Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 275 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
275
Dung lượng
6,17 MB
Nội dung
2 Mục Lục Trang Lời nói đầu Phần Các toán vào 10 chuyên năm 2019 theo chủ đề Rút gọn biểu thức toán liên quan Bất đẳng thức Min-Max Phương trình 16 Hệ phương trình 26 Hàm số 32 Các tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế 37 Biểu thức 40 Các toán số học 42 Tổ hợp Logic 47 10 Các tốn hình học 50 Phần Hướng dẫn giải 61 Rút gọn biểu thức toán liên quan 61 Bất đẳng thức Min-Max 83 Phương trình 104 Hệ phương trình 143 Hàm số 169 Các toán lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế 184 Biểu thức 190 Các toán số học 197 Tổ hợp Logic 218 10 Các tốn hình học 227 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chuyên đề Căn bậc hai toán liên quan Câu (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Cho biểu thức: P = x x +1 − x với x ≥ 0, x ≠ 25 − − x − 25 x +5 5− x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P < Câu (Trường chuyên tỉnh Bình Định vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A 3 2 3 3 2 3 Câu (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) ( )( ) Rút gọn biểu thức: B =13 − + − 20 + 43 + 24 Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x, y số thực dương P =x + x + x y + y + y + y x + Chứng minh 3 x + y + x + y + =3 P Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức: A x 2x 3x 38x x 4x x = + Câu (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng năm 2019-2020) 1− 1+ − 1− + Tính giá trị biểu thức: A = Câu (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng năm 2019-2020) x −1 x x : 1 − với x ≥ 0, x ≠ x x + x − x −1 x +1 Cho biểu thức P = − a) Rút gọn biểu thức P Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC b) Tìm tất giá trị x để P ≥ Câu (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức A = x − ( x − 1) + x + ( x − 1) 1 − x > 1, x ≠ x −1 x − ( x − 1) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Câu (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng năm 2019-2020) ( a + 1)2 a +5 + − 1 Cho biểu thức: P = a −1 a a − a − a +1 a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Câu 10 (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: = P 3x + 16x − x +2 x −3 − x +1 x +3 − x −3 x −1 ( x ≥ 0, x ≠ ) Câu 11 (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức P = a−4 a−4 a +4 : , với a ≥ 0, a ≠ a +2 a −4 Câu 12 (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A = + + − + 5+ Câu 13 (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng năm 2019-2020) x 3x Cho biểu thức: M = − + x + xy + y x x − y y ( x − 1) ( x − y ) : x − y x + xy + y a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm số nguyên x cho biểu thức M có giá trị nguyên Câu 14 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) x 3 x 24 x 2 x Cho biểu thức:: A : , x x x x x x (với x 0, x 4, x ) Rút gọn biểu thức A Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ Câu 15 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Rút gọn biểu thức sau: A 27 12 