LUẬN văn THẠC sĩ HAY thuật toán tách lions mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu​

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ DUY TOẢN THUẬT TỐN TÁCH LIONS-MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LN HƯỚNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ DUY TOẢN THUẬT TỐN TÁCH LIONS-MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LN HƯỚNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Khơng gian Hilbert tốn tử đơn điệu cực đại 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử đơn điệu cực đại Chương Thuật tốn tách Lions–Mercier phương pháp ln hướng tìm khơng điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại 16 2.1 Phương pháp tách 16 2.1.1 Mô tả phương pháp 16 2.1.2 Triển khai phương pháp 20 2.2 Mối quan hệ phương pháp ngược phần 24 2.2.1 Giới thiệu 24 2.2.2 Mối quan hệ với thuật toán tách Lions–Mercier 26 2.3 Phương pháp luân hướng 27 2.3.1 Nguồn gốc phương pháp luân hướng 27 2.3.2 Mối liên hệ với phương pháp tách 28 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực Rn , Rm H H∗ không gian véc tơ n, m chiều tương ứng không gian Hilbert thực không gian liên hợp H C[a, b] conv C tập hàm thực lien tục [a, b] bao lồi tập C conv C A∗ A bao lồi đóng tập C toán tử liên hợp toán tử A toán tử mở rộng toán tử A dom A gra A domf miền xác định toán tử A đồ thị toán tử A miền hữu hiệu hàm f epif zer(A) Jr,T tập đồ thị hàm f tập tất không điểm A, A−1 (0) toán tử giải toán tử T NC ∅ δC (.) hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C tập rỗng hàm C V⊥ bù vng góc không gian V LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Cho A B hai tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert H, C := A + B Nội dung đề tài luận văn nghiên cứu tốn tìm khơng điểm tốn tử C sở kết J Eckstein [4] Để giải toán này, J Eckstein [4] đưa vào toán tử đơn điệu cực đại Sλ,A,B mà tập khơng điểm xấp xỉ tập không điểm A + B Trong trường hợp B nón chuẩn tắc khơng gian tuyến tính Sλ,A,B trùng với ngược phần tốn tử Spingarn (xem [12], [13]) Ngồi ra, r = tốn tử giải (I + rSλ,A,B )−1 Sλ,A,B tốn tử G(λ) Lions–Mercier [6] Vì vậy, thuật toán Lions–Mercier thực thuật toán điểm gần kề ứng dụng cho tốn tử Sλ,A,B Ngồi ra, J Eckstein [4] kỹ thuật Spingarn cho cực tiểu phiếm hàm lồi không gian tuyến tính thực chất trường hợp riêng cách tiếp cận Lions–Mercier Đồng thời thuật toán Lions–Mercier mở rộng thuật toán luân hướng qui hoạch lồi Gabay [5] thuật tốn ln hướng ví dụ thuật tốn điểm gần kề Mục đích đề tài luận văn trình bày lại kết J Eckstein [4] mối quan hệ số thuật tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại: thuật toán điểm gần kề đưa Martinet [7], sau phát triển Rockafellar [10]; phương pháp Lions–Mercier tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại [6]; phương pháp ngược phần Spingarn cho toán tử đơn điệu cực đại [12], [13] Nội dung đề tài luận văn viết hai chương: Chương 1: "Không gian Hilbert toán tử đơn điệu cực đại" Chương giới thiệu không gian Hilbert trường số thực số kiến LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thức giải tích lồi Tiếp theo giới thiệu