Luyện thi trung học phổ thông quốc gia môn toán theo chủ đề phần 2

CHỦ ĐỀ 17: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A KIẾN THỨC NỀN TẢNG xa Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng , x  b tính theo cơng thức b S   f  x   g  x  dx a (1) (Dạng 1)  Quy ước: Trong học ta gọi đường thẳng x  a cận thứ nhất, x  b cận thứ hai  Chú ý: Khi đề không cho hai cận hai cận có dạng x  x1 , x  x2 hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm ya yb Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x  f  y , x  g  y hai cận , tính theo cơng thức: b S   f  y  g  y dy a (2) (Dạng 2) Tổng hợp phương pháp (gồm bước)  Bước 1: Xác định rõ hai hàm y  f  x  , y  g  x  x  f  y , x  g  y  Bước 2: Xác định rõ cận x  a , x  b y  a , y  b  Bước 3: Lắp vào công thức (1) (2) sử dụng máy tính casio B VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường hai cận Ví dụ (Chuyên Thái Nguyên): Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  2x2  3x  y  x2  x  A Giải B   cos   S Tính 2 C D Ta hiểu y  f  x   2x  3x  y  g  x   x  x  Tìm cận x  a , x  b phương trình hồnh độ giao điểm: 2  x  3 2x2  3x   x2  x   x2  4x      x  1 a b Sau có đầy đủ thông số f  x  , g  x  , , ta lắp vào công thức: 1 S    2x2  3x  1   x2  x  2 dx  3 S 1  x 3  4x  3dx   4  3   3   cos   cos     S  4 Vậy  Chọn B Phân tích Chú ý tốn khơng cho hình phẳng giới hạn cận a , b ta tìm cận cách tìm Trang Trang 183 nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Chú ý thứ hai giá trị: b b a a  f  x  dx   f  x  dx Ví dụ (Chun Nguyễn Bỉnh Khiêm): Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  x  3x  2x , trục hoành đường thẳng x  là: A Giải B C D Trục hồnh có phương trình y  x  x  3x  2x    x   x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm: Trong cận ta phải chọn lựa xem cận hợp với đường thẳng = để tạo thành miền phẳng Đó cận x  Do diện tích hình phẳng là: S x  3x2  2x dx   Chọn C Bình luận Việc xác định xem cận lấy cận không? Cận hợp với cận cho tạo thành miền phẳng khép kín cơng tác quan trọng cấu tạo nên tích phân tính diện tích yc Ví dụ (vn.math): Đường thẳng chia hình phẳng giới hạn đường cong y  x đường thẳng y  x thành hai phần Tìm c A 16 Giải B C 2 D 3 Tiến hành tìm cận: x   x  2 y4 y  x2 Diện tích hình phẳng giới hạn là: S  x 2  4dx  32 Trang Trang 184 yc y  x2 Vậy diện tích giới hạn S1  S 16  Tiến hành tìm cận: x  c  x   c S1  16  c   x  c dx  16 (*)  c Khi Sử dụng máy tính Casio thay c vào (*) xem giá trị thỏa mãn Ta thấy  Chọn A S1  16 thỏa mãn (*) Bình luận Ta loại đáp án C D c phải thuộc khoảng từ đến Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cận Ví dụ (Chun Quốc Học Huế): Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   x  4x  , trục hoành, x  , x  A C B D Giải Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận x  x2  x     x  Ta thấy nghiệm x  thuộc miền giới hạn x  , x  ta coi x  cận Khi phần hình phẳng cần tìm chia thành phần hình phẳng nhỏ Phần thứ nằm cận x  , x  ta gọi S1 phần thứ nằm cận x  , x  ta gọi S2 Tính Tính S1  S2  