23 QUY TẮC ĐẾM ❶ Giáo viên Soạn:Phạm Tuyết Lê… ….… FB: Lê phạm ❷ Giáo viên Soạn:Bùi Thị Hoa… ….… FB: Bùi Hoa ❷ Giáo viên phản biện :Đỗ Thị Kim Hoa…….FB:Hoa Kim ………………………………… THUẬT NGỮ Quy tắc cộng Quy tắc nhân Sơ đồ hình KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để tính tốn số cách thực công việc đếm số phần tử tập hợp Vận dụng sơ đồ hình toán đếm đơn giản Đếm toán cổ xưa nhân loại Trong khoa học sống, người ta cần đếm đối tượng để giải vấn đề khác Chẳng hạn toán sau: Mỗi mật trang web dãy có từ tới kí tự, kí tự 26 chữ in thường bảng chữ tiếng Anh (từ a đến z), kí tự cịn lại chữ số từ đến Hỏi tạo mật khác nhau? Bài học giúp em hiểu áp dụng hai quy tắc đếm để giải tốn QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY HĐ1: Chọn chuyến (H.8.1) Từ Hà Nội vào Vinh ngày có chuyến tàu hỏa chuyến máy bay Bạn An muốn ngày Chủ nhật từ Hà Nội vào Vinh tàu hỏa máy bay Hỏi bạn An có cách chọn chuyến đi? Hướng dẫn: Để từ Hà Nội vào Vinh, bạn An chọn tàu hỏa máy bay - Đi tàu hỏa, chọn chuyến tàu - Đi máy bay, chọn chuyến bay Vậy số cách chọn chuyến từ Hà Nội vào Vinh 9 (cách chọn) HĐ2: Chọn vé tàu (H.8.2) Bạn An định mua vé tàu từ Hà Nội vào Vinh chuyến tàu SE7 Trên tàu có toa ghế ngồi toa giường nằm Toa ngồi có hai loại vé: ngồi cứng ngồi mềm Toa nằm có loại khoang giường khoang giường Khoang giường có hai loại vé: tầng tầng 2, khoang giường có ba loại vé: tầng 1, tầng tầng Hỏi: a) Có loại vé ghế ngồi loại vé giường nằm? b) Có loại vé để bạn An lựa chọn? Hướng dẫn: Để mua vé tàu từ Hà Nội vào Vinh chuyến tàu SE7, bạn An chọn ghế ngồi giường nằm - Vé ngồi: có loại vé - Giường nằm: có 5 (loại vé) Vậy số loại vé để bạn An lựa chọn 7 (loại vé) Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo hai phương án khác nhau: - Phương án có n1 cách thực - Phương án có n2 cách thực Phương án ……… n1 cách Phương án ……… n2 cách Khi số cách thực cơng việc : n1 n2 cách Chú ý: Sơ đồ minh họa cách phân chia trường hợp Hình 8.2 gọi sơ đồ hình Trong tốn đếm, người ta thường dùng sơ đồ hình để minh họa, giúp cho việc đếm thuận tiện không bỏ sót trường hợp Ví dụ Một qn phục vụ ăn sáng có bán phở bún Phở có loại phở bị phở gà Bún có loại bún bò, bún riêu bún cá Một khách hàng muốn chọn để ăn sáng Vẽ sơ đồ hình minh họa cho biết khách hàng có cách lựa chọn ăn sáng Giải: Ta có sơ đồ hình 8.3 Theo quy tắc cộng, số cách chọn ăn sáng là: 5 (cách) Chú ý: Ta áp dụng quy tắc cộng cho cơng việc có nhiều phương án phương án phải rời nhau, khơng phụ thuộc vào (độc lập với nhau) Ví dụ 2 Một cờ vua có 32 qn cờ hình 8.4 a) Bạn Nam lấy tất quân tốt Hãy đếm xem Nam lấy quân cờ b) Bạn Nam lấy tất quân cờ trắng tất quân tốt Hãy đếm xem Nam lấy quân cờ Giải: a) Quân cờ bạn Nam lấy thuộc hai loại: màu trắng tốt trắng ……… quân màu đen - Số quân tốt trắng: quân; - Số quân tốt đen: quân tốt đen ……… quân Nam lấy ra: 16 (quân cờ) b) Nam lấy tất quân trắng tất quân tốt - Đầu tiên ta đếm tất quân trắng, có 16 quân; - Tiếp theo ta đếm tất qn tốt, có 16 qn tốt Vì 16 quân tốt có quân tốt trắng đếm nên số quân cờ Nam lấy là: 16 16 24 (quân cờ) Nhận xét: Ở câu b), gọi A tập hợp gồm tất quân cờ trắng, B tập hợp gồm tất quân tốt quân cờ Nam lấy phần tử tập hợp A B Nếu ta áp dụng quy tắc cộng: n A B n A n B 32 (quân cờ), suy Nam lấy 32 quân cờ Kết A B luận sai, nên ta khơng thể áp dụng quy tắc cộng để tính trường hợp Luyện tập Có số tự nhiên từ đến 30 mà không nguyên tố với 35? Giải: Vì 35 5.7 nên số tự nhiên từ đến 30, có hai số tự nhiên không nguyên tố với 35 QUY TẮC NHÂN HĐ3: Thầy Trung muốn từ Hà Nội vào Huế, từ Huế vào Quảng Nam Biết từ Hà Nội vào Huế cách: tơ, tàu hỏa máy bay Còn từ Huế vào Quảng Nam cách: tơ tàu hỏa (H.8.5) Hỏi thầy Trung có cách chọn phương tiện để từ Hà Nội vào Quảng Nam? Hướng dẫn: Để từ Hà Nội vào Quảng Nam, thầy Trung phải thực hành động: - Hành động 1: từ Hà Nội vào Huế: chọn loại phương tiện - Hành động 2: từ Huế vào Quảng Nam: chọn phương tiện Vậy có 3.2 6 cách chọn phương tiện để từ Hà Nội vào Quảng Nam HĐ4: Để lắp ghế vào phòng chiếu phim, ghế gắn nhãn chữ in hoa (trong bảng 26 chữ tiếng Anh từ A đến Z) đứng trước số nguyên từ đến 20, chẳng hạn X15, Z2,… Hỏi gắn nhãn tối đa cho ghế? Hướng dẫn: Để gắn nhãn cho ghế, người ta phải thực hành động: - Hành động 1: chọn bảng 26 chữ đứng trước - Hành động 2: chọn 20 số nguyên đứng sau Vậy số nhãn gắn cho ghế là: 26.20 520 (nhãn) Ta nhận thấy muốn làm việc có hai cơng đoạn trước hết ta xét xem cơng đoạn có cách, sau với cách cơng đoạn một, ta tính xem cơng đoạn hai có cách Khi số cách thực cơng việc tính theo cách sau: Quy tắc nhân Giả sử cơng việc phải hồn thành qua hai cơng đoạn liên tiếp nhau: - Cơng đoạn có m1 cách thực - Với cách thực công đoạn một, có m2 cách thực cơng đoạn hai Khi số cách thực cơng việc là: m1.m2 cách Chú ý: Quy tắc nhân áp dụng để tính số cách thực cơng việc có nhiều cơng đoạn, công đoạn nối tiếp công đoạn độc lập với Ví dụ 33 Một người muốn mua vé tàu ngồi từ Hà Nội vào Vinh Có ba chuyến tàu SE5, SE7, SE35 Trên tàu có loại vé ngồi khác nhau: ngồi cứng ngồi mềm Hỏi có loại vé ngồi khác để người lựa chọn? Giải: Để mua vé tàu, người phải thực hai công đoạn Chọn chuyến tàu Chọn loại vé Có cách chọn chuyến tàu, với chuyến tàu có cách chọn loại vé ngồi Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn loại vé 3.2 6 (cách) Chú ý: Ta dùng quy tắc cộng Người mua vé lựa chọn ba trường hợp: SE5, SE7 SE35 Nếu lựa chọn SE5, có hai loại vé: loại vé SE5 ngồi cứng SE5 ngồi mềm Tương tự cho trường hợp SE7 trường hợp SE35 Mỗi trường hợp có hai loại vé Tổng cộng có: 6 (cách chọn loại vé) Luyện tập Tại kì World Cup năm 2018, vịng bảng gồm có 32 đội tham gia, chia vào bảng, bảng đội thi đấu vòng tròn (mỗi đội chơi trận với đội khác bảng) Hỏi tổng cộng vịng bảng có trận đấu? Giải: Ở bảng có đội, đội phải đấu với đội lại Cứ hai đội đấu với trận nên số 4.3 6 trận đấu bảng là: (trận) Số trận đấu vòng bảng là: 6.8 48 (trận) KẾT HỢP QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN Ví dụ Để tổ chức bữa tiệc, người ta chọn thực đơn gồm khai vị, tráng miệng Nhà hàng đưa danh sách: khai vị có loại súp loại salad; có loại thịt, loại cá loại tơm; tráng miệng có loại kem loại bánh Hỏi thiết kế thực đơn khác nhau? Giải Để chọn thực đơn, ta chia làm cơng đoạn chọn Cơng đoạn 1, chọn khai vị có hai phương án súp salad nên ta áp dụng quy tắc cộng Số cách chọn là: 5 (cách) Công đoạn 2, chọn chính: tương tự, ta có số cách chọn là: 10 (cách) Công đoạn 3, chọn tráng miệng: tương tự, ta có số cách chọn là: 8 (cách) Tổng kết, theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là: 5.10.8 400 (cách) Chú ý Quy tắc cộng áp dụng công việc chia thành phương án phân biệt (thực phương án để hồn thành cơng việc) Quy tắc nhân áp dụng cơng việc có nhiều cơng đoạn nối tiếp (phải thực tất công đoạn để hồn thành cơng việc) Luyện tập Từ chữ số 0,1, 2,3 lập số thỏa mãn: a) Là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau? b) Là số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau? Giải Gọi số tự nhiên gồm ba chữ số khác abc ( a, b, c chữ số 0,1, 2,3 ) a) Chọn chữ số hàng trăm: a có cách ( a 0 ) Chọn chữ số hàng chục: b có cách ( b a ) Chọn chữ số hàng đơn vị: c có cách ( c a, c b ) Theo quy tắc nhân ta có 3.3.2 18 cách Vậy lập 18 số tự nhiên có ba chữ số khác từ chữ số 0,1, 2,3 b) abc số chẵn nên chữ số hàng đơn vị c có cách chọn Trường hợp 1: Nếu c chữ số hàng trăm a có cách chọn, chữ số hàng chục b có cách chọn Theo quy tắc nhân có 3.2 6 cách lập Trường hợp 2: Nếu c chữ số hàng trăm a có cách chọn ( a khác 2), chữ số hàng chục b có cách chọn ( b khác a ) Theo quy tắc nhân có 2.2 4 cách lập Tổng kết, theo quy tắc cộng lập 10 (số) Ví dụ Trở lại tình mở đầu, ta thấy có hai trường hợp: độ dài mật kí tự Trường hợp 1: độ dài mật kí tự Chọn kí tự áp dụng quy tắc nhân Kí tự có 26 cách chọn chữ in thường tiếng Anh Kí tự thứ hai có 10 cách chọn chữ số từ đến Vậy, theo quy tắc nhân, ta có 26.10 260 cách chọn mật trường hợp Trường hợp 2: độ dài mật kí tự Tương tự trường hợp 1, ta có 26.10 2600 cách chọn mật Vì có hai trường hợp rời nhau, mật rơi vào hai trường hợp, nên ta áp dụng quy tắc cộng Tổng số mật 260 2600 2860 Vận dụng Khối lớp 10 trường trung học phổ thơng có ba lớp 10A, 10B, 10C Lớp 10A có 30 bạn, lớp 10B có 35 bạn, lớp 10C có 32 bạn Nhà trường muốn chọn bạn để lập đội cờ đỏ khối cho có đủ đại diện lớp Hỏi có cách chọn? Giải Để lớp có đại diện tham gia đội cờ đỏ lớp phải có bạn Như có hai lớp lớp bạn lớp có bạn Trường hợp 1: Lớp 10A có bạn, lớp 10B có bạn, lớp 10C có bạn Chọn 30 bạn lớp 10A: Chọn bạn thứ có 30 cách, chọn bạn thứ hai có 29 30.29 435 cách đội cờ đỏ khơng tính đến thứ tự người nên có cách Chọn 35 bạn lớp 10B: có 35 cách Chọn 32 bạn lớp 10C: có 32 cách Theo quy tắc nhân có 435.35.32 487200 cách Trường hợp 2: Lớp 10B có bạn, lớp 10A có bạn, lớp 10C có bạn Lập luận tương tự ta có 30.595.32 571200 Trường hợp 3: Lớp 10C có bạn, lớp 10A có bạn, lớp 10B có bạn Lập luận tương tự ta có 30.35.496 520800 cách Vậy có 487200+ 571200+ 520800=1579200 cách BÀI TẬP Trên giá sách có truyện ngắn, tiểu thuyết tập thơ (tất khác nhau) Vẽ sơ đồ hình minh họa cho biết bạn Phong có cách chọn để đọc vào ngày cuối tuần Giải Truyện ngắn …… Tiểu thuyết ………7 Thơ ……….5 tập Để chọn sách đọc vào ngày cuối tuần, bạn Phong thực lựa chọn sau: Chọn truyện ngắn : Có cách Chọn tiểu thuyết : Có cách Chọn tập thơ : Có cách Theo quy tắc cộng bạn Phong có : 20 cách 8.2 Một người gieo đồng xu hai mặt, sau lần gieo ghi lại kết sấp hay ngửa Hỏi người gieo ba lần có khả xảy ra? Giải Lần gieo thứ nhất: Có khả xảy Lần gieo thứ hai: Có khả xảy Lần gieo thứ ba: Có khả xảy Nếu người gieo ba lần số khả xảy là: 2.2.2 8 8.3 Ở loài thực vật, A gen trội quy định tình trạng hoa kép, a gen lặn quy định tình trạng hoa đơn a) Sự tổ hợp hai gen tạo kiểu gen? b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có kiểu giao phối khác từ kiểu gen đó? Giải a) Sự tổ hợp gen A gen a thành kiểu gen là: AA, Aa, aa Vậy có kiểu gen b) Khi giao phối ngẫu nhiên có kiểu giao phối: AA AA aa aa Aa Aa AA aa Aa AA Aa aa Vậy có kiểu giao phối khác Có số tự nhiên a) có ba chữ số khác nhau? b) số lẻ có ba chữ số khác nhau? c) số có ba chữ số chia hết cho 5? d) số có ba chữ số khác chia hết cho 5? Giải a) Gọi số tự nhiên cần tìm abc với a, b, c chữ số tự nhiên đôi khác nhau, a 0 Chọn a : Có cách Chọn b : Có cách Chọn c : Có cách Như có 9.9.8 648 số tự nhiên có ba chữ số khác b) Gọi số tự nhiên cần tìm abc với a, b, c chữ số tự nhiên đôi khác nhau, a 0 c lẻ Chọn c : Có cách Chọn a : Có cách Chọn b : Có cách Như có 5.8.8 320 số tự nhiên lẻ có ba chữ số khác c 0;5 c) Gọi số tự nhiên cần tìm abc với a, b, c chữ số tự nhiên a 0 Chọn a : Có cách Chọn b : Có 10 cách Chọn c : Có cách Như có 9.10.2 180 số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho d) Gọi số tự nhiên cần tìm abc với a, b, c chữ số tự nhiên đôi khác a 0 c 0;5 Trường hợp 1: c 0 Chọn c : Có cách Chọn a : Có cách Chọn b : Có cách Như có 1.9.8 72 số thỏa mãn toán Trường hợp 2: c 5 Chọn c : Có cách Chọn a : Có cách Chọn b : Có cách Như có 1.8.8 64 số thỏa mãn tốn Vậy có 72 64 136 số tự nhiên có ba chữ số khác chia hết cho 8.5 a) Mật chương trình máy tính quy định gồm kí tự, kí tự chữ số Hỏi tạo mật khác nhau? b) Nếu chương trình máy tính quy định mật gồm kí tự, kí tự phải chữ in hoa bảng chữ tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) kí tự sau chữ số (từ đến 9) Hỏi quy định tạo nhiều quy định cũ mật khác nhau? Giải a) Giả sử mật máy tính gồm ký tự, ký tự chữ số Chọn ký tự đầu tiên: Có 10 cách chọn Chọn ký tự thứ hai: Có 10 cách chọn Chọn ký tự thứ ba: Có 10 cách chọn Vậy tạo 10.10.10 1000 mật khác thỏa mãn toán b) Giả sử mật máy tính gồm ký tự , ký tự đầu chữ in hoa, ký tự sau chữ số Chọn ký tự chữ in hoa bảng chữ tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z): Có 26 cách chọn Chọn ký tự thứ hai chữ số (từ đến ): Có 10 cách chọn Chọn ký tự thứ ba chữ số (từ đến ): Có 10 cách chọn Vậy tạo 26.10.10 2600 mật khác thỏa mãn toán Do quy định tạo nhiều quy định cũ số mật khác là: 2600 1000 1600 (mật khẩu) 10 ... Tổng kết, theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là: 5.10.8 400 (cách) Chú ý Quy tắc cộng áp dụng công việc chia thành phương án phân biệt (thực phương án để hoàn thành công việc) Quy tắc nhân... tập hợp A B Nếu ta áp dụng quy tắc cộng: n A B n A n B 32 (quân cờ), suy Nam lấy 32 quân cờ Kết A B luận sai, nên ta khơng thể áp dụng quy tắc cộng để tính trường hợp... chuyến tàu, với chuyến tàu có cách chọn loại vé ngồi Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn loại vé 3.2 6 (cách) Chú ý: Ta dùng quy tắc cộng Người mua vé lựa chọn ba trường hợp: SE5, SE7 SE35