toán tử đơn điệu cực đại định nghĩa tốn tìm khơng điểm tốn tử Chương 2: "Thuật toán tách Lions–Mercier phương pháp ln hướng tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại" Chương nghiên cứu số phương pháp tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại, phương pháp Lion–Mercier thực chất trường hợp đặc biệt thuật toán điểm gần kề, đồng thời nêu nguồn gốc phương pháp luân hướng đưa mối quan hệ với thuật tốn tách Luận văn hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Học viên Ngô Duy Toản LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Khơng gian Hilbert tốn tử đơn điệu cực đại Chương trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert thực H, giới thiệu toán tử đơn điệu cực đại, định nghĩa không điểm để phục vụ cho chương sau Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [7], [10] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H khơng gian tuyến tính xác định trường số thực R Một tích vơ hướng H ánh xạ ·, · : H × H → R thỏa mãn tính chất sau: i x, x ≥ 0, ∀x ∈ H x, x = x = 0, ii x, y = y, x , ∀x, y ∈ H, iii x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H, iv αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R Số thực x, y gọi tích vơ hướng hai véctơ x y Cặp (H, ·, · ) gọi không gian tiền Hilbert Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, ∀x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: | x, y |2 ≤ x, x y, y LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Với y = bất đẳng thức hiển nhiên Giả sử y = ∀λ ∈ R ta có: x + λy, x + λy 0, nghĩa x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y | x, y |2 x, y ta x, x − hay | x, y |2 ≤ x, x y, y Chọn λ = − y, y y, y Bất đẳng thức chứng minh Dấu bất đẳng thức Schwarz xảy x y phụ thuộc tuyến tính Mối quan hệ khái niệm chuẩn tích vơ hướng thể qua nhận xét sau: Nhận xét 1.1.3 Mọi không gian tiền Hilbert H không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định: x = x, x , x ∈ H Bất đẳng thức Schwarz viết lại: | x, y | ≤ x y Định nghĩa 1.1.4 Cho X không gian định chuẩn, dãy {xn } ⊂ X gọi dãy nếu: lim xn − xm = m,n→∞ Nếu X dãy hội tụ, tức xn − xm → kéo theo tồn x0 ∈ X cho xn → x0 X gọi khơng gian đủ Định nghĩa 1.1.5 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1.6 Trong Rn , x = (x1, x2 , xn) , y = (y1 , y2 , yn) ∈ Rn, ta đưa vào tích vơ hướng x, y = n xk yk k=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com n n x |xk |2 xk xk = = x, x = k=1 k=1 Khi Rn khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1.7 Trong khơng gian C[a, b] tập tất hàm thực liên tục [a, b] Xét tích vơ hướng: b x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] x, y = a Khi đó: i Khơng gian C[a,b] với chuẩn x = max |x(t)| không gian Banach a t b nên C[a, b] không gian Hilbert; ii Không gian C[a,b] với chuẩn x = 1/2 b |x(t)| dt không không a gian Banach C[a, b] khơng khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1.8 Tập A ⊂ H gọi tập lồi ∀x1, x2 ∈ A số thực t ∈ [0, 1] ta có tx1 + (1 − t)x2 ∈ A Nhận xét 1.1.9 Theo định nghĩa, tập ∅ tập lồi Ví dụ 1.1.10 Các tập sau tập lồi: Rn , ∅, {x} , hình cầu đóng, hình cầu mở, nửa khơng gian đóng, nửa khơng gian mở Định nghĩa 1.1.11 Cho C ⊂ H Bao lồi C giao tất tập lồi H chứa C, ký hiệu conv C Bao lồi đóng C tập lồi đóng nhỏ H chứa C, ký hiệu conv C Định nghĩa 1.1.12 Tập A ⊆ Rn gọi nón có đỉnh gốc O nếu: ∀x ∈ A, ∀λ > ⇒ λx ∈ A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A ⊆ Rn gọi nón có đỉnh x0 A − x0 có đỉnh O Nón A gọi nón lồi tập A lồi Định nghĩa 1.1.13 Cho tập lồi S ⊆ Rn , hàm f : S → (−∞, +∞) gọi là: i Hàm lồi S với số thực ≤ λ ≤ 1, ∀x, y ∈ S, ta có: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y); ii Hàm lồi chặt S với số thực ≤ λ ≤ 1, ∀x, y ∈ S, x = y ta có: f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y); iii Hàm f gọi hàm lõm (lõm chặt) S −f lồi (lồi chặt) S; iv Hàm f gọi tuyến tính afin S f vừa lồi vừa lõm S Một hàm afin Rn có dạng f (x) = a, x + α với a ∈ Rn , ∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ [0, 1] ta có: f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) Tuy nhiên, hàm afin không lồi chặt hay lõm chặt Nếu H khơng gian Hilbert H không gian định chuẩn, không gian liên hợp H H∗ = L(H, K) Định lý sau nêu lên đặc trưng phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert H Định lý 1.1.14 Với véctơ a cố định thuộc không gian Hilbert H, hệ thức: f (x) = x, a , ∀x ∈ H (1.1) xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) không gian Hilbert LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 20 0) cho Sλ,A,B để nhận dãy {z k } hội tụ (yếu) đến không điểm z Sλ,A,B Vì tốn tử giải (I + λB)−1 = Jλ,B xấp xỉ ánh xạ − 1, liên tục Lipschitz, dãy {uk } = {Jλ,B (z k )} hội tụ (yếu) đến không điểm u = Jλ,B (z) A + B Ta gọi q trình thuật tốn tách Rõ ràng, Sλ,A,B cực đại A B cực đại, A + B không cực đại 2.1.2 Triển khai phương pháp Để thực thuật tốn tách, ta phải tính giá trị (I + rS)−1 điểm Phần tính toán xét sau (I + rS)−1 = ((1 − r)v + ru + λb, v + λb) | (u, b) ∈ B, (v, λ−1 (u − v) − b) ∈ A Vì vậy, để tính (I + rS)−1 (z), ta phải tìm (u, b) ∈ B (v, a) ∈ A cho (1 − r)v + ru + λb = z, a = λ−1 (u − v) − b Nói cách khác, ta xét tốn tìm u, v ∈ H cho z − (ru + (1 − r)v) ∈ λB, −z + ((1 + r)u − rv) ∈ λA Điều không làm cho tốn trở nên dễ dàng Cụ thể, khơng làm giảm bớt khó khăn so với việc tính Jr,A+B điểm z mà ta tránh Từ so sánh đó, tìm (u, b) ∈ B cho (u, λ−1 (z − u) − b) ∈ A Trong thuật toán tách cố định r = 1, ta tìm (u, b) ∈ B cho u + λb = z (v, a) ∈ A cho v + λa = u − λb Những điều kiện (u, b) ∈ B, u + λb = z xác định u = Jλ,B (z) b = λ−1 (z − u) độc lập với v Khi u biết v xác định từ u = Jλ,A (u − λb) Do đó, ta có phân tích việc tính J1,S = (I + S)−1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 thay cách riêng biệt đánh giá Jλ,A = (I + λA)−1 Jλ,B = (I + λB)−1 Khi r = thực chất phép phân hoạch Spingarn [13] cơng nhận việc trên, với điều kiện hạn chế Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử dãy rk = với k, trừ trường hợp đặc biệt để áp dụng cho thuật toán tách Phần tiếp theo, ta với hạn chế đó, thuật tốn tách tương ứng với phương pháp Lions–Mercier [6] Hình 2.1 minh họa cho việc tính (I + λS)−1 (z) B (u, b) (v, b) (A + z B) v + λb A (u, -b) (v, λ1 (u − v) − b) = (v, a) Tính (u, v) Tính v v + λb = (I + S)−1 (z) Hình 2.1: Tính (I + S)−1 (z) Tính (u, b) xem tìm giao điểm B với đường có hệ số góc −1/λ qua điểm có tọa độ (z, 0) Sau để tính v, ta di chuyển điểm có tọa LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 22 độ (u, b) đến điểm có tọa độ (u, −b), tìm giao điểm đường thẳng qua (u, −b) có hệ số góc −1/λ với A Cuối tính v + λb mô tả dựng đường thẳng đứng tới điểm có tọa độ (v, b) kẻ đường chéo tới trục nằm ngang Từ phân tích tính (I + S)−1 (z) sang việc tính (u, b) ∈ B (v, a) ∈ A tiến hành luân phiên thuật toán tách Dãy {z}k tạo thành cho z k+1 = (I + S)−1 (z k ), với thành phần {uk + λbk }, (uk , bk ) ∈ B cặp B cho uk + λbk = z k Do ta nhận mơ tả sau thuật tốn: (B1) Bắt đầu từ (uk , bk ) ∈ B, tính (v k , ak ) ∈ A cho v k + λak = uk − λbk (B2) Tìm (uk+1 , bk+1 ) ∈ B cho uk+1 + λbk+1 = v k + λbk Ta xem (B1) bước vẽ hình, tính giá trị tốn tử J1,S nhắc lại, (B2) bước biểu diễn lại biến đầu (B1) thành uk+1 + λbk+1 thuận lợi hơn, (uk+1 , bk+1 ) ∈ B Lưu ý khó tạo bước lặp (B1)-(B2) điểm (u0 , b0 ) ∈ H × H, (u0 , b0 khơng thuộc B Bởi (u1 , b1 ) phải thuộc B thực (B2), thuật tốn trở nên đắn Hình 2.3 cho ta mơ tả khác thuật tốn tách, khơng điểm A + B điểm mà tốn tử B tốn tử −A = (−1)A (nói chung khơng đơn điệu) cắt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 23 B (uk , bk ) (uk+1 , bk+1 ) (v k , bk ) (A + B) A (uk , −bk ) (v k , ak ) (v k , ak ) (uk+1 , bk+1 ) Hình 2.2: Thuật tốn tách LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 24 (v k , bk ) B (uk+1 , bk+1 ) −1/λ (uk , bk ) 1/λ (v k , −ak ) -A Hình 2.3: Mơ tả khác thuật toán tách 2.2 Mối quan hệ phương pháp ngược phần 2.2.1 Giới thiệu Ta xét trường hợp đặc biệt: Cho tập lồi C ⊆ H, nón pháp tuyến NC ứng với tập C NC (x) := (x, y)|x ∈ C, x′ − x, y ≤ ∀x′ ∈ C Ta biết NC toán tử đơn điệu cực đại, ánh xạ vi phân hàm lồi:  0 x ∈ C δC (x) = +∞ x ∈ / C Giả sử V không gian tuyến tính H Khi NV = V × V ⊥ Cho w ∈ H bất kì, ký hiệu phép chiếu w lên V V ⊥ tương ứng wV wV ⊥ Xét trường hợp B = NV Khi tốn tìm khơng điểm A + B trở thành tìm (u, v) ∈ A cho u ∈ V −v ∈ V ⊥ , hay u ∈ V v ∈ V ⊥ Trong trường hợp ta có Sλ,A,B = (v + λb, u − v)|u ∈ V, b ∈ V ⊥ , (v, λ−1 (u − v) − b) ∈ A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 25 Cho (v, a) ∈ A bất kỳ, nghiệm để λ−1 (u − v) − b = a, u ∈ V, b ∈ V⊥ u = (v + λa)V , b = −(λ−1 z + a)V ⊥ Khi S = {(zV − λaV ⊥ , λaV − zV ⊥ )|(z, a) ∈ A} Với toán tử đơn điệu cực đại T tập V, Spingarn [12]-[13] định nghĩa ngược phần: TV = (xV + yV ⊥ , yV + xV ⊥ )|(x, y) ∈ T Do đó, ngoại trừ khác dấu, S ngược phần (λA)V λA Ứng dụng ngược phần tìm (x, y) ∈ T cho x ∈ V, y ∈ V ⊥ Cho T = A toán mà ta xét Để điều đó, Spingarn gợi ý áp dụng thuật tốn điểm gần kề để xấp xỉ khơng điểm z TV , chiếu z lên V V ⊥ tương ứng, x y Spingarn khơng xét tham số λ tính đóng V tích vơ hướng làm cho khơng có khác cho T = A T = λA; trường hợp sau ta làm đơn giản y 1/λ để kết cuối Về chất lí do, khác dấu S (λA)V không ảnh hưởng Dễ dàng Jλ,B toán tử chiếu lên V, thuật tốn tách mang lại phương pháp tương tự Spingarn gợi ý, ngoại trừ khác biệt dấu ghi nhận từ trước Phương pháp qui hoạch ngẫu nhiên Rockafellar Wets [11] trùng với thuật tốn tách, λ xuất khơng có khác dấu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 26 2.2.2 Mối quan hệ với thuật toán tách Lions–Mercier Lions Mercier [6] đưa thuật tốn tìm khơng điểm tốn tử A + B: bắt đầu với điểm tùy ý v ∈ H, thực phép lặp v k+1 = Gλ (v k ), Gλ = Jλ,A (2Jλ,B − I) + I − Jλ,B Chú ý toán tử gọi G(λ) [6] Ta có kết sau Mệnh đề 2.2.1 Ta ln có Gλ = (I + Sλ,A,B )−1 Chứng minh Bằng tính tốn trực tiếp, ta ý Jλ,A = {(y + λa, y)|(y, a) ∈ A} Jλ,B = {(x + λb, x)|(x, b) ∈ B} Do đó, 2Jλ,B − I = {(x + λb, x − λb)|(x, b) ∈ B} Jλ,A (2Jλ,B − I) = {(x + λb, y)|(x, b) ∈ B, (y, a) ∈ A, y + λa = x − λb} Jλ,A (2Jλ,B − I) = {(x + λb, y)|(x, b) ∈ B, (y, λ−1 (x − y) − b ∈ A)} Gλ = Jλ,A (2Jλ,B − I) + I − Jλ,B = {(x + λb, y + λb)|(x, y) ∈ B, (y, λ−1 (x − y) − b) ∈ A} Khi Gλ −1 − I = {(y + λb, x − y)|(x, y) ∈ B, (y, λ−1 (x − y) − b) ∈ A} = Sλ,A,B , mệnh đề chứng minh Do đó, phương pháp Lions–Mercier đơn giản thuật toán tách áp dụng cho A B, rk = 1, với k Vì phương pháp Lions–Mercier thực LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 27 chất trường hợp đặc biệt thuật toán điểm gần kề Trên thực tế, ta xây dựng Sλ,A,B việc kết hợp nhận xét phần 1.2 với chứng minh Lions Mercier Gλ không giãn chặt 2.3 Phương pháp luân hướng 2.3.1 Nguồn gốc phương pháp luân hướng Ta chứng minh phương pháp luân hướng cho qui hoạch lồi trường hợp đặc biệt thuật toán tách Xét dạng tổng quát qui hoạch lồi giới thiệu Rockafellar [8]: (P) {f (x) + g(M x)}, x∈Rn M ma trận thực cỡ m × n, f : Rn −→ (−∞, +∞], g : Rm −→ (−∞, +∞] hàm lồi đóng chặt Mở rộng cho khơng gian Hilbert tổng quát, ta hạn chế cho Rn Rm , theo tiêu chuẩn tích trong, làm cho đại số tuyến tính đơn giản Ta viết lại toán (P) sau: (P’) min{f (x) + g(z)} s.t Mx = z x ∈ Rn z ∈ Rm Khi đó, tốn đối ngẫu với (P’) max φ(p) s.t p ∈ Rm , φ(p) = inf n+m{f (x) + g(z) + p⊤ (M x − z)} (x,z)∈R LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 28 = inf {f (x) + p⊤ M x} − inf {g(z) + p⊤ z} x z ∗ ⊤ ∗ = −f (−M p) − g (p), ∗ kí hiệu cho phép tốn liên hợp lồi Đối ngẫu (P) viết (D) minm {f ∗ (−M ⊤ p) + g ∗ (p)} p∈R Phương pháp nhân cho qui hoạch lồi thực chất cách thực thuật toán điểm gần kề giống áp dụng với toán tử đơn điệu cực đại ∂[f ∗ ◦ (−M ⊤ ) + g ∗ ] Khi ta kết hợp ma trận ánh xạ đa trị, nghĩa ma trận xem ánh xạ tuyến tính đơn trị tương ứng; ví dụ M hiểu {(x, M x)|x ∈ Rn } 2.3.2 Mối liên hệ với phương pháp tách Bây ta chứng minh điều kiện qui biết, phương pháp luân hướng thực chất cách thực phương pháp tách giống áp dụng với toán tử đơn điệu cực đại: A = ∂[f ∗ ◦ (−M ⊤ )] B = ∂g ∗ = (∂g)−1 Nói cách khác, thuật tốn điểm gần kề với r = áp dụng cho toán tử đơn điệu cực đại: S = Sλ,∂[f ∗◦(−M ⊤ )],∂g∗ Cần ý số trường hợp ngoại lệ khơng phải cách tiếp cận hợp lí để giải tốn (D), lí ∂[f ∗ ◦ (−M ⊤ ) + g ∗ ] ⊇ ∂[f ∗ ◦ (−M ⊤ )] + ∂g ∗ ln đúng, đẳng thức khơng xảy trừ số điều kiện bổ xung thỏa mãn Do hiểu tập nghiệm (D), zer(∂[f ∗ ◦ (−M ⊤ ) + g ∗]), khác rỗng, S khơng có không điểm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 29 Giả