Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ 13 HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Hai tam giác bằng nhau + Hai tam giác ABC và A B C bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương[.]
CHUYÊN ĐỀ 13 HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT Hai tam giác + Hai tam giác ABC ABC chúng có cạnh tương ứng góc tương ứng A B A' C B' C' AB = AB, BC = BC , AC = AC A = A , B = B , C = C + Tức là: ABC = ABC Ở hai đỉnh A A ( B B , C C ) hai đỉnh tương ứng; hai góc A A ( B B , C C ) hai góc tương ứng; hai cạnh AB AB ( BC BC , AC AC ) hai cạnh tương ứng Trường hợp thứ hai tam giác * Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác + Tức là: ABC ABC có AB = AB, BC = BC, AC = AC ABC = ABC PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Bài tập lí thuyết: Viết kí hiệu hai tam giác, từ kí hiệu hai tam giác suy cạnh – góc I Phương pháp giải: + Từ kí hiệu tam giác suy cạnh góc thứ tự tương ứng AB = AB, BC = BC , AC = AC A = A , B = B , C = C Ví dụ: ABC = ABC + Ngược lại, viết kí hiệu tam giác lưu ý kiểm tra lại xem góc hay cạnh tương ứng thỏa mãn yêu cầu đề chưa II Bài tập [1] Bài Cho biết ABC = HIK Hãy viết đẳng thức vài dạng khác Lời giải: Viết đẳng thức ABC = HIK vài dạng khác: ACB = KHI , CAB = KHI , [1] Bài Cho ABC = DEF Hãy góc, cạnh tương ứng Lời giải: AB = DE, BC = EF , AC = DF ABC = DEF A = D , B = E , C = F [1] Bài Cho MNP = IHG Hãy góc, cạnh tương ứng Lời giải: MN = IH , MP = IG, NP = HG MNP = IHG M = I , N = H , P = G [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: A = H B = I Lời giải: Hai tam giác ABC HIK A = H ; B = I kí hiệu hai tam giác là: ABC = HIK [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: AB = KI ; BC = KH Lời giải: Hai tam giác ABC HIK AB = KI ; BC = KH kí hiệu hai tam giác là: ABC = IKH [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: A = K ; AB = IK Lời giải: Hai tam giác ABC HIK A = K ; AB = IK kí hiệu hai tam giác là: ABC = KIH Dạng Biết hai tam giác số điều kiện, tính số đo góc, độ dài cạnh tam giác I Phương pháp giải: + Từ kí hiệu tam giác suy cạnh góc tương ứng + Lưu ý toán: tổng - hiệu, tổng - tỉ, hiệu – tỉ + Sử dụng định lí tổng ba góc tam giác II Bài tập [1] Bài Cho ABC = DEF với AB = 7cm, BC = 5cm, DF = 6cm Tính cạnh cịn lại tam giác Lời giải: Vì ABC = DEF nên AB = DE, BC = EF , AC = DF (các cạnh tương ứng) Mà AB = 7cm, BC = 5cm, DF = 6cm suy DE = 7cm, EF = 5cm, AC = 6cm [1] Bài Cho ABC = DEF với BC = 6cm, AB = 8cm, DF = 10cm a) Tính cạnh cịn lại tam giác b) Tính chu vi tam giác Lời giải: a) Vì ABC = DEF nên AB = DE, BC = EF , AC = DF (các cạnh tương ứng) Mà BC = 6cm, AB = 8cm, DF = 10cm suy EF = 6cm, DE = 8cm, AC = 6cm b) Chu vi ABC là: AB + BC + AC = cm + cm + 10 cm = 24 cm Chu vi DEF là: DE + EF + DF = cm + cm + 10 cm = 24 cm [1] Bài Cho ABC = IHK Tính chu vi tam giác, biết AB = 6cm , AC = 8cm , HK = 12cm Lời giải: Vì ABC = IHK nên AB = IH , BC = HK , AC = IK (các cạnh tương ứng) Mà AB = 6cm , AC = 8cm , HK = 12cm suy IH = 6cm, IK = 8cm, BC = 12cm Chu vi ABC là: AB + BC + AC = cm + 12 cm + cm = 26 cm Chu vi DEF là: DE + EF + DF = cm + cm + 10 cm = 24 cm [2] Bài Cho ABC = MNP , biết A = 65, P = 30 a) Tìm góc tương ứng b) Tính góc cịn lại hai tam giác Lời giải: a) Vì ABC = MNP A = M , B = N , C = P (các góc tương ứng) b) Vì A = M mà A = 65 nên M = 65 Vì C = P mà P = 30 nên C = 30 Xét ABC có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) B = 180 − A − C = 180 − 65 − 30 = 85 Mà B = N nên N = 85 Vậy B = 85 , C = 30 , M = 65 N = 85 [2] Bài Cho ABC = DEF biết B = 50, D = 70 Tính số đo góc C Lời giải: Vì ABC = DEF A = D (các góc tương ứng) mà D = 70 nên A = 70 Vậy C = 60 [2] Bài Cho ABC = MNP Biết AB + BC = 7cm, MN − NP = 3cm, MP = 4cm Tính độ dài cạnh tam giác Lời giải: Vì ABC = MNP nên AB = MN , BC = NP, AC = MP (các cạnh tương ứng) Mà MP = 4cm AC = 4cm , MN − NP = 3cm AB − BC = 3cm Lại có: AB + BC = 7cm suy ra: AB = ( + 3) : = ( cm ) , BC = ( − 3) : = ( cm ) NP = BC = 2cm, MN = AB = 5cm Vậy ABC có: AB = 5cm, BC = 2cm, AC = 4cm ; MNP có: MN = 5cm, NP = 2cm, MP = 4cm [2] Bài Cho ABC = IJK Biết AB + BC = 9cm, IJ = JK , AC = 5cm Tính chu vi tam giác Lời giải: Vì ABC = IJK nên AB = IJ , BC = JK , AC = IK (các cạnh tương ứng) Mà AC = 5cm IK = 5cm , IJ = JK AB = 2BC Lại có: AB + BC = 9cm BC = : (1 + ) = ( cm ) , AB = BC = ( cm ) IJ = AB = cm, IK = BC = cm Chu vi ABC là: AB + BC + AC = + + = 14 ( cm ) Chu vi IJK là: IJ + JK + IK = + + = 14 ( cm ) [2] Bài Cho ABC = IJK Biết AB − BC = 10cm,3 IJ = 5JK , AC = 20cm Tính chu vi tam giác Lời giải: Vì ABC = IJK nên AB = IJ , BC = JK , AC = IK (các cạnh tương ứng) Mà AC = 20cm IK = 20cm , 3IJ = 5JK AB = 5BC AB = BC Lại có: AB − BC = 10cm AB = 10 : ( − 3) = 25 ( cm ) , BC = 10 : ( − 3) = 15 ( cm ) IJ = AB = 25 cm, IK = BC = 15 cm Chu vi ABC là: AB + BC + AC = 25 + 15 + 20 = 60 ( cm ) Chu vi IJK là: IJ + JK + IK = 25 + 15 + 20 = 60 ( cm ) [3] Bài Cho Cho ABC = MNP , biết A = 60, P = 3N Tính số đo góc cịn lại tam giác Lời giải: Vì ABC = MNP nên A = M , B = N , C = P (các góc tương ứng) Vì A = M mà A = 60 nên M = 60 Xét MNP có: M + N + P = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) N + P = 180 − M = 180 − 60 = 120 Mà P = 3N nên N = 120 : (1 + 3) = 120 : = 30 P = 3N = 3.30 = 90 Suy ra: B = N = 30, C = P = 90 Vậy: B = 30 , C = 90 , M = 60 , M = 30 , N = 90 [3] Bài 10 Cho ABC = DEF với D = 30, B = 3C Tính số đo góc ABC Lời giải: Vì ABC = DEF nên A = D, B = E , C = F (các góc tương ứng) Mà D = 30 nên A = 30 Xét ABC có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) B + C = 180 − A = 180 − 30 = 150 Mà B = 3C B = 