Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa trong dạy và học toán phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN -š›&š› - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA TRONG DẠY VÀ HỌC TỐN PHỔ THƠNG Giảng viên hướng dẫn : Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Đoàn Thị Hà Giang Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng năm 2022 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy, người trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn ý kiến quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, bạn bè, bạn lớp 18ST q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, tháng năm 2022 Sinh viên Đoàn Thị Hà Giang SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu 4 Bố cục đề tài CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái quát hoá 1.2 Đặc biệt hoá 1.3 Vai trị khái qt hố, đặc biệt hoá việc giải toán sơ cấp CHƯƠNG VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ TRONG DẠY HỌC VÀ HỌC TOÁN 15 2.1 Vận dụng khái quát hoá để mở rộng toán 15 2.2 Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác 23 2.3 Một số vận dụng hình học: 28 2.4 Một số vận dụng liên quan đến định lí Viet phương trình bậc hai bậc ba 30 2.4.1 Phương trình bậc hai 30 2.4.2 Phương trình bậc ba 33 2.5 Một số vận dụng khác 42 2.5.1 Chứng minh bất đẳng thức 42 2.5.2 Chứng minh đẳng thức 47 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải toán hoạt động quan trọng Chúng ta biết khơng phải tốn giải cách dễ dàng Khi gặp tốn mà giải trực tiếp gặp nhiều khó khăn ta nên xét trường hợp đặc biệt, trường hợp tổng qt xét tốn theo khía cạnh lại dễ từ trường hợp ta suy cách giải cho tốn ban đầu Đó lí ta nên vận dụng phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá vào giảng dạy học toán giáo viên học sinh Khái quát hoá đặc biệt hoá thao tác quan trọng trình phát triển tư cho học sinh, liên quan đến yếu tố phát triển khả suy đoán, tưởng tượng Khái qt hố đặc biệt hố có tác dụng kích thích cho học sinh tìm tịi, khám phá, rèn luyện thao tác tư phân tích, tổng hợp, Q trình khái qt hố đặc biệt hố góp phần hình thành phẩm chất trí tuệ lập luận lơgic có lí Trong thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thơng, việc rèn luyên thao tác tư khái quát hoá đặc biệt hoá cho học sinh chưa nhiều giáo viên trọng mức Hơn nữa, học sinh vận dụng phương pháp để giải tập tốn Đa số học sinh sau hồn thành xong lời giải tốn em thường khơng xét đến tốn tổng qt, hay khơng đưa phương pháp giải tổng quát cho lớp dạng tốn tương tự Chính điều làm hạn chế nhiều khả phát triển tư toán học cho học sinh Với lí trên, tơi chọn đề tài: “Vận dụng khái quát hoá đặc biệt hoá dạy học Toán” để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vai trị khái qt hố, đặc biệt hố việc giải tốn SVTH: Đồn Thị Hà Giang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Nghiên cứu vận dụng phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa việc giải toán Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu số tài liệu liên quan tới phương pháp giải toán phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá - Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với số giáo viên THPT để tham khảo kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá Bố cục đề tài Khoá luận gồm có chương sau: CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái qt hố 1.2 Đặc biệt hố 1.3 Vai trị khái qt hố, đặc biệt hố việc giải toán sơ cấp CHƯƠNG VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ TRONG DẠY VÀ HỌC TỐN 2.1 Vận dụng khái qt hố để mở rộng toán 2.2 Vận dụng đặc biệt hoá để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác 2.3 Một số vận dụng hình học 2.4 số vận dụng liên quan đến định lí Viet phương trình bậc hai phương trình bậc ba 2.4.1 Phương trình bậc hai 2.4.2 Phương trình bậc ba 2.5 Một số vận dụng khác SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 2.5.1 Chứng minh bất đẳng thức 2.5.2 Chứng minh đẳng thức SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái quát hoá Theo G.Polya: “Khái quát hoá chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng việc nghiên cứu tập hợp lớn bao gồm tập hợp ban đầu Còn theo Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn tập hợp ban đầu cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập hợp xuất phát” “Phương pháp dạy học mơn Tốn” “Chẳng hạn, khái quát hoá chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang việc nghiên cứu tứ giác, đa giác với số cạnh Từ hệ thức lượng tam giác vuông sang việc nghiên cứu hệ thức lượng tam giác thường Chúng ta chuyển việc nghiên cứu bất đẳng thức cho hai số sang bất đẳng thức cho n số tuỳ ý…Trong ví dụ cho thấy thường thấy thường khái quát hoá cách chuyển từ chỗ xét đối tượng sang việc xét toàn thể lớp bao gồm đối tượng đó” Hãy xét ví dụ sau: Ở lớp ta có định lí sau: “Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm có số đo nửa số đo cung bị chắn” Ta có ba trường hợp sau: Hình 1a SVTH: Đồn Thị Hà Giang Hình 1b Hình 1c Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Hình 1a: Tâm O nằm bên ngồi góc Hình 1b: Tâm O nằm cạnh góc HÌnh 1c: Tâm O nằm bên góc Trong ba trường hợp ta chứng minh góc tạo tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm nửa số đo góc tâm chắn cung nửa số đo cung bị chắn Từ khái quát hoá đến quy luật phổ biến góc tạo tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm nửa số đo cung bị chắn Như vậy, sở nghiên cứu ba trường hợp riêng lẻ xảy (và xảy ba trường hợp mà thôi) ta khái quát vấn đề đặt 1.2 Đặc biệt hoá Theo G.Polya: “Đặc biệt hoá chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang việc nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa tập hợp cho” Có thể hiểu đặc biệt hố q trình ngược lại khái quát hoá Chẳng hạn đặc biệt hoá chuyển từ nghiên cứu đa giác sang nghiên cứu tam giác (là đa giác đặc biệt có số cạnh 3), ta tiếp tục đặc biệt hoá chuyển từ tam giác sang tam giác (là tam giác đặc biệt có cạnh nhau) Trong hai bước đặc biệt hoá tiến hành theo hướng khác Trong lần đầu (từ đa giác sang tam giác) ta thay biến số cụ thể SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy (𝑛 = 3); lần thứ hai (từ tam giác sang tam giác đều) quy định điều hạn chế (tam giác phải có cạnh nhau) Ta dùng đặc biệt hố để minh hoạ, giải thích khái niệm, định lí tổng quát trường hợp riêng lẻ, cụ thể Đặc biệt hoá thường sử dụng tốn dựng hình, tìm quỹ tích, phương pháp giúp ta mị mẫm, dự đốn quỹ tích sở hình thành phương pháp chứng minh cho tồn tốn Ta xét ví dụ sau: “Dựng tiếp tuyến chung hai đường tròn” Ta xét hai đường trịn khơng cắt có bán kính 𝑅! > 𝑅" Nếu giải trực tiếp toán khó khăn Ta xét trường hợp đường trịn (𝑂" ; 𝑅" )là đường trịn điểm Lúc cách dựng sau: dựng đường trịn đường kính 𝑂" 𝑂! , đường tròn cắt (𝑂! ) 𝐴 𝐵 𝑂" 𝐴 𝑂" 𝐵 hai tiếp tuyến đường trịn (𝑂! ) qua điểm 𝑂" (hình 2a) Hình 2a Trở lại tốn ban đầu, ta vận dụng toán cách dựng tiếp tuyến từ tâm 𝑂" đến đường tròn (𝑂! , 𝑅! − 𝑅" ) Sau dựng hai đường thẳng SVTH: Đồn Thị Hà Giang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy song song với hai tiếp tuyến vừa dựng được, ta dựng tiếp tuyến ngồi chung hai đường trịn (hình 2b) Tương tự ta dựng hai tiếp tuyến cách dựng tiếp tuyến từ tâm 𝑂" đến đường tròn (𝑂! , 𝑅! + 𝑅" ), dựng hai đường thẳng song song hai đường đó, hai tiếp tuyến chung hai đường trịn Hình 2b Hình 2c 1.3 Vai trị khái qt hố, đặc biệt hoá việc giải toán sơ cấp Khái qt hố, đặc biệt hố có vai trị quan trọng Tốn học, trở thành phương pháp suy nghĩ sáng tạo nguồn gốc nhiều phát minh Nó giúp mị mẫm, dự đốn, tìm phương pháp giải tốn, mở rộng, đào sâu kiến thức Khi giải toán, phương pháp chung đưa tốn đơn giản cho giải tốn giải tốn cho Khi phương pháp khái qt hố, đặc biệt hố có nhiều tác dụng Trong lịch sử Tốn học, có nhiều tốn mà suốt hàng chục năm, chí hàng trăm năm, hệ nhà Toán học nhiều nước với công sức giải số trường hợp đặc biệt SVTH: Đoàn Thị Hà Giang Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy ⟺ 𝑥 + − 3𝑥 ! + 2𝑥 + = 𝑇"' = (1 + 𝛼 ) + (1 + 𝛽) + (1 + 𝛾) = Đặt W𝑇!' = (1 + 𝛼)(1 + 𝛽 ) + (1 + 𝛽 )(1 + 𝛾) + (1 + 𝛾)(1 + 𝛼 ) = 𝑇+' = (1 + 𝛼)(1 + 𝛽 )(1 + 𝛾) = −1 " " " Theo (4): ",B ; ",Q ; ",V ba nghiệm phương trình: W/ W/ " # # # 𝑥 + − W&/ 𝑥 ! + W!/ 𝑥 − W/ = ⟺ 𝑥 + + 2𝑥 ! − 3𝑥 + = ⟹ " ",B + " ",Q + !(/ " ",V !(0 = −2 !(1 ! ! ! Vậy 𝐴 = !-/ + !-0 + !-1 = −3 + 9!-/ + !-0 + !-1: = + 2(−2) = −7 Ví dụ 2: Đặt 𝑈# = cos # G + cos # + G + cos # , (𝑛 G ∈ 𝑍) a Tính 𝑈" , 𝑈! , 𝑈+ , 𝑈6 b Chứng minh 𝑈# hữu tỉ với n nguyên Giải: + a Ta thấy G ; G ; G nghiệm phương trình: cos 3𝑥 + cos 4𝑥 = Tức là: (4cos + 𝑥 − cos 𝑥 ) + (8 cos 𝑥 − cos ! 𝑥 + 1) = ⟺ cos 𝑥 + cos + 𝑥 − cos ! 𝑥 − cos 𝑥 + = ⟺ (cos 𝑥 + 1)(8 cos + 𝑥 − cos ! 𝑥 − cos 𝑥 + 1) = ⟹ cos + 𝑥 − cos ! 𝑥 − cos 𝑥 + = SVTH: Đồn Thị Hà Giang Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Do đặt 𝑡 = cos 𝑥 cos G ; cos + ; cos G G ba nghiệm phương trình: 8𝑡 + − 4𝑡 ! − 4𝑡 + = Đặt 𝑡" = cos G , 𝑡! = cos (*) + , 𝑡+ G = cos G " 𝑈" = 𝑡" + 𝑡! + 𝑡+ = < = ! 𝑈" = 𝑡"! + 𝑡!! + 𝑡+! = (𝑡" + 𝑡! + 𝑡+ )! − 2(𝑡" 𝑡! + 𝑡! 𝑡+ + 𝑡+ 𝑡" ) " ! " ⟹ 𝑈" = _!` − _−