Giáo trình Vi tích phân 1

Giáo trình Vi tích phân 1 trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả năng tư duy chính xác và tính toán định lượng, cung cấp công cụ toán học cho các ngành khoa học kỹ thuật. Với các nội dung chính như Số thực và hàm số thực; hàm số liên tục; phép tính vi phân; ứng dụng của đạo hàm; phép tính tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Giáo trình Vi tích phân Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày tháng 10 năm 2022 Mục lục Giới thiệu 1 Số thực Hàm số thực 1.1 1.2 Số thực 1.1.1 Tập hợp ánh xạ 1.1.2 Vài quy tắc suy luận toán học 1.1.3 Tập hợp số thực 10 1.1.4 Dãy số thực 12 Hàm số 20 1.2.1 Đồ thị Đường thẳng 20 1.2.2 Hàm số sơ cấp 22 Hàm số liên tục 2.1 2.2 28 Giới hạn hàm số 28 2.1.1 Tiếp tuyến Vận tốc Tỉ lệ thay đổi 28 2.1.2 Giới hạn hàm số 32 2.1.3 Một số tính chất giới hạn 36 2.1.4 Các giới hạn mở rộng 39 Hàm số liên tục 45 2.2.1 Tính chất hàm số liên tục 47 2.2.2 Định lý giá trị trung gian 50 Phép tính vi phân 3.1 3.2 55 Đạo hàm tính chất 55 3.1.1 Định nghĩa đạo hàm 55 3.1.2 Tính chất đạo hàm 60 Các công thức cho đạo hàm 64 3.2.1 Đạo hàm hàm hợp 64 3.2.2 Đạo hàm hàm ngược 66 3.2.3 Đạo hàm hàm sơ cấp 68 3.2.4 Đạo hàm hàm ẩn 71 3.2.5 Đạo hàm bậc cao 72 ii MỤC LỤC iii Ứng dụng đạo hàm 4.1 4.2 76 Cực trị hàm số 76 4.1.1 Sự tồn giá trị lớn giá trị nhỏ 79 4.1.2 Các định lý giá trị trung bình 81 Đạo hàm tính chất hàm 85 4.2.1 Tính tăng, giảm, cực trị 85 4.2.2 Tính lồi, lõm, điểm uốn 87 4.2.3 Xấp xỉ tuyến tính 91 4.2.4 Qui tắc l’Hơpital ứng dụng tính giới hạn 95 Phép tính tích phân 5.1 5.2 5.3 5.4 108 Định nghĩa tính chất tích phân 108 5.1.1 Bài tốn diện tích 108 5.1.2 Định nghĩa tích phân 5.1.3 Các tính chất tích phân 108 Định lý Cơ phép tính vi tích phân 113 5.2.1 Nguyên hàm 113 5.2.2 Công thức Newton-Leibniz 114 Một số phương pháp biến đổi tích phân 119 5.3.1 Phép đổi biến tích phân 5.3.2 Tích phân phần 122 5.3.3 Một số phương pháp tính tích phân cho hàm đặc biệt 124 5.3.4 Sự tồn công thức cho tích phân 5.3.5 Tính tích phân phương pháp số 5.3.6 Tích phân suy rộng 126 128 Ứng dụng tích phân 136 5.4.1 Diện tích, thể tích 136 5.4.2 Giá trị trung bình 138 5.4.3 Một số ứng dụng khoa học 139 5.4.4 Xác suất 141 148 Chuỗi số thực 148 6.1.1 Sự hội tụ chuỗi số 149 6.1.2 Chuỗi số dương 152 6.1.3 Chuỗi đổi dấu 157 6.1.4 * Bổ sung dãy số thực 6.2 119 128 Chuỗi 6.1 111 159 Chuỗi hàm 165 6.2.1 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 166 6.2.2 Chuỗi lũy thừa 170 6.2.3 * Chuỗi Fourier 174 Tài liệu tham khảo 178 iv Chỉ mục MỤC LỤC 180 Giới thiệu Đây giáo trình cho mơn tốn Vi tích phân cho khối B C (các ngành ngồi tốn) Bộ mơn Giải tích (Khoa Tốn - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn ❼ Tham gia biên soạn: Vũ Đỗ Huy Cường, Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê Trọng Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ ❼ Tham gia đánh máy LaTeX: Hồ Thị Kim Vân ❼ Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hồng Hải ❼ Người biên tập nay: Huỳnh Quang Vũ Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn Tài liệu có trang web Đào tạo Bộ mơn Giải tích địa chỉ: https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich Tài liệu tiếp tục chỉnh sửa bổ sung Các góp ý vui lịng gởi cho người biên tập Đối tượng giáo trình Sinh viên ngành khoa học liệu, nhóm ngành máy tính cơng nghệ thơng tin, điện tử - viễn thông, hải dương, khoa học vật liệu, vật lý, (mơn tốn B), địa chất, hóa học, môi trường, sinh học, công nghệ sinh học, (mơn tốn C) Sinh viên ngành tốn dùng giáo trình làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giáo trình Giáo trình nhằm dùng làm tài liệu giảng học phép tính vi phân phép tính tích phân hàm biến, với trình độ tương đồng với số giáo trình vi tích phân phổ biến quốc tế [Ste16], sát với chương trình đào tạo hành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Mục tiêu gồm: trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả tư xác tính tốn định lượng, cung cấp cơng cụ tốn học cho ngành khoa học kỹ thuật MỤC LỤC Việc giảng dạy giảng viên lớp việc học tự học sinh viên không thiết theo hết nội dung giáo trình Để phục vụ nhiều đối tượng sinh viên, giáo trình chứa nhiều chứng minh xác cho mệnh đề, nhiều ví dụ tập từ dễ tới khó hơn, số phần nâng cao Mỗi giảng viên sinh viên chọn bỏ qua số nội dung, để phần cịn lại để tự học thêm Đối với tốn C giảm bớt mức độ chặt chẽ chi tiết lý luận giảm tập phần Sử dụng giáo trình Mục tiêu sư phạm giáo trình mơn học nhấn mạnh: hiểu khái niệm, tăng cường lực tư lực tính tốn, tiếp xúc với số ứng dụng Việc giảng dạy học tập nhắm tới tiêu chí trên, khơng q tập trung tiêu chí mà bỏ qua tiêu chí nào: (a) Hiểu khái niệm, kết phương pháp chính; (b) Phát triển tư việc thảo luận số lý luận toán học chặt chẽ Các khái niệm khác giải thích mức độ định Bổ sung giải thích trực quan, định lượng miêu tả ý tưởng; (c) Tăng cường kỹ tính tốn, hướng dẫn sinh viên sử dụng phần mềm tính tốn; (d) Giới thiệu số ví dụ ứng dụng cụ thể Một phần lớn nội dung môn học sinh viên học trung học (trừ phần Chuỗi), tham khảo lại sách giáo khoa trung học [SGKTH] bổ ích cho sinh viên, nhiên giáo trình mơn học u cầu cao rõ rệt tiêu chí Mỗi mục cấp hai giáo trình (ví dụ mục 1.1) ứng với khoảng tiết lớp Các mục có dấu ∗ tương đối nâng cao, khơng bắt buộc Về dạy học ứng dụng Việc giới thiệu ứng dụng vào ngành khoa học