Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 211 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
211
Dung lượng
4,65 MB
Nội dung
2 Mục Lục Lời nói đầu Rút gọn biểu thức toán liên quan Bất đẳng thức Min-Max Phương trình, hệ phương trình Phương trình bậc hệ thức vi-et Hàm số - đa thức Các tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế Chứng minh Đẳng thức tính giá trị biểu thức Các tốn số học Tổ hợp Logic 10 Các toán hình học Chuyên đề Căn bậc hai toán liên quan Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang năm 2020-2021) = A Cho biểu thức x + x − − 14 x −1 − x −1 − − với x ≥ 1, x ≠ x − + x −1 x −1 −1 x −1 + a) Rút gọn A b) Tìm tất giá trị x để A nhận giá trị số nguyên Lời giải a) Rút gọn A = A x + x − − 14 x −1 − x −1 − − x − + x −1 x −1 −1 x −1 + = x + x − − 14 x − − + ( x − − 1) x − − x − + x −1 ( x − − 1)( x − + 2) = x + x − − 14 x − + x − − x − − x − + x −1 x −1+ x −1 − = x + x − − 14 + x − + − x x − + x −1 = x − + x −1 x − + x −1 = = = = = ( x − 1) + x − − ( x − 1) + x − − ( x − 1) + x − − x − − ( x − 1) + x − − x − − x − 1( x − + 7) − ( x − + 7) x − 1( x − + 2) − ( x − + 2) ( x − + 7)( x − − 1) ( x − + 2)( x − − 1) x −1 + x −1 + = 1+ x −1 + Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC b) Có A = + x −1 + ∈Z x −1 + A nhận giá trị nguyên khi: = x −1 + Có < 5 ≤ nên x −1 + 2 +)Nếu: = ⇔ x −1 + = x −1 + =2 x −1 + ⇔ x −1 = ⇔x= 10 ( thỏa mãn điều kiện) 5 = ⇔ x −1 + = x −1 + +Nếu: ⇔ x −1 = ⇔ x =( thỏa mãn điều kiện) Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng năm 2020-2021) x+4 x−4 + x−4 x−4 Với giá trị x biểu thức A 16 − +1 x2 x xác định Rút gọn A Cho biểu thức A = Lời giải Rút gọn biểu thức A x+4 x−4 + x−4 x−4 Điều kiện xác định: x > 16 − +1 x2 x Ta có: A = = ( ) ( x−4 +2 + 4 − 1 x x−4 −2 x−4 −2≥0 ⇔ x ≥8⇒ Xét: x − − < ⇔ x < 8⇒ ) = x−4 −2 = x−4 +2 + x−4 −2 −1 x x−4 −2 x−4 −2 = 2− x−4 4x +) Với < x < ⇒ A = x−4 x x − +) Với x ≥ ⇒ A = x−4 Câu (Trường chuyên tỉnh Cà Mau năm 2020-2021) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ( )( x )( ) ( ) x − y) ( x > 0; y > ) a) Tính giá trị biểu thức: A = − 11 + 11 − − (x b) = Rút gọn biểu thức: B y+y xy Lời giải a) Tính giá trị biểu thức: ) ( )( A = 25 − 11 − ( − + ) ( A = − 11 + 11 − − ) A = 14 − 14 + A=6 b) Rút gọn biểu thức: B= B= (x y+y x )( x− y ) xy xy ( x+ y )( x− y ) xy B= x − y Câu (Trường chuyên tỉnh Đăk Nơng chun tốn năm 2020-2021) Cho biểu thức = P x 2x − x với x > x ≠ − x −1 x − x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P với x= + Lời giải a) Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x > x ≠ = P x 2x − x − x −1 x − x ( ( ) ) ( ( ) ( x x −1 x − x +1 x = = − x −1 x −1 x x −1 = ) ) x −1 = x −1 x −1 b) Tính giá trị biểu thức P với x= + P Thay x = 4+2 = ( + 1) vào biểu thức = P= ( + 1) − 1= x − , ta có: +1−1 = Câu (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng năm 2020-2021) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC A Cho biểu thức= x3 − x − 80 1 − + x − 16 x +2 x −2 a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A c) Tìm x để biểu thức ( A − x ) có giá trị số nguyên tố Lời giải a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ A Ta có= x3 − x − 80 1 x3 − x − 80 − + = + x − 16 x − 16 x +2 x −2 ( x +2− x +2 x −2 )( x +2 ) ( x − ) ( x + x + 16 ) x3 − x − 80 + x + 16 x − 64 x − x − 80 = = = = + ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) x − x + x + 16 Vậy A = x+4 A b) Do x ≥ nên = x + x + 16 x2 = +4≥4 x+4 x+4 Mặt khác A = x = Vậy giá trị nhỏ A 4, x = 16 16 c) Ta có A − x = Vì x ≥ nên < ≤ x+4 x+4 16 x = (l ) x+4 = ⇔ Do , để biểu thức ( A − x ) có giá trị số ngun tố x = (tm) 16 =3 x + 4 Câu (Trường chuyên tỉnh Long An năm 2020-2021) Vậy x = Cho biểu thức = A x −2 x +1 x + + ( x ≥ 0, x ≠ 1) x −1 x +2 x+ x −2 a) Rút gọn biểu thức A Lời giải b) Hãy so sánh giá trị biểu thức A với a) Rút gọn biểu thức A = A = x −2 x +1 x + + ( x ≥ 0, x ≠ 1) x −1 x +2 x+ x −2 x −2 + x −1 x +1 + x +2 ( x )( x −1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 x +2 ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC = = ( x −2 )( ) ( x + 1)( x − 1) + ( x − 1)( x + 2) x +2 + x x − + x −1 + x ( )( x −1 x +2 ) 2x − + x = ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 5) = ( x − 1)( x + 2) = x +5 x +2 b) Hãy so sánh giá trị biểu thức A với − x x + 5 x + 10 − x − 10 Xét A= − = − = x +2 2 x +2 x +2 ( x ≥0 ; Vì x ≥ nên ) ( ) x + ≥ với x ≥ 0, x ≠ − x − x ≤ Suy : hay ≤ với x ≥ 0, x ≠ x + ≥ 2 x + ( Do : A − ) ( ) ≤ với x ≥ 0, x ≠ Hay : A ≤ Câu (Trường chuyên tỉnh Hùng Vương – Phú Thọ năm 2020-2021) Cho = x 3− 2 + 3 − 2 Tính giá trị biểu thức P= ( 2x − x + 2008 ) 2021 Lời giải Cho = x 3− 2 Từ x = 3− 2 + 3 − 2 Tính giá trị biểu thức P= + 3− 2 ⇔ = x3 ( 2x − x + 2008 ) 2021 + − 2 + 3x 3− 2 ⇔ x − x =6 ⇔ x − x − =0 Ta có: x3 − x + 2008= ( x3 − x − ) + 2020= 2020 Vâv P = 20202021 Câu (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2020-2021) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Cho biểu thức = A 1+ x + x + Rút gọn biểu thức A x+ x 18 với x ≥ 0; x ≠ − x −2 x −3 x −9 + Lời giải A = 1+ x + x + A= 1+ ( x +2 x + ) ( 2 x + − x +3 x −3 A= 18 x+ x với x ≥ 0; x ≠ − x −2 x −3 x −9 + ( ) x +1 )( x +1 ) ( 18 x −3 = A )( x +3 ) 18 ) ( x + 3) ( x − 3) x ( x + 3) A= + − ( x − 3) ( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( A= ( x −3 − x −3 18 x −3 )( x +3 ) x − + x + x − 18 ( x −3 )( x +3 ) x − 3)( x + ) (= ) ( x − 3)( x + 3) x + x − 24 = x −3 x +3 ( )( x +8 x +3 Câu (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình năm 2020-2021) Tính giá trị của= biểu thức A x −1 1 : − với x= + x −x x x +1 Lời giải Với < x ≠ Ta có:= A x −1 1 − = : x −x x x +1 x 1 = : x x +1 x x +1 ( ) ( Với x = + = Suy A = ) )( x −1 ) x +1 : x +1− x x ( ) x +1 x ) ( ( x −1 +1 ⇒ x = +1 −1 = +1 Câu 10 (Trường chuyên tỉnh Bình Phước năm 2020-2021) a a Cho biểu thức A = − 1 − : a +1 a +1 a a + a + a +1 a) Rút gọn biểu thức A Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC = a 2021 − 2020 b) Tính giá trị A Lời giải a) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: a ≥ 0; a ≠ a +1− a a +1− a A = : a + ( a + 1) a + ) ( = A a +1 = a 2021 − 2020 b) Tính giá trị A ( ) Khi a = 2021 − 2020 =2020 − = A ( ) 2020 − = +1 2020 −= 1+1 2020 a 