TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1... TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1... TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
Trang 1I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
(x x 1)dx
2 1
1 1
e
2 3
1
2
x dx
1 1
x dx
4 2
3
(2sinx 3cosx x dx)
0
(e xx dx)
6 1 3
0
(x x x dx)
7.2
1 ( x1)(x x1)dx
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
9 1 2
0
(e xx 1)dx
10 2 2 3
1
(x x x x dx)
11.2
1 ( x1)(x x1)dx
12
3 3 1
2
2 2 -1
x.dx
14
2
e
1
dx x
5
2
dx
16
2 2 1
x 1 dx
ln
2 3 3 6
x dx x
sin
18
4 2 0
tgx dx x
cos
1 x x
0
20
0
e dx
.
2
2 1
dx
22
3
0
dx
ln
.
2
0
dx
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1 2 3 2
3
sin xcos xdx
2 2 2 3
3
sin xcos xdx
3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
3 4
0
tgxdx
Trang 24 4
6
cot gxdx
5 6
0
1 4sin xcosxdx
6 1 2
0
1
x x dx
7 1 2
0
1
x x dx
8 1 3 2
0
1
x x dx
9 1 2
3
x dx
x
10
1
0
1
x x dx
11
2 3 1
1 1
dx
x x
12
1
2 0
1
1x dx
13
1 2 1
1
2 2dx
14
1
2 0
1 1
dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 x ) dx
16
2
sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18 2
1
2 0
x
e xdx
19 2 3 2
3
sin xcos xdx
20 2 sin
4
x
e cosxdx
21 2
4
sin
cosx
22 2
1
2 0
x
e xdx
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25
2
0
sin
1 3
x dx cosx
26
4
0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28
6
0
1 4sin xcosxdx
0
1
x x dx
30 1 2
0
1
x x dx
31 1 3 2
0
1
x x dx
32 1 2
3
x dx
x
33 1 3 2
0 1
x x dx
34 2
3
1 1
dx
x x
x
Trang 336
1
sin(ln )x
dx x
37
1
1 3ln lnx x
dx x
38 2ln 1
1
e
dx x
39
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
41 2
x dx x
42 1
0 2 1
x dx
x
43 1
0
1
x x dx
44 1
0
1
x x
45 1
0
1
x x
46 3
1
1
x dx x
1
1 ln
e
x dx x
47
1
sin(ln )
e
x dx x
48
1
1 3ln ln
e
dx x
49 2ln 1
1
e dx x
50
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
51
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
1
2 3
0
5
53 2 4
0
sin 1 cos
54
4
2 0
4 x dx
55
4
2 0
4 x dx
1
2
0 1
dx x
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
x d u x v x v x u x dx
Tích phân ca ́ c hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
cos
Trang 4@ Dạng 2: f x( ) ln(ax dx)
Đặt ln( )
( )
( )
dx du
x
dv f x dx
v f x dx
@ Dạng 3: sin
ax ax
cosax
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0( 1)
x
x e
dx
x
đặt
2
2 ( 1)
x
u x e
dx dv
x
b/
3 8
4 3
2( 1)
x dx
x
đặt
5 3
4 3 ( 1)
x dx dv
x
c/
1 2
1
Tính I1
1 2
01
dx x
bằng phương pháp đổi biến số
Tính I2 =
1 2
2 2
0(1 )
x dx x
bằng phương pháp từng phần : đă ̣t
2 2 (1 )
x
x
Bài tập
1
3 3 1
ln
e
x dx x
1 ln
e
3
1
2 0
ln( 1)
4 2
1 ln
e
5
3 3 1
ln
e
x dx x
1 ln
e
7
1
2 0
ln( 1)
8 2
1 ln
e
9
2
0
( x c osx) s inx dx
1
1 ( ) ln
e
x
11
2
2 1
ln( x x dx )
3
2
4
tan
13
2
5 1
ln x
dx x
2
0
cos
Trang 515
1
0
x
xe dx
2
0
cos
x
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 5
3
2
2 3
1 2
dx x x
x
2 b
a
dx b x a
x )( ) (
1
3 1
0
3
1
1
dx x
x x
x
x x
1 0
2 3 1 1
5 1
0
3 2
) 1 3
x
6 1 0
2 2
) 3 ( ) 2 (
1
dx x
x
7 2
1
2008 2008
) 1
(
1
dx x
x
x
8
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
9 3
2
2 2 4
) 1
x
10 1 0 2
3 2
) 1
x
n n
11 2
1
2 4 2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
12 2 1
4 ) 1 (
1
dx x x
13 2
0
2
4
1
dx
x 14 1
0 4
x
x x
2
0
2
2 2
1
16 1
0
3 2
) 1
x
17 4
2
2 3
2
1
dx x x
x 18 3
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19 2
1
4 2 1
1
dx x
x
20 1
0 3 1
1
dx x
21 1
0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
22 1 0 2 4
1
2
dx x x
23 1
0
6 4 1
1
dx x
x
24
1
2 0
4 11
x
dx
25
1
2
dx
x x
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
Trang 61 x 4 xdx
2
0
2 cos sin
2 2 0
3 2 cos sin
xdx x
3 2 x x dx
0
5 4 cos sin
4 2
0
3 3
) cos (sin
dx x
0
4 4
) cos (sin
2 cos
dx x x
0
2 2
) cos cos
sin sin
2 (
dx x x
x x
7 2
3
sin
1
dx
0
4 4 10
10
) sin cos cos
(sin
dx x x x
x
9 2
02 cos
x
dx
10 2
02 sin 1
dx x
11 2
0
2 3 cos 1
sin
dx x
x
12 3 6
4 cos sin
dx
0
2 2
cos cos
sin 2 sin
x x
x x
dx
14 2
01 cos cos
dx x x
15 2
02 cos
cos
dx x
x
16 2
02 sin sin
dx x x
17 2
0
3 cos 1
cos
dx x
x
18 2
0 sin cos 1
1
dx x x
19 2
3
2 ) cos 1 (
cos
xdx
20
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
dx x x
x x
21 4
0
3
xdx
6
3 cot
23 3
4
4
xdx
01 1
dx tgx
25
4
4 cos(
cos
x x
dx
26 2
04sin 5cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x x
27
2
0
sin
02sin 3cos 13
x x
dx
Trang 729 4
0
4 3 cos 1
sin 4
dx x
x
30 2
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
31 2
01 cos
3 sin
dx x
x
32 2 4
sin 2 sin
dx
33 4
0
2 3 cos
sin
dx x
x
34 2
0
3 2 ) sin 1 ( 2 sin
dx x x
35
0
sin
4
3
3 3 sin
sin sin
dx xtgx
x x
37 2
01 sin cos
x x
dx
02sin 1
x dx
39 2
4
5 3 sin cos
xdx
0
2 cos 1
4 sin
x xdx
41 2
05sin 3
x
dx
2 6 6
4 cos sin
dx
43
3
6 sin(
sin
x x
dx
3
4 cos(
sin
x x dx
45 3
4
6 2 cos sin
xdx
6 ( 3
6
47 3
0
3 ) cos (sin
sin 4
x x
xdx
0
2
2 ) sin 2 (
2 sin
x
49 2
0
3 sin
dx
0
2 cos
xdx x
51 2
0
1 2 2 sin
dx e
x
x x
2
01 cos
sin 1
53 4
6
2 cot
4 sin 3 sin
dx x g tgx
x x
0 2
6 sin 5 sin
2 sin
x x
xdx
Trang 855 2
1
)
6
2 cos
) ln(sin
dx x x
57 2 x x dx
0
2 cos ) 1 2 (
0
2
cos
x
59 4
0
2
xdx
0
2 2
sin xdx
e x
61 2
0
3 sin
cos sin
2
xdx x
0
) 1 ln(
dx tgx
63 4
0
2 ) cos 2 (sin
x x
dx
64 2 0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
dx x x
x x
65
2
2
sin 2 sin 7
66
2
0
67
0
4 sin
dx x
V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
b
a
dx x f x
R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0 [
+) R(x, 2 2
x
a ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
) Đặt t = n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) =
ax ) 2 (
1
Với (x2x )’ = k(ax+b)
Khi đó đặt t = x2x , hoặc đặt t =
b
ax
1
Trang 9+) R(x, 2 2
x
a ) §Æt x = a tgt, t ]
2
; 2 [
+) R(x, 2 2
a
x ) §Æt x =
x
a
2 {
\ ]
; 0 [
+) R n 1 n 2 n i
ni)
§Æt x = tk
1 23
5
2 4
x x
3
2 x x2 1
dx
3
2
1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
4 2
1 x x3 1
dx
5
2
1
2
2008dx
1 x2 2008
dx
7 1
0
2 2
1 x dx
0
3 2 ) 1 ( x dx
9 3
1
2 2 2 1
1
dx x
x
x
10 2
2
0 1
1
dx x x
11 1
0 (1 x2)3
dx
2
0 (1 x2)3
dx
13 1
0
2
2
2
1 x
dx x
15 2
0 7 cos2 cos
x
xdx
0
2 cos cos
sin
dx x x
x
17 2
0
2 cos 2 cos
x
0 1 3cos
sin 2 sin
dx x
x x
19 7
03
2 3
1 x
dx x
3
0
2 3
x
21 1
0 2x 1
xdx
22 1
0
2 3 1
x x
dx x
23 7
2 2x 1 1
dx
24 x x dx
1
0
8 15
3 1
25 2
0
5
cos sin cos 1
xdx x
x 26 ln3
0 e x 1
Trang 1027
11x x2 1
dx
28
0
2
1
x x
e
dx e
29
1
4 5
2 8 4
12x x dx 30 e dx
x
x x
1
ln ln 3 1
31 3
0
2
3 5 1
dx x
x x
32 4 x x x dx
0
2 3
2
33
0
1
3 2
) 1 (e x dx
2 ln
2 1 ln
ln
dx x x x
35 3
0
2 2 cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36 ln2
0 ( x 1)3
x
e
dx e
37 3
0 2 cos2 cos
x
xdx
38 2
0 1 cos2 cos
x
xdx
x
x
7 0 3
3
2
a
dx a x
2
0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi
a a
a
dx x f x f dx x
f
0
)]
( ) ( [ )
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên
[-2
3
; 2
3
] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 22cos2x,
Tính:
2 3
2 3 ) (
dx x f
+) Tính
1
1
2 4
1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a],
khi đó:
a
a
dx x
f( ) = 0
Ví dụ: Tính:
1
1
2
) 1
2
2
2 ) 1 ln(
cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a,
a], khi đó:
a
a
dx x
f( ) = 2 a f x dx
0
) (
Trang 11Ví dụ: Tính
1
1
2 4
1
x x
dx x
2
2 2
cos
4 sin
dx x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a,
a], khi đó:
a a
a
x dx f x dx b
x f
0
) ( 1
) ( (1b>0, a)
Ví dụ: Tính:
3
3
2
2 1
1
dx
x
x
2
2 1
5 cos 3 sin sin
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
], thì
0
2
0
) (cos )
(sin
dx x f x
f
Ví dụ: Tính 2
0
2009 2009
2009 cos sin
sin
dx x x
x
2
0 sin cos
sin
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
0 0
) (sin 2
)
xf
Ví dụ: Tính
01 sinx dx
0 2 cos
sin
dx x
x x
Bài toán 6:
b
a b
a
dx x f dx x b a
b b
dx x f dx x b f
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính
0
2 cos 1
sin
dx x
x
0
) 1 ln(
4 sin
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu
kì T thì:
aT T
a
dx x f dx x f
0 ) ( )
( nTf x dxnT f x dx
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính 2008
0
2 cos
Các bài tập áp dụng:
1
1
1
2 2 1
1
dx
x
4
4
4
3 5 7 cos
1
dx x
x x x x
3
1
1
2
) 1 )(
1
dx
2
2 sin 4 cos
dx x x x
Trang 125
2
2 1
) 1
1 ln(
2
x
x
x 6. sin(sinx nx) dx
2
0
7
2
2
5 cos 1 sin
dx x
x
) 1 ( 1
cot
1
2 1
e tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
3
3
2
1dx
2
0
2
3
x
3 2
0
2
dx x
0
dx m x
x 4
2
2 sin
dx x
5
dx x
sin
6
2 2
2 cot
dx x g x
tg
7 4
3
4
2 sin
dx
0 cos
1 x dx
9
5
2
) 2 2
(x x dx 10 3
0 4
2x dx
11
3
2
3 cos cos
cos
dx x x
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Trang 13TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY