Bài toán 1 Cho ø sô thực tuỳ ý x,, x;, , x„ Chứng minh răng: Xx, 1+ x ott x, ><vn l+x, l4+x74+4x5 lt xp te tx, IMO Shortlist 2001 Loi giai (Posted by Conan Edogawa)
Dat y, =Ly, =l+x7+.+47,Visl<n>x, = Jy,-y,,- BDT tương đương với: Ý“——“= 1,3, VY 3a
3ì 3; Vn
Ap dung BDT Cauchy Schwarz ta được:
Vi=% ,VMAM VIA n[ oP Bos Mo) J M 2 2 2 Yn yy Ỳ› Yn Cần chứng minh: `ˆ¬1 1 ố MN Yr Vn De thay: vr <M MIM yet Mr FE ET dt yt dt te, Yon 33; Vn-Yn Yo MN Mi ye Yn Vn Vn Vay 1+ 5 ate = ~<⁄n ltxc lt+x7 +x; Lt xp te +x, Bài toán2 — - Chứng minh răng với mọi sô thực dương a, b, c ta có: a b i c >I
Va?+8be Vb? +8ca Vc? +8ab
Loi giai (Posted by Red Devils and Conan Edogawa) Ta sẽ đi chứng minh bài toán tổng quát hơn sau: Bài toán tổng quát (Posted by trungdeptrai)
Với a,b,c >0 và k >8 Chứng minh rằng: a + b + c > 3 Vatkbe Ve +kea Ajc+kab VI+k IMO Shortlist 2001 Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta được: (Eee |e
Tiếp tuc 4p dung BDT Cauchy- Schwarz:
Trang 2Do đó: 2 (=>) (Sa)(S6+keo)2[S:——](Seirsw]} >(Xsÿ a) (da) ~ b va” | ề (3) +kabe)) Cần chứng minh:
(k+1)(Sa) >9(¥ (a’ + kabe))
<> (k-8)(a’ +b’ +c°)+3(k +1)(a+b)(b+c)(c+a) > 27kabe (ding vi k >8) Bài toán3 — ; Chứng minh răng với mọi sô thực dương a, b, c ta có: 1 1 1 ø+b+c -+ + ST yg— a be abc IMO LongList 1967 Lời giải (Posted by Red Devils)
‘Bat đẳng thức cần chứng minh tương đương với a”bÌc` +b°c*aŠ + c?a*b) < aŠ + bŠ + cŠ
Ap dung BDT AM-GM ta được: ape ota th tp + + ttc! _2 6355308 8 8 8 8 Tuong tu: Cộn từng về của 3 BĐT trên cho ta dpem Bài toán 4 „ ` Với mọi sô thực dương 4, b, c thỏa mãn đăng thức a+b+ c=1 Chứng minh răng: L + L + L % 1
ab+2c°+2c be+2a°+2a ca+2b°+2b ab+bc+ca
14" Turkish Mathematical Olympiad, 2006 Lời giai (Posted by Minh Tuan) 2 ?p? ab Ta có:V7 =3” ab +2a°b’c’ +2a°b’c Yah +6a°b°c +2abc) ab 373 ar 250 2 3/3 (2 Cần chứng minh:
(Sab) >S)á*b) +6a°b?c +2abc 3` ab
Trang 3-4bc(a +b)(b+c)(c +a) = 2abc(ab + be + ca)
> 9(a+b)(b+c)(c +a) = 8(ab+be+ca)
<=9(c)(a)(b)8Đ(ab + bc + ca) âab+bc+ca>9abc (*)
a+b+c | (*) ding vi ab+be+ca > 33{(abc)’ >9abe ,do Vabe < 5 = 5 Vậy bất đắng thức được chứng minh
Bài toán 5
Cho a, b, c, đ là các số thực có tông bằng 0 Chứng minh rằng:
(ab+ac+ad +be+bd +cdy +12 >6(abc + abd + acd +bcd )
Loi giai (Posted by 11931110) Xét phương trình: ƒ(x)=(x—4)(x—b)(x—e)(x—đ)=0 © x'+() ab)? -(S abe) x+abed =0(do a =0) = f(x) =4x +2(Yab)x-(Yabe)=0 @) Do f(x) c6 4 nghiém, nén theo dinh li Rolle phương trình ƒ(x) = 0 có 3 nghiệm, giả sử các nghiệm đó là p, 4, r Ta có: #@Œ)=4Œœ~p)\x~4)(x—r)=4#`~4(5)p)3+” +4(Ö) pạ)x—4pạr =0 (2) Đồng nhất (1) và (2) ta được p+a+r=0,3`ab=23 pạ, Ð_ abc = 4 pạr Và BĐT đã cho tương đương với (> pa) +32 6pqr c 5 (p4) +3>6pạr © f(P.4.")= (pa) +3~6pạr >0
BĐT hiển nhiên đúng nếu tồn tại 1 số bằng 0 BĐT cũng đúng nếu trong 3 SỐ p, g, r có Ì số âm Do vậy ta chỉ cần xét TH còn lại: có đúng 1 số dương trong 3 số p, g, r va khong
Trang 4Bài toán 6
Cho a,b,c >0;a? +b? +c? + abc = 4 Chimg minh rang: 0<ab+be+ca—abe <2
USAMO 2001
Loi giai (Posted by trungdeptrai)
Trong ba s6 a—1,b—1,c-—1 lu6n cé it nhat 2 s6 citing dau.Gia su hai s6 do la a—-1,b-1
Tacé: c(a—1)(b-1) 20 = abe > ac +be-c
Lai cé: a? +b? > 2ab> 4=a° +b? +c’ +abc > 2ab+c” +abe
=>ab<2-c
Vậy ab+be+ca—abc<2—c+be+ca~—(ae+be—e)= 2
Trong ba số ø—I,b—1,e—1 luôn có ít nhất 1 số không dương vì nếu cả 3 số đều dương thi a? +b’ +c? +abc > 4 Khong mat tông quát giả sử: a—1<0
Khi đó: ab+be+caT— abe = be(1-a)+a(b+c)20
Vậy 0<ab+be+ca- abe <2
Bài toán được chứng minh Bài toán 7 Cho a, b, c>0 Chứng minh răng: a’ =+ p + c <1 a*+Í(a® +bS)(d` +e)) bh+4[@S5+c9(b`+a°)) ct+‡f(c°+a5)(c`+b`)? Olympic 30/4 năm 2006
Lời giải (Posted by Red Devils) Ap dung BDT Holder ta co:
Ya OIG EY = Ya HONE aN +a") 2(Vare'e® )+ (Vata )= ae? tab?
Tương tự: ‡°+c°)(b`+a))° > a?b? +b°c?
ÂÍ(c° +aS)(c`+bỀ3) > b?c? +c?a? Suy ra: a’ bt c + + ai +3(a° +b’ ae t+cy b* + 4® +e5)(` + a`)? cht ta + b`} 4 2
<y 4-4 at+act+ab a+b +e SG =!
Vậy bài toán được chứng minh
Bài toán 8 `
Cho a, b, c dương thỏa mãn abc=1.Chimg minh rang:
Trang 5Lời giải
Vi abc=1 nên đặt a=, b=, =i
Zz x y Bat dang thức cần chứng minh trở thành:
(-x+y+z)(x-y+z)(£+ y—z)< xyz (Đây là BĐT Schur) Bài toán 9 ‹ Với a, b, c dương Chứng minh rắng: 2 2 2 2a }* 2b }*( 2c Jes b+c c+a a+b
Lời giai (Posted by Conan Edogawa) Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 sô dương: MOP 2002 Z 3 2 ote, bte >3) _, atb+e >( 2s) 2a 2a 2a a 2a 2 2 = 2a 3 ss 3a =>} 2a Sy 3atb+e) _ (đpcm) b+c a+b+c b+c a+b+c Bài toán 10 Cho x, y,z >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của: 7 76 p= xyz+2y` woo yz +2x zxX +2x yz ——
Dé chon DT vòng 2 Khối THPT chuyên ĐH KHTN- ĐHQG HN
Trang 6Bài toán 11 ; ` Cho a, 5, c là các sô thực không âm tùy ý Chứng minh rắng: a b c Sabc zt zt zt 21 (a+b) (ctay (ctay (a+b)(b+c)(c+a) SRR
Lời giải (Posted by Red Devils)
Đặt gas cys on t= ac? Khi đó ta có đẳng thức x+ y+z+xyz=0 b+c c+a a+b lại có: 2b l+x=-—,l+y= ,l+z= b+c c+a a+b BĐT cần chứng minh tương đương với: (I+z)`+(I+y} +(I+z}`+5(I+x)(+>y)(I+z)>8 c©> z1+39x1+35 x+3+5(I+5)x+5 xy + xyz) 28 Sv 439 x7 +3) x45) xy 20 = Div -3ayz4 3)) x? +5) xy 20 =5Œ+y+z)|(x=»Ÿ +(y-z) +(z—x} |+33x +5) xy 20 Không mắt tống quát gid sit a>b>c (a-b)(b-c)(c-a) b0 (a+b)(b+c)(c+a)—-
Vì vậy chỉ cần chứng minh 33 ` x” +5`xy >0 (1) Trường hợp xy+ yz+ zx>0: (1) hiển nhiên đúng
Ta có: x+y+z=—
Trường hợp xy+ yz+ zx<0: VI (1)=3(xt+ ytz) —(xy+ yztzx)20
Vậy bất đắng thức được chứng minh
Bài toán 12
Cho az, b, c>0 Chứng minh rằng:
1 1 1 3
a(i+b) (ite) (+a) Yabe [1+ Vabe)