2021 − 2020 A = 2020 = Vậy Câu 11 (Trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương khơng chun năm 2020-2021) Tính giá trị biểu thức: (2 x − x + 3)10 3+ B = (10 x − 30 x + 11) + x = x − 3x + x − Lời giải Ta có x = 3+ ⇒ (2 x − 3) = ⇔ x − 12 x + = ⇔ x − x + = = 10( x − 3x + 1) += 10.0 += 1 Ta có 10 x − 30 x + 11 x − x + 3= x − x + + 1= 2( x − 3x + 1) + 1= 2.0 + 1= x5 − 3x + x3 − =x3 ( x − 3x + 1) − =0 − =−1 Vậy B = Câu 12 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi năm 2020-2021) a a− a a+ a − − ⋅ , với a > 0, a ≠ + − a a a Rút gọn biểu thức A = Lời giải a a− a a+ a − − ⋅ − a a +1 a Ta có: A = ( a −1 a − a = a )( ) ( a −1 − a + a a −1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 )( ) a +1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 = a − a a − 2a + a − a a − 2a − a ⋅ a −1 a = a − −4a −4a ⋅ = = −2 a a a −1 a Câu 13 (Trường chuyên tỉnh Đồng Tháp năm 2020-2021) 3 x = A − Cho biểu thức : x −1 x + x x −1 Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A Tìm tất giá trị x thỏa A − x = Lời giải 3 x = A − Cho biểu thức : x −1 x −1 x + x Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A Điều kiện: < x ≠ 3 x −1 − A= x −1 (3 ( ( x+ x x +1 x +1 x −1 )( ) ( x + 1) x ( x − 1)( x + 1) x −1 − ) ( x +1 ) ) x −2 = x x x −1 = Tìm tất giá trị x thỏa A − x = 2A − x = ⇔ x − x = ( )( ) x −3 1− x = x = ⇔ x = (l ) Vậy x = giá trị cần tìm Câu 14 (Trường chuyên tỉnh Gia Lai năm 2020-2021) x + x x− x 1 − , với x ≥ 0, x ≠ x +1 x − Rút gọn biểu thức A = 1 − Lời giải Với x ≥ 0, x ≠ , ta có: x ( x + 1) x ( x − 1) ⋅ 1 − A = 1 − x + x − Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 (1 − x ) = Câu 15 (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2020-2021) x−4 x+ x +2 + với ≤ x ≠ x x −8 x +1 + Rút gọn biểu = thức P ( ) Lời giải ( )( ) x −2 x +2 x+2 x +4 x−4 x+ x +2 x+ x +2 P= + = + = = x x −8 x −2 x+2 x +4 x+2 x +4 x+2 x +4 x +1 + ( ( ) )( ) Câu 16 (Trường chuyên tỉnh Yên Bái năm 2020-2021) a +1 a2 + a a a −1 Cho biểu thức P = − + a : , với a > 0, a ≠ a +1 a −1 a +1 Rút gọn biểu thức P Tìm tất giá trị a để P > Lời giải Với a > 0, a ≠ ta có P= ( ) ( a − 1) + a ( a − 1) : a a ( a + 1) a +1 ( a − 1)( a + 1) 2 a +1 − = a + a + − a + a − + 4a a − a :a a a −1 = 4a a :a a a −1 = 4 Vậy P = a −1 a −1 Tìm tất giá trị a để P > 3− a >2⇔ −1 > ⇔ > ⇔1< a < a −1 a −1 a −1 Vậy < a < P > P>2⇔ Câu 17 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam năm 2020-2021) x +3 x +2 x + x x + x − − x −1 Rút gọn biểu thức P Cho biểu thức P = Tìm x để + : + x với x > 0; x ≠ x −1 x +1 − ≥ P Lời giải 1.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức P Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ⇒ R AA′ AH A′O = ⇒ R AA1 = AA′ R′ = AA′ = AA′ R′ AA1 2 Vậy R AA1 = AA′ A′O (1) Gọi B′ , C′ trung điểm AC , AB Ta có OB′ ⊥ AC ; OC ′ ⊥ AB Suy OA′ , OB′ , OC ′ đường cao ∆OBC , ∆OCA , ∆OAB S ∆ABC = S ∆OBC + S ∆OCA + S ∆OAB = ⇔ S ∆ABC = ( OA′.BC + OB′ AC + OC ′ AB ) ( OA′.BC + OB′ AC + OC ′ AB ) (2) AA1 AA1 mà tỷ số hai tam giác đồng dạng ∆ABC AA′ AA′ AA1 EF FD ED = Tương tự OB′ = R ; OC′ = R ∆AEF nên AA′ BC AC AB Thay vào (2) ta Theo (1) suy OA′ = R FD ED EF S ∆ABC= R BC + AC + AB = R ( EF + FD + DE ) AC AB BC Do R không đổi nên ( EF + FD + DE ) đạt giá trị lớn S ∆ABC lớn AD.BC BC không đổi nên S ∆ABC lớn AD lớn nhất, mà AD lớn A điểm cung lớn BC Câu 48 (Trường chuyên Quảng Ngãi năm 2020-2021) Ta có S ∆ABC = cắt HC D Cho tam giác ABC vng A, có đường cao AH Tia phân giác HAC Gọi K hình chiếu vng góc D AC Tính AB, biết BC = 25 cm DK = cm Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC, nội tiếp đường trịn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng AH cắt BC D cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Gọi L giao điểm hai đường thẳng CH AB , S giao điểm hai đường thẳng BH AC a) Chứng minh tứ giác BCSL nội tiếp BC đường trung trực đoạn thẳng HK b) Gọi M trung điểm BC, đường thẳng OM cắt đường thẳng AB, AC P, Q Gọi N trung điểm PQ Chứng minh hai đường thẳng HM AN cắt điểm nằm đường tròn (O) Lời giải A K B H D C =A ) Ta có ∆HAD = ∆KAD (AD cạnh chung; A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ⇒ HD = KD = 6cm =C (cùng phụ B = C +A +A ; ADB ); BAD = A Ta lại có A 3 = A ; A = C ⇒ BAD = ADB ⇒ ∆ABD cân B ⇒ BA = BD Mà A x ⇒ BD = x ⇒ BH = x −6 Đặt BA = ∆ABC vng A, có đường cao AH nên AB2 = BH.BC = x1 15; = x 10 ⇒ x = ( x − ) 25 Giải phương trình, ta được: Vậy AB = 10cm AB = 15cm 2) P N A Q E S O L H B D C M K I a) Ta có H trực tâm nên BH ⊥ AC , CH ⊥ AB suy BSC = CLB = 90° Suy tứ giác BCSL nội tiếp = BCA (cùng chắn cung AB (O) ) Ta có BKA = AHS (do phụ với góc HAS ) AHS = BHK Mặt khác, BCA = BHK suy BKH tam giác cân B Mà BD ⊥ HK nên BC đường trung Do đó, BKH trực HK b) Gọi AI đường kính (O) Khi đó, CH BI (do vng góc với AB), CI BH (do vng góc với AC) Suy BHCI hình hình hành Do H, M, I thẳng hàng Gọi E giao điểm HM AN , ta chứng minh E nằm (O) = LSB (cùng chắn cung BL đường tròn (BCSL) ), Ta có HCB = LAH (cùng chắn cung LH đường tròn (ALHS)), LSB Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC = APQ (do OM AH ) Suy HCB = APQ LAH Tương tự ta có HBC = SLC = HAS = AQP Từ suy ∆APQ ~ ∆HCB Mà N trung điểm PQ , M trung điểm CB nên suy ∆ANQ ~ ∆HMB (đối đỉnh) = EHS = NAQ , mà BHM Do đó, BHM = NAQ hay AEHS tứ giác nội tiếp Suy EHS = 90° nên AEH = 90° hay AEI = 900 E nằm đường tròn (O) Mà ASH Câu 49 (Trường chuyên Hải Dương năm 2020-2021) 1) Cho đường tròn ( O; R ) , hai đường kính AB CD vng góc với Lấy E điểm nằm cung nhỏ AD ( E không trùng với A D) Đường thẳng EC cắt OA M; đường thẳng EB cắt OD N a) Chứng minh rằng: AM.ED = OM.EA; OM ON đạt giá trị nhỏ + AM DN 2) Cho tam giác nhọn ABC cố định Gọi O điểm nằm tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB M, N, P Tìm giá trị lớn biểu thức T = AN.CM.BP b) Xác định vị trí điểm E để tổng Lời giải C M A O B N E D = 900 a) Xét ∆COM ∆CED có CED COM = CED = 900 ⇒ ∆COM chung ECD ∆CED ⇒ CO OM (1) = CE ED Do AB, CD đường kính vng góc với ⇒ CEA = CAB = 450 Xét ∆AMC ∆EAC có: CEA = CAB = 450 ⇒ ∆AMC ACE chung ∆EAC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ⇒ AC AM = CE AE mà AC = CO (do ∆ACO vuông cân O) AM Kết hợp với (1) ⇒ = AE ⇒ AM.ED = CO = CE OM ED OM ⇔ = ED AE AM OM.AE b) Theo câu a ta có ED OM = AE AM (2) EA 2ON = (3) DE DN Tương tự câu a ta có Nhân vế (2) (3) ⇒ OM ON = AM DN OM ON OM ON + ≥2 = = AM DN AM DN Ta có Dấu xẩy : OM ON ED = ⇔ = AM DN EA EA ⇔ ED = EA ED ⇔ E điểm cung nhỏ AD Vậy giá trị nhỏ OM ON + = AM DN ⇔ E điểm cung nhỏ AD 2) A E D P N O M B C Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia BO, CO D, E Theo Định lý Talet ta có: AN NC = AD BC , BP AP = BC CM , EA AE = MB AD = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 OM OA ⇒ CM MB = AE AD TÀI LIỆU TOÁN HỌC Nhân vế tỷ lệ thức ta được: AN CM BP AD AE BC = =1 NC MB PA BC AD AE ⇒ AN.CM.BP = NC.MB.PA AN + CN AC = Ta có AN.NC ≤ 2 BC BM.MC ≤ AB AP.PB ≤ AN.NC.CM.MB.BP.PA ≤ Nhân vế ta có AN.CM.BP ≤ AB.BC.CA AB.BC.CA Dấu xảy O trọng tâm tam giác ABC Vậy giá trị lớn T T = AB.BC.CA O trọng tâm tam giác ABC Câu 50 (Trường chuyên Bình Phước năm 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC với ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Ba đường cao AD, BE , CF cắt trực tâm H a) Chứng minh tứ giác BFHD ; ABDE nội tiếp H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh tứ giác DFEM nội tiếp c) Tia MH cắt đường tròn ( O ) I Chứng minh đường thẳng AI , EF , BC đồng quy Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC a) Ta có ∠BDH + ∠BFH =1800 nên tứ giác BFHD nội tiếp ∠BEA = 900 nên tứ giác ABDE nội tiếp đường trịn đường kính AB Ta có ∠BDA = Ta có ∠FDH = ∠FBH (Cùng chắn cung FH tứ giác nội tiếp BFHD ) Mặt khác lại có ∠FBH = ∠ABE = ∠ADE (Cùng chắn cung AE tứ giác nội tiếp ABDE ) Suy ∠FDH = ∠EDH hay DH phân giác góc ∠EDF Tương tự FH phân giác góc ∠DFE hay H tâm nội tiếp tam giác DFE (đpcm) b) Vì EM trung tuyến tam giác vng BEC nên ta có tam giác MBE cân M Hay ta có ∠EMC = 2∠EBM (góc ngồi tam giác MBE ) Theo câu a) ta có ∠EFD = 2∠HFD (do FH phân giác góc ∠DFE ) Mà ta lại có ∠HFD = ∠HBD = ∠EBM (Cùng chắn cung DH tứ giác nội tiếp BFHD ) Từ suy ∠DFE = ∠EMC ⇒ DFEM nội tiếp (đpcm) c) Tia MH cắt đường tròn ( O ) I Chứng minh đường thẳng AI , EF , BC đồng quy Kẻ đường kính AA ' đường trịn ( O ) Ta có BH / / A ' C vng góc với AC Và CH / / A ' B vng góc với AB Nên có tứ giác BHCA ' hình bình hành nên có A ', M , H , I thẳng hàng Từ ta có I nằm đường trịn ( AFHE ) với đường kính AH (vì ∠HIA = ∠A ' IA = 900 ) Gọi EF cắt BC S , AI cắt BC S ' Ta có SF SE = SB.SC S ' I S ' A = S ' B.S ' C SC SO − R khơng đổi gọi phương tích S đường Ta chứng minh SB.= tròn ( O ) Từ ta có S S ' có phương tích đường trịn ( AFHE ) nên S ≡ S ' Câu 51 (Trường chuyên Lam Sơn năm 2020-2021) > 45° Vè phía ngồi tam giác ABC dựng hình vng Cho tam giác ABC nhọn có BAC ABMN ACPQ Đường thẳng AQ cắt đoạn thẳng BM E , đường thẳng AN cắt đoạn thẳng CP F Chứng minh tứ giác EFQN nội tiếp đường tròn Gọi I trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng MN cắt đường thẳng PQ D Các đường tròn ngoại tiếp tam giác DMQ DNP cắt K ( K khác D ) Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B C cắt J Chứng minh bốn điểm D, A, K , J thẳng hàng Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Q N P A M F E I C B V = FAC (cùng phụ với 1) Xét hai tam giác vuông ABE ACF ta