S GD & ĐT QUANG NAMỞ ̉ Đ THI OLYMPIC TOÁN L P 10Ề Ớ Năm h c 20162017ọ (Th i gian làm bài 180 phút)ờ Câu 1 (5 đi m)ể Giai ph ng trinh saù̉ ươ Câu 2 (3 đi m)ể Cho Parabol (P) va ho đ ng thăng ̀ ̣̀ ươ[.]
SỞ GD & ĐT QUANG NAM ̉ ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 Năm học 20162017 (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5 điểm) Giai ph ̉ ương trinh sau ̀ : Câu 2: (3 điểm) Cho Parabol (P) va ho đ ̀ ̣ ường thăng ̉ : y = (m – 2)x + 2 – 2m. 1) Tim đi ̀ ều kiện của m để cắt (P) tại 2 điểm phân biêt ̣ 2) Khi cắt (P) tại 2 điểm phân biêt co hoanh đô lân l ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ượt la x, x. Tim tât ca cac gia tri cua m thoa ̀ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ̉ man ̃ : Câu 3 : ( 3 điêm) ̉ Cho a>0, b>0, c>0 va a + 2b + 3c . Tim gia tri nho nhât cua ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉ Câu 4 : ( 2 điêm) ̉ Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh ̀ : Câu 5 : ( 3 điêm) ̉ Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng: . Câu 6 : ( 4 điêm) ̉ : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại có phương trình hai cạnh là , điểm thuộc đoạn thẳng . Tìm tọa độ điểm H sao cho có giá trị nhỏ nhất …………………Hêt………………… ́ SỞ GD & ĐT QUANG NAM ̉ ĐÁP ÁN THI OLYMPIC TỐN LỚP 10 Năm học 20162017 (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5 điểm) Giai ph ̉ ương trinh sau ̀ trên tâp sơ th ̣ ́ ực: Phương trình đã cho tương đương: (*) Đặt Phương trình (*) trở thành hệ đối xứng: 1,0 1,5 Đặt Phương trình (2) trở thành: (2’) Xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn u Phương trình (2’) vơ nghiệm Phương trình (2) vơ nghiệm +) Với a = x thế vào (1): Vậy phương trình có nghiệm 1,5 1,0 Câu 2: (3 điểm) Cho Parabol (P) va ho đ ̀ ̣ ường thăng ̉ : y = (m – 2)x + 2 – 2m. 1) Tim đi ̀ ều kiện của m để cắt (P) tại 2 điểm phân biêt ̣ Phương trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va : (1) ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ̀ 1,0 Theo đê: (1) co 2 nghiêm phân biêt > 0 (*) ̀ ́ ̣ ̣ 2) Khi (dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biêt co hoanh đô lân l ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ượt la x, x. Tim tât ca cac gia tri cua m thoa ̀ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ̉ man ̃ : Phương trinh (1) co 2 nghiêm x, x nên x+ x=m+3 va x. x = 2+2m ̀ ́ ̣ ̀ 1,0 Theo đề : Kêt h ́ ợp vơi (*) ta đ ́ ược : 1,0 Câu 3 : ( 3 điêm) ̉ Cho a>0, b>0, c>0 va a + 2b + 3c . Tim gia tri nho nhât cua ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉ Ta co: ́ 1,0 0,5 Ap dung gia thiêt va bât đăng th ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ức Côsi ta được: 1,0 , dâu = xay ra khi a = 2, b = 3, c = 4 ́ ̉ 0,5 Câu 4 : ( 2 điêm) . Giai hê ph ̉ ̉ ̣ ương trinh ̀ : Điêu kiên: ̀ ̣ 0,25 Đăt ̣ 0.5 Hê tr ̣ ở thanh (vi loai) ̀ ̀ ̣ 0.5 thay vao (không thoa man) ̀ ̉ ̃ 0.5 Vây hê co mơt nghiêm ̣ ̣ ́ ̣ ̣ 0.25 Câu 5 : ( 3 điêm) ̉ Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng: . Ta có 1,0 1,5 0,5 Câu 6: (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại có phương trình hai cạnh là , điểm thuộc đoạn thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho có giá trị nhỏ nhất HDC Tìm tọa độ điểm sao cho có giá trị nhỏ nhất Phương trình các đường phân giác góc A là Do Δ cân tại nên phân giác trong () của góc vng góc với BC , khi đó đi qua và có vtpt ; Phương trình cạnh : Tọa độ : Tọa độ : Khi đó ; ngược hướng ; nằm hai phía () ( thỏa mãn) , khi đó đi qua và có vtpt Phương trình cạnh: Tọa độ : Tọa độ : Khi đó ; cùng hướng (loại) Với ; . Đặt Dấu Vậy thì nhỏ nhất bằng 32. 1,0 1,0 1,0 1,0 Hết SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG NAM KÌ THI OLYMPIC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH MƠN: TỐN 10 NĂM HỌC 2016 2017 Thời gian: 150’ (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số y = Vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 Tìm m để có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 Câu 2 (2 điểm). Giải phương trình sau: Câu 3 ( 3 điểm). Giải hệ phương trình: Câu 4 ( 4 điểm). Cho 3 số dương a, b,c thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a+ b + c Câu 5 ( 3 điểm). Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. Chứng minh điểm M thuộc đường trịn khi và chỉ khi Câu 6 ( 4 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử , phương trình đường thẳng và . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD Hết Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………………; Số báo danh………… TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH TỔ TỐN ĐÁP ÁN KÌ THI OLYMPIC MƠN: TỐN 10 NĂM HỌC 20162017 Câu 1 Ý Nội dung trình bày 2,0 điểm Tọa độ đỉnh, chiều lõm Hình dạng 2,0 điểm Phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi 2,0 điểm Giải phương trình sau: Điểm 1,0 1.0 1.0 1.0 Đk x 1 Phương trình tương đương ( Giải nghiệm x = 3; x = 0,5 0.5 0.5 0.5 ( điểm). Giải hệ phương trình: * Thay x = 0 vào hệ ta thấy khơng thỏa hệ * Với hệ 1,0 Đặt Hệ trở thành Giải được * Với Ta có 0.5 0,5 0,5 * Với ta có Ta có 0,5 4 điểm. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a+ b + c 4 ; ; Cộng vế theo vế ta được VT S GTLN của S bằng 3 khi a = b = c =1 1,5 1,5 0,5 0,5 3,0 điểm: Chứng minh điểm M thuộc đường trịn khi và chỉ khi Ta có: 0,5 1,5 ++= 2BC2 = 6R2 ( đpcm) 4,0 điểm 0,5 1,0 Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK AE +) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và hay KE song song và bằng BC Do đó: CE: 2x 8y + 27 = 0 Mà , mặt khác E là trung điểm của HD nên Khi đó BD: y 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(1; 1) Suy ra AB: x 2y +3=0. Do đó: B(3; 3) KL: A(1; 1), B(3; 3) và D(2; 3) 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 Học sinh làm cách khác nếu đúng căn cứ thang điểm giáo viên cho điểm SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI OLYMPIC 243 LẦN THỨ 2 – TỐN QUẢNG NAM 10 Thời gian làm bài: 180ph, khơng kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN Câu 1(5,0đ) a. Giải bất phương trình: b. Giải hệ phương trình: Câu 2(4,0đ): a Giả sử phương trình bậc 2 ẩn x(tham số m): có 2 nghiệm thỏa . Tìm GTLN,GTNN của P= b Cho hàm số y=f(x)=2(m1)x+ . Tìm tất cả các giá trị của m để f(x)0. BPT tt: xt1 0 t22t1 0 Lúc đó, x Vậy nghiệm của BPT là x b Giải hệ phương trình: (2) (2) Đặt lúc đó hệ trở thành: Đặt S=u+v; P=uv; Hệ trở thành: Lúc đó, Vậy nghiệm của hệ: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3đ 0.25 0.5 0.25 0.25x4 0.5 0.5 Câu 2 4đ a. Giả sử phương trình bậc 2 ẩn x(tham số m): có 2 nghiệm thỏa . Tìm GTLN,GTNN của P= 3đ PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa Định lí Viet BBT m ∞ 0.25 0.5 P 144 +∞ 16 0.5 0.25 0.5 0.5 24 Dựa trên BBT, ta có MaxP=16 tại x=2; MinP=144 tại x=2 b Cho hàm số y=f(x)=2(m1)x+ . Tìm tất cả các giá trị của m để f(x)