sử: ∂[f ∗ ◦ (−M ⊤ ) + g ∗ ] = ∂[f ∗ ◦ (−M ⊤ )] + ∂g ∗ = A + B Khi đó, zer(S) khác rỗng tốn (D) có nghiệm Ta giả sử im(M ⊤ ) ∩ ri(domf ∗ ) = ∅, A = ∂[f ∗ ◦ (−M ⊤ )] = −M ◦ ∂f ∗ ◦ (−M ⊤ ) = −M ◦ (∂f )−1 ◦ (−M ⊤ ) Phương pháp luân hướng tiến hành sau: bắt đầu với điểm tùy ý z , p0 ∈ Rm sau thực bước lặp xk+1 = arg minn {f (x) + (pk )⊤ M x + x∈R z k+1 = arg minm {g(z) − (pk )⊤ z − x∈R λ M x − zk } λ M xk+1 − z } pk+1 = pk + λ(M xk+1 − z k+1 ) Mệnh đề 2.3.1 Cho dãy {xk }, {pk }, {z k } định nghĩa phương pháp luân hướng Khi với k 1, pk+1 + λz k+1 = (I + Sλ,∂[f ∗◦(−M ⊤ )],∂g∗ )−1 (pk + λz k ) Chứng minh Dạng chi tiết toán tử A là: A = −M ◦ (∂f )−1 ◦ (−M ⊤ ) = {(u, −M w)|(w, −M ⊤ u) ∈ ∂f } Dạng chi tiết toán tử B là: B = {(u, b)|(b, u) ∈ ∂g} Từ bước tối giản x, với k 0, ∈ ∂f (xk+1 ) + M ⊤ pk + λM ⊤ (M xk+1 − z k ) ⇔ (xk+1 , −M ⊤ (pk + λ(M xk+1 − z k ))) ∈ ∂f ⇒ (pk + λ(M xk+1 − z k ), −M xk+1 ) ∈ A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 30 Từ bước tối giản z, tương tự vậy, ∈ ∂g(z k+1 ) − pk + λ(z k+1 − M xk+1 ) ⇔ (z k+1 , pk + λ(M xk+1 − z k+1 )) = (z k+1 , pk+1 ) ∈ ∂g ⇔ (pk+1 , z k+1 ) ∈ B Ta có (I + S)−1 = {(u + λb, v + λb)|(u, b) ∈ B, (v, λ−1 (u − v) − b) ∈ A} Với k 1, thực phép thay sau: u = pk Do k b = zk v = pk + λ(M xk+1 − z k ) 1, ta có (u, b) = (pk , z k ) ∈ B từ phân tích bước tối giản z Như λ−1 (u − v) − b = λ−1 (pk − (pk + λ(M xk+1 − z k ))) − z k = −M xk+1 (v, λ−1 (u − v) − b) = (pk + λ(M xk+1 − z k ), −M xk+1 ) Ta biết phần tử A có từ phân tích bước tối giản x Do thay hợp lí, ta kết luận (I + S)−1 bao gồm (u + λb, v + λb) = (pk + λz k , pk + λM xk+1 ) = (pk + λz k , pk+1 + λz k+1 ) Chứng minh hồn thành Do đó, bước lặp trừ bước đầu tiên, phương pháp ln hướng thực tính tốn tương tự phương pháp tách áp dụng cho toán tử đơn điệu cực đại A B Chú ý phần tử cực tiểu x thực "bước vẽ hình" (B1), điểm cực tiểu z cập nhật p thực "bước biểu diễn lại" (B2) Kết luận Mệnh đề 2.3.1 không k = Theo lý thuyết thuật toán điểm gần kề, ta đảm bảo (ít LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 31 không gian hữu hạn chiều, hội tụ yếu hội tụ mạnh trùng nhau) dãy {pk + λz k } hội tụ Từ tốn tử Jλ,B = (I + λB)−1 khơng giãn, nên liên tục (Lipschitz), suy dãy {Jλ,B (pk + λz k )} hội tụ Dãy giống với dãy {pk }, ngoại trừ phần tử Do đó, ta kết luận dãy {pk } {z k } bị chặn hội tụ, với {pk } hội tụ tới nghiệm tốn (D) Từ đây, ta dùng chứng minh hội tụ thông thường cho phương pháp luân hướng Thuật toán điểm gần kề Thuật toán tách Lions-Mercier Phương pháp luân hướng tích Phương pháp ngược phần Rockafellar-Wets Hình 2.4: Đường nét liền biểu thị mối liên hệ thiết lập báo cáo này, đường nét đứt biểu thị mối quan hệ biết đến LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 32 Kết luận Đề tài luận văn trình bày thuật tốn Lions–Mercier phương pháp ln hướng tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert thực Cụ thể: (1) Giới thiệu khái niệm số tính chất khơng gian Hilbert thực tốn tử đơn điệu cực đại; (2) Trình bày phương pháp tách Lions–Mercier, phương pháp ln hướng tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại; (3) Nêu mối liên hệ phương pháp luân hướng, phương pháp tách phương pháp điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Điểm quan trọng qui tắc phân hoạch phần 2.1 cho thuật toán Lions–Mercier, phương pháp phân hoạch Spingarn [13], phương pháp luân hướng tích Câu hỏi thú vị cho hướng nghiên cứu đề tài liệu cịn có hội tụ thay đổi tham số λ từ phép lặp đến số lần lặp thuật toán tách? LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 33 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2003) Tiếng Anh [2] Bertsekas D., Tsitsiklis J (1989), Parallel and Distributed Computation: Numerical Methods (Englewood Cliffs: Prentice-Hall) [3] Brézis H (1973), Opérateurs Maximaux Monotones et Semi-Groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert (Amsterdam: North- Holland) [4] Eckstein J.(1988), "The Lions-Mercier splitting algorithm and the alternating direction method are instances of the proximal point algorithm", Report LIDS-P-1769, Laboratory for Information and Decision Sciences [5] Gabay D (1983), "Applications of the Method of Multipliers to Variational Inequalities" In M Fortin, R Glowinski, editors, Augmented Lagrangian Methods: Applications to the Solution of Boundary-Value Problems (Amsterdam: North-Holland) [6] Lions P L., Mercier B (1979), "Splitting Algorithms for the Sum of Two Nonlinear Operators" SIAM Journal on Numerical Analysis, 16(6): 964-979 [7] Martinet B (1972), "Determination Approchee d’un Point Fixe d’une Application Pseudo-Contractante Cas de l’Application prox", LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 34 Comptes Rendus de l’Academie des Sciences, Paris, Sdrie A, 274: 163-165 [8] Rokafellar R.T (1970), Convex Analysis (Princeton: Princeton University Press) [9] Rokafellar R.T (1970), "On the Maximality of Sums of Nonlinear Monotone Operators", Transactions of the American Mathematical Society, 149: 75-88 [10] Rokafellar R.T (1976), "Monotone Operators and the Proximal Point Algorithm", SIAM Journal on Control and Optimization, 14(5): 877898 [11] Rokafellar R.T., Wets R.J.B (1987), Scenarios and Policy Aggregation in Optimization under Uncertainty, Working paper WP-87-119, International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenberg, Austria [12] Spingarn J.E (1983), "Partial Inverse of a Monotone Operator", Applied Mathematics and Optimization, 10: 247-265 [13] Spingarn J.E (1985), "Application of the Method of Partial Inverses to Convex Programming: Decomposition", Mathematical Programming, 32: 199-233 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thực toán tử đơn điệu cực đại; (2) Trình bày phương pháp tách Lions? ? ?Mercier, phương pháp luân hướng tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại; (3) Nêu mối liên hệ phương pháp luân hướng, phương. .. TOẢN THUẬT TỐN TÁCH LIONS- MERCIER VÀ PHƯƠNG PHÁP LN HƯỚNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG... tốn tử đơn điệu cực đại Chương trình bày thuật tốn tách Lions? ? ?Mercier phương pháp ln hướng tìm khơng điểm tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại Mục 2.1 mô tả phương pháp tách cách triển khai phương pháp