TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN docx

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1. 1 3 0 ( 1)x x dx  2. 2 2 1 11 () e x x dx xx     2. 3 1 2x dx  3. 2 1 1x dx  4. 2 3 (2sin 3 )x cosx x dx     5. 1 0 () x e x dx  6. 1 3 0 ()x x x dx  7. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx    8. 2 3 1 (3sin 2 )x cosx dx x     9. 1 2 0 ( 1) x e x dx  10. 2 2 3 1 ()x x x x dx  11. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx    12. 3 3 1 x 1 dx( ).    13. 2 2 2 -1 x.dx x   14. 2 e 1 7x 2 x 5 dx x   15. x2 5 2 dx x2    16. 2 2 1 x 1 dx x x x ( ). ln    17. 2 3 3 6 x dx x cos . sin    18. 4 2 0 tgx dx x . cos   19. 1 xx xx 0 ee ee dx      20. 1 x xx 0 e dx ee .    21. 2 2 1 dx 4x 8x  22. 3 xx 0 dx ee ln .    22. 2 0 dx 1xsin    II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1. 2 32 3 sin xcos xdx    2. 2 23 3 sin xcos xdx    3. 2 0 sin 13 x dx cosx    3. 4 0 tgxdx   4. 4 6 cot gxdx    5. 6 0 1 4sin x cosxdx    6. 1 2 0 1x x dx  7. 1 2 0 1x x dx  8. 1 32 0 1x x dx  9. 1 2 3 0 1 x dx x   10. 1 32 0 1x x dx  11. 2 3 1 1 1 dx xx  12. 1 2 0 1 1 dx x  13. 1 2 1 1 22 dx xx    14. 1 2 0 1 1 dx x   15. 1 22 0 1 (1 3 ) dx x  16. 2 sin 4 x e cosxdx    17. 2 4 sin cosx e xdx    18. 2 1 2 0 x e xdx   19. 2 32 3 sin xcos xdx    20. 2 sin 4 x e cosxdx    21. 2 4 sin cosx e xdx    22. 2 1 2 0 x e xdx   23. 2 32 3 sin xcos xdx    24. 2 23 3 sin xcos xdx    25. 2 0 sin 13 x dx cosx    26. 4 0 tgxdx   27. 4 6 cot gxdx    28. 6 0 1 4sin x cosxdx    29. 1 2 0 1x x dx  30. 1 2 0 1x x dx  31. 1 32 0 1x x dx  32. 1 2 3 0 1 x dx x   33. 1 32 0 1x x dx  34. 2 3 1 1 1 dx xx  35. 1 1 ln e x dx x   36. 1 sin(ln ) e x dx x  37. 1 1 3ln ln e xx dx x   38. 2ln 1 1 e x e dx x   39. 2 2 1 ln ln e e x dx xx   40. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x  41. 2 1 11 x dx x  42. 1 0 21 x dx x   43. 1 0 1x x dx  44. 1 0 1 1 dx xx  45. 1 0 1 1 dx xx  46. 3 1 1x dx x   46. 1 1 ln e x dx x   47. 1 sin(ln ) e x dx x  48. 1 1 3ln ln e xx dx x   49. 2ln 1 1 e x e dx x   50. 2 2 1 ln ln e e x dx xx   51. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x  52. 1 23 0 5  x x dx 53.   2 4 0 sin 1 cos  x xdx  54. 4 2 0 4 x dx  55. 4 2 0 4 x dx  56. 1 2 0 1 dx x  II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) bb b a aa x d u x v x v x u x dx  Tch phân ca ́ c ha ̀ m sô ́ dễ pha ́ t hiê ̣ n u va ̀ dv @ Dng 1 sin () ax ax f x cosax dx e         ( ) '( ) sin sin cos ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx ee                                @ Dng 2: ( )ln( )f x ax dx    Đt ln( ) () () dx du u ax x dv f x dx v f x dx              @ Dng 3: sin .     ax ax e dx cosax   Ví d 1: tính cc tích phân sau a/ 1 2 2 0 ( 1) x xe dx x   đă ̣ t 2 2 ( 1) x u x e dx dv x         b/ 3 8 43 2 ( 1) x dx x   đă ̣ t 5 3 43 ( 1) ux x dx dv x         c/ 1 1 1 1 2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) dx x x dx x dx dx I I x x x x               Tính I 1 1 2 0 1 dx x    bằng phương pha ́ p đô ̉ i biến số Tính I 2 = 1 2 22 0 (1 ) x dx x  bằng phương pha ́ p tư ̀ ng phần : đă ̣ t 22 (1 ) ux x dv dx x         Bài tập 1. 