B6 hypebol

Em có biết ?  Dựa vào tính chất quang học elip, người ta thiết kế phòng thầm (whispering gallery), với mái vịm elip tường elip để hai người đứng hai tiêu điểm, dù khơng gần nhau, thầm với Chẳng hạn, phịng thầm hình elip Bảo tàng khoa học công nghiệp Chicago, Hoa Kỳ, hai người đứng hai tiêu điểm elip ( trước kính elip) cách khoảng 13m nói chuyện thầm với nhau, gặp kính tường, âm phản xạ hội tụ vị trí nơi người nghe đứng  Mặc dù hành tinh hệ Mặt Trời chuyển động theo quỹ đạo elip (H.3.10a) nhận tâm Mặt Trời tiêu điểm, với tâm sai nhỏ, nên quỹ đạo gần với đường tròn Tâm sai quỹ đạo tám hành tinh quen thuộc hệ Mặt Trời sau: Kim tinh: e 0, 007; Mộc tinh: e 0, 049; Thủy tinh: e 0, 205; Thổ tinh: e 0, 055; Hỏa tinh: e 0, 094; Trái Đất: e 0, 017; Hải Vương tinh: e 0, 011; Thiên Vương tinh: e 0,046 (Theo : nssdc.gsfc.nasa.gov)  Ngoài định luật quỹ đạo elip hành tinh hệ Mặt Trời, Kepler cịn có định luật tiếng quan trọng sau chuyển động hành tinh:  Trong trình chuyển động quanh Mặt Trời, bán kính qua tiêu hành tinh ứng với tiêu điểm tâm Mặt Trời quét nên hình có diện tích khoảng thời gian (H.3.10b)  Bình phương chu kì quỹ đạo ( thời gian hết vòng quỹ đạo) hành tinh tỉ lệ với lập phương nửa độ dài trục lớn elip quỹ đạo  Sau Kepler khoảng tám thập kỉ, Newton rằng, định luật chuyển động Định luật vạn vật hấp dẫn ông kéo theo ba định luật nói Kepler HYPEBOL ❶ Giáo viên Soạn: Nguyễn Thị Phương Lan FB: Phương Lan ❷ Giáo viên phản biện : Phí Văn Quang……………….… …… FB: QuangPhi…………………… Thuật ngữ  Đỉnh, độ dài trục  Đường chuẩn, tâm sai  Bán kính qua tiêu  Hình chữ nhật sở Kiến thức, kĩ  Xác định yếu tố đặc trưng đường hypebol (hyperbola) biết phương trình tắc  Giải số vấn đề thực tiễn gắn với đường hypebol Sao chổi Borisov (2l/Borisov) chuyển động theo quỹ đạo hypebol với tâm sai khoảng 3,3567 (theo: minor.planetcenter.net), vào hệ Mặt Trời lần, không quay lại (H 3.11) Chỉ với thơng tin tâm sai, máy tính vẽ hình ảnh thu nhỏ hypebol quỹ đạo Vậy tâm sai hypebol gì? Ta tìm hiểu học Hình 11 Sao chổi Borisov phát vào ngày 30/8/2019 nhà thiên văn học nghiệp dư Gen-nady Borisov HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL HĐ1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình tắc M  x0 ; y0  x ;  y0  a) Hãy giải thích điểm thuộc hypebol điểm có tọa độ  ,  x ; y  x ;  y  0  ,  0  thuộc hypebol (H.3.12) b) Tìm tọa độ giao điểm hypebol với trục hoành Hypebol có cắt trục tung hay khơng? Vì sao? M x ;y x c) Với điểm  0  thuộc hypebol, so sánh với a Giải: x02 y02  1 M x ;y b a) Vì điểm  0  thuộc hypebol nên a x ;  y0    x0 ; y0    x0 ;  y0  Vì thay tọa độ điểm  , , vào phương trình tắc hypebol ta 2 xo y  02 1 b có a nên điểm thuộc hypebol b) + Gọi  x0 ;  tọa độ giao điểm hypebol với trục hoành 2 x 1  x02 a  x0 a Ta có a Vậy tọa độ giao điểm hypebol với trục hoành ( a;0),( a;0) 0; y0  + Gọi  tọa độ giao điểm hypebol với trục tung y  02 1  y02  b Ta có b (phương trình vơ nghiệm) Vậy hypebol khơng cắt trục tung M x ;y c) Vì điểm  0  thuộc hypebol nên xo y0 x02 y02 x02       1  x02 a  x0 a 2 2 a b a b a x2 y  1 Cho hypebol có phương trình tắc a b Khi  Hypebol có hai trục đối xứng Ox Oy , có tâm đối xứng gốc toạ độ O  A  a;0  A2  a;0  Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) cắt hypebol hai điểm  ,, gọi trục thực A1   a;0  Hai điểm  Trục đối xứng Oy không cắt hypebol gọi trục ảo  2a, 2b tương ứng gọi độ dài trục thực, trục ảo  Trong hai nhánh hypebol, nhánh chứa điểm có hồnh độ x a (nhánh  ,, A2  a;   gọi hai đỉnh chứa đỉnh A2  a;  ), nhánh lại chứa điểm có hồnh độ x  a (nhánh chứa đỉnh A1   a;0  ) Hình chữ nhật với bốn đỉnh có tọa độ   a; b  ,   a;  b  ,  a;  b  ,  a; b  gọi hình chữ nhật sở  Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình chữ nhật sở gọi hai đường tiệm cận, có phương trình A a;  Chú ý Trong hypebol nói trên, nhánh chứa đỉnh  nhánh gồm điểm M thỏa mãn MF1  MF2 2a , nhánh chứa đỉnh A1   a;0  nhánh gồm điểm M thỏa mãn MF2  MF1 2a (với 2 F1   c;0  F2  c;0  , tiêu điểm, c  a  b ) Ví dụ x2 y  1 Cho hypebol 16 a) Tìm độ dài trục tọa độ đỉnh b) Tìm đường tiệm cận Giải 2 Từ phương trình hypebol, ta có a 9, b 16, nghĩa a 3, b 4 A  3;0  , A2  3;0  a) Hypebol có độ dài trục thực 2a 6 , độ dài trục ảo 2b 8, hai đỉnh  4 y  x y  x b) Hypebol có hai đường tiệm cận Chú ý Hai đường tiệm cận không cắt hypebol Hơn điểm thay đổi hypebol xa gốc tọa độ, khoảng cách từ tới hai đường tiệm cận gần (điều giải thích cho việc dùng từ “tiệm cận”) Luyện tập x2 y2  1 Cho hypebol 64 36 a) Tìm tiêu cự độ dài trục b) Tìm đỉnh đường tiệm cận Giải 2 2 Từ phương trình hypebol, ta có a 64, b 36, nghĩa a 8, b 6 Suy c  a  b 10 a) Hypebol có tiêu cự 2c 20, độ dài trục thực 2a 16 , độ dài trục ảo 2b 12 3 y  x y  x A1   8;  , A2  8;0  b) Hypebol có hai đỉnh hai đường tiệm cận BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN HĐ2: Cho điểm thuộc hypebol có hai tiêu điểm , độ dài trục thực 2 a) Tính MF1  MF2 M x ;y A a;  b) Giả sử  0  thuộc nhánh chứa đỉnh  , tức là, MF1  MF2 2a Tính MF1  MF2 , MF1 , MF2 M x ;y A  a;0  c) Giả sử  0  thuộc nhánh chứa đỉnh  , tức là, MF2  MF1 2a Tính MF1  MF2 , MF1 , MF2 Giải a) MF12  x0  c   y02 , MF2  x0  c   y02  MF12  MF2 4cx0 MF12  MF22 4cx0   MF1  MF2   MF1  MF2  4cx0 b) Khi x0  : 