Giáo trình Vi tích phân 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến; tích phân của hàm nhiều biến; giải tích vecto; phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Giáo trình Vi tích phân Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày tháng năm 2023 Mục lục Giới thiệu 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 Không gian 1.3 1.4 1.5 1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích 1.1.2 Hình học Rn 10 Tập mở tập đóng Rn 16 Hàm số nhiều biến 19 1.2.1 Giới hạn hàm số 21 1.2.2 Hàm số liên tục 22 Đạo hàm hàm số 27 1.3.1 Đạo hàm riêng 27 1.3.2 Xấp xỉ tuyến tính Mặt phẳng tiếp xúc 28 1.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao 33 Các tính chất đạo hàm 36 1.4.1 Đạo hàm hàm hợp 36 1.4.2 Đạo hàm theo hướng 39 1.4.3 Đạo hàm hàm vectơ 42 1.4.4 Đạo hàm hàm ẩn 47 Cực trị hàm số nhiều biến 55 1.5.1 Cực trị khơng có ràng buộc 56 1.5.2 Cực trị có ràng buộc 66 1.5.3 Giá trị lớn nhỏ 70 Tích phân hàm nhiều biến 2.1 2.2 1.1.3 1.2 Rn 77 Định nghĩa tính chất tích phân bội 77 2.1.1 Tích phân hình hộp 78 2.1.2 Tích phân tập tổng quát 81 2.1.3 Thể tích 82 2.1.4 Tính chất tích phân 85 Công thức Fubini 87 2.2.1 91 Công thức Fubini cho miền phẳng ii MỤC LỤC 2.2.2 2.3 2.4 iii Công thức Fubini cho miền ba chiều Công thức đổi biến 92 100 2.3.1 Tọa độ cực 103 2.3.2 Tọa độ cầu 105 2.3.3 Giải thích cơng thức đổi biến 108 Ứng dụng tích phân bội 114 2.4.1 Giá trị trung bình 114 2.4.2 Tâm khối lượng 2.4.3 Xác suất kiện ngẫu nhiên 116 115 Giải tích vectơ 122 3.1 Tích phân đường 122 3.2 3.1.1 Chiều dài đường 122 3.1.2 Tích phân đường loại 124 3.1.3 Tích phân đường loại hai 126 3.1.4 Sự phụ thuộc vào đường 128 Công thức Newton–Leibniz Công thức Green 134 3.2.1 Trường bảo toàn 134 3.2.2 Công thức Green 137 3.2.3 Điều kiện để trường vectơ phẳng bảo toàn 141 3.3 Tích phân mặt 151 3.4 3.3.1 Diện tích mặt 152 3.3.2 Tích phân mặt loại 153 3.3.3 Tích phân mặt loại hai 153 3.3.4 Định hướng mặt phụ thuộc vào tham số hóa 155 Công thức Stokes Công thức Gauss–Ostrogradsky 161 3.4.1 Công thức Stokes 161 3.4.2 Công thức Gauss–Ostrogradsky 167 Phương trình vi phân 4.1 4.2 4.3 177 Phương trình vi phân mơ hình tốn học 177 4.1.1 Mơ hình với phương trình vi phân cấp 179 4.1.2 Mơ hình với phương trình vi phân cấp hai 182 Giải phương trình vi phân cấp 185 4.2.1 Phương trình vi phân cấp tách biến 185 4.2.2 Phương trình vi phân cấp đẳng cấp 188 4.2.3 Phương trình vi phân cấp tuyến tính 191 Giải phương trình vi phân cấp hai 200 4.3.1 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số 200 4.3.2 Phương trình cấp hai tuyến tính không hệ số 204 Tài liệu tham khảo 211 iv Chỉ mục MỤC LỤC 213 Giới thiệu Đây giáo trình cho mơn tốn Vi tích phân cho khối B C (các ngành tốn) Bộ mơn Giải tích (Khoa Tốn - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn • Tham gia biên soạn: Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê Trọng Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ • Tham gia sửa lỗi: Lê Văn Chánh • Tham gia đánh máy LaTeX: Hồ Thị Kim Vân • Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hồng Hải • Biên tập: Huỳnh Quang Vũ (từ 9/2016 – nay, liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn) Tài liệu có trang web Bộ mơn Giải tích địa https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich Giáo trình tiếp tục xây dựng Người đọc vui lòng gởi góp ý cho người biên tập