có ABE= ACF= 90° EAB ) nên chúng đồng dạng, suy AB = AE ⇒ AN = AE BAC AC AF AQ AF = QAF (đối đỉnh) AN = AE nên chúng đồng dạng, Xét hai tam giác ANE AQF có NAE AQ AF = FQA ⇒ ENF = FQE suy ENA Do tứ giác EFQN nội tiếp đường tròn Gọi V giao điểm hai đường thẳng EB FC Tứ giác EAFV có AF //EV , AE //VF nên hình bình hành Vì I trung điểm đoạn thẳng EF nên trung điểm đoạn thẳng AV Suy ba điểm A, I , V thẳng hàng Mặt khác, ta thấy tứ giác ABVC có ABV= ACV= 90° nên nội tiếp đường = IB = IC hay I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trịn đường kính AV Suy IA ABC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC D Q N A P K K' M E F I C B V J Ta chứng minh D, A, K thẳng hàng ′ = NQA Gọi K ′ giao điểm DA EF Dẽ thấy tứ giác NDQA nên NDK ′ = NQA (Do tứ giác EFQN nội tiếp), suy NDK ′ = NFK ′ Lại có NFK Do tứ giác NDFK ′ nội tiếp Mặt khác, NDPF nội tiếp nên năm điểm N , D, P, F , K ′ thuộc đường tròn Vậy K ′ thuộc đường tròn ngoại tiêp tam giác NDP Chứng minh tương tự ta có K ′ thuộc đường tròn ngoại tiêp tam giác DMQ Suy K ≡ K ′ Vậy ba điểm D, A, K thẳng hàng (1) Ta chứng minh A, K , J thẳng hàng = 90° , suy AK ⊥ KE Do năm điểm D, Q, K , E , M thuộc đường tròn nên AKE= DQE = EAB = 90° − BAC Từ suy tứ giác AKBE nội tiếp nên EKB ( ) + FKC = BAC (góc = FAC = 90° − BAC , suy BKC = 180° − EKB = BIC Tương tự ta có FKC nội tiếp góc tâm chắn cung) Suy tứ giác BKIC nội tiếp = JCI = 90° nên tứ giác BICJ nội tiếp Mặt khác JBI = JBI = 90° , suy Do năm điểm B, K , I , C , J thuộc đường trịn nên ta có IKJ JK ⊥ EF Mà AK ⊥ KE , suy ba điểm A, K , J thẳng hàng (2) Từ (1) (2) ta suy bốn điểm D, A, K , J thẳng hàng Câu 52 (Trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2020-2021) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn ( O ) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , tia AI cắt đường tròn ( O ) điểm D (khác A ) Đường thẳng OD cắt đường tròn ( O ) điểm E (khác D ) cắt cạnh BC điểm F a) Chứng minh tam giác IBD cân Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC b) Chứng minh ID.IE = IF DE c) Gọi điểm M , N hình chiếu vng góc I cạnh AB, AC Gọi H , K = HCI 3.BC , chứng minh KBI điểm đối xứng với M , N qua I Biết AB + AC = Lời giải E A P O M I K B N H F C D 1 = IBC + DBC = = a) Ta có IBD (1) (do AI, BI phân giác ABC + DAC ABC + BAC 2 góc BAC, ABC tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn) 1 = IBA + IAB =1 Mặt khác BID (do AI, BI tương ứng phân giác góc BAC, ABC) ABC + BAC 2 (2) ⇒ tam giác DBI cân D Từ (1) (2) ta BID = IBD 1 = ICA = + DCB = Ta có ICD (3) (do AI, CI phân giác ACB + DAB ACB + BAC 2 góc BAC, ACB tứ giác ABDC nội tiếp đường trịn) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 = ICA + IAC =1 Mặt khác CID (do AI, BI tương ứng phân giác góc BAC, ABC) ABC + BAC 2 (4) ⇒ tam giác DCI cân D Từ (3) (4) ta CID = ICD Do tam giác DBI DCI cân D nên DB = DI , DC = DI ⇒ DB = DC = DI ⇒ D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC b) Theo kết phần a ta có tam giác DIC cân D nên CD = DI Do OD trung trực BC suy F trung điểm BC Do DE đường kính đường trịn = 900 (O) suy DCE Kết hợp với CF đường cao tam giác DCE nên DE DI ⇒ = CD DF = DI DE = DF DI Xét hai tam giác DIF DEI có: DI DE = EDI suy tam giác DIF đồng dạng với tam giác DEI IDF = DF DI IF ID = ⇔ ID.IE =IF DE IE DE c) Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABDC ta được: Suy AD.BC AB.DC + AC.DB = AD.BC ⇔ ( AB + AC ) DB = ⇔ 3.BC.ID = AD.BC ⇔ 3.ID = AD ⇔ IA = 2.ID AI ⇒ I trung điểm PD Mặt khác I trung điểm HM suy tứ giác MPHD hình bình hành ⇒ MP = DH Gọi P trung điểm đoạn thẳng AI, suy MP = AP = PI = ID = Từ suy DH = MP = DI (5) Chứng minh tương tự ta DK = DI (6) Mặt khác theo kết phần a ta DB = DC = DI (7) Từ (5), (6), (7) ta DB = DC = DH = DK = DI suy B, C, H, K, I thuộc đường tròn tâm D , ICH = sđ IH = sđ IK Do B, C, H, K, I thuộc đường tròn tâm D nên KBI 2 = sđ IH = IH ⇒ sđ IK Do IK = IH ⇒ IK = HCI Từ suy KBI Câu 52 (Trường chuyên Ninh Bình năm 2020-2021) Cho đường tròn ( T ) tâm O dây cung AB cố định ( O ∉ AB ) P điểm di động đoạn thẳng AB ( P ≠ A, B P khác trung điểm đoạn thẳng AB ) Đường tròn ( T1 ) tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn ( T ) A Đường tròn ( T2 ) tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn ( T ) B Hai đường tròn ( T1 ) ( T2 ) cắt N ( N ≠ P ) Gọi ( d1 ) tiếp tuyến chung ( T ) với ( T1 ) A , ( d ) tiếp tuyến chung ( T ) với ( T2 ) B , ( d1 ) cắt ( d ) điểm Q Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Chứng minh tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn = BNP bốn điểm O, D,C, N nằm đường tròn Chứng minh: ANP Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng ON qua điểm cố định P di động đoạn thẳng AB ( P ≠ A, B P khác trung điểm đoạn thẳng AB ) Lời giải N H O D C A B P E Q = 900 (Tính chất tiếp tuyến) a) Có OAQ = 900 (Tính chất tiếp tuyến) OBQ A, B nhìn OQ góc vuông nên tứ giác AOBQ nội tiếp (1) QAP b) Trong đường tròn ( T1 ) có = sđ AP) ANP =( QBP Trong đường trịn ( T2 ) có = sđ BP) BNP =( = QBP (= sđ AB) → ANP = Trong đường trịn ( T ) có QAP BNP = ANP + BNP = QAP =1800 − AQB , suy NAQB nội tiếp ( ) + QBP Ta có ANB Từ (1) (2) suy điểm O, N, A, Q, B nằm đường tròn = ( hai góc nội tiếp chắn ON ) ⇒ OAN OBN = 2OAN (góc nội tiếp góc tâm chắn cung) Trong ( T ) có OCN = 2OBN (góc nội tiếp góc tâm chắn cung) Trong ( T2 ) có ODN = suy bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn ODN ⇒ OCN c) Theo ý suy điểm O, N, A,Q, B nằm đường trịn đường kính OQ Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Gọi E trung điểm OQ ; O,Q cố định suy E cố định E tâm đường tròn đi qua điểm O, N, A,Q, B ⇒ OE = NE ⇒ E thuộc đường trung trực đoạn thẳng ON Suy đường trung trực ON qua điểm E cố định Câu 53 (Trường chuyên Hồ Chí Minh năm 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt ( O ) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ( O ) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC , CA, AB đồng quy Lời giải Gọi H trực tâm ∆ABC Kẻ AK đường kính ( O ) Suy A1 K ⊥ AA1 Mà AA1 //BC nên A1 K ⊥ BC Do A1 K //AH Gọi I điểm đối xứng H qua O Suy AHKI hình bình hành, suy KI //AH Mà AH //AK nên I ∈ A1 K Vậy đường thẳng qua A1 vng góc với BC qua I Chứng minh tương tự, ta có: Đường thẳng qua B1 vng góc với AC qua I Đường thẳng qua C1 vng góc với AB qua I Vậy đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC , CA, AB đồng quy I Câu 54 (Trường chuyên Hồ Chí Minh năm 2020-2021) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Đường trịn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC , CA D, E , F Kẻ đường kính EJ đường trịn ( I ) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d , BC L, H a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng b) JA, JF cắt BC M , K Chứng minh MH = MK Lời giải Vẽ DE cắt AL N JE ⊥ NL ( NL // CB ) Xét tam giác NLE có: LJ ⊥ NE ( DJ ⊥ NE ) Suy J trực tâm tam giác NLE , NJ ⊥ LE AD Lại có: NDA = BDE = BED = AND ⇒ AN = Mà ∆NDL vuông D nên AN = AD = AL ⇒ AN = AL = AF (do AD = AF ) Do ∆NFL vng F hay NF ⊥ LF Mặt khác 1 1 NFA = FAL = ACB = IEF = JFA ⇒ N , J , F thẳng hàng 2 Do NJ ⊥ LE NJ ⊥ LF Suy E , F , L thẳng hàng = FCE Hai tam giác ALF , CEF cân mà có góc đỉnh Cách 2: Vì AL //CE nên LAF , suy L, F , E thẳng hàng nên chúng đồng dạng Suy AFL = CFE b) J ) Do AN = AL nên MH = MK (bổ đề hình thang cho hình thang NLKH có NK ∩ HL = Chứng minh bổ đề JA NA = Ta có: MK JM , mà AN = AL (chứng minh câu a)) AL = JA MH JM Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Suy ra: MK = MH Câu 55 (Trường chuyên Phú Thọ năm 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H nội tiếp đường tròn (O ) Gọi P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC nằm tam giác ABC , ( P ≠ B, C , H ) Gọi M giao điểm đường thẳng PB với đường tròn (O), ( M ≠ B ); N giao điểm đường thẳng PC với (O), ( N ≠ C ) Đường thẳng BM cắt AC E , đường thẳng CN cắt AB F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt Q , ( Q ≠ A ) a) Chứng minh tứ giác AEPF nội tiếp b) Chứng minh M , N , Q thẳng hàng , chứng minh PQ qua trung điểm c) Trong trường hợp AP phân giác MAN đoạn thẳng BC Lời giải , a) Ta có BHC = 1800 − BAC Suy BAC + EPF = mà BPC = BHC = EPF 1800 nên tứ giác AEPF nội tiếp + BEC = b) Từ tứ giác AEPF nội tiếp, suy BFC 1800 + NQA Từ tứ giác AQFN , AQEM nội tiếp ta có MQN = MQA + NFA = 1800 Vậy điểm M , N , Q thẳng hàng = MEA Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC c) Ta có: QFA = ANQ = ANM = ABM suy FQ / / BE tương tự EQ / / CF suy tứ giác EQFP hình bình hành suy A, P, Q thẳng hàng hay AQ phân giác MAN Vậy QAN = QFP = QEP = QAM Gọi = K PQ ∩ BC KAC = QAC = QME = NMB = PCK Từ ta có: ∆AKC ∆CKP hay KC = KP.KA tương tự KB= KP.KA ⇒ KB = KC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 1 + 2019 2021 + 2020 2020 A = + − − 2020 2020 + 2020 = 2019 2021 + 2020 + − 2020 − 2020 2020 = 2019 2020 + 2020 + − 2020 2020 2019 + 2020 + 1 − 2020 =0 = Câu 29 (Trường chuyên tỉnh Hậu... giá trị A ( ) Khi a = 2021 − 2020 =2020 − = A ( ) 2020 − = +1 2020 −= 1+1 2020 a 2021 − 2020 A = 2020 = Vậy Câu 11 (Trường chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương khơng chun năm 2020- 2021) Tính giá trị biểu... Câu 28 (Trường chuyên tỉnh Sơn La năm 2020- 2021) Tính giá trị biểu thức: A = 2019 2021 + 2020 − + − 2020 2020 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 1+ + 2020 2020 + 2020 TÀI LIỆU