2  x x  4x  3dx    4x  3dx  2  3 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm S  S1  S2   2 3 Trang Trang 185  Chọn D Phân tích Với cận tìm ta phải chia thành hình phẳng nhỏ tính hình phẳng dẫn đến kết sai lầm Ngồi cịn xuất sai Tuyệt đối khơng tính chung lầm thường xảy đề cho cận x  2; x  bạn thường lười tìm cận thứ  f  x  dx Ví dụ (THPT Tam Quan): Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  sin x với  x  2 A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x  sin x  x  sin x   x  k k   x  0  x  2   k  2   k   x    k   x  2 Với  S  S1  S2   sin xdx  Vậy  Chọn A 2  sin xdx  Dạng 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cận Ví dụ (Sở GD-ĐT Bình Phước): Cho Parabol y  x  4x  hai tiếp tuyến với Parabol A1;2 B 4;5 y  2x  y  4x  11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường B A Giải C D Ta hiểu tiếp tuyến y  2x  tiếp xúc Parabol điểm x   x  cận thứ Tương tự x  cận thứ tạo tiếp tuyến y  4x  11 Parabol Để cẩn thận ta thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm tiếp tuyến để tìm cận thứ Ta có: 2x   4x  11  x  Với cận x  1; x  15 15 ;x  ta chia thành khoảng cận  15 1;    15   ;4   tương ứng với hình phẳng S1 S2 Trang Trang 186 S1  Tính S2  Tính 15 1  x   x 15  4x  4   2x  4dx   4x  4   2x  dx  Vậy tổng diện tích  Chọn C S  S1  S2  9   8 Phân tích Việc chọn hàm hàm cho khoảng cận việc khó khăn Ta xử lý cách vẽ phác họa đồ thị hàm quan sát ta lập luận sau: Cận bên trái cận x  chứa y  2x  Parabol (không chứa y  4x  11) nên diện tích hình phẳng tạo nên đường Ví dụ (Chuyên KHTN Huế): Diện tích hình phẳng giới hạn đường gấp khúc y   x , trục hoành hai đường thẳng x  1 , x  A B 16 C D Giải y  4 x x0 Đường gấp khúc y   x thực chất đường thẳng tương ứng với (phần nằm bên phải trục tung) y   x tương ứng với x  (phần nằm bên trái trục tung) Hai đường thẳng giao điểm M  0;4 Vậy cận thứ x0 S  S1  S2  Vậy  Chọn D thuộc miền cận ban đầu  1;1    x  dx  0   x  dx  1 Dạng 4: Diện tích hình phẳng chứa đường cong có nhánh Trang Trang 187 Ví dụ (ThukhoA.edu.vn): Tính diện tích hình phẳng giới hạn Elip  3 9 C A B Giải Cách 1: Ứng dụng tích phân x2  y2 1 7 D Ta biến đổi hàm số cho dạng y  f  x  y  g  x  :  y   x2  y  f  x  y2 2 x    y  1  x     y  3  x2  y  g  x  Vậy đường cong ban đầu ta biến đổi dạng y  f  x  y  g  x  2 Tiến hành tìm cận:  x  3  x   x   x  1 S Vậy diện tích (E):  Chọn B  1   x2  3  x2 dx  16   x2 dx  9.42  3 Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh Ta có diện tích Elip tính theo cơng thức S  ab với 2a độ dài trục lớn 2b độ dài trục nhỏ x2  Áp dụng a2  a  y2  1    S  ab  3 b  b    Bình luận Để tách đường cong thành nhánh ta tiến hành 2 Bước 1: Cô lập y đưa dạng y  A y   A x2 y2 a2  b2   1 b ứng dụng vào toán ta Chú ý Elip ln có dạng a S2 x2 y2  1 Ví dụ (Chuyên Sơn La): Gọi diện tích hình phẳng giới hạn Elip diện S S tích hình thoi có đỉnh đỉnh Elip Tính tỉ số S1 S1  A S2  S1   C S2 S1  B S2  S1   D S2 Giải Cơng thức Elip có dạng a2  a  x2 y2   1    S1  ab  3 a b b  b    Trang Trang 188 Tọa độ đỉnh Elip A  a;0 , B  0; b , C  a;0 , C  0;  b  tương ứng A 3;0 , B  0;1 , C  3;0 , D  0; 1 Đây hình thoi ABCD có hai đường chéo AC  2a  BD  2b  1  S2  AC.BD  6.2  2 S1 3    S Tính tỉ số  Chọn D Bình luận Ngồi tọa độ đỉnh ABCD giới thiệu Elip cịn điểm đặc biệt tiêu cự F1  c;0 F2  c;0 với c2  a2  b2 Ví dụ 10 (Chuyên Sư phạm HN): Người ta cần trồng hoa phần đất nằm phía ngồi đường trịn tâm gốc tọa độ, bán kính phía Elip có độ dài trục lớn 2 trục nhỏ hình vẽ Trong đơn vị diện 100 tích cần bón trồng hoa là? A 30 kg Giải 2  1  B 40 kg Diện tích hình trịn Diện tích Elip là: kg phân bón Hỏi tổng số phân bón cần sử dụng để S1  r  S2  ab   Diện tích trồng hoa C 50 kg  2 2  2 S  S2  S1           2 1  2  2 1 Tổng số phân bón cần tìm  Chọn C D 45 kg 100  2 1   50(kg) Bình luận Ngồi cách tính nhanh cho diện tích Elip đường trịn ta thực tập cách tách đường cong thành nhánh x2 y2 x2    y   1 Ví dụ có Elip: Dạng 5: Diện tích hình phẳng dạng đảo trục ya yb Cho hàm x  f  y , x  g  y hai cận , diện tích hình phẳng giới hạn đường là: Trang Trang 189 b S   f  y  g y  dy a Ví dụ 11 (Sách tập nâng cao): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x  y , đường cong x  y  , trục hoành A B 5 C D Giải Ta coi x  y  x  f  y 4 Lại có x  y   x   y  x  g  y  Trục hồnh có phương trình y  Giải phương trình tung độ giao điểm: y   y  y   23  S    y    y4  dy  0  Khi diện tích hình phẳng:  Chọn A Bình luận Việc tách hàm thành y  f  x  y  g  x  khó khăn ta tách hàm thành dạng x  f  y x  g  y áp dụng cơng thức tương tự học Ví dụ 12 (Báo THTT): Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  4x , đường thẳng x  S Giá trị S A Giải Cách 1: Cách đảo trục B 8 C D 16 y2 y  4x  x   x  f  y Ta có Lại có x   x  g  y  x  g  y   y  2 y2  1  y  Giải phương trình tung độ giao điểm: Trang Trang 190 S Khi diện tích hình phẳng:  Chọn C  y2  2   1dy  Cách 2: Cách thông thường  y  4x y  f  x y2  4x     y   4x  y  g x Ta có Giải phương trình hồnh độ giao điểm: Khi diện tích hình phẳng: S 0  4x   4x  4x   x   4x   4x dx  0   4x dx  2.67  Bình luận Qua cách giải cho bạn đọc cách nhìn tồn diện cách làm thông thường cách đảo trục Các bạn tự so sánh rút kinh nghiệm riêng C BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu (Chun Lê Hồng Phong - 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x đường thẳng y  2x 23 A 15 B 3 C D Câu (Chun Biên Hịa - 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn  P : y  x  4x  trục Ox 4   B C D A 3 Câu (THPT TH Cao Ngun - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  ; y  ; x  ; x  A B C D 2 Câu (Sở GD-ĐT Hải Dương - 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ; 27 x2 y y x 27 ; S 234 S 27ln3 26 26 S S 27ln3  3 A B C D Câu (Sở GD-ĐT Tp HCM - 2018) Diện tích hình phẳng hình vẽ bên Trang Trang 191 22 A 16 C B 10 D Câu (Đề Minh Họa - 2018) Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường y  f  x  , trục x  1, x  hoành hai đường thẳng sau đúng? A S  b  a C S   b  a (như hình vẽ bên) Đặt a  f  x  dx, b  0 f  x  dx , mệnh đề 1 B S  b  a D S   b  a Câu (Sở GD-ĐT Bình Dương) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y  ln x , y  , x  e2 A S  e  B S C S  e  D S  e  Câu (Chuyên KHTN HN - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x đường thẳng y   x , trục hoành miền x  B A C D x Câu (THPT Thanh Thủy - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  xe , y  , x  1 , x  e2  2 e e2  2 e e2   e C e2   e D A B Câu 10 (THPT Phan Đình Phùng - 2018) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn hai đồ thị y  3ex , y   x trục tung 9 S  S  ln3 ln3 B A S  ln3 S  ln3 C D Câu 11 (THPT Vĩnh Thạnh - 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x  , x   đồ thị hàm số y  cos x , y  sin x A B 2 C D Câu 12 (THPT Tam Quan – 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình: y  x  sin x y  x với  x  2 A B -4 C D Câu 13 (Chuyên ĐHSP HN - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn nửa đường tròn x2  y2  2, y  parabol y  x2  1 A B   C  D Trang 10 Trang 192 Câu 14 (Chuyên Thái Nguyên - 2018) Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  2x2  3x  1, y  x2  x  hàm số   cos   S Tính 2 C D A B Câu 15 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn d: y x Parabol  P : y  x đường thẳng xoay quanh trục Ox A B C   x dx   x dx   x dx   x4dx 0    x2  x  dx D    x2  x  dx Câu 16 (Sở GD-ĐT TP HCM - 2018) Tìm diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị  C  : y  x , tiếp tuyến d (C) điểm có hồnh độ x  trục hồnh S 3 A B C D Câu 17 (Sở GD&ĐT Bình Phước - 2018) Cho Parabol y  x  4x  hai tiếp tuyến với Parabol y  2x  y  4x  11 A1;2 B 4;5 S đường nói A S S B Tính diện tích hình phẳng giới hạn C D x2 y2  1 Câu 18 (Chuyên Sơn La - 2018) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn elip S2 diện tích hình thoi có đỉnh đỉnh elip Tính tỉ số S1 S2 S1 S1  A S2  S1  B S2  S1   C S2 S1   D S2 Câu 19 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y  ln x , y  , x  k  k  1 Tìm k để diện tích hình phẳng (H) A k  B k  e3 C k  e2 D k  e Câu 20 (THPT Kim Liên - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ax  a  0 , trục x  1, x  k  k  0 15a hoành hai đường thẳng Tìm k k 1 k2 1 k k A B C D x2 2 y chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính Câu 21 (THPT Phú Cát – 2018) Parabol thành phần Tỉ số diện tích chúng thuộc khoảng nào:  1  ;  A    3  ;  B   Trang 11 Trang 193 3   ;  C  10   4  ;  D  10  Câu 22 (THPT Phan Đình Phùng - 2018) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y  x  y  k ,  k  Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng kẻ sọc hình vẽ bên A k  B k   C k D k   Câu 23 (Sở GD-ĐT TP HCM - 2018) Cho hình thang cong giới hạn đường y  e , y  , x  x  ln4 thẳng x  k   k  ln4 chia (H) thành hai phần có diện tích x (H) Đường S1, S2 hình vẽ bên Tìm k để S1=2S2 A B C k  ln2 k  ln3 k  ln4 k  ln D Câu 24 (Sở GD-ĐT TP HCM - 2018) Gọi (H) hình phẳng đồ thị (P) hàm số y  6x  x trục hoành Hai thẳng y  m, y  n chia hình (H) thành ba phần có diện tích Tính P    m    n A P  405 B P  409 C P  407 D P  403 Câu 25 (Chuyên Lương Thế Vinh - 