theo địa Đối tượng giáo trình Sinh viên ngành khoa học liệu, nhóm ngành máy tính công nghệ thông tin, điện tử - viễn thông, hải dương, khoa học vật liệu, vật lý (mơn tốn B) địa chất, hóa học, mơi trường, sinh học, cơng nghệ sinh học, …(mơn tốn C) Sinh viên ngành tốn dùng giáo trình làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giáo trình Giáo trình nhằm dùng làm tài liệu giảng học phép tính vi phân phép tính tích phân hàm nhiều biến, với trình độ tương đồng với số giáo trình vi tích phân phổ biến quốc tế [Ste16], sát với chương trình đào tạo hành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Mục tiêu gồm: trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả tư MỤC LỤC xác tính tốn định lượng, cung cấp cơng cụ tốn học cho ngành khoa học kỹ thuật Việc giảng dạy giảng viên lớp việc học tự học sinh viên không thiết theo hết nội dung giáo trình Để phục vụ nhiều đối tượng sinh viên, giáo trình chứa nhiều chứng minh xác cho mệnh đề, nhiều ví dụ tập từ dễ tới khó hơn, số phần mở rộng, nâng cao Mỗi giảng viên sinh viên chọn bỏ qua số nội dung, để phần lại để tự học thêm Mỗi mục cấp hai giáo trình (ví dụ mục 1.1) ứng với khoảng tiết lớp Các mục có dấu ∗ tương đối nâng cao, khơng bắt buộc Mơn tốn C bớt số phần giáo trình giảm mức độ chặt chẽ chi tiết lý luận Phương pháp dạy học Mục tiêu sư phạm nhấn mạnh: hiểu khái niệm, tăng cường lực tư lực tính tốn, tiếp xúc với số ứng dụng Việc giảng dạy học tập nhắm tới tiêu chí trên, khơng q tập trung tiêu chí mà bỏ qua tiêu chí nào: (a) Hiểu khái niệm, kết phương pháp chính; (b) Phát triển tư việc thảo luận số lý luận tốn học chặt chẽ Các khái niệm khác giải thích mức độ định Bổ sung giải thích trực quan, định lượng miêu tả ý tưởng; (c) Tăng cường kỹ tính tốn, hướng dẫn sử dụng phần mềm tính tốn; (d) Giới thiệu số ví dụ ứng dụng cụ thể Về dạy học ứng dụng Giáo trình giới thiệu số ứng dụng vào ngành khoa học kỹ thuật có số tập ứng dụng đặt khung cảnh ứng dụng Chẳng hạn phần Giải tích vectơ thể đặc biệt rõ tiềm hữu ích cho ngành Vật lý Tuy nhiên người đọc nên lưu ý: (a) Hàm lượng ứng dụng thảo luận lớp bị hạn chế thời lượng dành cho môn học, sinh viên cần dành thời gian tự học (b) Để ứng dụng tốn học vào ngành thường cần trình độ chun mơn tương đối cao ngành Chẳng hạn, muốn áp dụng phép tính vi tích phân hàm nhiều biến vào ngành người ta phải trình độ xét mơ hình nhiều biến có tính liên tục ngành MỤC LỤC (c) Tốn học có chức nghiên cứu chung quan hệ số lượng, hình dạng, cấu trúc phương pháp suy luận Việc áp dụng hiểu biết chung vào lĩnh vực thực tế cụ thể thường công việc chuyên gia lĩnh vực Vì sinh viên ngành khoa học kỹ thuật nên học tốt mơn tốn vi tích phân để ứng dụng chúng vào ngành học mơn chun ngành nâng cao sau Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 Không gian Rn Khoảng 300 năm trước Cơng ngun nhà tốn học Hy Lạp Euclid viết sách “Cơ sở hình học” tổng kết hiểu biết hình học phẳng hình học khơng gian ba chiều đương thời phương pháp suy luận, theo số quy tắc từ hệ thống tiên đề đúc kết từ nhận thức người tới thời điểm Ngày hình học Euclid học trường trung học phổ thông, phương pháp suy luận từ tiên đề Euclid trở thành phương pháp chung tốn học Phát triển từ hình học Euclid, chương xét không gian Euclid n-chiều Nhưng phương pháp phương pháp Hình học Giải tích, xuất từ kỉ 17, dùng mặt phẳng tọa độ Trong phương pháp điểm tương ứng với số, nhờ quan hệ hình học tương ứng với quan hệ số lượng Phương pháp đặt hình học tảng số, tỏ hiệu chặt chẽ, sẵn sàng để tổng qt hóa lên khơng gian nhiều chiều Có thể nói ý tưởng tốn học sở việc “số hóa” sau Cụ thể hơn, mơn Vi tích phân hàm biến (xem [Bmgt1]), mơn Vi tích phân hàm nhiều biến đặt sở tập hợp số thực, dùng hình vẽ trực quan để dẫn dắt suy luận coi chặt chẽ nằm hệ thống suy luận từ tập hợp số thực quy tắc suy luận toán học Phát triển nhắm tới tương thích với hình học Euclid chứa trường hợp số chiều n = 1, n = 2, n = mà ta học trung học phổ thơng, người học gặp khó khăn với trường hợp tổng qt trước tiên xét trường hợp này, nội dung mục có sách giáo khoa trung học phổ thơng [SGKTH] Trên tinh thần đó, bắt đầu môn học với định nghĩa cho khái niệm không gian, điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng, … Với số nguyên dương n, tập hợp Rn tập hợp tất có thứ tự n số thực Vậy Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) | x1 , x2 , xn ∈ R} Số thực xi gọi 1.1 KHÔNG GIAN Rn thành phần hay tọa độ thứ i phần tử x Ví dụ 1.1.1 Bộ điểm môn học sinh viên lớp học ghi có thứ tự (điểm chuyên cần, điểm tập, điểm kiểm tra ngắn, điểm kiểm tra kì, điểm kiểm tra cuối kì), có thứ tự số thực Chẳng hạn sinh viên có điểm môn học (7, 6, 9, 10, 8) Như điểm sinh viên phần tử tập hợp R5 Khái niệm “chiều” tốn học tổng qt, khơng số chiều khơng gian vật lý ta cảm nhận, mà có nghĩa chung số bậc tự do, số đại lượng độc lập xác định phần tử tập hợp Vì khơng gian nhiều chiều cần thiết hữu ích cho ứng dụng 1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích Khi tập hợp Rn trang bị phép tốn định gọi không gian vectơ, phần tử gọi vectơ Đơi khi, để nhấn mạnh việc nhìn phần tử x khía cạnh vectơ người ta dùng kí hiệu ⃗x hay x, đặc biệt n = 2, Các phép tốn gồm phép tốn cộng phép toán nhân, định nghĩa sau Phép cộng + hai vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) cho vectơ x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) Phép nhân vectơ x với số thực α cho vectơ α · x = (αx1 , αx2 , , αxn ) Hai phép toán + · có tính chất mà ta dễ dàng kiểm tra từ tính chất số thực: Mệnh đề 1.1.2 Với x, y ∈ Rn , với α, β ∈ R: (a) x + y = y + x, (b) (x + y) + z = x + (y + z), (c) với vectơ có tất thành phần 0, nghĩa = (0, 0, , 0) (thường gọi điểm gốc tọa độ thường kí hiệu chữ O ), x + = + x = x, (d) tồn vectơ đối −x = (−1) · x = (−x1 , −x2 , , −xn ) cho x + (−x) = 0, (e) · x = x, từ vector tiếng Anh đoạn thẳng có hướng, hay đại lượng có hướng di chuyển tiếng Anh “origin” nghĩa “gốc” CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (f) α · (β · x) = (α · β) · x, (g) (α + β) · x = α · x + β · x, (h) α · (x + y) = α · x + α · y Về sau để kí hiệu đơn giản ta thường bỏ dấu chấm để kí hiệu phép nhân trên, ví dụ viết 2x thay · x z (x, y, z) y O x Hình 1.1.1: Hình ảnh minh họa cho tọa độ điểm (x, y, z) R3 Ghi 1.1.3 Những tính chất phù hợp với trường hợp riêng R, R2 , R3 biết Tuy có điểm khác biệt đáng ý trường hợp riêng này, vật lý, ta thường hình dung vectơ đoạn thẳng có hướng, xác định cặp có thứ tự hai điểm, điểm đầu điểm cuối; tức vectơ trước có gốc Cịn vectơ ta vừa định nghĩa đơn giản phần tử không gian, không kèm khái niệm điểm đầu, trước có gọi “vectơ tự do” Tuy hình vẽ minh họa trường hợp số chiều thấp ta vẽ vectơ đoạn thẳng có mũi tên hướng Khơng gian vectơ Rn có đặc biệt vectơ (e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1)) có tính chất dễ thấy với vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) Rn n x= xi ei i=1 Bộ (e1 , e2 , , en ) gọi sở vectơ tắc Rn Ta nói n số chiều khơng gian vectơ Rn , Rn có sở vectơ gồm n phần tử, phần tử Rn nhận từ sở phép cộng vectơ phép nhân với số thực, Rn có n “chiều” độc lập, tự 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 201 Cách giải phương trình cấp hai tuyến tính với hệ số ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = Bước 1: Giải phương trình đặc trưng ar2 + br + c = Bước 2: Biện luận dựa vào nghiệm phương trình đặc trưng: • phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực khác r1 , r2 phương trình vi phân có nghiệm tổng quát y(x) = C1 er1 x + C2 er2 x , • phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép r0 phương trình vi phân có nghiệm tổng qt y(x) = C1 er0 x + C2 xer0 x , • phương trình đặc trưng có nghiệm phức α±iβ, phương trình vi phân có nghiệm tổng qt y(x) = eαx [C1 cos βx + C2 sin βx], với C1 , C2 ∈ R Ở ta gọi nghiệm tổng quát nghiệm thỏa điều kiện đầu cho trước Chứng minh Ta xét trường hợp thứ nhất: phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực khác r1 , r2 Với y(x) = C1 er1 x + C2 er2 x ta tính y ′ (x) = C1 r1 er1 x + C2 r2 er2 x y ′′ (x) = C1 r12 er1 x + C2 r22 er2 x Từ ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = C1 er1 x (ar12 + br1 + cr1 ) + C2 er2 x (ar22 + br2 + cr2 ) = 202 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường hợp thứ hai tương tự, với y(x) = C1 er0 x + C2 xer0 x ta tính y ′ (x) = C1 r0 er0 x + C2 er0 x + C2 xr0 er0 x y ′′ (x) = C1 r02 er0 x + C2 r0 er0 x + C2 r0 er0 x + C2 xr02 er0 x , từ ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = C1 er0 x (ar02 + br0 + cr0 ) + C2 xer0 x (ar02 + br0 + cr0 )+ + C2 er0 x (2ar0 + b) = 0, ý r0 = −b/2a Trường hợp thứ ba cần tính tốn nhiều chút Thế nghiệm α + iβ vào phương trình đặc trưng ta a(α2 − β ) + bα + c = 2aαβ + bβ = Ta tính trực tiếp ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = C1 eαx (cos βx) aα2 − aβ + bα + c − (sin βx) (2aαβ + bβ) + + C2 eαx (sin βx) aα2 − aβ + bα + c + (cos βx) (2aαβ + bβ) = Ví dụ 4.3.1 Giải phương trình vi phân cấp hai y ′′ − 2y ′ − 8y = Phương trình đặc trưng r2 − 2r − = có hai nghiệm thực phân biệt r1 = 4, r2 = −2 Do nghiệm tổng quát phương trình y(x) = C1 e4x + C2 e−2x , với C1 , C2 ∈ R Ví dụ 4.3.2 Giải phương trình vi phân cấp hai y ′′ − 4y ′ + 4y = Phương trình đặc trưng r2 − 4r + = có nghiệm thực kép r0 = Do nghiệm tổng quát phương trình y(x) = C1 e2x + C2 xe2x , với C1 , C2 ∈ R 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 203 Ví dụ 4.3.3 Giải phương trình vi phân cấp hai y ′′ + 2y ′ + 10y = Phương trình đặc trưng r2 + 2r + 10 = có hai nghiệm phức −1 ± 3i Do nghiệm tổng quát phương trình y(x) = e−x [C1 cos 3x + C2 sin 3x] với C1 , C2 ∈ R Ví dụ 4.3.4 Giải tốn giá trị đầu sau y ′′ (x) + y ′ (x) = y(0) = y ′ (0) = − Phương trình đặc trưng r2 + r = có hai nghiệm thực phân biệt r1 = −1, r2 = Do nghiệm tổng qt phương trình y(x) = C1 + C2 e−x , với C1 , C2 ∈ R Do y(0) = 1, ta thu C1 + C2 = Ngoài ra, ta tính đạo hàm y sau y ′ (x) = −C2 e−x Từ điều kiện y ′ (0) = − 12 , ta tìm C2 = 12 Do đó, C1 = 21 Vậy, nghiệm toán y(x) = 1 −x + e 2 Ví dụ 4.3.5 Ta giải phương trình vi phân chuyển động lị xo (4.1.3): mx′′ = −kx Đây phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số Giải phương trình đặc trưng mr2 = −k ta hai nghiệm phức r = ±i k m Vậy phương trình có nghiệm tổng quát x(t) = C1 cos k x + C2 sin m k x, m với C1 , C2 ∈ R Nếu C1 C2 không đồng thời 0, ta viết x(t) = C12 + C22 C1 C12 + C22 cos k x+ m C2 C12 + C22 sin k x m 204 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Đặt sin β = √ x(t) = C1 , C12 +C22 cos β = √ C12 + C22 (sin β cos C2 C12 +C22 ta viết k x + cos β sin m k x) = m C12 + C22 sin β + k x m Đây hàm thể dao động điều hịa có đồ thị hình sin, tượng vật lí 4.3.2 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng với hệ số Một phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng với hệ số phương trình có dạng ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = f (x) với a, b, c ∈ R a = 0, f hàm liên tục khoảng Ta giới thiệu phương pháp gọi phương pháp hệ số bất định giúp tìm nghiệm số trường hợp Trong trường hợp ta cố gắng tìm nghiệm phương trình, gọi nghiệm riêng hay nghiệm đặc biệt Gọi nghiệm thỏa điều kiện đầu định, trái với nghiệm tổng qt mà ta muốn tìm thỏa điều kiện đầu cho trước Giả sử y nghiệm tổng quát yr nghiệm riêng Ta có đồng thời ay ′′ + by ′ + cy = f ayr′′ + byr′ + cyr = f Trừ hai phương trình ta a(y − yr )′′ + b(y − yr )′ + c(y − yr ) = Vậy hiệu y − yr nghiệm tổng qt với nghiệm riêng phương trình khơng nghiệm phương trình tương ứng ay ′′ + by ′ + cy = Cách giải phương trình ta thảo luận mục trước Đặt y0 nghiệm tổng quát phương trình tương ứng này, ta nghiệm tổng qt phương trình khơng y = y0 + yr Như bước để giải tìm nghiệm riêng phương trình khơng 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 205 Cách giải phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng với hệ số ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = f (x) Bước 1: Giải phương trình ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = để nghiệm tổng quát y0 phương trình Bước 2: Tìm nghiệm riêng yr phương trình không Nếu hàm f tổng, tức f = f1 + · · · + fn , ta tìm nghiệm riêng tương ứng yr,1 , , yr,n cho hàm thành phần f1 , , fn , yr = yr,1 + · · · + yr,n Bước 3: Bây hàm f có thành phần thì: (a) Nếu f đa thức bậc n yr đa thức bậc n, có dạng yr (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , với số (b) Nếu f (x) = Cekx với C k số, yr (x) = aekx , với a số (c) Nếu f (x) = C sin αx f (x) = C cos αx với C số, yr (x) = a sin αx + b cos αx, với a b số Bước 4: So sánh yr với y0 Nếu có thành phần yr xuất y0 phải chỉnh yr cách nhân thêm x x2 vào yr để yr y0 khơng cịn thành phần chung Bước 5: Thế yr vào phương trình khơng tương ứng để giải tìm hệ số chưa biết Bước 6: Nghiệm tổng qt phương trình khơng y = y0 + yr Phương pháp phát triển nữa, f tích, có tài liệu nâng cao [Long, Boyce09] Phương pháp phức tạp, để dễ hiểu ta xem xét ví dụ sau Ví dụ 4.3.6 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân y ′′ − y = x2 206 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải phương trình tương ứng y ′′ − y = ta có nghiệm y0 (x) = C1 ex + C2 e−x Vế phải phương trình vi phân x2 đa thức bậc 2, ta tìm nghiệm yr có dạng yr (x) = ax2 + bx + c, ta thấy khơng có thành phần yr xuất y0 Ta có y ′ (x) = 2ax + b r y ′′ (x) = 2a r Thay vào phương trình khơng ban đầu, ta 2a − (ax2 + bx + c) = x2 hay −ax2 − bx + 2a − c = x2 Đồng hệ số tương ứng, ta −a = −b = 2a − c = hay a = −1, b = 0, c = −2 Do ta tìm yr (x) = −x2 − Vậy nghiệm tổng qt phương trình khơng y(x) = y0 (x) + yr (x) = C1 ex + C2 e−x − x2 − Ví dụ 4.3.7 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ′′ + y = e2x Giải phương trình tương ứng y ′′ + y = ta có nghiệm tổng quát y0 (x) = C1 cos x + C2 sin x Vế phải phương trình khơng hàm e2x , nghiệm yr có dạng yr (x) = ae2x , ta thấy khơng có thành phần yr xuất y0 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 207 y ′ (x) = 2ae2x Ta có y ′′ (x) = 4ae2x Thay vào phương trình không ban đầu ta 5ae2x = e2x , a = 15 , yr (x) = 51 e2x Vậy nghiệm tổng quát phương trình khơng y(x) = y0 (x) + yr (x) = C1 cos x + C2 sin x + e2x Ví dụ 4.3.8 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ′′ − y ′ − 2y = sin 2x Giải phương trình tương ứng y ′′ − y ′ − 2y = ta có nghiệm tổng quát y0 (x) = C1 e−x + C2 e2x Vế phải phương trình khơng hàm sin 2x, nghiệm yr có dạng yr (x) = a sin 2x + b cos 2x, ta thấy khơng có thành phần yr xuất y0 y ′ (x) = 2a cos 2x − 2b sin 2x Ta có y ′′ (x) = −4a sin 2x − 4b cos 2x Thay vào phương trình khơng ban đầu ta −6a+2b = −2a−6b = 0, a = − 20 ,b= 20 , yr (x) = − sin 2x + cos 2x 20 20 Vậy nghiệm tổng qt phương trình khơng y(x) = y0 (x) + yr (x) = C1 e−x + C2 e2x − sin 2x + cos 2x 20 20 Ví dụ 4.3.9 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân y ′′ − y ′ − 12y = e4x Giải phương trình tương ứng y ′′ − y ′ − 12y = 208 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ta có nghiệm y0 (x) = C1 e4x + C2 e−3x Vế phải phương trình khơng hàm e4x , nghiệm yr có dạng yr (x) = ae4x , ta thấy thành phần e4x yr xuất y0 , theo phương pháp ta phải nhân thêm với yr thừa số x, nghiệm yr thực có dạng yr (x) = axe4x Bây yr khơng cịn thành phần chung với y0 y ′ (x) = ae4x + 4axe4x Ta có y ′′ (x) = 8ae4x + 16axe4x Thay vào phương trình khơng ban đầu, ta (8ae4x + 16axe4x ) − (ae4x + 4axe4x ) − 12axe4x = e4x Đồng hệ số tương ứng, ta a = 17 Do ta tìm yr (x) = xe4x Vậy nghiệm tổng qt phương trình khơng y(x) = y0 (x) + yr (x) = C1 e4x + C2 e−3x + xe4x Ví dụ 4.3.10 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ′′ − y ′ − 12y = e4x + 3x − Phương trình tương ứng y ′′ − y ′ − 12y = ta giải Ví dụ 4.3.9 vừa Nghiệm y0 (x) = C1 e4x + C2 e−3x Vế phải phương trình khơng hàm e4x + (3x − 2), tổng hai hàm e4x 3x − 2, ta cần tìm hai nghiệm riêng yr,1 tương ứng với e4x yr,2 tương ứng với 3x − Nghiệm yr,1 tương ứng với phương trình y ′′ − y ′ − 12y = e4x ta tìm Ví dụ 4.3.9 vừa yr,1 (x) = xe4x 4.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Nghiệm yr,2 tương ứng với phương trình y ′′ − y ′ − 12y = 3x − 2, đa thức bậc 1, có dạng yr,2 (x) = ax + b Thay vào phương trình ta −a − 12(ax + b) = 3x − Suy a = − 41 b = 16 Vậy yr,2 (x) = − x + 16 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho 1 y(x) = y0 (x) + yr,1 (x) + yr,2 (x) = C1 e4x + C2 e−3x + xe4x − x + 16 Bài tập 4.3.1 Tìm nghiệm phương trình vi phân (a) y ′′ + 3y ′ − 10y = ′′ ′ y + 3y − 10y = (b) (c) (d) y(0) = y ′ (0) = ′′ ′ 4y + 20y + 25y = (f) y(0) = y(0) = y ′ (0) = (g) y(0) = y ′ (0) = ′′ ′ y + y + y = y ′ (0) = ′′ ′ y − 8y + 16y = (e) ′′ ′ y + 3y = y(0) = y ′ (0) = ′′ ′ y + 2y + 2y = y(π) = e−π y ′ (π) = −2e−π 4.3.2 Tìm nghiệm phương trình vi phân (a) y ′′ + y ′ − 2y = 2x (e) y ′′ + 4y = sin x (b) y ′′ − y ′ − 2y = 4x2 (f) y ′′ − y ′ + 4y = sin 2x (c) y ′′ − 2y ′ + y = x2 − ′′ ′ y − 7y + 10y = 100x (g) y ′′ + 2y ′ − 3y = cos 3x (d) (h) y ′′ − 3y ′ − 4y = sin x y(0) = (i) y ′′ − 3y ′ + 2y = 6e3x y ′ (0) = (j) y ′′ − 2y ′ + y = −4ex 209 210 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (k) y ′′ − 3y ′ − 4y = 3e2x (l) y ′′ + 4y ′ − = e−5x (q) (m) y ′′ − 6y ′ + 9y = e3x (n) y ′′ + y = 2e−x (o) y ′′ + 4y = x2 + 3ex ′′ (p) y + 4y = sin t + sin(2t) (r) ′′ ′ x y + 3y + 2y = − 2e y(0) = y ′ (0) = ′′ ′ x y − 4y + 2y = xe y(0) = −2/9 y ′ (0) = 5/9 Tài liệu tham khảo [Ang] Sigurd Angenent, Calculus, http://www.math.wisc.edu/∼angenent/Free-Lecture-Notes [Apo69] Tom M Apostol, Calculus, vol 2, John Wiley and Sons, 1969 [Bmgt1] Bộ 1, môn Khoa Tự nhiên, Giải Tốn Đại tích, học Giáo Tin trình học Quốc gia Phép Trường Thành tính Đại phố vi học Hồ tích phân Khoa học Chí Minh, https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich [Boyce09] William E Boyce and Richard C DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 9th ed., John Wiley and Sons, 2009 [Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978 [Fich77] G M Fichtengơn, Cơ sở Giải tích tốn học, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1977 [GeoG] GeoGebra, phần mềm miễn phí, có phiên web, máy tính, điện thoại, https://www.geogebra.org [Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002 [Kha15] Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngơ Thu Lương, Tốn cao cấp, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2015 [Kha96] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, Nhà Xuất Bản Giáo dục, 1996 [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997 [Long] Nguyễn Thành Long, Giáo trình Giải tích A4, Khoa Tốn–Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh [MT03] Jerrold E Marsden and Anthony J Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003 211 212 [Maxi] TÀI LIỆU THAM KHẢO Maxima, phần mềm tính tốn mã nguồn mở, có http://maxima.sourceforge.net [Pis69] N Piskunov, Differential and Integral Calculus, Mir, 1969 [PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGrawHill, 1976 [SGKTH] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách giáo khoa mơn Đại số, Giải tích, Hình học lớp 10, 11, 12, Nhà xuất Giáo dục, 2019 [Ste16] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 8th ed., Brooks/Cole, 2016 Có dịch tiếng Việt cho lần xuất thứ 7, Nhà xuất Hồng Đức 2016 [TPTT02] Đinh Ngọc Thanh, Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đặng Đức Trọng, Giải tích hàm biến, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [TTQ11] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2011 [Tri07] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Tốn học cao cấp, NXB Giáo dục, 2007 [Vugt3] Huỳnh Quang Vũ, Bài giảng Tích phân bội Giải tích vectơ, https://sites.google.com/view/hqvu/teaching [Wolf] Wolfram Alpha, phần mềm tính tốn, giao diện web miễn phí https://www.wolframalpha.com Chỉ mục pv u, 11 góc hai vectơ, 11 khoảng cách Euclid, hàm Gamma, 121 hàm mật độ, 114 biên, 16 hàm thế, 134 tốn giá trị đầu, 177 hàm điều hịa, 36 bất đẳng thức tam giác, hàm điều hòa, 151, 175 bổ đề Poincaré, 142, 166 hình hộp, 79 con, 79 chiếu vng góc, 11 chiều dài Euclid, curl, 161 cơng thức Divergence, 167 thể tích, 79 hình sao, 141 hồi quy tuyến tính, 60 cơng thức Fubini, 89 khả tích, 81, 82 cơng thức Gauss–Ostrogradsky, 167 khả vi liên tục, 34 công thức Green, 137, 144, 150, 175 khả vi khúc, 125 Công thức Newton–Leibniz, 134 khối lăng trụ, 100 cơng thức Pappus, 121 khối nón, 113 công thức Stokes, 163 khối đơn giản với biên trơn mảnh, cơng thức tích phân phần, 150 167 cơng thức đổi biến, 102 sở vectơ tắc, liên tục, 22 cực tiểu toàn cục, 56 lân cận, 17 cực tiểu địa phương, 56 ma trận, 45 cực tiểu tuyệt đối, 56 không xác định dấu, 64 cực tiểu tương đối, 56 xác định dương, 64 cực trị, 56 xác định âm, 64 cực đại toàn cục, 56 ma trận Hesse, 57, 64 cực đại địa phương, 56 ma trận Jacobi, 44 cực đại tuyệt đối, 56 miền, 81 cực đại tương đối, 56 miền đơn giản, 91, 93 div, 144, 167 giá trị trung bình, 115 mơ hình học, 184 mơ hình nguội, 184 mơ hình hậu cần, 181 213 214 CHỈ MỤC mơ hình lãi nhập vốn liên tục, 197 phương trình vi phân cấp đẳng cấp, 188 mơ hình tăng trưởng dân số, 179 mơ hình tăng trưởng dân số có kìm hãm, phương trình đặc trưng, 200 phần trong, 16 180 mặt, 151 biên, 157 qui, 157 vết, 151 đơn, 157 định hướng, 157 định hướng lên trên, 157 mặt cong, 158 mặt phẳng, 14 mặt phẳng tiếp xúc, 30 nghiệm cân bằng, 180 nghiệm riêng, 204 nghiệm tổng quát, 201 nghiệm đặc biệt, 204 nhân tử Lagrange, 66 qui tắc bàn tay phải, 13 số chiều, tham số hóa, 130, 151 thơng lượng, 144, 153 năng, 137 thể tích, 82 thể tích khơng, 84 tiêu chuẩn kẹp, 22 toán tử Laplace, 150 trơn, 34 đường đi, 123 trường bảo toàn, 134 gradient, 134 trường vectơ, 126 phân hoạch, 79 trực giao, 11 phân rã Carbon C 14 , 198 tích phân, 81 phép chia, 79 tích phân lặp, 88 khoảng con, 79 phép đổi biến, 101 bảo toàn định hướng, 102, 128, 155 đảo ngược định hướng, 102, 155 phương pháp bình phương tối thiểu, 60 phương pháp cắt lớp, 88 phương pháp hệ số bất định, 204 phương pháp nhân tử Lagrange, 66 phương trình Laplace, 36 phương trình vi phân Bernoulli, 199 tồn phần, 199 trường vectơ, 178 phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số hằng, 200 phương trình vi phân cấp tuyến tính, 191 phương trình vi phân cấp tách biến, 185 tích phân mặt loại hai, 154 loại một, 153 tích phân đường loại hai, 127 loại một, 125 độc lập với đường đi, 135 tích Euclid, tích vô hướng Euclid, tập mức, 49 tập bị chặn, 70 tập compắc, 70 tập mở, 16 tập đóng, 17 tọa độ, tọa độ cầu, 106 tọa độ trụ, 105 tổng Riemann, 80 vectơ, CHỈ MỤC hướng, 11 phương, 11 tích có hướng, 12, 46 vectơ pháp tuyến, 14, 32 vectơ pháp tuyến ngoài, 143 vectơ pháp tuyến đơn vị, 159 vectơ vận tốc, 44 vectơ đơn vị, 11, 39 vng góc, 11 Định lý tích phân đường, 134 điểm, 10 điểm biên, 16 điểm dừng, 57 điểm giới hạn, 17 điểm gốc tọa độ, điểm trong, 16 điểm tới hạn, 57 điểm tụ, 17 điểm yên, 57, 64 đường cong, 130 hướng tiếp tuyến, 131 đường mức, 66 đường thẳng, 12 đường đi, 122 qui, 129 định hướng, 129 liên tục, 123 trái định hướng, 129 vết, 122 đóng, 122 đơn, 123 đạo hàm ánh xạ, 46 đạo hàm riêng, 27 đạo hàm theo hướng, 150 định hướng ngoài, 157 định luật Faraday, 174 định thức, 46 định tuổi Carbon, 198 đồ thị, 19 độ cong, 133 215 động năng, 137 ... 4.1 .2 Mơ hình với phương trình vi phân cấp hai 1 82 Giải phương trình vi phân cấp 185 4 .2. 1 Phương trình vi phân cấp tách biến 185 4 .2. 2 Phương trình vi phân. .. CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 z |z2 − z1 | (x2 , y2 , z2 ) |x − x 1| (x1 , y1 , z1 ) |y2 − y1 | y (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 x Hình 1.1.3:... Giải tích vectơ 122 3.1 Tích phân đường 122 3 .2 3.1.1 Chiều dài đường 122 3.1 .2 Tích phân đường loại 124 3.1.3 Tích phân