a 1 2a , (với a 0, a ) : a a a a B Câu 16 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020) 1) Tìm điều kiện xác định: = A − x −1 x − = B 12 − 27 2) Rút gọn: 3) Rút gọn: = C a −1 −1 a −1 Câu 17 (Trường chuyên tỉnh Hịa Bình Chun Tốn năm 2019-2020) 3a + 9a − a −2 − + −1 a+ a −2 a −1 a +2 Cho biểu thức:= A 1)Rút gọn biểu thức A 2)Tìm giá trị a để A = Câu 18 (Trường chun tỉnh Hịa Bình dành cho tất thí sinh năm 2019-2020) Rút gọn: A= ( − 3)( + 3) + Câu 19 (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng năm 2019-2020) a +1 + a + 2a a −1 a) Cho a số thực khác −1 Rút gọn biểu thức = ÷ − P a −1 a −1 a −1 +3 a +1 b) Cho số thực x, y, a thoản mãn Chứng minh rằng: x2 + x4 y + y + y x2 = a x2 + y = a Câu 20 (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) 2x + x −1 2x x − x + x x − x − với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 1− x x 1− x x −1 1+ Cho P = a) Rút gọn P Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC b)Tìm giá trị x cho P = Câu 21 (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng năm 2019-2020) x x x 3 Cho biểu thức: P (với x ) : x 1 x x x x x x 1 Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P Câu 22 (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức A 2x 15 2x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Tìm x để A Câu 23 (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x Tính giá trị biểu thức A x 4x x x 2x 2019 Câu 24 (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất thí sinh năm 2019-2020) a) Tìm điều kiện x để biểu thức x 1 có nghĩa x3 a a a a b) Chứng minh đẳng thức 1 1 a a 0, a 1 a a Câu 25 (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vịng năm 2019-2020) 1) Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức P 2) Rút gọn tính giá trị biểu thức Q 2x x x 2 3 10 x 2020 2019 Câu 26 (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức sau: a) b) + (6 − 5) +3 Câu 27 (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức: H= x2 + x 1 (với x ≥ 0; x ≠ ) + − x −1 x +1 x −1 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC a) Rút gọn biểu thức H b)Tìm tất giá trị x để x−H 0, a ≠ a − a + a + 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị số nguyên Câu 31 (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho x = P x (2 − x) + + + − + Tính giá trị biểu thức= Câu 32 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) 2019 P = − Tìm điều kiện xác định biểu thức: x −3 x −9 Câu 33 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) a +1 a −1 Cho biểu thức: P = với a > 0, a ≠ − + a 1 a a a a − + 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị P = a + Câu 34 (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020) Với x > , xét hai biểu thức: A = Tìm tất giá trị x để 2+ x = B x x −3 x +9 + x x+3 x A > B Câu 35 (Trường chun tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Rút gọn biểu thức : C = − 33 + 128 − 3− Câu 36 (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng năm 2019-2020) x +3 x +2 x +2 x−2 + + − 1 : x − 3− x x −5 x + 6 x − x − Cho biểu thức: A = a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm x để = P 2A − đạt giá trị lớn x Câu 37 (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VỊNG ) năm 2019-2020) ( Tìm a , biết: ) ( a − 1) − ( a ( a − 1) a +1 − 2a + + a + a ( )( 2a + − a + ) a +1 )= Câu 38 (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng năm 2019-2020) x +2 x + x2 − x x + x − − Cho biểu thức A= với x ≥ ⋅ x +3 x − x +1 x x +1 Rút gọn biểu thức A tìm x để A = Câu 39 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) x + x x − x2 + x Cho biểu thức: P = với x > 0, x ≠ + − x x− x x x +x Rút gọn tìm giá trị nhỏ biểu thức P Câu 40 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức : A = −4 x − x + x −1 x −1 (với x ≥ ) + − x+3 x +2 x +1 x +2 a) Rút gọn biểu thức A ; b) Tìm giá trị lớn A Câu 41 (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng năm 2019-2020) a) Rút gọn biểu thức: A = 1 − x x +3 x +2 x +2 − + (với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ) : x +1 x − x −3 x−5 x +6 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC b) Cho x = ( − 1) 10 + 21 + + tính B = ( x + x − 2) 2019 Câu 42 (Trường chun tỉnh Thái Bình vịng năm 2019-2020) 1 xy ( x + y ) − xy (với x > 0; y > ) + + ⋅ x y + xy x x y y Cho biểu thức: = P Rút gọn biểu thức P Biết xy = 16 Tìm giá trị nhỏ P Câu 43 (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho: x = 70 + 4901 + 70 − 4901 Không sử dụng máy tính cầm tay, chứng minh x số nguyên tố Câu 44 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A = + 10 + + − 10 + Câu 45 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng năm 2019-2020) Cho x = + + − −1 Tính giá trị biểu thức P = x (x + 3x + ) Câu 46 (Trường chuyên tỉnh Tun Quang chun tốn năm 2019-2020) Tính tổng: = S 1 1 + + + + +1 5+ 7+ 2019 + 20192 − Câu 47 (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: T = ( ) 2a − 2 ( a − 1) a− a −2 với a > 0, a ≠ Câu 48 (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng năm 2019-2020) = P + : x −1 x − x a) Cho biểu thức: ( x +1 ) x −1 Tìm điều kiện xác định P giá trị x để P = b) Rút gọn biểu thức= A Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 46 − 61 + 69 − 28 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Câu 49 (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng năm 2019-2020) 2 1+ 1− Rút gọn: A = − − − 2 + − Câu 50 (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) ( Rút gọn biểu thức: A = − 27 − 20 ) + 15 Câu 51 (Trường chun tỉnh Bình Phước chun tốn năm 2019-2020) Cho biểu thức: A = ( ) x −3 x x −3 x +3 − + x −2 x −3 x +1 3− x a) Rút gọn biểu thức 𝐴 b) Tính giá trị biểu thức 𝐴 x= − Câu 52 (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020) Cho biểu thức= P x − x − x x + x −1 x +1 + − − ( x − 1) với x ≥ 0, x ≠ x +1 x + x +1 x −1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất số nguyên tố x để P ≤ Câu 53 (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020) x2 + x 2x − x 2x − Cho biểu thức = với x > + − P ⋅ x x +1 x − x +1 x − x +1 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh: P ≤ Câu 54 (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng năm 2019-2020) ( x − 1) x + x 2x − x + − Cho biểu thức: A = với x ≥ 0, x ≠ x +1 x − x +1 x −1 Tìm tất giá trị x để A ≤ Câu 55 (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng năm 2019-2020) P Rút gọn biểu thức:= 3x + 9x − x +1 x −2 − − x+ x −2 x 2 + x −1 Tìm x để P = Câu 56 (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng năm 2019-2020) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 x −1 − x x − x + x + Cho biểu thức: A = x+ . Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 57 (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng năm 2019-2020) Cho số thực x, y, a thoản mãn Chứng minh 3 x2 + y = a Chuyên đề Câu 1: x2 + x4 y + y + y x2 = a Bất đẳng thức-Min-Max (TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn: 4x + 4y + 17xy + 5x + 5y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 17x + 17y + 16xy Câu 2: (TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020) Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = xy ( x − )( y + ) + 13x + 4y − 26x + 24y + 46 Câu 3: (TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020) Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 1) 2) Câu 4: 1 1 + + = a+2 b+2 c+2 1 + + Tìm giá trị nhỏ nhất: P = a + b2 + b2 + c + c2 + a2 + Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) (TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020) Cho K =ab + 4ac − 4bc với a, b,c ≥ a + b + 2c = 2) Tìm giá trị lớn K Câu 5: (TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020) 1) Chứng minh rằng: K ≥ < a, b,c < Cho số thực a, b, c thỏa mãn 2a + 3b + 4c = Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 262 b) Do tứ giác OMEC nội tiếp (câu a) = (hai góc nội tiếp chắn cung OC) ⇒ OEC OMC = OCE (do tam giác OCE cân O) Mà OEC = IME (chứng minh trên) Và OCE = ⇒ IME OMC + EMA = + CMA = Mà IME 900 OMC 900 (do AB ⊥ IO) = ⇒ AMC AME c) ∆CMO ∆ICO có = ICO (= OEC ) CMO chung IOC ⇒ ∆CMO ∽ ∆ICO (g.g) CM IC = MO CO ⇒ CM CO = MO.IC ⇒ ⇒ CM CO = CM MO.IC ⇒ CM CM = (1) MO.IC CO = MOC (= IOC = OMC (câu b) ) theo câu a EMI Lại có ∆IEM ∽ ∆COM (g.g) (do IEM ⇒ IM CM = (2) IE CO Từ (1) (2) ta có IM CM IM MO IE = ⇒ = IE MO.IC MC IC Mà MA2 = MI.MO (hệ thức lượng tam giác vuông IAO) MA2 IE mà MA = MB = MC IC MB IE IE MB = ⇒ hay= MC IC IC MC ⇒ Câu 26 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 263 A T E O S F B C H M D a) 1,0 điểm) Ta có OM // AH (tính chất đường trung bình) mà AH ⊥ BC ⇒ OM ⊥ BC ⇒ OM đường trung trực đoạn thẳng BC (đpcm) b) (1,0 điểm) ∆FTB '' ∆FCS (g.g) FT FB = ⇒ FB.FC = FT FS (1) FC FS FH (2) FH tiếp tuyến đường tròn tâm A bán kính AH ⇒ FT FS = Từ (1) (2) suy FB.FC = FH FA FH ⇒ ∆FE ' H '' ∆FHA(c.g c) Gọi E’ giao điểm FA với (O) ⇒ FE '.= =90o ⇒ HE ' ⊥ AF Mà DE ' ⊥ AF ' H =FHA ⇒ FE ⇒ E '; H ; D ba điểm thẳng hàng ⇒ E ≡ F (đpcm) c) (1,0 điểm) Gọi I điểm đối xứng với H qua E Ta có AF đường trung trực đoạn thẳng HI nên FH = FI AH = AI , nghĩa I thuộc đường trịn tâm A bán kính AH 90o ⇒ FI tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH ∆AFI = ∆AFH (c.c.c) ⇒ AIF = AHF = I (3) Có ∆HBE '' ∽ ∆HDC ( g.g) ⇒ HB HE = ⇒ HB.HC = HD.HE = HM HI = HM HI HD HC = ⇒ Tứ giác IBMC nội tiếp ∆HBI '' ∽ ∆HMC (c.g c) ⇒ HBI HMC Lại có: FI = FB.FC (cùng FH ) ⇒ FI tiếp xúc với đường tròn ( IBMC ) I Kết hợp với (3) suy đpcm Câu 27 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 264 A F J G H K I O' B C M E X L O D a) Gọi E, F, G theo thứ tự chân đường cao AE, BF, CG tam giác ABC AK AH ∆AHK ∽∆AME (g.g ) ⇒ = ⇒ AK AM = AH AE AE AM AH AF ∆AHF ∽∆ACE (g.g ) ⇒ = ⇒ AC AF = AH AE AC AE AK AF Từ suy ra: AK.AM = AF.AC suy ra: AKF = ACM ⇒ ∆AFK ∽∆AMC ⇒ = AC AM ∆FBC vng F có FM đường trung tuyến ⇒ FM = MC = BC ⇒ ∆MFC cân M ⇒ MFC = MCF = ACB Xét tứ giác BHKC có: + + HKC HBC = HKM MKC + HBC + HBC = 900 + MFC ACB + HBC = 900 + 900 = 1800 = 900 + Suy ra: tứ giác BHKC nội tiếp + GHF = Ta có: AGHF nội tiếp ⇒ BAC 1800 = Mà GHF BHC (đối đỉnh) Lại có: BHKC nội tiếp ⇒ BHC = BKC = BLC (K, L đối xứng qua BC) Mà BKC + BLC = 1800 Suy ra: tứ giác ABLC nội tiếp Từ đó: BAC = LCB (ABLC nội tiếp, chắn cung BL) b) Ta có: LAB = KCM (K đối xứng L qua BC) Mà LCB = ⇒ LAB KCM (1) chung vµ MKC = ACB ∆AMC vµ ∆CMK cã KMC Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 265 = MAC ⇒ ∆AMC ∽∆CMK (g.g ) ⇒ KCM = MAC Từ (1) (2) suy ra: LAB (2) c) Ta có: ABDC hình bình hành MA = MD, MB = MC BDC = BAC Suy ra: = BHC + BDC = 1800 ⇒ BHCD nội tiếp BHC + BAC 1800 ⇒ Mà ⇒ B, H, K, C, D thuộc đường tròn AB // CD mà CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ CD ⇒ HD đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆BHC Gọi O trung điểm HD O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BHC Ta có: AI.AX = AH.AE AH AE = AK.AM suy ra: AI.AX = AK.AM AI AK AKI = AXM ⇒ IXMK nội tiếp ⇒ =⇒ ∆AKI ∽∆AXM ⇒ AM AX Suy ra: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆IXM Suy ra: đường tròn ngoại tiếp ∆BHC đường trịn ngoại tiếp ∆IXM có điểm chung K = ODK OD = OK (bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BHC ) ⇒ ∆OKD cân ⇒ OKD Gọi J trung điểm AH, IM đường trung bình tam giác AHD, JM cắt OK O’ (đồng vị) O ⇒ ∆O ' KM cân O’ ODK ' MK = ' MK = OKD ⇒ JM // HD ⇒ O Suy ra: O’ thuộc đường trung trực KM (*) Mặt khác: AHIK nội tiếp đường trịn tâm J, đường kính AH = (cùng chắn cung HI) JK = JI ⇒ HKI HAI = ⇒ HKI = ILK ILK AH // KL (cùng vng góc với BC) ⇒ HAI ⇒ HK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆KIL Mà HK ⊥ AM suy tâm đường tròn thuộc AM Lại có BC đường trung trực KL M thuộc BC Suy ra: M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆KIL Suy ra: MK = MI Mà JI = JK suy ra: JM trung trực IK (**) Từ (*) (**) suy ra: O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆IXM Mà ta có: OO’ = OK – O’K Suy ra: đường trịn ngoại tiếp ∆BHC đường tròn ngoại tiếp ∆IXM tiếp xúc với K Câu 28 1) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 266 Chứng minh DO đường cao tam giác DAB D,P,O thẳng hàng Chứng minh ABKC hình thang Chứng minh ABKC hình thang Suy diện tích chúng đặt S X Hai tam giác KCP KPD có đường ao nên dt ( ∆KCP ) S1 CP ( với S1 diện = = dt ( ∆KPB ) S X PB tích ∆CPK ) Hai tam giác ACP APB có đường cao nên dt ( ∆ACP ) S X CP = = ( với S diện tích ∆APB dt ( ∆APB ) S PB r4 r2 S1 S X = S S = S ⇒ ⇒ X ⇒ SX = = 12 S X S2 Vậy diện tích tứ giác ABKC r 3 r r 3r dt ( ABKC ) = S1 + S + S X = + + = 12 3 2) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 267 Vẽ tia tiếp tuyến Bx hình vẽ, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE, ta có = CAB ( chắn cung CB ) CBx = CAB ( tứ giác ACED nội tiếp) BED = BED ⇒ Bx // DE Suy CBx Mà BO ⊥ Bx IQ ⊥ DE ( đường nối tâm) ⇒ BO // IQ Tương tự vẽ tiếp tuyến By (I) ta suy BI // OQ suy BOQI hình bình hành Suy OB = IQ IB = OQ mà OB = OM IB = IM ⇒ OM = IQ IM = OQ ⇒ Tứ giác OIQM hình thang nên OI // MQ Mà OI ⊥ BM ⇒ QM ⊥ BM Câu 29 1) a) Ta có: AE, AF hai tiếp tuyến đường tròn ( I ) , suy ra: AE = AF, AI phân giác góc EAF ∆AEF cân A, AI đường phân giác AI đường cao tam giác AE ∆EAI vuông E, EK đường cao suy AE = AK AI chung Xét ∆AEN ∆ADE có EAN Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 268 AEN = ADE ( Hệ góc tạo tiếp tuyến dây cung) Do đó: ∆AEN ∆ADE (g.g) ⇒ AE AN = ⇒ AE = AN AD AD AE Ta có: AK.AI = AN.AD ( AE ) Xét ∆ANK ∆AID có: chung KAN AN AK = ( Do AK.AI = AN.AD) AI AD Do đó: ∆ANK ∆AID (c.g.c) AKN = ADI ⇒ Do đó: DNKI nội tiếp Vậy bốn điểm I,D,N,K thuộc đường tròn b) Do MD tiếp tuyến ( I ) nên MD ⊥ ID + MDI = 900 + 900 = 1800 Tứ giác MKID có MKI Do đó: MIKD nội tiếp, suy M,N,K,I,D thuộc đường tròn Suy ra: MNI = MKI = 900 ( Ta có: MN ⊥ IN N ∈ ( I ) ) Vậy MN tiếp tuyến đường tròn ( I ) 2) a) Ta có: AKB = AEB ( chắn AB đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB Mà ABE = AEB ( tính chất đối xứng ) suy AKB = ABE (1) Ta có: AKC = AFC ( Cùng chắn cung AC đường tròn ngoại tiếp ∆AFC ) Mà AKC = ACF = AFC ( tính chất đối xứng) suy ACF (2) ) (3) Mặt khác ABE = ACF ( Cùng phụ BAC AKB = AKC hay KA phân giác tron BKC Từ (1), (2) (3) suy Gọi P, Q giao điểm BE với AC CF với AB Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 269 1= 600 = 1200 nên BC = R ,= BAC BOC Ta có: BOC ABP = 300 Hay Trong tam giác vuông ABP có: = APB 90 = , BAC 600 , suy ABE = ACF = 300 Tứ giác APHQ có: AQH + APH = 1800 = 1200 ( đối đỉnh) + PHQ = = 1200 ⇒ BHC Suy PAQ 1800 ⇒ PHQ AKC = ABE = 300 , AKB = ACF = ABE = 300 Ta có: = ACF + ABE = 600 AKC + AKB = AFC + AEB = Mà BKC + BKC = Suy ra: BHC 1800 Do tứ giác BHKC nội tiếp b) Gọi ( O ' ) đường tròn qua bốn điểm B,H,C,K Ta có dây BC = R nên bán kính đường trịn ( O ') bán kính R đường trịn ( O ) BKC = 60 = BAC Gọi M giao điển AH BC suy MH ⊥ BC; Kể KN vng góc BC ( N ∈ BC ) , gọi I giao điểm HK BC Ta có: S BHCK = S BHC + S BCK = 1 BC.HM + BC.KN = BC ( HM + KN ) 2 1 S BHCK ≤ BC ( HI + KI ) = BC.KH ( Do HM ≤ HI , KN ≤ KI ) 2 Ta có: KH dây cung đường tròn ( O '; R ) Suy KH ≤ R (không đổi), nên S BHCK lớn KH = 2R HM + KN = HK = 2R = S BHCK Gía trị lớn = R 32 R 3R Khi HK đường kính đường trịn ( O ' ) M,N,I trùng nhau; suy I trung điểm BC nên ∆ABC cân A; Khi A điểm cung lớn BC Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 270 Câu 30 a) � = 180˚ − 𝐵𝐷𝐸 � (hai góc kề bù) Có 𝐸𝐷𝐹 � − 𝐷𝐶𝐸 � =𝐴𝑁𝐶 � − 𝐷𝐶𝐸 � = 𝐴𝑁𝐶 � − 𝐸𝑁𝐶 � = 𝐴𝑁𝐸 � (Do cung DE = EC ) � =180°-𝐷𝐸𝐶 ⇒ 𝐸𝐷𝐹 Suy ∆DEF đồng dạng với ∆NEA b) Ta có EB = EC = EM E điểm cung BC theo giả thiết � suy AE trung trực đoạn thẳng EM = EC Mặt khác AE tia phân giác 𝐵𝐴𝑀 BM hay vng góc với tia NM � , suy NE đường Chứng minh tương tự NE tia phân giác 𝐵𝑁𝐶 trung trực đoạn thẳng MC hay NE vng góc với AM Từ hai điều ta có M trực tâm ∆AEN c) Gọi giao điểm AM với EN X , BN với AE Y Gọi giao điểm IM với đường tròn ( O ) T Dễ thấy ATNM hình bình hành nên TN vng góc với EN suy ET đường kính đường trịn ( O ) � = 90° hay 𝑀𝐾𝐸 � = 90° hay K thuộc đường tròn đường kính EM , suy năm ⇒ 𝐸𝐾𝑇 điểm X , Y , M , K , E thuộc đường tròn � = 𝐾𝑀𝑋 � = 𝑋𝐸𝐾 � = 𝑁𝐸𝐾 � = 𝑁𝐵𝐾 � (do tứ giác MEKX nội tiếp) Ta có 𝐾𝑀𝐶 Suy CM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 271 Câu 31 a) Xét ∆ABC ∆ADB có: BAD chung; ABC = ADB = sđBC ⇒ ∆ABC ∆ADB (góc-góc) AB AD ⇒ = ⇒ AC.AD = AB2 (3) AC AB Do đường trịn (O), A cố định ⇒ AB khơng đổi ⇒ AC.AD không đổi AH.AO (4) b) ∆ABO vuông B, đường cao BH ⇒ AB = AC AO Từ (3) (4) ⇒ AC.AD = AH.AO ⇒ = , mà OAD chung AH AD ⇒ ∆AHC ∆ADO (cạnh-góc-cạnh) = (5) ⇒ Tứ giác CHOD nội tiếp ⇒ AHC ADO c) Tứ giác CHOD nội tiếp ⇒ OHD = OCD (6) = hay OCD = ADO (7) ODC ∆COD cân O ⇒ OCD OHD Từ (5); (6) (7) ⇒ AHC = Mà AHC + BHC = OHD + BHD = 90 ⇒ BHC = BHD , BH cố định ⇒ ĐPCM ⇒ BH phân giác CHD Câu 32 1/ Do tứ giác M E C D, M B F D nội tiếp nên DEC = DMC = DFB Tứ giác ABDC nội tiếp nên DCE = DCA = DBF (1) ( 2) Từ (1) (2) suy ∆BDF − ∆CDE ( g − g ) đpcm Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 272 A A x E O E O B B C M Q F D N F M P C D = CDE (do ∆BDF ~ ∆CDE ), suy BMF = EMC EDC BDF 2/ Ta= có BMF BDF , EMC = Vậy E, M, F thẳng hàng Từ hai tứ giác MECD, MBFD nội tiếp suy AB, AF = AM ⋅ AD = AE ⋅ AC ,suy tứ giác BECF nội tiếp Do AFE = ACB Vẽ tiếp tuyến Ax (O) ,suy Ax // EF Vậy OA ⊥ EF ACB = BAx PN EN QN FN NE AE = , = 3/ theo tính chất phân giác ta= có suy PC EC QB FB NF AF PN QN EN FN EN FB AE FB AB FB : : = = , = ⋅ = ( 3) PC QB EC FB FN EC AF EC AC EC Ta có = AB BF CE AB.BF MB S DAB S DAB S BDF SCDE ⋅ ⋅ = = = = MC S DAC S BDF SCDE S DAC BF CE AC CE ⋅ AC Từ (3) (4) suy ( 4) PN QN = , hay PQ // BC PC QB Câu 33 A P E T K B F H Q C I Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 D TÀI LIỆU TOÁN HỌC 273 a) Tia CT cắt cạnh AB P (cùng phụ với ABC = TCB ), TCB = DCB (T D đối xứng qua BC) Ta có DAB ⇒ ABDC tứ giác nội tiếp ĐỀ Do DAB = DCB DBH IHD Suy = DIH = DAC = IBD = ACD ĐỀ Do hai tam giác ACD IHD đồng dạng = BDI b) Tứ giác IBHD nội tiếp nên BHI Tứ giác DHKC có hai đỉnh H K nhìn đoạn DC góc vng nên nội tiếp = KDC Suy KHC = BDC (cùng bù với BAC ) Các tứ giác ABDC AIDK nội tiếp nên IDK = KDC Do BHI = KHC Vì I K nằm khác phía đường thẳng BC Suy BDI nên ba điểm I, H, K thẳng hàng Hai tam giác ACD IHD đồng dạng với có DE DF đường trung tuyến nên DC DE = DH DF = FDH = FDE Suy HDC Hai tam giác DCE DHF đồng dạng nên EDC Do hai tam giác HDC FDE đồng dạng suy DFE = DHC = 90o Vậy tam giác DEF vuông F = BCD nên hai tam = BDA Lại có BAD c) Trên cạnh BC lấy điểm Q cho QDC AB AD = CQ CD AD DI Hai tam giác AID CHD đồng dạng nên = CD DH AB CQ AB DI Suy hay (1) = = DI DH CQ DH = BDA nên HDC = BDQ Vì QDC giác DBA DQC đồng dạng Suy BQ DB (2) = AC DA Mặt khác ABD Vì KHD Ta có BAD = BCD = HKD = 180o − IHD = 180o − IBD, = IHD nên ABD = KHD IBD Suy hai tam giác BDQ ADC đồng dạng Suy hai tam giác ABD KHD đồng dạng Do Từ (2) (3) suy DB DH (3) = DA DK AC BQ BQ DH hay (4) = = DK DH AC DK Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 274 Từ (1) (4) suy AB AC CQ BQ BC + = + = DI DK DH DH DH Câu 34 A E O M K P C B Q N D F Có BFD = DM = C DEC;FBD = ACD = DCE ⇒ ∆BDF ∽ ∆CDE BM F (cùng chắn cung FB) Tứ giác BMDF nội tiếp ⇒ BDF = Tứ giác CEMD nội tiếp ⇒ CDE = CM E (cùng chắn cung EC) Do ∆BDF ∽ ∆CDE (cmt) ⇒ BDF = CDE (hai góc tương ứng) ⇒ BM F = CM E Mà điểm B; M; C thẳng hàng ⇒ Các điểm E;M;F thẳng hàng (đpcm) 0 180 − AOC 180 − 2ABC *) Kẻ AO cắt EF K; OAC = K AE = OCA = = = 900 − ABC 2 ⇒ K AE = 900 − ADC = 900 − AEK ⇒ AEK + K AE = 900 ⇒ AK ⊥ K E ⇒ AO ⊥ EF Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 275 ∆ABM ∽ ∆ADF ⇒ AE AM AF AM = , mà BM = CM (gt) = ∆ACM ∽ ∆ADE ⇒ ED CM DF BM ⇒ AF AE FN DF FN AF = = ⇒ = (do ) NE AE DF ED NE DE ⇒ FN BF FN NE QN NP = (do ∆BDF ∽ ∆CDE ) ⇒ = ⇒ = ⇒ PQ / /BC (sử dụng tính NE CE FB CE QB PC chất tia phân giác kết hợp với ta lét đảo) Câu 35 Hình vẽ: a) ( 1,0 điểm) nên chúng vng góc, suy + Có AD, AE phân giác ngồi góc BAC ED đường kính ( O ) + Lại có D điểm cung nhỏ BC ( O ) nên có OD vng góc với BC trung điểm M Vậy D,M,O,E thẳng hàng DE ⊥ BC = EMC = 900 nên EGMC tứ giác nội tiếp + Xét tứ giác EGMC có EGC = ECG , lại có ECG = EDA nên EMG = EDA , suy GM // AD + Suy EMG b) (1,0 điểm) + AE ⊥ AD MG // AD nên MG ⊥ FE Lại có EG ⊥ AC MF // AC nên EG ⊥ MF Từ suy G trực tâm tam giác MFE, FG ⊥ ME hay FG ⊥ DE + Có FG // MC ( vng góc với DE), FM // GC nên FMCG hình bình hành, suy FG = MC Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 276 HG ⊥ AE suy đường thẳng AE đường trung trực + Từ AE phân giác HAG đoạn HG Suy FH = FG Vậy FH = MC c) ( 1,0 điểm) = EGM ( cộng với ECB 1800 ), ( ECA ABE = GME + Từ EAB ), suy ∆EAB ∆EGM (g.g) , = ENA + Có N K trung điểm hai cạnh tương ứng AB GM nên EKG suy tứ giác EKNH tứ giác nội tiếp = 900 AHE = AGE = 900 ( Do H,G đối xứng qua AE) nên dẫn đến NKE + Lại có ( Có NE = EK + KN Từ KE + KN 2 2 ) ≥ ( KE + KN ) có 2NE ≥ ( KE + KN ) hay 2 KE + KN ≤ NE , có đpcm Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 31 (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019- 2020) Cho x = P x (2 − x) + + + − + Tính giá trị biểu thức= Câu 32 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019- 2020) 2019 P =... thức x1 + x 1 + = x1 x 2019 Câu 44 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019- 2020) Giải phương trình 2x 3x Câu 45 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019- 2020) Giải phương trình:... Câu (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019- 2020) Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2019 Chứng minh a − bc b − ca c − ab + + = a + 2019 b + 2019 c + 2019 Câu (Trường chuyên tỉnh