kỹ thuật cụ thể quan tâm giáo trình mơn học, xuất giải thích khái niệm đạo hàm, mơ hình dân số, tốn cực trị, Tuy nhiên cần lưu ý điểm sau: (a) Hàm lượng ứng dụng thảo luận lớp bị hạn chế thời lượng dành cho mơn học, sinh viên cần dành thời gian tự học (b) Để ứng dụng tốn học thường cần trình độ chun mơn tương đối cao ngành khoa học kỹ thuật Chẳng hạn, muốn áp dụng phép tính MỤC LỤC vi tích phân vào ngành phải trình độ xét mơ hình có tính liên tục ngành (c) Tốn học có chức nghiên cứu chung quan hệ số lượng, hình dạng, cấu trúc phương pháp suy luận logic Việc áp dụng hiểu biết chung vào lĩnh vực thực tế cụ thể thường công việc chuyên gia lĩnh vực Vì sinh viên ngành khoa học kỹ thuật nên học tốt mơn tốn vi tích phân để ứng dụng chúng vào ngành học mơn chun ngành nâng cao sau Chương Số thực Hàm số thực 1.1 Số thực 1.1.1 Tập hợp ánh xạ Trong toán học đương đại tập hợp coi khái niệm ban đầu, thỏa tính chất định, từ dùng số qui tắc suy luận định người ta xây dựng kết Trong mục ta nhắc lại số tính chất qui tắc mà người học phần lớn người học học chương trình trung học Có thể hình dung tập hợp ghép nhóm đối tượng có tính chất chung đó, đối tượng gọi phần tử tập hợp xét Ta ký hiệu x phần tử tập hợp A x ∈ A đọc “x thuộc A” Nếu x không phần tử tập hợp A ta kí hiệu x ∈ / A đọc “x không thuộc A” Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng, kí hiệu ∅ Để mô tả tập hợp người ta thường dùng hai cách sau: (a) Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ tập hợp A chứa phần tử x, y, z t ta viết A = {x, y, z, t} Hay tập hợp B gồm ngày tuần viết B = {thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật} Cách thường dùng để mơ tả tập hợp có phần tử (b) Chỉ tính chất mà phần tử tập hợp có phần tử có Giả sử A tập hợp phần tử có tính chất P, ta viết A = {x | P} Ví dụ tập hợp C gồm sinh viên năm học mơn Vi tích phân viết là: C = {sinh viên năm | học mơn Vi tích phân 1} Phương pháp thường dùng để mô tả tập hợp có nhiều phần tử Để biểu diễn tập hợp cách trực quan ta dùng biểu đồ Hình 1.1.1 1.1 SỐ THỰC Hình 1.1.1: Biểu đồ biểu diễn tập hợp chứa phần tử Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập B kí hiệu A ⊂ B Ví dụ 1.1.1 Cho A = {x, y, z} B = {x, y, z, t} A ⊂ B Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại, phần tử tập hợp B thuộc tập hợp A ta nói A B hay trùng nhau, kí hiệu A = B Các phép tốn tập hợp Hợp hay hội hai tập hợp A B tập hợp gồm tất phần tử A tất phần tử B, kí hiệu A ∪ B Vậy x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1.1.2 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A ∪ B = {a, b, c, x, y, z} Giao hai tập A B tập hợp gồm tất phần tử A mà phần tử B, kí hiệu A ∩ B Vậy