Các bài toán về bất đẳng thức trong các kỳ thi toán quốc tế

Bài tốn Cho ø sơ thực tuỳ ý x,, x;, , x„ Chứng minh răng: Xx, 1+ l+x, x x, l4+x74+4x5 lt xp te tx, ott >8 Chứng minh rằng: a Vatkbe + b Ve +kea Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta được: (Eee |e + c Ajc+kab xa? + kbc) > VI+k (Sa) Tiếp tuc 4p dung BDT Cauchy- Schwarz: (Sava? +kbe) - 4a +kabe) < (Sa)(@ + kabc)) Do đó: (=>) (Sa)(S6+keo)2[S:——](Seirsw]} >(Xsÿ ~ b va” a) | (da) ề (3) +kabe)) Cần chứng minh: (k+1)(Sa) >9(¥ (a’ + kabe)) (k-8)(a’ +b’ +c°)+3(k +1)(a+b)(b+c)(c+a) > 27kabe (ding vi k >8) Bài toán3 — ; Chứng minh với sô thực dương a, b, c ta có: 1 ø+b+c -+ + ST a be yg— abc IMO LongList 1967 Lời giải (Posted by Red Devils) ‘Bat đẳng thức cần chứng minh tương đương với a”bÌc` +b°c*aŠ + c?a*b) < aŠ + bŠ + cŠ Ap dung BDT AM-GM ta được: ape ota th + + Tuong tu: ttc! _2 6355308 8 Cộn BĐT cho ta dpem Bài tốn „ ` Với sơ thực dương 4, b, c thỏa mãn đăng thức a+b+ c=1 Chứng minh răng: L + L + L % ab+2c°+2c be+2a°+2a Lời giai (Posted by Minh Tuan) ca+2b°+2b 14" Turkish Mathematical Olympiad, 2006 ?p? Ta có:V7 =3” ar ab373 +2a°b’c’ Cần chứng minh: ab 250 +2a°b’c ab+bc+ca (2 Yah3/3 +6a°b°c +2abc) ab (Sab) >S)á*b) +6a°b?c +2abc 3` ab © 3abc(a+b)(b+c)(c +a) = 6a°b’c? + 2abc(ab + be + ca) Bat đăng thức cuối = abeta +b)\(b+c)(c+a)>6a°b’c? va -4bc(a +b)(b+c)(c +a) = 2abc(ab + be + ca) > 9(a+b)(b+c)(c +a) = 8(ab+be+ca) 9abc (*) ding vi ab+be+ca > 33{(abc)’ >9abe (*) a+b+c ,do Vabe < | = Vậy bất đắng thức chứng minh Bài toán Cho a, b, c, đ số thực có tơng Chứng minh rằng: (ab+ac+ad +be+bd +cdy +12 >6(abc + abd + acd +bcd ) Loi giai (Posted by 11931110) Xét phương trình: ƒ(x)=(x—4)(x—b)(x—e)(x—đ)=0 © x'+() ab)? -(S abe) x+abed =0(do = f(x) =4x +2(Yab)x-(Yabe)=0 a =0) @) Do f(x) c6 nghiém, nén theo dinh li Rolle phương trình ƒ(x) = có nghiệm, giả sử nghiệm p, 4, r Ta có: #@Œ)=4Œœ~p)\x~4)(x—r)=4#`~4(5)p)3+” +4(Ư) pạ)x—4pạr =0 (2) Đồng (1) (2) ta p+a+r=0,3`ab=23 pạ, Ð_ abc = pạr Và BĐT cho tương đương với (> pa) +32 6pqr c (p4) +3>6pạr © f(P.4.")= (pa) +3~6pạr >0 BĐT hiển nhiên tồn số BĐT SỐ p, g, r có Ì số âm Do ta cần xét TH lại: có số dương số p, g, r va khong mat tinh tong quát, giả sử p > AK l Xét hiệu C f(p yWớf q ) ]}— #(p $ q+?P q+F ,— z(7p ` qr Cho nên BĐT ta em /[»#2.7)x0 2° ©3p°~8p`+16=0 ©(p~2) (3p”~4p +4)>0 (đúng) Vậy BĐT chứng minh 3p } |]=(g-r) (4 ) | —-++— 16 4 |20 Bài toán Cho a,b,c >0;a? +b? +c? + abc = Chimg minh rang: 0 2ab> 4=a° +b? +c’ +abc> 2ab+c” +abe =>ab~ (IMO Shortlist 2001) X0†9012/1 —mx 4” _" 4) Tương tự ta có fal bat dang ue với y, z cộng suy ra: A+31Z -3- > net ¬"- ,.' 4 Đăng thức xảy x= y= z =] ': 4 Bài toán 19 Cho x, y, z> Chứng minh rang: B(x? + xyt yy? + yet 27 M(z? + zx+x”) (K+ Vz) Cay t yet ex)? Lời giải An D6 2007 Cách Xét tam giác ABC diện tích Š với M diém Torricelli tam gidc va MA=x, MB=y, MC=z Theo dinh li ham so cos ta tinh được: a=BC =y°+yz+z?,b= CA=Nz?+zx+x”,c= AB=+|x)+xy+y? ) Ta tính được: S =1 in130%0y+ 2442452 Gt pono P44 (ay + 43 =? Daren Và: yz+ #) =X TÔI tế Ay 43(xyt yet) , ee a +b? +0? +4y38 2 Do BĐT cần chứng minh tương đương với: 3a?b?c? > số (ái +b? +c? +438) Ta di cé: 3abce >4Va? +b? +¢°S 3a°b’c? = va a+b? +c’? > 4/38 nén: 16(a’ +b? +0°)S? _ 8(a? +b? +c? +.4V3S)S" (dpem) Cách Thay x = a, y=D,z=c Ta chứng minh: 3(a? +ab+b?)(b° +be+c?)(c°+ca+a?)>(a+b+c)*(ab + be + ca)? Ta có: a”+ab+bˆ >2(a+b) Suy ra: 3(2”+ab+b?)(b°P +be+c?)(c°+eca+a?)> a +b) (b+c)(c+a) Ta chứng minh: ata +b) (b+c)(c+a)y >(a+b+c) (ab+be+cay - aa +é) (+) (e+a)? >((4+b)đ+e)(c+a)+abe) â8I(+b)(b+e)(ce+a) >64(a+b)?(b+e)?(ce+a)đ+128abc(a+b)(b+e)(c+a)+64a?b?c? â 17(a+b)?(b+c)(ce+a)? >128abc(a+b)(b+ce)(c+a)+64a?b?c? Bat ng thc ny ỳng vi: 16(a+b)?(b+e)°(ce+a)? >128abc(a+b)(b+c)(c+a) (a+b)?(b+c)*(c+a)? >64a°b°c? Vậy bất đắng thức chứng minh Bài toán 20 Cho a, b, c sô thực dương thỏa mãn +,y,z>0 z0 (đúng)  ... 27kabe (ding vi k >8) Bài toán3 — ; Chứng minh với sô thực dương a, b, c ta có: 1 ø+b+c -+ + ST a be yg— abc IMO LongList 1967 Lời giải (Posted by Red Devils) ‘Bat đẳng thức cần chứng minh tương... ©ab+bc+ca>9abc (*) ding vi ab+be+ca > 33{(abc)’ >9abe (*) a+b+c ,do Vabe < | = Vậy bất đắng thức chứng minh Bài toán Cho a, b, c, đ số thực có tơng Chứng minh rằng: (ab+ac+ad +be+bd +cdy +12 >6(abc... ab+be+ca—abc Khong mat tông quát giả sử: a—1