ≤ 1, ∀x, y ∈ S, x 6= y ta có: f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y); iii Hàm f gọi hàm lõm (lõm chặt) S −f lồi (lồi chặt) S; iv Hàm f gọi tuyến tính afin S f vừa lồi vừa lõm S Một hàm afin Rn có dạng f (x) = ha, xi + α với a ∈ Rn , ∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ [0, 1] ta có: f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) Tuy nhiên, hàm afin không lồi chặt hay lõm chặt Nếu H khơng gian Hilbert H không gian định chuẩn, không gian liên hợp H H∗ = L(H, K) Định lý sau nêu lên đặc trưng phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert H Định lý 1.1.14 Với véctơ a cố định thuộc không gian Hilbert H, hệ thức: f (x) = hx, ai, ∀x ∈ H (1.1) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) không gian Hilbert ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ DUY TOẢN THUẬT TỐN TÁCH LIONS- MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LN HƯỚNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... 1.2 Toán tử đơn điệu cực đại Chương Thuật toán tách Lions? ? ?Mercier phương pháp luân hướng tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại 16 2.1 Phương pháp tách ... theo giới thiệu toán tử đơn điệu cực đại định nghĩa tốn tìm khơng điểm tốn tử Chương 2: "Thuật toán tách Lions? ? ?Mercier phương pháp luân hướng tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại" Chương