150 : ( + 3) = 60 C = 150 : ( + 3) = 90 Vậy A = 30, B = 60, C = 90 [3] Bài 11 Cho ABC = MNP , biết A = 40, P − N = 10 Tính số đo góc cịn lại MNP Lời giải: Vì ABC = MNP nên A = M (hai góc tương ứng) Mà A = 40 nên M = 40 Xét MNP có: M + N + P = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) N + P = 180 − M = 180 − 40 = 140 Mặt khác P − N = 10 P = (140 + 10 ) : = 75 N = (140 − 10 ) : = 65 Vậy M = 40, N = 65, P = 75 [4] Bài 12 Cho ABC = MNP biết A : B : C = 3: : Tính góc MNP Lời giải: Vì A : B : C = 3: : A B C = = = k A = 3.k , B = 4.k , C = 5.k Xét ABC có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) 3.k + 4.k + 5.k = 180 ( + + ) k = 180 12.k = 180 k = 180 :12 = 15 A = 3.15 = 45, B = 4.15 = 60, C = 5.15 = 75 Vậy A = 45, B = 60, C = 75 [4] Bài 13 Cho ABC = DEF Biết tia phân giác góc B C cắt O, tạo BOC = 135 ; E = 2F Tính góc DEF Lời giải: A O 135° B C Ta có: BOC = 180 − OBC − OCB (tổng ba góc BOC 180 ) = 180 − 1 ABC − ACB (tính chất phân giác) 2 = 180 − 1 ABC + ACB = 180 − 180 − BAC (tổng ba góc ABC 180 ) 2 ( ) ( ) = 90 + BAC 135 = 90 + BAC BAC = (135 − 90 ) = 90 Do ABC = DEF nên BAC = D (hai góc tương ứng) D = 90 Xét DEF có E + F = 180 − D = 180 − 90 = 90 (tổng ba góc DEF 180 ) Mà E = 2F nên F = 90 : (1 + ) = 30 E = F = 2.30 = 60 Vậy DEF có: D = 90, E = 60, F = 30 [4] Bài 14 Cho ABC = MNP biết AB : BC : AC = 5: :8 Tính cạnh MNP biết tam giác có chu vi 57 cm Lời giải: Vì ABC = MNP nên AB = MN , BC = NP, AC = MP (các cạnh tương ứng) Suy chu vi hai tam giác nhau: AB + BC + AC = MN + NP + MP = 57 ( cm ) Vì AB : BC : AC = 5: :8 AB BC AC = = = k AB = 5.k , BC = 6.k , AC = 8.k Ta có: AB + BC + AC = 57 5k + 6k + 8k = 57 19k = 57 k = AB = 5k = 5.3 = 15 ( cm ) , BC = 6k = 6.3 = 18 ( km ) , AC = 8k = 8.3 = 24 ( km ) MN = AB = 15 ( cm ) , NP = BC = 18 ( cm ) , MP = AC = 24 ( cm ) Vậy cạnh MNP là: MN = 15cm, NP = 18cm, MP = 24cm Dạng Chứng minh hai tam giác theo trường hợp thứ Từ chứng minh tốn liên quan: hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, hai đường thẳng song song - vng góc, đường phân giác, ba điểm thẳng hàng, I Phương pháp giải: + Chỉ tam giác có ba cạnh để suy tam giác + Từ tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng + Nắm vững khái niệm: tia phân giác góc, đường cao tam giác, đường trung trực đoạn thẳng, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc; nắm vững định lí tổng ba góc tam giác, tiên đề Ơ clit để giải toán chứng minh II Bài toán [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? P Q S R Lời giải: Xét PSR RQP có: PR cạnh chung, PS = QR , SR = PQ (theo giả thiết) PSR = RQP (c.c.c) [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? M A B N Lời giải: Xét AMB ANB có: AB cạnh chung, AM = AN , BM = BN (theo giả thiết) AMB = ANB (c.c.c) [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? A