24 HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP GV Word ❶ Giáo viên Soạn: ĐỖ CAO LONG FB: https://facebook.com/docaolong ❷ Giáo viên phản biện :NGUYỄN TRỌNG THIỆN FB:Thien Pro Danh sách cầu thủ Đội tuyển bóng đá quốc gia tham dự trận đấu quốc tế có 23 cầu thủ gồm thủ môn, hậu vệ, tiền vệ tiền đạo Huấn luyện viên bí mật, khơng cho biết đội hình (danh sách 11 cầu thủ) sân Trong họp báo, ơng tiết lộ đội hình đá theo sơ đồ (nghĩa hậu vệ, tiền vệ, tiền đạo thủ mơn) Đối thủ có danh sách 23 cầu thủ (tên vị trí cầu thủ) muốn dự đốn đội hình, họ xét hết khả xảy Hỏi đối thủ dự đốn trước vị trí thủ mơn họ phải xét đội hình có thể? HỐN VỊ HĐ1: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành hàng từ trái sang phải để tham gia vấn a) Hãy liệt kê ba cách xếp bốn bạn theo thứ tự b) Có cách xếp thứ tự bốn bạn để tham gia vấn? Trả lời: a) ; ; b) Đánh số thứ tự 1, 2, 3, hàng từ trái sang phải, thực công đoạn sau: Chọn bạn (trong bốn bạn) xếp vào vị trí số 1: có (cách) Chọn bạn (trong ba bạn lại) xếp vào vị trí số 2: có (cách) Chọn bạn (trong hai bạn lại) xếp vào vị trí số 3: có (cách) Chọn bạn (bạn cịn lại) xếp vào vị trí số 4: có (cách) Vậy theo quy tắc nhân, có tất 3 2 1 24 cách xếp bốn bạn để tham gia vấn ;… Nhận xét Mỗi cách xếp thứ tự bốn bạn tham gia vấn HĐ1 gọi lại hoán vị tập hợp gồm bốn bạn Số hoán vị bốn bạn HĐ1 3 2 1 Tổng qt ta có: Một hốn vị tập hợp có n phần tử cách xếp có thứ tự n phần tử (với n số tự nhiên, n 1 ) Số hốn vị tập hợp có n phần tử, kí hiệu Pn , tính cơng thức Pn n n 1 n 2 1 Chú ý Kí hiệu n n 1 n 2 1 n ! (đọc n giai thừa), ta có: Pn n ! Chẳng hạn P3 3! 3 2 1 6 Quy ước 0! 1 Ví dụ Từ chữ số 6, 7, lập số có bốn chữ số khác nhau? Giải Mỗi cách xếp bốn chữ số cho để lập thành số có bốn chữ số khác hoán vị bốn chữ số Vậy số số có bốn chữ số khác lập P4 4! 24 Luyện tập Trong thi điền kinh gồm vận động viên chạy đường chạy Hỏi có cách xếp vận động viên vào đường chạy đó? Giải Mỗi cách xếp vận động viên vào đường chạy (mỗi đường chạy vận động viên) hoán vị vận động viên Vậy số cách xếp vận động viên vào đường chạy P6 6! 720 CHỈNH HỢP HĐ2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung tham gia thi hùng biện trường Hỏi có cách chọn: a) Hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn? b) Hai bạn phụ trách nhóm, có bạn làm nhóm trưởng, bạn làm nhóm phó? Trả lời: a) Liệt kê cách chọn hai bạn từ bốn bạn: Tuấn, Hương; Tuấn, Việt; Tuấn, Dung; Hương, Việt; Hương, Dung; Việt, Dung Vậy có cách chọn hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn b) Cách 1: Với cách chọn hai bạn câu HĐ2a, xếp bạn chức nhóm trưởng, bạn chức nhóm phó (một bạn chức vụ) Mỗi cách xếp hoán vị hai bạn Vậy số từ cách chọn nhóm hai bạn câu HĐ2a, có số cách chọn hai bạn phụ trách nhóm, có bạn làm nhóm trưởng, bạn làm nhóm phó 2! 12 Cách 2: Để chọn hai bạn phụ trách nhóm, có bạn làm nhóm trưởng, bạn làm nhóm phó thực hai cơng đoạn sau: Chọn bạn (trong bốn bạn) làm nhóm trưởng: có (cách) Chọn bạn (trong ba bạn cịn lại) làm nhóm phó: có (cách) Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn hai bạn phụ trách nhóm, có bạn làm nhóm trưởng, bạn làm nhóm phó 3 12 Nhận xét Trong HĐ2b, cách xếp hai bạn từ bốn bạn làm nhóm trưởng, nhóm phó gọi chỉnh hợp chập Để tính số chỉnh hợp dùng quy tắc nhân Tổng quát ta có: Một chỉnh hợp chập k n cách xếp có thứ tự k phần tử từ tập hợp n phần tử (với k , n số tự nhiên, k n ) k Số chỉnh hợp chập k n , kí hiệu An , tính công thức Ank n n 1 n k 1 hay Ank Ví dụ n! k n n k! Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn học sinh trồng bốn khác để tham gia lễ phát động Tết trồng trường Hỏi giáo viên có cách chọn? Giải Mỗi cách chọn 30 học sinh để trồng bốn khác chỉnh hợp chập 30 Vậy số cách chọn A30 657 720 Chú ý Hoán vị xếp tất phần tử tập hợp, chỉnh hợp chọn số phần tử xếp chúng n Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì Pn An Luyện tập Trong giải đua ngựa gồm 12 ngựa, người ta quan tâm đến ngựa: nhanh nhất, nhanh nhì nhanh thứ ba Hỏi có kết xảy ra? Giải Giả sử 12 ngựa tham gia giải đạt thành tích nhanh nhanh nhì nhanh thứ ba Khi đó, ngựa 12 ngựa tham gia giải có nhanh nhất, nhanh nhì nhanh thứ ba Nghĩa là, với cách chọn ngựa 12 tham gia có kết xảy ra, kết xảy chỉnh hợp chập 12 Vậy số kết xảy A12 1320 TỔ HỢP HĐ3: Trở lại HĐ2: a) Hãy cho biết khác biệt chọn hai bạn câu HĐ2a HĐ2b b) Từ kết tính câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), cách tính kết câu HĐ2a Trả lời: a) Sự khác biệt chỗ: - Trong câu HĐ2a: hai bạn chọn không cần xếp (nếu có xếp thứ tự khơng ảnh hưởng kết quả, tức kết quả); - Trong câu HĐ2b: cách xếp thứ tự (hoán vị) hai bạn chọn kết khác b) Từ chỗ khác biệt hai câu HĐ2a, HĐ2b thấy: - Số cách chọn hai bạn câu HĐ2b gấp 2! lần số cách chọn hai bạn câu HĐ2a Nhận xét Mỗi cách chọn bạn từ bạn HĐ2a gọi tổ hợp chập Vì không cần xếp thứ tự hai bạn chọn nên số cách chọn giảm 2! lần so với việc chọn hai bạn có xếp thứ tự (ở câu HĐ2b) Tổng quát ta có: Một tổ hợp chập k n cách chọn k phần tử từ tập hợp n phần tử (với k , n số tự nhiên, k n ) k Số tổ hợp chập k n , kí hiệu Cn , tính công thức n! Cnk k n n k !k ! Chú ý Ank C k! k n Chỉnh hợp tổ hợp có điểm giống chọn số phần tử tập hợp, khác chỗ, chỉnh hợp chọn có xếp thứ tự, cịn tổ hợp chọn khơng xếp thứ tự Ví dụ Có bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, ván có người chơi Hỏi có cách chọn bạn chơi cờ cá ngựa? Giải Mỗi cách chọn bạn bạn học sinh tổ hợp chập Vậy số cách chọn bạn chơi cờ cá ngựa C74 7! 35 4!3! Luyện tập Trong ngân hàng đề kiểm tra cuối học kì II mơn Vật lí có 20 câu lí thuyết 40 câu tập Người ta chọn câu lí thuyết câu tập ngân hàng đề để tạo thành đề thi Hỏi có cách lập đề thi gồm câu hỏi theo cách chọn trên? Giải Để lập đề thi gồm câu hỏi theo cách chọn ta tiến hành hai công đoạn sau: Chọn câu hỏi lí thuyết số 20 câu lí thuyết: có C20 cách; Chọn câu tập số 40 câu tập: có C40 cách Vậy, theo quy tắc nhân, số cách lập đề thi gồm câu hỏi theo cách chọn C20 C40 1877 200 ỨNG DỤNG HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP VÀO CÁC BÀI TỐN ĐẾM Ví dụ Một lần anh Hưng đến Hà Nội dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, Đường Lâm Bát Tràng, ngày tham quan địa điểm lại Hà Nội a) Hỏi anh Hưng xếp lịch trình tham quan tất địa điểm (ở lịch trình tính thứ tự tham quan)? b) Anh Hưng có việc đột xuất phải sớm, nên anh có ngày để tham quan địa điểm Hỏi anh Hưng có cách xếp lịch trình tham quan? Giải a) Anh Hưng tham quan địa điểm, cách xếp lịch trình cách chọn có thứ tự địa điểm Vậy số cách xếp lịch trình số hốn vị địa điểm, P5 5! 5 4 3 2 1 120 (cách) b) Nếu anh Hưng có ngày để tham quan nơi, cách xếp lịch trình anh cách chọn có thứ tự địa điểm từ địa điểm, tức chỉnh hợp chập Vậy số cách xếp lịch trình tham quan trường hợp A53 5! 5! 60 3 ! 2! (cách) Ví dụ Giải tốn tình mở đầu đội hình đội tuyển bóng đá Quốc gia Giải Vì đội hình gồm có thủ môn, hậu vệ, tiền vệ tiền đạo biết trước vị trí thủ mơn, nên để chọn đội hình ta cần thực cơng đoạn: Chọn hậu vệ chọn số hậu vệ: có C7 35 (cách) Chọn tiền vệ chọn số tiền vệ: có C8 70 (cách) 3 Chọn tiền đạo chọn số tiền đạo: có C5 10 (cách) Vậy, theo quy tắc nhân, số đội hình có (khi biết vị trí thủ môn) 35 70 10 24 500 Vận dụng Một câu lạc có 20 học sinh a) Có cách chọn thành viên vào Ban quản lí? b) Có cách chọn Trưởng ban, Phó ban, thành viên khác vào Ban quản lí? Giải a) Mỗi cách chọn thành viên từ 20 học sinh tổ hợp chập 20 Vậy, số cách chọn thành viên vào Ban quản lí C206 20! 20! 38 760 20 !6! 14!6! b) Để chọn Trưởng ban, Phó ban, thành viên khác vào Ban quản lí ta thực cơng đoạn sau: Chọn Trưởng ban ( người) từ 20 học sinh: có 20 (cách) Chọn Phó ban số 19 học sinh: có 19 (cách) Chọn thành viên số 18 học sinh cịn lại: có C18 3060 (cách) Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn Trưởng ban, Phó ban, thành viên khác vào Ban quản lí 20 19 3060 1 162 800 Cách khác: Trong người chọn câu a), chọn người để làm Trưởng ban, Phó ban (xếp thứ tự), người lại thành viên Ban quản lí: có A6 30 (cách) Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn Trưởng ban, Phó ban, thành viên khác vào Ban quản lí 38760.30 1162800 GV Word ❶ Giáo viên Soạn: Nguyễn Thị Mến FB: Nguyễn Mến ❷ Giáo viên phản biện : Nguyễn Trọng Thiện FB: Thien Pro SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY Ta dùng máy tính cầm tay để tính số hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp Hốn vị Để tính n ! ta ấn phím theo trình tự sau: Ấn số n , ấn phím q/, sau ấn phím = Khi đó, kết hiển thị dịng kết Ví dụ Tính 9! Ta ấn liên tiếp phím sau: 9q/= Dịng kết 362 880 Chỉnh hợp k Để tính An ta ấn phím theo trình tự sau: Ấn số n , ấn phím qO, ấn số k , sau ấn phím = Khi đó, kết hiển thị dịng kết Ví dụ Tính A15 Ta ấn phím theo trình tự sau: 15qO2= Dịng kết 210 Tổ hợp k Để tính Cn ta ấn phím theo trình tự sau: Ấn số n , ấn phím qP, ấn số k sau ấn phím = Khi đó, kết hiển thị dịng kết Ví dụ Tính C20 Ta ấn phím theo trình tự sau: 20qP5= Dịng kết 15 504 BÀI TẬP 8.6 Một họa sĩ cần trưng bày 10 tranh nghệ thuật khác thành hàng ngang Hỏi có cách để họa sĩ xếp tranh? Giải: Mỗi cách xếp 10 tranh khác thành hàng ngang hoán vị 10 phần tử Vậy số cách xếp tranh là: 10! 3628800 (cách) 8.7 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau? Giải: Gọi số cần tìm có dạng abc a 0 Chọn chữ số a từ chữ số 1, 2, 3, có (cách) Ứng với cách chọn a có số cách chọn bc từ chữ số lại A4 (cách) Áp dụng quy tắc nhân, số số tự nhiên có ba chữ số khác là: A4 48 (số) 8.8 Có cách chọn tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ 100 ? Có cách chọn tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ 100 ? Giải: a) Gọi tập hợp cần tìm có dạng a; b , a, b 100, a, b Mỗi tập hợp tổ hợp chập 99 Vậy số cách chọn tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ 100 là: C99 4851 (cách) b) Gọi tập hợp cần tìm có dạng a; b; c , a, b, c 100, a, b, c Mỗi tập hợp tổ hợp chập 99 Vậy số cách chọn tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ 100 là: C99 156849 (cách) 8.9 Bạn Hà có viên bi xanh viên bi đỏ Có cách để Hà chọn viên bi khác màu? Giải: Chọn bi xanh từ viên bi xanh có (cách) Ứng với cách chọn bi xanh có số cách chọn bi đỏ từ viên bi đỏ (cách) Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn viên bi khác màu là: 5.7 35 (cách) 8.10 Một câu lạc cờ vua có 10 bạn nam bạn nữ Huấn luyện viên muốn chọn bạn thi đấu cờ vua a) Có cách chọn bạn nam? b) Có cách chọn bạn khơng phân biệt nam, nữ? c) Có cách chọn bạn, có bạn nam bạn nữ? Giải: a) Mỗi cách chọn bạn nam từ 10 bạn nam tổ hợp chập 10 Số cách chọn là: C10 210 (cách) b) Mỗi cách chọn bạn không phân biệt nam, nữ tổ hợp chập 17 Số cách chọn là: C17 2380 (cách) c) Số cách chọn bạn nam từ 10 bạn nam C10 45 (cách) Ứng với cách chọn bạn nam, số cách chọn bạn nữ từ nữ C7 21 (cách) Vậy số cách chọn bạn nam bạn nữ là: 21.45 945 (cách) 8.11 Có số tự nhiên chia hết cho mà số có bốn chữ số khác nhau? a 0, c, d 0;5 Giải: Gọi số cần tìm có dạng abcd TH1: d 0 Chọn chữ số a có (cách) Ứng với cách chọn a có số cách chọn bc từ chữ số lại A8 (cách) Số số lập là: A8 504 (số) TH1: d 5 Chọn chữ số a có (cách) Ứng với cách chọn a có số cách chọn bc từ chữ số lại A8 (cách) Số số lập là: A8 448 (số) Vậy số số tự nhiên chia hết cho có bốn chữ số khác là: 448 504 952 (số) 10 ... gồm vận động vi? ?n chạy đường chạy Hỏi có cách xếp vận động vi? ?n vào đường chạy đó? Giải Mỗi cách xếp vận động vi? ?n vào đường chạy (mỗi đường chạy vận động vi? ?n) hoán vị vận động vi? ?n Vậy số cách... (cách) 8.9 Bạn Hà có vi? ?n bi xanh vi? ?n bi đỏ Có cách để Hà chọn vi? ?n bi khác màu? Giải: Chọn bi xanh từ vi? ?n bi xanh có (cách) Ứng với cách chọn bi xanh có số cách chọn bi đỏ từ vi? ?n bi đỏ (cách)... thành vi? ?n vào Ban quản lí? b) Có cách chọn Trưởng ban, Phó ban, thành vi? ?n khác vào Ban quản lí? Giải a) Mỗi cách chọn thành vi? ?n từ 20 học sinh tổ hợp chập 20 Vậy, số cách chọn thành vi? ?n vào