4cx 2cx  MF1  MF2   2a a c c MF1 a  x0 , MF2  x0  a a a Suy 2 MF1  MF2 4cx0   MF1  MF2   MF1  MF2  4cx0 c) Khi x0  : 4cx 2cx0  MF1  MF2    2a a c c MF1  a  x0 , MF2 a  x0 a a Suy x2 y2  1 F  c;0  F2  c;0  b Cho hypebol có phương trình tắc a với tiêu điểm  ,, (với c  a  b ) Với điểm M  x; y  thuộc hypebol, ta có MF1  a  c c x , MF2  a  x a a Các đoạn thẳng MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu điểm M Hiệu độ dài bán kính qua tiêu điểm thuộc hypebol có mối quan hệ với độ dài trục thực? Chú ý: Mặc dù cơng thức độ dài bán kính qua tiêu nói có chứa dấu giá trị tuyệt đối, từ đó, em dễ dàng suy luận ngược trở lại cơng thức bán kính qua tiêu ứng với nhánh hypebol mà em đạt HĐ2:   A a;  thuộc nhánh chứa đỉnh  c c c c c MF1  a  x a  x MF2  a  x  a  x x a  a  x  a a a a (để ý a nên c  a) M x; y  A  a;0  Nếu  thuộc nhánh chứa đỉnh  c c   c MF1  a  x   a  x  x  a  a  x  a a   a (để ý c  a) nên Nếu M  x; y  c c x a  x a a x2 y  1 Ví dụ Cho hypebol 21 Tính độ dài hai bán kính qua tiêu điểm M thuộc hypebol  10 có hồnh độ MF2  a  Giải 2 2 Ta có a 4, b 21 Suy a 2, b  21, c  a  b 5 Do đó, hypebol có hai tiêu điểm F1 ( 5;0), F2 (5;0) Điểm M thuộc hypebol có hồnh độ x0  10 nên c c MF1  a  x0     10  23, MF2  a  x0     10  27 a a Cho hypebol có độ dài trục thực 6, độ dài trục ảo Tính độ dài hai bán kính qua tiêu điểm M thuộc hypebol có hồnh độ Luyện tập Giải 2 Ta có 2a 6, 2b 6 Suy a 3, b 3 3, c  a  b 6 Điểm M thuộc hypebol có hoành độ x0 9 nên MF1  a  c c x0   21, MF2  a  x0   15 a a x2 y  1 Ví dụ b Cho hypebol có phương trình tắc a Tìm điểm M hypebol để khoảng F2  c;  cách từ M đến tiêu điểm nhỏ (H.3.13) Giải Với điểm M  x0 ; y0  thuộc hypebol, ta có bán kính qua c MF2  a  x F a tiêu M ứng với tiêu điểm - A a;0  thuộc nhánh chứa đỉnh  c a  x0  a x0 a nên (để ý c  a ) Do đó, c c c MF2  a  x0  x  a  a  a c  a a a a Nếu M  x0 ; y0  Dấu đẳng thức xảy x0 a, tức là, M  x0 ; y0  trùng đỉnh A2  a;  M x ;y A  a;0  Nếu  0  thuộc nhánh chứa đỉnh  x0  a nên c c a  x0 a  ( a ) a  c a a Suy c MF2  a  x0 a  c a F c;  A a;  Vậy M hypebol để khoảng cách từ M đến tiêu điểm  nhỏ M trùng đỉnh  đó, khoảng cách c  a - Chú ý: Tương tự Ví dụ 3, khoảng cách từ M thuộc hypebol đến tiêu điểm A  a;0  trùng đỉnh  , đó, khoảng cách c  a Luyện tập x2 y  1 với hai tiêu điểm Cho hypebol F1   2;  , F2  2;  Điểm M thuộc hypebol mà có độ dài bán MF nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm tới tiêu kính tiêu điểm F1   c;0  nhỏ M Bán kính qua tiêu có độ dài lớn nửa tổng độ dài trục thực tiêu cự, có độ dài nhỏ nửa hiệu độ dài trục thực tiêu Giải cự 2 2 Ta có a 1, b 3 Suy a 1, b  3, c  a  b 2 M hypebol có độ dài bán kính tiêu MF2 nhỏ A 1; M trùng đỉnh   Khi MF2 c  a 1, MF1  A2 F1 a  c 3 HĐ3: Cho hypebol có phương trình tắc F  2;0  , F2  2;0  với tiêu điểm  Xét đường thẳng 2 a a 1 : x   : x  c c (H 3.14) Với điểm M ( x; y ) thuộc MF1 MF2 d M , 1  d M ,   hypebol, tính tỉ số   theo a c Giải Với điểm M  x; y  MF1 d  M , 1  thuộc hypebol ta có c c x a x c a a    a c a a a x x c a c a MF2 d  M ,   , c c x a x c a a    a c a a a x x c a c a x2 y2  1 b Cho hypebol có phương trình tắc a với tiêu điểm F1   c;0  F2  c;0  , M  x; y  Khi điểm thay đổi hypebol, MF1 MF2  e d  M , 1  d  M ,   khơng đổi,  e ta ln có c a gọi tâm sai hypebol a a  : x  e e gọi đường chuẩn tương  F   c;0  F  c;0  ứng với hypebol 1 : x  Hình 3.14 Chú ý  Tâm sai e hypebol số lớn  Độ dài bán kính qua tiêu điểm M  x; y  thuộc hypebol viết dạng MF1  a  ex MF2  a  ex , x2 y2  1 Ví dụ Tìm tâm sai đường chuẩn hypebol 64 17 Giải 2 2 Ta có a 64 , b 17 Suy a 8 , b  17 c  a  b 9 Do đó, hypebol có tâm sai c 64 64 e  1 : x   : x  a đường chuẩn (ứng với tiêu điểm F1   9;0  ) (ứng với tiêu F  9;0  điểm ) Ví dụ  H  có phương trình tắc, qua điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hypebol A  4;0  H có tâm sai e 3 Tìm phương trình tắc Giải Phương trình tắc hypebol có dạng x2 y2  1 a b2 Vì hypebol qua điểm A  4;0  nên ta có 16 02  1  a 16  a 4 a b2 Theo công thức tính tâm sai ta có c e  3  c 3a 3.4 12 a 2 2 Do b c  a 12  128 x2 y2  1 Vậy phương trình tắc hypebol 16 128  H  có phương trình tắc, có tâm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hypebol H sai e 2 đường chuẩn x 8 Lập phương trình tắc Hướng dẫn: x2 y  H  :  1 a b Phương trình tắc hypebol Ta có: Tâm sai e 2 a  8  a 8e 8.2 16 e Một đường chuẩn x 8 c e   c e.a 2.16 32 2 2 a Mặt khác ; b c  a 32  16 768 Luyện tập x2 y2   H  256 768 1 Vậy phương trình tắc  H  với tâm sai e 3,3567 Giải thích ta dùng hình vẽ hypebol hình ảnh thu nhỏ hypebol chứa quỹ đạo chổi Borisov mà ta gặp đầu học? Giải  H  có độ dài trục thực 2a mét, tiêu cự 2c mét, hypebol chứa quỹ đạo Giả sử hình c c 3,3567  a Vậy, chổi Borisov có độ dài trục thực 2a mét, tiêu cự 2c mét Ta có a a  c k  a c  H  vẽ thu nhỏ hypebol chứa chổi Borisov, với tỉ lệ 1: k đặt Nhận xét Qua Ví dụ ta thấy, tâm sai của hypebol (tương tự elip) định hình dạng hypebol (elip) Ví dụ Vận dụng Một chổi qua hệ mặt trời theo quỹ đạo nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời tiêu điểm, khoảng cách gần từ chổi đến tâm Mặt Trời 3.10 km tâm sai quỹ đạo hypebol 3, (H.3.15) Hãy lập phương trình tắc hypebol chứa quỹ đạo, với đơn vị đo mặt phẳng tọa độ tương ứng với 10 km thực tế Hình 3.15 Hướng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ x2 y  1 a b2 Phương trình tắc hypebol 15  c 3  a a c  a 3  c 3  a    13    c  c 3, 6a e  a 3,  a  2, c  54   13 Ta có: H: 2 207  54   15  b c  a       13  13   13  Mặt khác x2 y2  1 225 207  H  169 13 Vậy phương trình tắc BÀI TẬP 2 x2 y  1 3.7 Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình tắc Xác định tọa độ đỉnh, độ dài trục, tâm sai phương trình đường chuẩn hypebol Hướng dẫn: x2 y2  H  :  1 a 9 a 3    b 4 b 2   Ta có 2  c a  b 13  c  13  Tọa độ đỉnh: A1   3;0  , A2  3;0   Độ dài trục thực: 2a 6 ; Độ dài trục ảo: 2b 4 13 e  Tâm sai:  Phương trình đường chuẩn: 1 : x  13 13 ,  : x  13 13 x2 y  1 3.8 Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình tắc Tính bán kính qua tiêu M điểm thuộc hypebol có hồnh độ 12 Hướng dẫn: x2 y2  H  :  1 a 9  a 3   b 7 b    Ta có 2  c a  b 16  c 4 M  x0 ; y0    H  Điểm có hồnh độ 12  x0 12 c c MF1  a  x0   12 19 MF2  a  x0   12 13 a a Bán kính qua tiêu: ;  H  có phương trình tắc Lập phương trình tắc 3.9 Trong mặt phẳng tọa độ, hypebol  H  trường hợp sau:  H  có nửa trục thực 4, tiêu cự 10; a) y  x  H  có tiêu cự 13 , đường tiệm cận ; b)   H  có tâm sai e  , qua điểm c) Hướng dẫn: H: 10;  x2 y  1 a b2 Phương trình tắc hypebol a 16 a 4    c 5 2c 10 b c  a  2 b 5  9 a) Ta có  x2 y2  H  :  1 16 Vậy, b) Ta có c  13  b    a  a  b 13    b  a    a  a 13   a 3 b  a    b 2 x2 y2  1 Vậy, c c 5a a  b 5a b 4a b 4a  a      a 1   10 36   10 36   10  1   1   1  10;   H    b 4   1  1  a2 b2 a b a a a  c) Ta có 2 x y  H  :  1 Vậy, 3.10 Một hypebol mà độ dài trục thực độ dài trục ảo gọi hypebol vng Tìm tâm sai phương trình hai đường tiệm cận hypebol vuông Hướng dẫn: x2 y H :    1 a b Phương trình tắc hypebol Hypebol vng có độ dài trục thực độ dài trục ảo  2a 2b  a b  a b  c a  2 c  a  b  Ta có H:   10 c a e   a a  Tâm sai: b b y  x  x y  x  x a a  Đường tiệm cận: ; 3.11 Chứng minh tích khoảng cách từ điểm thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận số khơng đổi Hướng dẫn: x2 y  H  :  1 a b Phương trình tắc hypebol b b d1 : x  y 0, d : x  y 0 H a a Gọi đường tiệm cận M  x0 ; y0    H   d  M ,d1   x0 y0  1 a b2 b x0  y0 a b   1 a ; d  M , d2   b x0  y0 a 2 b      1 a Ta có b x0  y0 a b x0  y0 a b  b   x0  y0   x0  y0  a  a  d  M ,d1  d M ,d2    2 b b 2 b  12   1   1   a a a 2 x y  b2 2 b  02  02  x  y b  b2 a a   2 b b b   1   1   1  a a a b2 d  M ,d1  d M , d2   b x2 y  H  :  1   1 a a b Với cụ thể không phụ thuộc vào vị trí điểm M (đpcm) 3.12 Bốn trạm phát tín hiệu vơ tuyến có vị trí A, B, C , D theo thứ tự thẳng hàng cách với khoảng cách 200 km (H.3.16) Tại thời điểm, bốn trạm phát tính hiệu với vận tốc 292 000 km / s Một tàu thủy nhận tín hiệu từ trạm C trước 0, 0005 s so với tín hiệu từ trạm B nhận tín hiệu từ trạm D sớm 0, 001 s so với tín hiệu từ trạm A a) Tính hiệu khoảng cách từ tàu đến trạm B, C b) Tính hiệu khoảng cách từ tàu đến trạm A, D Hình 3.16 c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình 3.16 (1 đơn vị mặt phẳng tọa độ ứng với 100 km thực tế) Hãy lập phương trình tắc hai hypebol qua vị trí M tàu Từ đó, tính 11 tọa độ điểm M (các số làm trịn đến hàng đơn vị) d) Tính khoảng cách từ tàu đến trạm B, C (đáp số làm trịn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km ) Hướng dẫn: x  s x  0,0005  s  a) Gọi thời gian tín hiệu từ trạm C truyền tới tàu thủy M  thời gian tín hiệu từ trạm B truyền tới tàu thủy M Khoảng cách từ trạm C tới tàu thủy M : MC  x.292000 MB  x  0, 0005  292000 Khoảng cách từ trạm B tới tàu thủy M : MB  MC  x  0, 0005  292000  x.292000 0, 0005.292000 146 Ta có: y  s y  0,001  s  b) Gọi thời gian tín hiệu từ trạm D truyền tới tàu thủy M  thời gian tín hiệu từ trạm A truyền tới tàu thủy M Khoảng cách từ trạm D tới tàu thủy M : MD  y.292000 MA  y  0, 001 292000 Khoảng cách từ trạm A tới tàu thủy M : MA  MD  y  0, 001 292000  y.292000 0, 001.292000 292 Ta có:  x; y  c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình 3.16 Tàu thủy M có tọa độ x2 y  H1  :  1 a b  Gọi hypebol qua điểm M nhận B, C làm hai tiêu điểm Ta có: 2c 200  c 100 ; MB  MC 2a 146  a 73  a 5329 2 2 ; b c  a 100  73 4671 Vậy,  H1  : x2 y2  1  1 5329 4671 x2 y2  1 a b2  Gọi hypebol qua điểm M nhận A, D làm hai tiêu điểm Ta có: 2c 600  c 300 ; MA  MD 2a 292  a 146  a 21316 ;  H2  : b c  a 3002  1462 68684  H1  : x2 y2  1   21316 68684 Vậy,  M  H1    H   1   , PTHĐGĐ  H1   H  : Từ  x 165; y 139 Vậy, M  165;139   x2   x2  4671  1  68684   1  5329   21316  d) Xét  H1  : x y2  1 5329 4671 Khoảng cách từ tàu đến trạm B : MB  a  c 100 x  73  165 299 a 73 12 Khoảng cách từ tàu đến trạm C : MC  a  c 100 x  73  165 153 a 73 13 ... 3.10 Một hypebol mà độ dài trục thực độ dài trục ảo gọi hypebol vng Tìm tâm sai phương trình hai đường tiệm cận hypebol vuông Hướng dẫn: x2 y H :    1 a b Phương trình tắc hypebol Hypebol. .. phương trình tắc hypebol ta 2 xo y  02 1 b có a nên điểm thuộc hypebol b) + Gọi  x0 ;  tọa độ giao điểm hypebol với trục hoành 2 x 1  x02 a  x0 a Ta có a Vậy tọa độ giao điểm hypebol với... cho hypebol có phương trình tắc M  x0 ; y0  x ;  y0  a) Hãy giải thích điểm thuộc hypebol điểm có tọa độ  ,  x ; y  x ;  y  0  ,  0  thuộc hypebol (H.3.12) b) Tìm tọa độ giao điểm hypebol