B I C Lời giải: Xét ABI ACI có: AI cạnh chung, AB = AC , BI = CI (theo giả thiết) ABI = ACI (c.c.c) [2] Bài Cho đoạn thẳng AB = 6cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB , vẽ ABD cho AD = 4cm , BD = 5cm Trên nửa mặt phẳng lại vẽ ABE cho BE = 4cm , AE = 5cm Chứng minh: a) ABD = BAE Lời giải: b) ADE = BED D 5cm 4cm 6cm A B 4cm 5cm E a) Xét ABD BAE có: AB cạnh chung, AD = BE ( = 4cm ) , BD = AE ( = 5cm ) ABD = BAE (c.c.c) b) Xét ADE BED có: DE cạnh chung, AD = BE ( = 4cm ) , BD = AE ( = 5cm ) ADE = BED (c.c.c) [2] Bài Cho ABC có AB = AC Lấy M trung điểm BC Chứng minh rằng: b) BAM = CAM a) AMB = AMC c) AM ⊥ BC Lời giải: A B M C a) Xét AMB AMC có: AM cạnh chung, AB = AC (theo giả thiết), BM = CM (vì M trung điểm BC ) AMB = AMC (c.c.c) b) Vì AMB = AMC (chứng minh trên) BAM = CAM (hai góc tương ứng) c) Vì AMB = AMC (chứng minh trên) BMA = CMA (hai góc tương ứng) Mà BMA + CMA = 180 (kề bù) BMA = CMA = 90 AM ⊥ BC [2] Bài Cho hình vẽ Chứng minh rằng: a) ABK = KHA b) AB // HK c) AH // BK A H B K Lời giải: a) Xét ABK KHA có: AK cạnh chung, AB = HK , BK = AH (theo giả thiết), ABK = KHA (c.c.c) b) Vì ABK = KHA (chứng minh trên) BAK = HKA (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le so với AB HK nên AB // HK c) Vì ABK = KHA (chứng minh trên) HAK = BKA (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le so với AH BK nên AH // BK [3] Bài Cho ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: a) AM phân giác góc BAC b) AM trung trực BC Lời giải: A B M C a) Xét AMB AMC có: AM cạnh chung, AB = AC (theo giả thiết), BM = CM (vì M trung điểm BC ) AMB = AMC (c.c.c) BAM = CAM (hai góc tương ứng) AM phân giác góc BAC b) Vì AMB = AMC (chứng minh trên) BMA = CMA (hai góc tương ứng) Mà BMA + CMA = 180 (kề bù) BMA = CMA = 90 AM ⊥ BC Mặt khác M trung điểm BC AM trung trực BC [3] Bài Cho ABC , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ ACD cho AD = BC ; CD = AB CMR: AB // CD AH ⊥ AD Lời giải: A B H D C Xét ADC CBA có: AC cạnh chung, AD = BC , CD = AB (theo giả thiết) ADC = CBA (c.c.c) DAC = CBA (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le so với AD BC nên AD // BC Lại có: AH ⊥ BC ( AH đường cao ABC ) AH ⊥ AD (từ vng góc tới song song) [3] Bài Cho ABC có AB = AC = BC Giả sử O điểm nằm tam giác cho OA = OB = OC Chứng minh rằng: O giao điểm tia phân giác A; B; C Lời giải: A O C B Xét AOB AOC có: chung cạnh AO , OB = OC, AB = AC (giả thiết) BAO = CAO (hai góc tương ứng) AO tia phân giác BAC Chứng minh tương tự ta có: BO tia phân giác ABC , CO tia phân giác ACB Suy O giao điểm tia phân giác A; B; C [4] Bài 10 Cho ABC có AB = AC Gọi D trung điểm BC Chứng minh rằng: a) ADB = ADC b) AD phân giác BAC , AD ⊥ BC c) Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lấy điểm E cho EB = EC Chứng minh