x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1.1.3 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A ∩ B = {a, x} Hiệu tập A tập B tập gồm tất phần tử A mà khơng thuộc B, kí hiệu A \ B Vậy x ∈ A \ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ / B) Ví dụ 1.1.4 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A \ B = {b, z} Nếu A ⊂ E E \ A gọi phần bù A E Ví dụ 1.1.5 Cho A = {a, b, x, z} E = {a, b, c, x, y, z} E \ A = {c, y} Tích tập hợp A với tập hợp B tập hợp gồm tất cặp có thứ tự (x, y) với x ∈ A y ∈ B, kí hiệu A × B Vậy (x, y) ∈ A × B ⇐⇒ (x ∈ A y ∈ B) Ví dụ 1.1.6 Cho A = {a, b} B = {x, y} A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} Ánh xạ Ánh xạ khái niệm quan hệ tập hợp, cho tương ứng phần tử tập hợp với phần tử tập hợp khác Cụ thể ánh xạ f từ tập CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ THỰC hợp X đến tập hợp Y tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y Y Người ta thường ký hiệu ánh xạ dạng f : X → Y , x → y = f (x) Tập X gọi tập hợp nguồn, hay miền xác định ánh xạ, tập Y gọi tập hợp đích ánh xạ Phần tử y gọi ảnh x phần tử x gọi tiền ảnh y Cho A tập X, tập hợp tất ảnh phần tử A qua ánh xạ f gọi ảnh A qua f , kí hiệu f (A) Ảnh miền xác định X gọi miền giá trị ánh xạ f ký hiệu f (X) Cho B tập Y , ta gọi tập hợp tiền ảnh phần tử B qua ánh xạ f tiền ảnh B qua f kí hiệu f −1 (B) Một ánh xạ đơn ánh hai phần tử khác có hai ảnh khác Bằng kí hiệu, điều viết với x1 , x2 ∈ X, x1 ̸= x2 f (x1 ) ̸= f (x2 ) Một ánh xạ toàn ánh phần tử tập đích ảnh, tức phần tử tập đích có tiền ảnh Bằng kí hiệu f : X → Y toàn ánh với y ∈ Y tồn x ∈ X cho y = f (x); hay nói cách khác, f (X) = Y Một ánh xạ song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Hình 1.1.2: Biểu đồ minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh Giả sử f : X → Y song ánh với y ∈ Y tồn x ∈ X cho f (x) = y, ánh xạ g : Y → X xác định g(y) = x gọi ánh xạ ngược f , thường kí hiệu f −1 Xem Hình 1.1.3 Cho ánh xạ f : X → Y g : Y → Z ánh xạ hợp g ◦ f định nghĩa g ◦ f : X → Z, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) 168 CHƯƠNG CHUỖI Ví dụ 6.2.4 Tìm khai triển Maclaurin hàm số f (x) = ex Ta có (ex )(n) = ex , f (0) = 1, f ′ (0) = 1, , f (n) (0) = Khai triển Maclaurin f ex = + x x2 xn eθ + + ··· + + xn+1 , 1! 2! n! (n + 1)! với θ số thực nằm x Xem minh họa Hình 6.2.1 Hình 6.2.1: Vẽ đồ thị hàm số ex xấp xỉ phần mềm máy tính Ta xa Với x ∈ R ta có đánh giá phần dư Rn (x) = |Rn (x)| = Vì eθ n+1 : (n+1)! x eθ e|x| xn+1 < |x|n+1 (n + 1)! (n + 1)! xn =0 n→∞ n! lim (Mệnh đề 6.1.42) nên theo Định lý kẹp limn→∞ Rn (x) = Điều có nghĩa chuỗi Maclaurin ex hội tụ ex với x Vậy ta có cơng thức ex = + x x2 xn + + + + ··· , 1! 2! n! ∀x ∈ R Ví dụ 6.2.5 Bằng phương pháp ví dụ ta kiểm tra hội tụ khai triển Taylor số hàm thường gặp sau (được để Bài tập 6.2.3): 6.2 CHUỖI HÀM 169 (a) Với x ∈ R sin x = x − x2n−1 x3 x5 + − · · · + (−1)n−1 + ··· 3! 5! (2n − 1)! (b) Với x ∈ R cos x = − x2 x4 x2n + − · · · + (−1)n + ··· 2! 4! (2n)! Ta dùng khai triển Taylor Maclaurin để tính xấp xỉ giá trị số f (x) sau chọn n đủ lớn để phần dư Rn (x) có trị tuyệt đối khơng vượt q sai số cho phép Ví dụ 6.2.6 Tính e xác đến 0,00001 Dùng khai triển Maclaurin hàm số ex ta ex = + x + x2 x3 x4 xn xn+1 θ + + + ··· + + e 2! 3! 4! n! (n + 1)! với θ x Lấy x = ta e=1+ 1 1 + + + ··· + + eθ 1! 2! 3! n! (n + 1)! với θ Ta cần đảm bảo giá trị tuyệt đối sai số vượt 0,00001 cách lấy n đủ lớn Vì < lớn cho e (n+1)! < 10−5 tức (n + 1)! > e · 105 θ (n+1)! e < e (n+1)! θ (n+1)! e không nên ta chọn n đủ Ta chọn n = thu 1 1 + + + + · · · + = 2,71828 1! 2! 3! 4! 8! ◦ Ví dụ 6.2.7 Tính sin 20 xác đến 0,0001 e≈1+ Chú ý sin 20◦ = sin π9 Dùng khai triển Maclaurin hàm sin, lấy x = π9 , chọn n = 3, ta đánh giá phần dư Lagrange |R3 (x)| ≤ Vậy sin 20◦ ≈ π − 3! π π 5! < 0,0001 ≈ 0,34197 Ví dụ 6.2.8 Để đảm bảo công thức xấp xỉ sin x ≈ x − x6 có sai số khơng q 0,0001 lấy x có giá trị khoảng nào? Công thức Maclaurin cho hàm sin tới bậc có sai số sin(4) (θ) x 4! Sai số có độ lớn khơng q q 0,0001, ta đảm bảo |x|4 4! |x|4 4! Để đảm bảo sai số công thức xấp xỉ không √ ≤ 0,0001 đủ Vậy ta lấy |x| ≤ 24 · 10−1 , hay đơn giản lấy |x| ≤ 0,1 170 CHƯƠNG CHUỖI Sau ví dụ khai triển Taylor điểm khác Ví dụ 6.2.9 Viết cơng thức Taylor hàm f (x) = ex quanh điểm a = đến cấp n Ta có f (n) (2) = e2 Vậy ex = e2 + e2 (x − 2) + e2 e2 eθ (x − 2)2 + · · · + (x − 2)n + (x − 2)n+1 2! n! (n + 1)! với θ nằm x Mặt khác ta thu công thức từ khai triển Maclaurin ex biết: 1 eθ (x − 2)2 + · · · + (x − 2)n + (x − 2)n+1 2! n! (n + 1)! e2 e2 e2+θ = e2 + e2 (x − 2) + (x − 2)2 + · · · + (x − 2)n + (x − 2)n+1 2! n! (n + 1)! ex = e2 ex−2 = e2 + (x − 2) + với θ nằm x − 6.2.2 Chuỗi lũy thừa Ở phần ta thảo luận dạng chung chuỗi hàm mà chuỗi Taylor trường hợp riêng, gọi chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa chuỗi mà số hạng hàm lũy thừa, có dạng ∞ Cn xn = C0 + C1 x + C2 x2 + C3 x3 + · · · (6.2.6) n=0 x biến số số Cn gọi hệ số chuỗi Với x cho trước, chuỗi (6.2.6) chuỗi số Một chuỗi lũy thừa hội tụ với giá trị x phân kỳ với giá trị khác x Tổng chuỗi hàm f (x) = C0 + C1 x + C2 x2 + C3 x3 + · · · + Cn xn + · · · có miền xác định tập hợp tất giá trị x chuỗi số hội tụ Ta thấy tổng chuỗi giống đa thức, có vơ hạn số hạng Tổng quát hơn, chuỗi có dạng ∞ Cn (x − a)n = C0 + C1 (x − a) + C2 (x − a)2 + · · · n=0 gọi chuỗi lũy thừa tâm a, hay chuỗi lũy thừa xung quanh a (6.2.7) 6.2 CHUỖI HÀM 171 Sự hội tụ chuỗi lũy thừa Chú ý phương trình (6.2.7) x = a tất số hạng với n ≥ 0, chuỗi (6.2.7) ln hội tụ x = a ∞ n n=0 n!x hội tụ? n!xn tiến vơ Ví dụ 6.2.10 Với giá trị x chuỗi Từ Mệnh đề 6.1.42 x ̸= số hạng Suy chuỗi phân kỳ x ̸= hội tụ x = ∞ Định lý 6.2.11 Cn (x − a)n hội tụ x = x0 (a) Nếu chuỗi lũy thừa n=0 hội tụ điểm x thỏa mãn |x − a| < |x0 − a| ∞ (b) Nếu chuỗi lũy thừa Cn (x − a)n phân kì x = x1 phân kì n=0 điểm x thỏa mãn |x − a| > |x1 − a| ∞ n=0 Cn (x0 Chứng minh (a) Vì chuỗi − a)n hội tụ nên limn→∞ Cn (x0 − a)n = Giả sử x0 − a ̸= 0, với n đủ lớn ta có |Cn (x − a)n | = |Cn (x0 − a)n | (x − a)n (x − a)n x−a n < = (x0 − a)n (x0 − a)n x0 − a Kết luận có từ Tiêu chuẩn so sánh chuỗi số, áp dụng vào so sánh chuỗi số cho với chuỗi hình học (b) Giả sử ngược lại, ∞ n=0 Cn (x1 n ∞ x−a n=0 x0 −a ∞ n=0 Cn (x − a)n hội tụ, theo phần (a), − a)n phải hội tụ, mâu thuẫn Do định lý với chuỗi lũy thừa ∞ n=0 Cn (x − a)n có ba khả sau xảy ra: (i) Chuỗi hội tụ x = a (ii) Chuỗi hội tụ với x (iii) Có số thực dương R cho chuỗi hội tụ |x − a| < R phân kỳ |x − a| > R Số thực R trường hợp (iii) gọi bán kính hội tụ chuỗi Ta qui ước bán kính hội tụ trường hợp (i) R = trường hợp (ii) R = ∞ Khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa khoảng chứa tất giá trị x mà chuỗi hội tụ Trong trường hợp (i) khoảng hội tụ chứa điểm a Trong trường hợp (ii) khoảng hội tụ (−∞, ∞) Trong trường hợp (iii), hai điểm đầu mút a − R a + R chuỗi hội tụ phân kỳ, khoảng hội tụ chuỗi (a − R, a + R), (a − R, a + R], [a − R, a + R), [a − R, a + R], ta phải xét cụ thể hai đầu mút kết luận 172 CHƯƠNG CHUỖI Định lý 6.2.12 (Qui tắc tìm bán kính hội tụ) Nếu lim lim n→∞ n |Cn | = ρ bán kính hội tụ chuỗi    ρ  R=    ∞ ∞ n=0 Cn (x − n→∞ a)n Cn+1 Cn = ρ hay < ρ < ∞, ρ = ∞, ρ = Chứng minh Áp dụng Tiêu chuẩn tỷ số vào chuỗi này, ta tính lim n→∞ Cn+1 (x − a)n+1 Cn+1 = |x − a| lim n n→∞ Cn (x − a) Cn Giả sử < ρ < ∞ giới hạn ρ |x − a| Nếu ρ |x − a| < 1, tức |x − a| < ρ1 , chuỗi cho hội tụ, ρ |x − a| > 1, tức |x − a| > ρ1 , chuỗi phân kì Vậy bán kính hội tụ R = ρ1 Khi ρ = chuỗi hội tụ với x, ρ = ∞ chuỗi hội tụ x − a = Nếu áp dụng Tiêu chuẩn thức vào chuỗi này, ta tính lim n→∞ n |Cn (x − a)n | = lim n n→∞ |Cn | |x − a| = ρ |x − a| Tới vấn đề y trường hợp áp dụng Tiêu chuẩn tỷ số Trong ví dụ cụ thể ta khơng thiết phải trích dẫn qui tắc mà thay vào trực tiếp áp dụng Tiêu chuẩn tỷ số Tiêu chuẩn thức Ví dụ 6.2.13 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi ∞ n=1 xn n Áp dụng Qui tắc tìm bán kính hội tụ 6.2.12, với Cn = n1 , ta tính Cn+1 = lim n→∞ n→∞ Cn lim n+1 n = Vậy bán kính hội tụ với tâm Ta xác định bán kính hội tụ trực tiếp mà không cần áp dụng quy tắc Để áp dụng Tiêu chuẩn thức cho chuỗi số, ta tính lim n→∞ n |xn | = |x| n Theo Tiêu chuẩn thức, |x| < chuỗi hội tụ, |x| > chuỗi phân kì Vậy bán kính hội tụ Ở phần chuỗi số ta biết chuỗi với x = −1 hội tụ, chuỗi với x = chuỗi điều hịa, phân kì Vậy khoảng hội tụ chuỗi [−1, 1) 6.2 CHUỖI HÀM 173 Ví dụ 6.2.14 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi ∞ n=0 n(x + 2)n 3n+1 Áp dụng Qui tắc tìm bán kính hội tụ 6.2.12, với Cn = Cn+1 = lim n→∞ Cn n→∞ lim n+1 3n+2 n 3n+1 n , 3n+1 ta tính = Vậy bán kính hội tụ với tâm −2 Ta áp dụng Tiêu chuẩn tỷ số cho chuỗi số Đặt an = n(x + 2)n /3n+1 an+1 an = = 3n+1 (n + 1)(x + 2)n+1 · 3n+2 n(x + 2)n |x + 2| |x + 2| → n → ∞ 1+ n 3 Theo Tiêu chuẩn tỷ số ta thấy chuỗi cho hội tụ |x + 2|/3 < phân kỳ |x + 2|/3 > Do chuỗi hội tụ |x + 2| < phân kỳ |x + 2| > 3, bán kính hội tụ Ta xét hai đầu mút khoảng hội tụ |x + 2| < Khi x = −5 chuỗi trở thành ∞ n=0 n(−3)n = n+1 3 ∞ (−1)n n n=0 phân kỳ (−1)n n không hội tụ Khi x = chuỗi trở thành ∞ n(3)n = n+1 3 n=0 ∞ n n=0 phân kỳ với lí Vậy chuỗi cho hội tụ −5 < x < 1, khoảng hội tụ (−5, 1) Ví dụ 6.2.15 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi ∞ n=1 (x − 6)n nn Áp dụng Quy tắc tìm bán kính hội tụ 6.2.12, với Cn = lim n→∞ n Cn = lim Vậy bán kính hội tụ ∞ với tâm n→∞ = n nn , ta tính 174 CHƯƠNG CHUỖI Hoặc sử dụng Tiêu chuẩn thức, ta có: (x − 6)n lim n→∞ nn n = lim n→∞ x−6 = n Theo Tiêu chuẩn thức, chuỗi cho ln hội tụ, bán kính hội tụ ∞, khoảng hội tụ (−∞, ∞) 6.2.3 * Chuỗi Fourier Khác với việc xấp xỉ hàm đa thức để thu chuỗi lũy thừa, phần ta xấp xỉ hàm hàm lượng giác Phương pháp xấp xỉ phù hợp cho hàm tuần hoàn Hàm f gọi hàm tuần hoàn tồn số dương T , gọi chu kì hàm, cho f (x + T ) = f (x) với x Ta biết hàm sin x, cos x hàm tuần hồn với chu kì 2π Định nghĩa 6.2.16 Cho hàm f hàm tuần hồn có chu kì 2π, chuỗi hàm a0 + với an = bn = ∞ an cos(nx) + bn sin(nx) (6.2.8) n=1 π π f (x) cos(nx)dx, n≥0 f (x) sin(nx)dx, n≥1 −π π π −π gọi chuỗi Fourier hàm f Trong trường hợp tổng quát, cho hàm f với chu kì T , chuỗi hàm a0 + ∞ an cos n=1 2πn x + bn sin T 2πn x T (6.2.9) với hệ số an = T bn = T T −T T −T f (x) cos 2πn x dx, T n≥0 f (x) sin 2πn x dx, T n≥1 gọi chuỗi Fourier f Chuỗi Fourier cho phép xấp xỉ hàm tuần hoàn phức tạp hàm lượng giác đơn giản Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng vào kĩ thuật, xử lí tín hiệu 6.2 CHUỖI HÀM 175 x fun2 -1 x Hình 6.2.2: Hàm f (x) = x, x ∈ [0, 2π], tổng phần tử đầu chuỗi Fourier hàm Ví dụ 6.2.17 Tìm chuỗi Fourier hàm số sau:  0 − π ≤ x < f (x) = 1 ≤ x < π, f (x + 2π) = f (x) Hàm f hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π Sử dụng cơng thức tính hệ số Fourier, ta có a0 = π π f (x) dx = −π 2π dx + −π 2π π 1 dx = , với n ≥ 1, an = bn = π π π f (x) cos(nx) dx = −π π f (x) sin(nx) dx = −π π π 0 dx + −π 0 dx + −π π π cos(nx) dx = −π sin(nx) dx −π cos(nx) π =− =− (cos(nπ) − cos(0)) π x nπ  0 n chẵn =  n lẻ nπ Vậy chuỗi Fourier f + ∞ b2k−1 sin(2k − 1)x = k=1 + ∞ k=1 sin(2k − 1)x (2k − 1)π 176 CHƯƠNG CHUỖI Bài tập 6.2.1 Hãy tìm xấp xỉ bình phương (nghĩa n = khai triển Taylor) hàm số √ + x2 x = 6.2.2 Hãy tìm xấp xỉ lập phương (nghĩa n = khai triển Taylor) hàm số √ sin x + x2 x = 6.2.3 Hãy kiểm tra khai triển thường gặp Ví dụ 6.2.5 6.2.4 Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau (a) f (x) = sin πx (b) f (x) = e−2x 6.2.5 Tìm khai triển Taylor hàm số sau điểm a tương ứng (a) f (x) = ln x, a = (b) f (x) = 1/x, a = −3 (c) f (x) = e2x , a = (d) f (x) = sin x, a = π/2 (e) f (x) = cos x, a = π √ (f) f (x) = x, a = 16 (g) f (x) = x3 − 2x2 + 3x + , a = 6.2.6 Chứng tỏ khai triển Taylor ln x ∞ (x − 1)3 (x − 1)n (x − 1) (x − 1)2 (−1)n+1 − + − ··· = n n=1 với < x < Hãy vẽ đồ thị hàm ln đồ thị tổng số hạng đầu khai triển Taylor mặt phẳng tọa độ nhận xét 6.2.7 Công thức gần e≈2+ 1 1 86 + + + =2+ 2! 3! 4! 5! 120 có sai số tối đa bao nhiêu? 6.2.8 Dùng xấp xỉ sin x ≈ x − x3 để tính sin(0,1) Hãy ước lượng sai số 6.2.9 Hãy tính gần giá trị cos 91◦ khai triển Taylor cấp 6.2.10 Hãy tính gần giá trị cos 61◦ , với sai số so với giá trị xác khơng vượt q 10−6 6.2.11 Xét hàm số f cho f (x) = (sin x)2 Hãy tìm khai triển Taylor f đến bậc xung quanh điểm a = π2 Sau tính gần f (91◦ ) từ khai triển cho biết sai số f (91◦ ) so với giá trị gần không bao nhiêu? 6.2.12 Tìm khoảng chứa x cho áp dụng phép xấp xỉ ln x cơng thức Taylor tới bậc sai số khơng 0,01 6.2 CHUỖI HÀM 177 6.2.13 Cho hàm số f (x) = √ x5 + (a) Viết khai triển Taylor hàm số f tới cấp quanh điểm x = 2,0015 + (b) Áp dụng, tính gần số 6.2.14 Hãy kiểm tra công thức gần sau x gần √ (a) sin( π4 + x) ≈ 22 (1 + x − √ (b) + x ≈ + 21 x − 18 x2 √ (c) + x ≈ + 13 x − 19 x2 x2 ) 6.2.15 Hãy tìm khai triển Maclaurin hàm (1 + x)k , với k ∈ R, khảo sát hội tụ 6.2.16 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi hàm: (a) (f) ∞ ∞ 2n xn n3 + n=0 (x + 2)n n3n n=1 (b) (g) ∞ ∞ 2n2 + n − n x 3n + n=0 (x − 1)n (−2020)n n=0 (c) (h) ∞ ∞ (−1)n (x + 1)n 2n n=0 2n nx n=0 (d) (i) ∞ 2n (−1)n xn n! n=1 ∞ n2020 (x − 1)n (−2020)n+1 n=0 (e) ∞ (x − 4)n nn n=3 6.2.17 Chuỗi ∞ (−1)n n=1 n(n + 1) (3x + 6)n chuỗi lũy thừa xung quanh điểm nào? Hãy tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 6.2.18 Tìm chuỗi Fourier hàm: (a) f (x) = x, x ∈ [0, 2π]  0, −π < x < 0, (b) f (x) = x, ≤ x < π (c) f (x) =    0, ≤ x < 1,    (d) f (x) = 0,    x, π ≤x 3π