3 3 1 ln e x dx x  2. 1 ln e x xdx  3. 1 2 0 ln( 1)x x dx  4. 2 1 ln e x xdx  5. 3 3 1 ln e x dx x  6. 1 ln e x xdx  7. 1 2 0 ln( 1)x x dx  8. 2 1 ln e x xdx  9. 2 0 ( osx)sinxx c dx    10. 1 1 ( )ln e x xdx x   11. 2 2 1 ln( )x x dx  12. 3 2 4 tanx xdx    13. 2 5 1 ln x dx x  14. 2 0 cosx xdx   15. 1 0 x xe dx  16. 2 0 cos x e xdx   III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1.    5 3 2 23 12 dx xx x 2.   b a dx bxax ))(( 1 3.    1 0 3 1 1 dx x xx 4. dx x xx    1 0 2 3 1 1 5.   1 0 3 2 )13( dx x x 6.   1 0 22 )3()2( 1 dx xx 7.    2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x 8.     0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx 9.   3 2 22 4 )1( dx x x 10.    1 0 2 32 )1( dx x x n n 11.    2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x 12.   2 1 4 )1( 1 dx xx 13.   2 0 2 4 1 dx x 14.   1 0 4 1 dx x x 15. dx xx   2 0 2 22 1 16.   1 0 32 )1( dx x x 17.   4 2 23 2 1 dx xxx 18.    3 2 3 2 23 333 dx xx xx 19.    2 1 4 2 1 1 dx x x 20.   1 0 3 1 1 dx x 21.    1 0 6 456 1 2 dx x xxx 22.    1 0 2 4 1 2 dx x x 23.    1 0 6 4 1 1 dx x x 24. 1 2 0 4 11 56 x dx xx    25. 1 2 0 1 dx xx  26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: 1. xdxx 4 2 0 2 cossin   2.  2 0 32 cossin  xdxx 3. dxxx  2 0 54 cossin  4.   2 0 33 )cos(sin  dxx 5.   2 0 44 )cos(sin2cos  dxxxx 6.   2 0 22 )coscossinsin2(  dxxxxx 7.  2 3 sin 1   dx x 8.   2 0 441010 )sincoscos(sin  dxxxxx 9.   2 0 cos2  x dx 10.   2 0 sin2 1  dx x 11.   2 0 2 3 cos1 sin  dx x x 12.  3 6 4 cos.sin   xx dx 13.   4 0 22 coscossin2sin  xxxx dx 14.   2 0 cos1 cos  dx x x 15.   2 0 cos2 cos  dx x x 16.   2 0 sin2 sin  dx x x 17.   2 0 3 cos1 cos  dx x x 18.   2 0 1cossin 1  dx xx 19.   2 3 2 )cos1( cos   x xdx 20.     2 2 3cos2sin 1cossin   dx xx xx 21.  4 0 3  xdxtg 22. dxxg  4 6 3 cot   23.  3 4 4   xdxtg 24.   4 0 1 1  dx tgx 25.   4 0 ) 4 cos(cos   xx dx 26.    2 0 5cos5sin4 6cos7sin  dx xx xx 27.    2 0 sin1 dxx 28.   4 0 13cos3sin2  xx dx 29.   4 0 4 3 cos1 sin4  dx x x 30.    2 0 cossin 2sin2cos1  dx xx xx 31.   2 0 cos1 3sin  dx x x 32.   2 4 sin2sin   xx dx 33.  4 0 2 3 cos sin  dx x x 34.   2 0 32 )sin1(2sin  dxxx 35.   0 sincos dxxx 36.   3 4 3 3 3 sin sinsin   dx xtgx xx 37.   2 0 cossin1  xx dx 38.   2 0 1sin2  x dx 39.  2 4 53 sincos   xdxx 40.   4 0 2 cos1 4sin  x xdx 41.   2 0 3sin5  x dx 2.  6 6 4 cossin   xx dx 43.   3 6 ) 6 sin(sin    xx dx 4.   3 4 ) 4 cos(sin    xx dx 45.  3 4 6 2 cos sin   x xdx 46. dxxtgxtg ) 6 ( 3 6      47.   3 0 3 )cos(sin sin4  xx xdx 48.    0 2 2 )sin2( 2sin  x x 49.  2 0 3 sin  dxx 50.  2 0 2 cos  xdxx 51.   2 0 12 .2sin  dxex x 52. dxe x x x    2 0 cos1 sin1  53.   4 6 2cot 4sin3sin   dx xgtgx xx 54.   2 0 2 6sin5sin 2sin  xx xdx 55.  2 1 )cos(ln dxx 56.  3 6 2 cos )ln(sin   dx x x 57. dxxx   2 0 2 cos)12(  58.   0 2 cossin xdxxx 59.  4 0 2  xdxxtg 60.   0 22 sin xdxe x 61.  2 0 3sin cossin 2  xdxxe x 62.   4 0 )1ln(  dxtgx 63.   4 0 2 )cos2(sin  xx dx 64.    2 0 2 )cos2)(sin1( cos)sin1(  dx xx xx 65. 2 2 sin 2 sin7   x xdx   66. 2 44 0 cos (sin cos )  x x x dx  67. 2 3 0 4sin 1 cos  x dx x  68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:  b a dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: +) R(x, xa xa   ) §Æt x = a cos2t, t ] 2 ;0[   +) R(x, 22 xa  ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos +) R(x, n dcx bax   ) §Æt t = n dcx bax   +) R(x, f(x)) =   xxbax 2 )( 1 Víi (   xx 2 )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t =   xx 2 , hoÆc ®Æt t = bax  1 +) R(x, 22 xa  ) §Æt x = tgta , t ] 2 ; 2 [   +) R(x, 22 ax  ) §Æt x = x a cos , t } 2 {\];0[    +) R   1 2 i n n n x x x; ; ; Gäi k = BCNH(n 1 ; n 2 ; ; n i ) §Æt x = t k 1.   32 5 2 4xx dx 2.   2 3 2 2 1xx dx 3.    2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx 4.   2 1 3 1xx dx 5.   2 1 2 2008dxx 6.   2 1 2 2008x dx 7.   1 0 22 1 dxxx 8.   1 0 32 )1( dxx 9.    3 1 22 2 1 1 dx xx x 10.    2 2 0 1 1 dx x x 11.   1 0 32 )1( x dx 12.   2 2 0 32 )1( x dx 13.   1 0 2 1 dxx 14.   2 2 0 2 2 1 x dxx 15.   2 0 2cos7 cos  x xdx 16.   2 0 2 coscossin  dxxxx 17.   2 0 2 cos2 cos  x xdx 18.    2 0 cos31 sin2sin  dx x xx 19.   7 0 3 2 3 1 x dxx 20.   3 0 23 10 dxxx 21.   1 0 12x xdx 22.   1 0 2 3 1xx dxx 23.   7 2 112x dx 24. dxxx   1 0 815 31 25.   2 0 5 6 3 cossincos1  xdxxx 26.   3ln 0 1 x e dx 27. 1 1 2 11 xx dx 28. 2ln 0 2 1 x x e dxe 29. 1 4 5 2 8412 dxxx 30. e dx x xx 1 lnln31 31. 3 0 2 35 1 dx x xx 32. dxxxx 4 0 23 2 33. 0 1 3 2 )1( dxxex x 34. 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x 35. 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos dx x tgx x x 36. 2ln 0 3 )1( x x e dxe 37. 3 0 2cos2 cos x xdx 38. 2 0 2 cos1 cos x xdx 39. dx x x 7 0 3 3 2 40. a dxax 2 0 22 VI. MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2 3 ; 2 3 ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x2cos22 , Tính: 2 3 2 3 )( dxxf +) Tính 1 1 2 4 1 sin dx x xx Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 0. Ví dụ: Tính: 1 1 2 )1ln( dxxx 2 2 2 )1ln(cos dxxxx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 2 a dxxf 0 )( [...]... sin x 2 cos x dx 0 b a Bài toán 6: x 1 sin x dx 0 Ví dụ: Tính b a 0 f (a b x)dx f ( x)dx b 0 f (b x)dx f ( x)dx 4 x sin x Ví dụ: Tính dx 2 0 1 cos x sin 4 x ln(1 tgx )dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: a T a T nT f ( x)dx f ( x)dx Ví dụ: Tính 2008 1 cos 2 x dx 0 Các bài tập áp dụng: 1 1 1 1 x2 dx 1 2x 2 4 x7 x5 x3 x 1 dx cos 4 x... 1 x Ví dụ: Tính x dx x2 1 4 1 x cos x dx 4 sin 2 x 2 Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a a f ( x) a], khi đó: dx f ( x)dx (1 b>0, a) x a1 b 0 x 1 Ví dụ: Tính: dx x 3 1 2 3 2 2 sin x sin 3x cos 5 x dx 1 ex 2 Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 2 0 ], thì 2 2 f (sin x) f (cos x)dx 0 2009 2 2 sin x sin 2009 x cos 2009 x dx 0 Ví dụ: Tính 0 sin . I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1. 1 3 0 ( 1)x x dx  2. 2 2 1 11 () e x x dx xx     . 12. VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng. trc tung và đường thẳng x = 2  Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y