rằng: A, E, D thẳng hàng Lời giải: A B D C E a) Xét ADB ADC có: AD cạnh chung, AB = AC (theo giả thiết), BD = CD (vì D trung điểm BC ) ADB = ADC (c.c.c) b) Vì ADB = ADC (chứng minh trên) BAD = CAD (hai góc tương ứng) AD phân giác BAC Vì ADB = ADC (chứng minh trên) BDA = CDA (hai góc tương ứng) Mà BDA + CDA = 180 (kề bù) BDA = CDA = 90 AD ⊥ BC c) Xét EDB EDC có: ED cạnh chung, EB = EC (theo giả thiết), BD = CD (vì D trung điểm BC ) EDB = EDC (c.c.c) BDE = CDE (hai góc tương ứng) Mà BDE + CDE = 180 (kề bù) BDE = CDE = 90 ED ⊥ BC Vì qua điểm D có đường thẳng vng góc với BC mà ED ⊥ BC, AD ⊥ BC nên hai đường thẳng ED, AD trùng hay A, E, D thẳng hàng [4] Bài 11 Cho ABC có AB = AC BAC = 80 Tính số đo góc cịn lại ABC A 80° C B M Lấy M trung điểm BC Xét AMB AMC có: AM cạnh chung, AB = AC (theo giả thiết), BM = CM (vì M trung điểm BC ) AMB = AMC (c.c.c) ABM = ACM (hai góc tương ứng) ACB = ABC Xét ABC có: BAC + ABC + ACB = 180 (tính chất tổng ba góc tam giác) ABC + ACB = 180 − BAC = 180 − 80 = 100 Mà ACB = ABC nên ACB = ABC = 100 : = 50 [4] Bài 12 Cho ABC có AB = AC = BC Tính số đo góc ABC Lời giải: A B Lấy M trung điểm BC Xét AMB AMC có: AM cạnh chung, M C AB = AC (theo giả thiết), BM = CM (vì M trung điểm BC ) AMB = AMC (c.c.c) ABM = ACM (hai góc tương ứng) ACB = ABC Tương tự lấy N trung điểm AC ta chứng minh ABN = CBN (c.c.c) BAN = BCN (hai góc tương ứng) BAC = BCA Như ABC có ba góc Mà tổng ba góc tam giác 180 nên góc ABC có số đo 60 Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Bài tập lí thuyết: Viết kí hiệu hai tam giác, từ kí hiệu hai tam giác suy cạnh – góc [1] Bài Cho biết ABC = MNP Hãy viết đẳng thức vài dạng khác [1] Bài Cho MNP = OPQ Hãy góc, cạnh tương ứng [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: A = I B = K [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC PQR Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: AB = PQ; BC = PR [2] Bài Cho hai tam giác nhau: MNP HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: N = K ; MN = IK [3] Bài Chứng minh nếu: MNP = NPM MNP có cạnh Dạng Biết hai tam giác số điều kiện, tính số đo góc, độ dài cạnh tam giác [1] Bài Cho ABC = IJK với AB = 7cm, AC = 8cm, JK = 6cm Tính cạnh lại tam giác [1] Bài Cho ABC = MNP với BC = 5cm, MN = 5cm, AC = 7cm a) Tính cạnh cịn lại tam giác b) Tính chu vi tam giác [2] Bài Cho ABC = OPQ , biết A = 55, P = 47 a) Tìm góc tương ứng b) Tính góc lại hai tam giác [2] Bài Cho ABC = PQR , biết B = 40, R = 30 Tính góc cịn lại tam giác [2] Bài Cho ABC = MNP biết BC = 10 cm , MN : MP = : AB + AC = 14 cm Tính cạnh MNP [3] Bài Cho ABC = MNP với M = 40, 3B = 4C Tính số đo góc ABC [3] Bài Cho HIK = MNP , biết H = 40, P − N = 30 Tính số đo góc cịn lại MNP [4] Bài Cho MNP = IJK Biết tia phân giác góc M góc N cắt O , tạo MON = 120 Tính góc IJK biết I = J Dạng Chứng minh hai tam giác theo trường hợp thứ Từ chứng minh tốn liên quan: hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, hai đường thẳng song song - vng góc, đường phân giác, ba điểm thẳng hàng, [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? I P Q K [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? B C A I D [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? R P O S Q [2] Bài Cho hình vẽ: M N Q a) Chứng minh MNP = PQM b) Biết MPN = 20 , tính số đo góc PMQ P [2] Bài Cho ABC có A = 80 Vẽ cung trịn tâm B có bán kính độ dài đoạn AC Vẽ cung trịn tâm C có bán kính độ dài đoạn AB Hai cung trịn cắt D nằm khác phía A BC a) Chứng minh ABC = DCB Từ suy số đo góc BDC b) Chứng minh AB // CD [3] Bài Cho ABC có AB AC Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE = AB Gọi I điểm cho IA = IC , IB = IE Chứng minh rằng: a) AIB = CIE b) So sánh IAB ACI [4] Bài Cho ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh rằng: AM phân giác BAC b) Chứng minh rằng: AM đường trung trực đoạn thẳng BC c) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A lấy điểm E cho EB = EC Chứng minh rằng: A, E , M thẳng hàng [4] Bài Cho ABC có AB = AC BAC = 60 Tính số đo góc cịn lại ABC [4] Bài Cho tam giác nhọn ABC Giả sử O điểm nằm tam giác cho OA = OB = OC Chứng minh rằng: O giao điểm ba đường trung trực ba cạnh ABC ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Bài tập lí thuyết: Viết kí hiệu hai tam giác, từ kí hiệu hai tam giác suy cạnh – góc [1] Bài Cho biết ABC = MNP Hãy viết đẳng thức vài dạng khác Lời giải: Viết đẳng thức ABC = MNP vài dạng khác: ACB = MPN , CBA = PNM , [1] Bài Cho MNP = OPQ Hãy góc, cạnh tương ứng Lời giải: MN = OP, NP = PQ, MP = OQ MNP = OPQ N MP = PO Q , MNP = OPQ , M PN = O QP [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: A = I B = K Lời giải: Hai tam giác ABC HIK A = I ; B = K kí hiệu hai tam giác là: ABC = IKH [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC PQR Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: AB = PQ; BC = PR Lời giải: Hai tam giác ABC PQR AB = PQ; BC = PR kí hiệu hai tam giác là: ABC = QPR [2] Bài Cho hai tam giác nhau: MNP HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: N = K ; MN = IK Lời giải: Hai tam giác MNP HIK N = K ; MN = IK kí hiệu hai tam giác là: MNP = IKH [3] Bài Chứng minh nếu: MNP = NPM MNP có cạnh Lời giải: Vì MNP = NPM nên MN = NP, NP = PM (các cạnh tương ứng) MN = NP = PM MNP có cạnh Dạng Biết hai tam giác số điều kiện, tính số đo góc, độ dài cạnh tam giác [1] Bài Cho ABC = IJK với AB = 7cm, AC = 8cm, JK = 6cm Tính cạnh cịn lại tam giác Lời giải: Vì ABC = IJK nên AB = IJ , BC = JK , AC = IK (các cạnh tương ứng) Mà AB = 7cm, AC = 8cm, JK = 6cm suy IJ = 7cm, IK = 5cm, BC = 6cm [1] Bài Cho ABC = MNP với BC = 5cm, MN = 5cm, AC = 7cm a) Tính cạnh cịn lại tam giác b) Tính chu vi tam giác Lời giải: c) Vì ABC = MNP nên AB = MN , BC = NP, AC = MP (các cạnh tương ứng) Mà BC = 5cm, MN = 5cm, AC = 7cm suy NP = 5cm, AB = 5cm, MP = 7cm d) Chu vi ABC là: AB + BC + AC = cm + cm + cm = 17 cm Chu vi MNP là: MN + NP + MP = cm + cm + cm = 17 cm [2] Bài Cho ABC = OPQ , biết A = 55, P = 47 a) Tìm góc tương ứng b) Tính góc cịn lại hai tam giác Lời giải: c) Vì ABC = OPQ A = O, B = P, C = Q (các góc tương ứng) d) Vì A = O mà A = 55 nên O = 55 Vì B = P mà P = 47 nên B = 47 Xét ABC có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) C = 180 − A − B = 180 − 55 − 47 = 78 Mà C = Q nên Q = 78 Vậy B = 47 , C = 78 , O = 55 Q = 78 [2] Bài Cho ABC = PQR , biết B = 40, R = 30 Tính góc cịn lại tam giác Lời giải: Vì ABC = PQR A = P, B = Q, C = R (các góc tương ứng) Vì B = Q mà B = 40 nên Q = 40 Vì C = R mà R = 30 nên C = 30 Xét ABC có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) A = 180 − B − C = 180 − 40 − 30 = 110 Mà A = P nên P = 110 Vậy A = 110, C = 30 , P = 110 , Q = 40 [2] Bài Cho ABC = MNP biết BC = 10 cm , MN : MP = : AB + AC = 14 cm Tính cạnh MNP Lời giải: Vì ABC = MNP nên AB = MN , BC = NP, AC = MP (các cạnh tương ứng) Mà BC = 10 cm NP = 10 cm , MN : MP = : AB : AC = : Lại có: AB + AC = 14 cm AB = 14 : ( + 3) = ( cm ) , AC = 14 : ( + 3) = ( cm ) MN = AB = 8cm, MP = AC = 6cm Vậy MNP có: MN = 8cm, NP = 10cm, MP = 6cm [3] Bài Cho ABC = MNP với M = 40, 3B = 4C Tính số đo góc ABC Lời giải: Vì ABC = MNP nên A = M , B = N , C = P (các góc tương ứng) Mà M = 40 nên A = 40 Xét ABC có: A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) B + C = 180 − A = 180 − 40 = 140 Mà 3B = 4C B C B = 140 : ( + 3) = 80 C = 140 : ( + 3) = 60 = Vậy A = 40, B = 80, C = 60 [3] Bài Cho HIK = MNP , biết H = 40, P − N = 30 Tính số đo góc cịn lại MNP Lời giải: Vì HIK = MNP nên H = M (hai góc tương ứng) Mà H = 40 nên M = 40 Xét MNP có: M + N + P = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) N + P = 180 − M = 180 − 40 = 140 Mặt khác P − N = 30 P = (140 + 30 ) : = 85 N = (140 − 30 ) : = 55 Vậy M = 40, N = 55, P = 85 [4] Bài Cho MNP = IJK Biết tia phân giác góc M góc N cắt O , tạo MON = 120 Tính góc IJK biết I = J Lời giải: M 120° O P N Ta có: MON = 180 − OMN − ONM (tổng ba góc MON 180 ) = 180 − 1 PMN − PNM (tính chất phân giác) 2 = 180 − PMN + PNM = 180 − 180 − MPN (tổng ba góc MNP 180 ) = 90 + ( ( ) ) MPN 120 = 90 + MPN MPN = (120 − 90 ) = 60 Do MNP = IJK nên MPN = K (hai góc tương ứng) K = 60 Xét IJK có I + J = 180 − K = 180 − 60 = 120 (tổng ba góc IJK 180 ) Mà I = J nên J = 120 : (1 + 3) = 30 I = J = 3.30 = 90 Vậy IJK có: I = 90, J = 30, K = 60 Dạng Chứng minh hai tam giác theo trường hợp thứ Từ chứng minh toán liên quan: hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, hai đường thẳng song song - vng góc, đường phân giác, ba điểm thẳng hàng, [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? I P Q K Lời giải: Xét PQI PQK có: PQ cạnh chung, PI = PK , QI = QK (theo giả thiết) PQI = PQK (c.c.c) [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? B C A I D Lời giải: + Xét ABC ADC có: AC cạnh chung, AB = AC , BC = DC (theo giả thiết) ABC = ADC (c.c.c) + Xét ABI ADI có: AI cạnh chung, AB = AC , BI = DI (theo giả thiết) ABI = ADI (c.c.c) + Xét IBC IDC có: IC cạnh chung, IB = IC , BC = DC (theo giả thiết) IBC = IDC (c.c.c) [1] Bài Tìm tam giác hình vẽ, giải thích sao? R P O S Q Lời giải: Xét ORS OPQ có: OR = OP , OS = OQ (cùng bán kính đường trịn ( O ) , RS = PQ (theo giả thiết) ORS = OPQ (c.c.c) [2] Bài Cho hình vẽ: M N Q P a) Chứng minh MNP = PQM b) Biết MPN = 20 , tính số đo góc PMQ Lời giải: a) Xét MNP PQM có: MN cạnh chung, MN = PQ , NP = MQ (theo giả thiết), MNP = PQM (c.c.c) b) Vì MNP = PQM (chứng minh trên) PMQ = MPN (hai góc tương ứng) Mà MPN = 20 PMQ = 20 [2] Bài Cho ABC có A = 80 Vẽ cung trịn tâm B có bán kính độ dài đoạn AC Vẽ cung trịn tâm C có bán kính độ dài đoạn AB Hai cung tròn cắt D nằm khác phía A BC a) Chứng minh ABC = DCB Từ suy số đo góc BDC b) Chứng minh AB // CD Lời giải: B D 80° A C a) Xét ABC DCB có: BC cạnh chung, AB = CD , AC = BD (theo giả thiết) ABC = DCB (c.c.c) BDC = CAB (hai góc tương ứng) BDC = 80 b) Vì ABC = DCB (chứng minh trên) ABC = DCB (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le so với AB CD nên AB // CD A B E D C [3] Bài Cho ABC có AB AC Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE = AB Gọi I điểm cho IA = IC , IB = IE Chứng minh rằng: a) AIB = CIE b) So sánh IAB ACI Lời giải: A E B C I c) Xét AIB CIE có: IA = IC , IB = IE , AB = CE (theo giả thiết) AIB = CIE (c.c.c) IAB = ICE (hai góc tương ứng) Mà E thuộc AC nên ICE = ACI Vậy IAB = ACI [4] Bài Cho ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh rằng: AM phân giác BAC b) Chứng minh rằng: AM đường trung trực đoạn thẳng BC c) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A lấy điểm E cho EB = EC Chứng minh rằng: A, E , M thẳng hàng Lời giải: E A B M a) Xét AMB AMC có: AM cạnh chung, AB = AC (theo giả thiết), BM = CM (vì M trung điểm BC ) C ... ứng [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: A = I B = K [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC PQR Viết kí hiệu tam giác theo thứ... Bài Cho hai tam giác nhau: ABC HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: AB = KI ; BC = KH Lời giải: Hai tam giác ABC HIK AB = KI ; BC = KH kí hiệu hai tam giác là:... [2] Bài Cho hai tam giác nhau: ABC HIK Viết kí hiệu tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: A = K ; AB = IK Lời giải: Hai tam giác ABC HIK A = K ; AB = IK kí hiệu hai tam giác là: