Luận văn thạc sĩ toán học một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Mục lục ii Danh sách ký hiệu iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Các ví dụ 1.1.4 Một vài tính chất Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 11 Hàm toàn phương 17 1.2 1.3 Bài tốn quy hoạch tồn phương 21 2.1 Giới thiệu toán 21 2.1.1 Phát biểu toán 21 Các định lí tồn nghiệm 23 2.2 ii 2.2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính 2.2.2 23 Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert thực 37 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 iii Danh sách ký hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực Rn Không gian số thực n chiều h., i Tích vơ hướng k.k Chuẩn 0+ F Nón lùi xa tập lồi F ∂f (x) Dưới vi phân f x ∂ε f (x0 ) ε−Dưới vi phân f x0 ∇f (x) Đạo hàm f x Rm×n Khơng gian ma trận cấp m × n Rn×n S Khơng gian ma trận đối xứng cấp n × n AT Ma trận chuyển vị ma trận A B(x0 , ρ) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính ρ H Khơng gian Hilbert thực Mở đầu Quy hoạch toàn phương phận đặc biệt quy hoạch phi tuyến, có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế Đây vấn đề nhiều nhà Toán học nghiên cứu xây dựng nên nhiều thuật toán để giải Sau học kiến thức chuyên ngành Tốn ứng dụng, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng Đồng thời muốn tìm hiểu sâu kết tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương" Luận văn trình bày tồn nghiệm toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Rn tốn quy hoạch tồn phương lồi với ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert Các kết thông tin luận văn viết dựa vào báo "On the Solution Existence of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces" Vũ Văn Đông Nguyễn Năng Tâm, 2016 Luận văn chia thành hai chương với nội dung sau: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương trình bày số kiến thức sở không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi khơng gian Hilbert Chương 2: "Bài tốn quy hoạch tồn phương", chương trình bày nội dung tốn quy hoạch tồn phương tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Rn tốn quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert thực Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Đào Thị Thu Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức cở khơng gian Hilbert giải tích lồi Đó kết dùng cho chương sau Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3] [4] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian trường K Tích vơ hướng H ánh xạ xác định sau: h., i : H × H → K, (x, y) 7→ hx, yi, thỏa mãn điều kiện sau đây: a) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; c) hλx, yi = λhx, yi với x, y ∈ H; λ ∈ K; d) hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = x = Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai véctơ x y Cặp (H, h., i) gọi khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi không gian Unita) Từ định nghĩa ta thấy với trường R tích vơ hướng h., i dạng song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi khơng gian tiền Hilbert thực 4 Định lí 1.1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi Dấu "=" xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.3 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi kxk = hx, xi, x ∈ H xác định chuẩn H 1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert xem khơng gian định chuẩn đầy đủ khơng đầy đủ Định nghĩa 1.1.4 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert Cũng tương tự trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R ta có khơng gian Hilbert thực 1.1.3 Các ví dụ i) Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng hx, yi = n X xi yi , x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn i=1 ii) Xét không gian ( l2 = ) ∞ X x = (xn )n ⊂ K |xn |2 < +∞ i=1 Ta biết l2 không gian Banach với chuẩn v u∞ uX |xn |2 kxk = t i=1 (1.1) Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , từ bất đẳng thức ∞ X xn yn ≤ kxk2 kyk2 < +∞, i=1 dễ kiểm tra hx, yi = ∞ P xn yn xác định tích vơ hướng l2 i=1 cảm sinh (1.1) Vậy l2 không gian Hilbert 1.1.4 Một vài tính chất Định lí 1.1.5 Cho H khơng gian Hilbert Khi h., i : H × H → R hàm liên tục Định lí 1.1.6 Với x, y thuộc khơng gian tiền Hilbert H ta ln có đẳng thức hình bình hành sau đây: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (1.2) Hệ 1.1.7 Cho H không gian tiền Hilbert x, y, z ∈ H Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius: y + z
+ ky − zk2 kx − yk2 + kx − zk2 = x − Định lí 1.1.8 Giả sử (H, k.k) không gian định chuẩn trường R, bất đẳng thức hình bình hành nghiệm với x, y ∈ H: kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) Khi đó, với trường R ta đặt hx, yi = p(x, y) = (kx + yk2 − kx − yk2 ), h., i tích vơ hướng H ta có hx, xi = kxk2 , ∀x ∈ H 6 Định lí 1.1.9 Với khơng gian tiền Hilbert H tồn không gian Hilbert chứa H cho H không gian trù mật H Định nghĩa 1.1.10 Cho D 6= ∅ y véctơ bất kỳ, đặt dD (y) := inf kx − yk x∈D Ta nói dD (y) khoảng cách từ y tới D Nếu tồn π ∈ D cho dD (y) := ky − πk ta nói π hình chiếu (khoảng cách) y D kí hiệu π := pD (y) Định lí 1.1.11 Cho M tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Khi đó, với x ∈ H tồn phần tử y ∈ M cho kx − yk = d(x, M ) Định nghĩa 1.1.12 Hai phần tử x, y không gian Hilbert H gọi trực giao với hx, yi = kí hiệu x ⊥ y Định lí 1.1.13 Giả sử M khơng gian đóng khơng gian Hilbert Khi đó, phần tử x ∈ H biểu diễn cách dạng x = y + z y ∈ M z ∈ M ⊥ gọi hình chiếu trực giao x lên M Định nghĩa 1.1.14 Ánh xạ p : H → M xác định p(x) = y x ∈ H biểu diễn nhất: x = y + z mà y ∈ M z ∈ M ⊥ Định lí 1.1.13 gọi phép chiếu trực giao từ H lên M Định lí 1.1.15 Phép chiếu trực giao p khơng gian Hilbert H lên khơng gian đóng M 6= {0} tốn tử tuyến tính liên tục có kpk = Định nghĩa 1.1.16 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } ⊂ H gọi hội tụ yếu đến phần tử x H, với y ∈ H ta có lim hxn , yi = n→∞ hx, yi Kí hiệu xn * x 7 Định lí 1.1.17 Giả sử H không gian Hilbert i) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H dãy {yn } hội tụ mạnh đến y ∈ H dãy số {hxn , yn i} hội tụ đến hx, yi ii) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H dãy {kxn k} hội tụ đến kxk dãy {xn } hội tụ mạnh đến x ∈ H 1.2 Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.2.1 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Cho hai điểm a, b ∈ H i) Một đường thẳng qua a, b tập hợp có dạng: {x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a, b H có dạng: {x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Định nghĩa 1.2.2 Một tập D gọi tập affin D chứa đường thẳng qua hai điểm x, y ∈ D, tức ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D Mệnh đề 1.2.3 Tập D 6= ∅ tập affin có dạng D = M +a với M không gian H a ∈ H Không gian M xác định gọi không gian song song D Định nghĩa 1.2.4 Thứ nguyên (hay chiều) tập affin D thứ nguyên không gian song song với D kí hiệu dim D Định nghĩa 1.2.5 Siêu phẳng không gian H tập hợp điểm có dạng {x ∈ H : aT x = α}, a ∈ H véctơ khác α ∈ R Định nghĩa 1.2.6 Cho a ∈ H véctơ khác α ∈ R Tập {x : aT x ≥ α} gọi nửa không gian đóng tập {x : aT x > a} gọi nửa không gian mở Định nghĩa 1.2.7 Một tập D gọi tập lồi với a, b ∈ D α ∈ [0; 1], ta có λa + (1 − λ)b ∈ D Ví dụ 1.2.8 Tập rỗng tập lồi + Tồn khơng gian tập lồi + Các không gian tập lồi + Các tam giác, hình trịn mặt phẳng tập lồi + Quả cầu C = {x kxk ≤ 1} tập lồi Định lí 1.2.9 Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng phép nhân với số thực tức là, C D hai tập lồi H C ∩ D, αC + βD tập lồi Định nghĩa 1.2.10 Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véctơ) x1 , , xk x= k X λj xj , λj ≥ (j = 1, , k), k X λj = j=1 j=1 Mệnh đề 1.2.11 Tập hợp D lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là, tập D lồi ∗ ∀k ∈ N , ∀λ1 , , λk , k X j=1 λj = 1, ∀x1 , , xk ∈ D ⇒ k X j=1 λj xj ∈ D 9 Mệnh đề 1.2.12 Nếu A, B, C tập lồi đóng H, tập sau lồi A ∩ B := {x ∈ H| x ∈ A, x ∈ B}; αA + βB := {x ∈ H| x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}; A × C := {x ∈ H × H| x = (a, c); a ∈ A, c ∈ C} Định nghĩa 1.2.13 Một tập gọi tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Như vậy, theo định nghĩa tập lồi đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau: C := {x ∈ H| haj , xi ≤ bj , j ∈ I, |I| < +∞} Mệnh đề 1.2.14 Giao họ tập lồi tập lồi Chứng minh Giả sử {Aα }α∈I họ tập lồi Ta cần chứng minh A = T Aα tập lồi α∈I + Với x1 , x2 ∈ A ⇒ x1 , x2 ∈ Aα (∀α ∈ I) + Với α ∈ I Do Aα lồi nên ∀λ ∈ [0; 1] ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Theo định nghĩa A = T Aα tập lồi α∈I Định nghĩa 1.2.15 Một tập C ⊂ H gọi nón ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi nón tập lồi 10 Định nghĩa 1.2.16 Cho C ⊆ H, x0 ∈ C Nón pháp tuyến (ngồi) tập C x0 tập hợp NC (x0 ) := {w | hw, x − x0 i ≤ ∀x ∈ C} Định nghĩa 1.2.17 Cho D ⊆ H tập lồi x0 ∈ D Tập NDε (x0 ) := {w ∈ H | hw, x − x0 i ≤ ε ∀x ∈ D} gọi nón pháp tuyến ε D x0 Hiển nhiên ∈ ND (x0 ) từ định nghĩa ta có ND (x0 ) nón lồi đóng Định nghĩa 1.2.18 Cho hai tập C D, ta nói siêu phẳng H := {x : hv, xi = λ} i) tách hai tập C D hv, ≤ λ ≤ hv, bi ∀a ∈ C, b ∈ D ii) tách chặt C D hv, < λ < hv, bi ∀a ∈ C, b ∈ D iii) tách mạnh C D suphv, xi < λ < inf hv, yi x∈C y∈D Định lí 1.2.19 (Định lí tách 1) Cho C D hai tập lồi khác rỗng H cho C ∩ D = ∅ Khi đó, có siêu phẳng tách C D Định lí 1.2.20 (Định lí tách 2) Cho C D hai tập lồi đóng khác rỗng H cho C ∩ D = ∅ Giả sử có tập compact Khi đó, hai tập C D tách mạnh siêu phẳng Áp dụng định lí tách cho H Rn ta hệ sau: Định lí 1.2.21 (Bổ đề Farkas) Cho a ∈ Rn A ma trận thực cấp m × n Khi ha, xi ≥ với x thỏa mãn Ax ≥ tồn y ≥ y ∈ Rm cho a = AT y 11 Ý nghĩa hình học Bổ để Farkas: Siêu phẳng qua gốc tọa độ ha, xi = để nón Ax ≥ 0, phía véctơ pháp tuyến a siêu phẳng nằm nón sinh hàng ma trận A Định nghĩa 1.2.22 Cho tập lồi khác rỗng F ⊂ H Ta nói véctơ d phương lùi xa F x + λd ∈ F, ∀x ∈ F, ∀λ > Tập hợp tất phương lùi xa F gọi nón lùi xa F kí hiệu 0+ F Vậy 0+ F = {d ∈ H| x + λd ∈ F, ∀x ∈ F, ∀λ > 0.} 1.2.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.2.23 Cho D tập lồi f : H → R ∪ {+∞} Hàm f gọi i) lồi D f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, ≤ λ ≤ 1; ii) lồi chặt D f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, < λ < Hàm f lõm (lõm chặt) −f lồi (lồi chặt) Định nghĩa 1.2.24 Ta gọi miền hữu hạn (effective domain) hàm f tập cho dom(f ) = {x ∈ X|f (x) < ∞} Định nghĩa 1.2.25 Hàm f gọi thường (proper) dom(f ) 6= ∅ f (x) > −∞, ∀x ∈ X 12 Định nghĩa 1.2.26 Ta nói hàm f : Rn → (−∞, ∞] tập ∆ ⊂ Rn với dãy {xk } ⊂ ∆ cho kxk k → ∞ lim f (xk ) = ∞ Trong k→∞ trường hợp ∆ = R , ta nói f n Ví dụ 1.2.27 1) Hàm a-phin f (x) := aT x + α, a ∈ H, α ∈ R Dễ dàng kiểm tra f hàm vừa lồi vừa lõm tồn khơng gian Khi α = hàm gọi hàm tuyến tính Cho C 6= ∅ tập lồi 2) Hàm tựa Hàm gọi hàm tựa C: sC (y) := suphy, xi x∈C 3) Hàm khoảng cách Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C định nghĩa dC (x) := kx − yk y∈C 4) Hàm chuẩn Giả sử x = (x1 , , xn ) f (x) := kxki := max |xi | i f (x) := kxk := (x21 + · · · + x2n )1/2 5) Hàm  0 x ∈ C δC (x) =  +∞ x ∈ /C Định lí 1.2.28 Cho f g hai hàm lồi tập C D tương ứng Khi đó, hàm số αf + βg với α, β ≥ 0; max{f, g} lồi C ∩ D Một hàm lồi khơng liên tục số điểm biên miền xác định nó, nhiên liên tục điểm tập theo định lí sau: 13 Định lí 1.2.29 Một hàm lồi f : H → R liên tục điểm Tính chất sau đặc trưng cho hàm lồi khả vi thuận lợi để kiểm tra tính lồi hàm số Ta kí hiệu f (a) ∇f (a) đạo hàm f a Định lí 1.2.30 Cho f : H → R hàm khả vi tập lồi mở D Điều kiện cần đủ để f lồi D f (x) + h∇f (x), y − xi ≤ f (y), ∀x, y ∈ D Nếu f khả vi hai lần điều kiện cần đủ để f lồi D với x ∈ D, ma trận Hessian H(x) f x xác định không âm, tức y T H(x)y ≥ 0, ∀x ∈ D, y ∈ Rn Như vậy, hàm f (x) = xT Qx (Q ma trận đối xứng) hàm lồi Q xác định không âm Hàm lồi chặt ma trận xác định dương Tính khả vi hàm lồi giữ vai trò quan trọng phương pháp tối ưu hóa Lớp hàm lồi có tính chất khả vi đẹp mà lớp khác khơng có Giả sử f : H → R ∪ {+∞} hàm lồi Ta có khái niệm sau: Định nghĩa 1.2.31 Cho hàm f : H → R gọi nửa liên tục E điểm x, với dãy {xk } ⊂ E, xk → x ta có lim inf f (xk ) ≥ f (x) Hàm f gọi nửa liên tục trên, E x −f nửa liên tục dưới, E x Hàm f gọi liên tục E x vừa nửa liên tục nửa liên tục E x Hàm f gọi nửa liên tục dưới, E A, liên tục E, điểm thuộc A Tương tự, ta nói 14 hàm nửa liên tục hàm liên tục Khi f liên tục (nửa liên tục) điểm x, tồn khơng gian, ta nói đơn giản f liên tục (nửa liên tục) x Định nghĩa 1.2.32 Cho ε > Một véctơ w ∈ H gọi ε− gradient f x0 ∈ H hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ) + ε ∀x ∈ H Tập tất ε− gradient gọi ε− vi phân hàm f x0 , kí hiệu  ∂ε f (x0 ) := w ∈ H : hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ) + ε, ∀x ∈ H Nhận xét: Khi ε = w gọi gradient f x ∈ H Tập tất gradient f x0 , kí hiệu ∂f (x0 ) Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f (x0 ) 6= ∅ Ví dụ 1.2.33 Cho D tập lồi, khác rỗng không gian H Xét hàm tập D  0 x ∈ D δD (x) =  +∞ x ∈ / D Với x0 ∈ D ta có w ∈ ∂δD (x0 ), suy δD (x) − δD (x0 ) ≥ hw, x − x0 i, ∀x ∈ D Do hw, x − x0 i ≤ 0, ∀x ∈ D, suy w ∈ ND (x) Điều chứng tỏ ∂δD (x0 ) = ND (x0 ), ∀x0 ∈ D Cũng có trường hợp tồn điểm x∗ f khơng có vi phân, nghĩa tập ∂f (x∗ ) tập rỗng Tuy nhiên hàm lồi ta có định lí sau 15 Định lí 1.2.34 Cho f hàm lồi hữu hạn H Lúc f có vi phân điểm thuộc H Định nghĩa 1.2.35 Ta gọi đạo hàm theo hướng d hàm số f (không thiết lồi) điểm x đại lượng f (x + λd) − f (x) f (x, d) := lim+ , λ→0 λ giới hạn tồn Định lí 1.2.36 Nếu f hàm lồi tập lồi D với x ∈ D d cho x + d ∈ D, đạo hàm theo hướng d f x tồn nghiệm f (x, d) ≤ f (x + d) − f (x) Ngoài ra, với điểm x cố định f (x, ) hàm lồi tập lồi {d : x + d ∈ D} Định nghĩa 1.2.37 Cho D ⊆ Rn tập lồi, f : D → R hàm lồi ε ≥ Xét toán f (x) x∈D (P ) Mỗi điểm x ∈ D gọi ε− nghiệm toán (P ) f (x) ≤ f (x) + ε x∈D Mệnh đề 1.2.38 Véctơ x ∈ D ε− nghiệm toán (P ) ∈ ∂ε f (x)  ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng Đồng thời muốn tìm hiểu sâu kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương" Luận văn. .. Chương 2: "Bài tốn quy hoạch tồn phương" , chương trình bày nội dung tốn quy hoạch tồn phương tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Rn tốn quy hoạch tồn phương lồi