2018) Hình vng OABC có chia thành hai phần đường cong (C) có phương trình giới hạn đường x Gọi S1, S2 diện tích phần khơng bị gạch phần bị gạch S1 hình vẽ) Tính tỉ số S2 y cạnh (như S1  A S2 S1 2 S B S1 1 S C Trang 12 Trang 194 S1  S D 2 Câu 26 (Chuyên Hưng Yên - 2018) Vòm cửa lớn trung tâm văn hóa có dạng hình parabol Người ta dự định lắp cửa kính cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 8m rộng 8m 128 m A 131 m B 28 26 m m C D d : y  mx  Câu 27 (Chuyên Hưng Yên - 2018) Cho Parabol  P : y  x  đường thẳng Biết tồn m để diện tích hình phẳng giới hạn (P) d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ S S S S A B C D Câu 28 (THPT Nguyễn Quang Diệu - 2018) Cho S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  2x  x2 trục hồnh Số ngun lớn khơng vượt q S A B C D Câu 29 (Sở GD&ĐT HN - 2018) Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d,  a, b, c, d  ℝ , a   có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y  f   x  cho hình vẽ bên Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành A S 27 S B 21 S C S D Câu 30 (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Trong Cơng viên Tốn học có mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình  mảnh đất tạo thành đất mang hệ mảnh đất  2 tọa độ Oxy 16y  x 25  x hình vẽ bên Tính diện tích S Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều mét A S S 125 m  B S 125 m  C S dài D 250 m  125 m  D BẢNG ĐÁP ÁN 1D 2A 3B 4B 5D 6A 7D 8B 9B 10D 11B 12B 13C 14B 15A 16B 17C 18D 19D 20D 21A 22D 23C 24A 25D 26A 27B 28B 29B Trang 195 30D Trang 13 Trang 14 Trang 196 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRONG XOAY A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Ox Dạng 1: Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S  x  tạo mặt phẳng vng góc với điểm có hồnh độ x  a  x  b  Giả sử S  x  hàm liên tục thể tích vật thể tích theo cơng thức: b V   S  x  dx a xa Dạng 2: Cho hình phẳng  H  tạo đường y  f  x  , y  g  x  đường thẳng , xb Ox Khi quay hình phẳng  H  quanh trục vật thể trịn xoay tích tính theo công thức: b V    f  x   g  x  dx a y  a, y  b Dạng 3: Cho hình phẳng  H  tạo đường x  f  y  , x  g  y  đường thẳng Oy Khi quay hình phẳng  H  quanh trục vật thể trịn xoay tích tính theo cơng thức: b V    f  y   g  y  dy a B VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Thể tích vật thể có thiết diện biến đổi Ví dụ 1: (Báo THTT) Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x  0, x  biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x  1 tam giác có cạnh ln 1  x  A  ln  1 B  ln  1 D 16  ln  1 C  ln  1 Giải   S  S  x   ln 1  x   ln 1  x  Thiết diện tam giác nên có diện tích: Diện tích S  S  x  hàm liên tục  0;1 nên thể tích tính theo cơng thức: 1 0 V   S  x  dx   ln 1  x  dx  2.6763   ln  1 => Chọn A Phân tích Diện tích tam giác cạnh x tính theo cơng thức a2 Ví dụ 2: (Đề minh họa BGD) Trang Trang 197 Tính thể tích phần vật thể giới hạn mặt phẳng x  x  1 biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 1  x  3 thiết diện hình chữ 3x nhật có hai cạnh x  124 124 V  32  15 V  32  15 V V 3 A B C D   Giải Diện tích thiết diện S  S  x   x x  Thể tích vật thể có thiết diện biến đổi là: 3 1 V   S  x  dx   x x  1dx  41,3  3  124 => Chọn C Phân tích Đây dạng toán lạ, xuất sách giáo khoa nâng cao Nếu học sinh chưa biết cách làm khó biết cách làm lại đơn giản Ví dụ 3: (Sở GD – ĐT Phú Thọ) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt phẳng x  x  biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 1  x   thiết diện hình lục giác có độ dài cạnh 2x A V  63 3 B 126 C 63 D 126 3 Giải Khám phá tính chất lục giác ta thấy: Lục giác hình ghép lại tam giác Diện tích tam giác là: S0  a 3  4x2  x2 4 Vậy diện tích lục giác cạnh 2x là: S  S  x   S0  x 4 V   S  x  dx   x dx  x3  126 Suy thể tích cần tìm là: 1 => Chọn B Ví dụ 4: (Sở GD – ĐT Bắc Giang) Có vật hình trịn xoay có dạng giống ly dây Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng Parabol Tính thể tích vật thể cho 12 72 72 B 12 C D A Giải Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào hình bên tương ứng I gốc tọa độ, IO trục hoành Trang Trang 198 Gọi phương trình Parabol y  ax  bc  c Parabol qua I  0;0     c   c  Parabol qua B  2;6   4a  2b  Parabol qua A  2;6   4a  2b  4a  2b  3  b  0; a   y  x  2 Vậy ta có: 4a  2b  Lấy M  0; y  thuộc OI, mặt phẳng qua M vuông góc với Oy cắt hình theo thiết diện đường trịn bán kính MN với N giao điểm đường tròn Parabol   R0  MN  y  N  y, y     Bán kính thiết diện  2 y S  S  y    R02   y  3 Diện tích thiết diện: 6  2 V   S  y  dy  y dy  12  0 Thể tích ly: => Chọn A Phân tích: Bài tốn mở rộng dạng Nếu thiết diện có diện tích S  y  thể tích vật thể  S  y  dy Dạng 2: Thể tích sinh hình phẳng xoay quanh Ox Ví dụ 5: (Thi THPT QG) Cho hình phẳng D giới hạn y   sin x , trục hoành đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo thành D quay quanh trục hồnh tích bao nhiêu? V  2 B V  2   1 C D V    1 A V  2 Giải Giải phương trình hoành độ giao điểm: x  0, x    Thể tích cần tìm: V     f  sin x   sin x  2  vơ nghiệm  có cận   x   g  x   dx      sin x  dx  Tính giá trị tích phân:    sin x  dx  8.28    1 Từ suy V  2   1 => Chọn B Phân tích: Dù đề cho cận sẵn cẩn thận tìm xem có cận thứ khơng Nếu có cận thứ Trang Trang 199 thể tích phải chia thành thể tích nhỏ cộng lại với Khi tính giá trị thể tích máy tính casio ta ý không cần nhập giá trị  vào tránh rối mắt Trong đáp án loại phải có nhân tử  khơng có sai ln Ví dụ đáp số D Ví dụ 6: (Chuyên ĐH Vinh) Cho hàm bậc hai: y  f  x  có đồ thị hình bên Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  Ox quanh trục Ox 16 4 16 A 15 B C 12 D Giải Đồ thị hàm bậc có dạng Parabol Gọi hàm y  f  x  có phường trình y  ax  bx  c Đồ thị qua gốc tọa độ  0a  0b  c   c  Đồ thị qua 1;1  a  b  c   a  b  11 Đồ thị qua  2;0   4a  2b  c   4a  2b   2 a  b  1    a  1, b   Từ ta có: 4a  2b   Hàm số có dạng y   x  x  V      x  x  dx Thể tích cần tìm: Tính tích phân 16    x  x  dx  15 Vậy V 16 15 => Chọn A Phân tích: Một tốn hay, đề yêu cầu ta phải xây dựng hàm y  f  x  lắp công thức để tính thể tích Ví dụ 7: (Sở GD – ĐT Hà Tĩnh) Ta vẽ hai nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa đường trịn đường kính AB có diện tích 8 góc 蹷  300 BAC Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình  H  quanh đường AB 98 B 220 A 224 C 4 D Giải Diện tích nửa đường trịn đường kính AB  AB   AB     8  AB     Trang Trang 200 Gọi R1 bán kính đường trịn lớn R2 bán kính đường trịn nhỏ  R1  R2  Lắp hệ trục tọa độ vào hình vẽ, chọn A gốc tọa độ O AB trục hồnh Ox Khi đường trịn to có tâm I1  4;0  đường trịn nhỏ có tâm I  2;0  Phương trình đường tròn lớn:  x    y  16  Phương trình cung y  f  x tròn lớn là: y  16   x   ta coi  x  2 Phương trình đường trịn nhỏ: y  g  x   y2   Phương trình cung trịn nhỏ y    x   ta coi Gọi phương trình đường thẳng AC y  kx  m với k hệ số góc đường thẳng giá trị k k  tan BAC  tan 300  tính theo cơng thức 1 y xm A  0;0   m   y  x 3 Ta coi m mà lại qua điểm Gọi C giao điểm AC đường tròn lớn ta tìm C  6;0  Gọi D giao điểm AC đường tròn nhỏ ta tìm D  3;0   V     h  x   g  x   dx     h  x    dx     f  x    dx Tính giá trị   h  x   g  x   dx    h  x    dx    f  x    dx 2 6  x2  x 98      x  x   dx   dx   8 x  x  dx  3  3 Bằng máy tính Casio ta được: Vậy thể tính cần tìm 98 V => Chọn B Phân tích: Bài tốn nâng cao nữa, để ẩn f  x  , g  x  , h  x  ta phải gắn hệ trục tọa độ cách 2 x    y  16  phù hợp tìm chúng Đường tròn lớn tạo nửa đường tròn y  16   x   y0 y   16   x   ta nhận nửa ứng với Trang Trang 201 Dạng 3: Thể tích vật thể sinh quay hình phẳng quanh Oy Ví dụ 8: (Sách tập Nâng cao) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  0, y  2y x y  đường thẳng 2 3  3 A B C D Giải Ta hiểu x y  0, y  2y  x  f y   y2 1 hai cận b Áp dụng cơng thức tính thể tích ta có: Tính giá trị tích phân: Vậy V y 2y dy  y  1 V    f  y  dy    a 2y dy  2  1  => Chọn C Phân tích: Bài tốn nhìn lạ ta nên làm quen để coi bình thường vai trị Ox Oy tương đương Khi làm quen thấy thật dễ dàng Ví dụ 9: (Sách tập Nâng cao) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn hàm số y  x  x đường thẳng y  ? 5 A 2 B 7 C 8 D Giải Biến đổi hàm số ban đầu dạng x  f  y  x  g  y  x  1 1 y  x 1   y 2  y  x  x  y     x  1   x  1   y    x    y  x     y Ta có: Ta coi x    y x  f  y  hàm lại x  g  y  Phương trình tung độ giao điểm :   y    y  y  Vậy ta có cận thứ y  cận thứ hai y  1  2 V       y    y  dy      y  dy   0 Thể tích     4  y  dy  2.66    Tính giá trị => Chọn D  8     y  dy  Vậy Trang Trang 202 ... C S dài D 25 0 m  125 m  D BẢNG ĐÁP ÁN 1D 2A 3B 4B 5D 6A 7D 8B 9B 10D 11B 12B 13C 14B 15A 16B 17C 18D 19D 20 D 21 A 22 D 23 C 24 A 25 D 26 A 27 B 28 B 29 B Trang 195 30D Trang 13 Trang 14 Trang 196... AC  2a  BD  2b  1  S2  AC.BD  6 .2  2 S1 3    S Tính tỉ số  Chọn D Bình luận Ngồi tọa độ đỉnh ABCD giới thi? ??u Elip cịn điểm đặc biệt tiêu cự F1  c;0 F2  c;0 với c2  a2  b2 Ví... y x 27 ; S 23 4 S 27 ln3 26 26 S S 27 ln3  3 A B C D Câu (Sở GD-ĐT Tp HCM - 20 18) Diện tích hình phẳng hình vẽ bên Trang Trang 191 22 A 16 C B 10 D Câu (Đề Minh Họa - 20 18) Gọi S diện tích