Trang 7+3Ñabc —3 2 Do đó: : : + : > Nabe = 2 + > = đpem) a(I+b) b(I+c) c(I+a) I+abe Vabe (1+ Jabe ) c;e Bài toán 13 ` Cho a, b, c>0 thoa man ab+bc+ca=1 Chứng minh rang: ậ —+6b + ly tóc + [+ 6a <— IMO Shortlist 2004 Loi giai (Posted by Minh Tuan)
Trang 8ce’ (at+b)+a°(b+c) +b’ (c+a) 2 2c’ Vab +2a° be +2b°^lca = a 30 3 3 = = 2a! vb ve! ena (thee) -6|“) GAOT 3 3 2 >2(a+b+e)-|Š == >2(+b+e) Vậy bất đắng thức được chứng minh Bài toán 15 Cho a,b,c >0;ab + bc + ca = | Chứng minh rằng: Xa*+a+Alb`+b+c`+c>2Na+b+ec Tran TST 2008 Loi giai (Posted by Conan Edogawa) Áp dụng BĐT Mincowski ta có:
S» va +a => ya +a(ab+bc+ca) => Ja? (at+b+e)+abe =
> (Xava+b+e] +(3Vabe) = (a+b+c) +9abe
Cần chứng minh:
4(a+b+e)`+9abe > 2.|(a+b+c)(ab + be + ca)
© (a+b+c}`+9abe > 4(a+b+cc)(ab+ be+ ca) (Đây là BĐT Schur)
Vậy bất đăng thức được chứng minh Bài toán 16 Cho a,b,c >0,ab+be+ca= > Chứng minh rằng: 1 1 1 TT nan a-bc+l b-ca+l c-ab+] s3 China TST 2005 Lời giải (Posted by Red Devils) Ta có: 1 — 1 _3 2(ab+be+ca) _ a@—be+l a? +2be+3ab+3ca 2 a’ +2bce+3ab+3ca_ _3 —a”~ab— ca +1 _3 i a(a+b+c)
Trang 9BĐT (1) đúng vì: » ¬ => a > Đa) +2be +3ab + 3ca a`+2abc + 3a”b+3ca? va + 2abe +3a°b + 3ca’ 1 a+b+c 1 1 1 Vay =——— + + 83 a-bc+l b-ca+l c-ab+] Bài toán 17 Cho x, y, z>0 và x+y+z=l minh xx xzy+yz y+ yz es Tx +xy Lời giải (Posted by Red Devils) fl China TST 2006 A xy xy ae nC Tac6 AC TT > x+z > (x+y)(x+z)
=> NỔ ở x+y 2xˆy _ — >5 (y+z)a y
Trang 10yì = 1 T : —————.>—y-— —— ppuệng: eee +)_ = gứ**) 4 z >2z-1(x+y)—l (+x)(+y) 4ˆ 8 Cộng từng về của 3 BĐT trên ta được: 3 3 3 x y Z (+z)0+z) (+20+z) (+3)(0+y) >—(x+y+z}-—>—~.3Ÿxyz ——=— (đpem a! 1 y+2) 4 2 G3 1 3.3 ha 4 (tp )
Bài toán tống quát ‹ -
Với x, y, z là các sô thực dương có tích bang 1, ø là sô nguyên không nhỏ hơn 3 Chứng minh rang: ." y" 2" 3 = + + >~ d+y)d+z) (l+x)(+z) (l+x)+y) 4 (IMO Shortlist 2001) Lời giải (Posted by Red Devils) -
Ap dung bat dang thức AM-ƠM cho ø số ta có: — 4,311,711, 1ạ„j X0†9012/1 —mx d+»)d+z) 8 8 4” _" 4) 4 Tương tự ta có fal bat dang ue với y, z rồi cộng từng về suy ra: A+31Z 3 ai -3- > net ¬"- ,.' ': 4 4 4 4 4 4 4 Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z =] Bài toán 19
Cho x, y, z> 0 Chứng minh rang:
B(x? + xy t yy? + yet 27 M(z? + zx+x”) 2 (K+ Vz) Cay t yet ex)?
An D6 2007
Lời giải
Cách 1
Xét tam giác ABC diện tích là Š với M là diém Torricelli trong tam gidc va MA=x, MB=y, MC=z Theo dinh li ham so cos ta tinh được:
Trang 11Ta cũng tính được: 1 3 S =1 in130%0y+ yz+ #) =X (ay + 0 43 =? Daren Và: 2442452 , Gt pono TÔI tế Ay ee P44 43(xyt yet) a +b? +0? +4y38 2 2
Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với: 3a?b?c? > số (ái +b? +c? +438)
Ta di cé: 3abce >4Va? +b? +¢°S va a+b? +c’? > 4/38 nén:
16(a’ +b? +0°)S? _ 8(a? +b? +c? +.4V3S)S"
3 7 3
3a°b’c? = (dpem)
Cách 2
Thay x = a, y=D,z=c Ta sẽ chứng minh: