BẤT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Chúng ta có thể bắt đầu bằng bài toán dân gian sau Một người nông dân trồng được một cây khế thần có 99 quả chưa chín màu xanh và 100 quả đã chín màu vàng Một con Qu[.]
BẤT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Chúng ta bắt đầu tốn dân gian sau: Một người nông dân trồng khế thần có 99 chưa chín màu xanh 100 chín màu vàng Một Quạ đến ăn ngày hai khế nói với người nơng dân: “ Ăn trả cục vàng, may túi ba gang mang mà đựng” Quạ đến ăn hai khế khơng phân biệt xanh hay vàng Nếu Quạ ăn xanh vàng khế lại sinh xanh Nếu Quạ ăn hai vàng hai xanh khế sinh vàng Hỏi xảy trường hợp khế cịn lại màu vàng không? Giải Ta kí hiệu: Quả khế xanh X; khế vàng V; Quạ ăn +; khế sinh = Khi đó, tốn rút gọn sau X+X=V V+V=V V+X=X X+V=X Ta thấy số lượng xanh không đổi giảm sau lần Quạ ăn Vì số màu xanh lẻ số màu vàng chẵn nên cuối xanh Câu hỏi đặt tính bất biến tốn gì? Đó số xanh dù quạ có ăn khơng thay đổi thay đổi thay đổi cách cố định giảm hai Bài Trên bảng, người ta viết số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 2013, sau thực trị chơi sau: lần xóa hai số viết vào bảng số tổng hai số xóa Cứ tiếp tục trò chơi bảng lại số Hỏi số cuối lại bảng bao nhiêu? Giải Vì lần chơi ta thay hai số tổng chúng nên tổng số bảng không thay đổi thời điểm Tổng số lúc đầu 2013 1014049 nên ta số cuối 1014049 Ta nhận thấy bất biến tốn tổng số bảng khơng đổi thời điểm Bài Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 2012, sau thực trị chơi sau: lần xóa hai số viết vào bảng số hiệu hai số xóa (lấy số lớn trừ số nhỏ) Cứ tiếp tục trò chơi bảng lại số Hỏi số cuối cịn lại bảng số khơng? Giải Cách Vì lần chơi số số lẻ không đổi giảm lẻ chẵn lẻ chẵn chẵn chẵn chẵn lẻ lẻ lẻ chẵn lẻ Lúc đầu có 1006 số lẻ nên số lại cuối bảng phải số lẻ Do số cịn lại khơng thể số Bất biến toán số lượng số lẻ giảm không đổi sau lần chơi Cách Xoá hai số a, b thay hiệu a b tổng số bảng giảm đại lượng a b (a b) 2b số chẵn 2012 2025078 Tổng số lúc đầu số chẵn nên suy số lại cuối bảng số chẵn Bất biến toán tổng số bảng giảm đại lượng chẵn Bài Trên bảng, người ta viết 1000 chữ số 20 chữ số 3, sau thực trị chơi sau: lần xóa hai số viết vào bảng số tích hai số xóa Cứ tiếp tục trị chơi bảng lại số Hỏi số cuối cịn lại bảng bao nhiêu? Giải Vì lần thực trị chơi, ta thay số tích chúng nên tích số 1000 20 bảng không đổi thời điểm Tích số lúc đầu 3 59049 nên số lại bảng 59049 Bất biến tốn tích số bảng không thay đổi thời điểm Bài Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100, sau thực trị chơi sau: lần xóa hai số viết vào bảng số tổng lập phương hai số xóa Cứ tiếp tục trị chơi bảng lại số 2012 Hỏi số cuối cịn lại bảng số 20132013 không? Tại sao? Giải Cách Tương tự Bất biến số lượng số lẻ giảm không đổi sau lần thực Cách 3 Nếu thay hai số a, b a b tổng số bảng tăng đại lượng a b3 (a b) (a a ) (b3 b) (a 1)a (a 1) (b 1)b(b 1) số chia hết cho 3, nên tổng số bảng bội số 3, Tổng số lúc đầu 5050 chia dư nên số lại cuối bảng phải số chia dư 2012 Như số lại cuối bảng số 20132013 Bất biến toán tổng số bảng thời điểm bội số Bài Cho số tự nhiên có chữ số 12456789 Từ số người ta đổi vị trí chữ số Hỏi tạo số số phương hay khơng? Giải Khi ta thay đổi vị trí chữ số tổng chữ số khơng đổi 1 42 số chia hết cho không chia hết cho Suy số tạo thành chia hết cho không chia hết số phương Bất biến tốn tổng chữ số tạo thành không đổi Bài Trên bảng, người ta viết 20 dấu cộng 27 dấu trừ vị trí bất kì, sau thực trị chơi sau: lần xóa hai dấu viết vào bảng dấu cộng xóa hai dấu giống dấu trừ xóa hai dấu khác Cứ tiếp tục trò chơi bảng lại dấu Hỏi dấu cuối cịn lại bảng dấu gì? Giải Cách Như Bất biến số dấu trừ không đổi giảm sau lần thực Cách Ta thay dấu cộng số 1, dấu trừ số 1, thao tác thực xoá số viết lại số số viết lại tích chúng 1 1 1 1 1 Giả thiết cho tích số bảng nên số cuối lại bảng số 1, nghĩa bảng lại dấu trừ Bất biến tính khơng đổi tích số bảng Cách Thay dấu + số 0, dấu số Thao tác thực tổng số xoá đi, tổng số chẵn ta viết lại số 0, tổng số lẻ ta viết lại số 0 1 Như tổng số bảng số lẻ (bằng 27) số cuối bảng số lẻ Vậy bảng lại dấu trừ Bất biến tính khơng đổi tổng số chẵn Bài Trên bảng, người ta viết số nguyên, sau thực trị chơi sau: lần xóa số viết vào bảng tổng hai số lại trừ Cứ tiếp tục trò chơi bảng lại ba số 17; 1967; 1983 Hỏi ba số bảng ba số 2, 2, không? Giải Giả sử ba số viết bảng 2, 2, Sau bước ta nhận ba số 2, 2, 3, có số chẵn số lẻ Từ bước thứ hai trở đi, lúc kết có hai số chẵn số lẻ (Những số chẵn tổng số chẵn số lẻ trừ 1; số lẻ tổng hai số chẵn trừ 1) Nhưng kết số lẻ nên số 2, 2, Bất biến tính chẵn, lẻ ba số không thay đổi Bài Trên bảng cho số 2, 2, Ta xoá số thay vào tổng hai số lại trừ Hỏi sau số lần thực ta thu số 11; 1; 2011 hay khơng? Bài Có 2005 đồng xu, đồng xu có hai mặt, mặt màu xanh mặt màu đỏ Xếp đồng xu bảng cho mặt màu xanh ngửa lên Thực trò chơi sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép đổi bốn mặt bốn đồng xu tùy ý Hỏi nhận kết mà tất đồng xu có mặt đỏ ngửa lên hay không? Giải 1 Thay đồng xu mặt màu xanh ngửa lên số Thay đồng xu mặt 1 màu đỏ ngửa lên số Khi đó, cách thực theo đề mơ tả dạng khác sau 1 Bốn số xố thay số số đối Ban đầu có 2005 số tương ứng với 2005 đồng xu mặt màu xanh ngửa lên Ta thấy thay số a, b, c, d số a, b, c, d tích số thay vào a b c d abcd tích số ban đầu 1 Như vậy, thời điểm tích số khơng đổi Ban đầu có 2005 số nên 1 tích chúng 1 Suy thời điểm tích số ln Vậy không nhận kết mà tất đồng xu có mặt đỏ ngửa lên Bất biến tích số khơng đổi thời điểm Bài 10 Ngồi biển Đơng, hịn đảo giống tắc kè sinh sống có ba loại màu: màu xám có 133 con, màu nâu có 155 con, màu đỏ có 177 Nếu hai tắc kè khác màu gặp chúng đồng thời đổi sang màu thứ ba Trong trường hợp hai tắc kè màu gặp chúng giữ ngun khơng đổi màu Hỏi tình trạng đảo tất tắc kè trở thành màu không? Nhận xét Giả sử tắc kè đỏ tắc kè nâu gặp chúng đổi màu xám Khi đó, ta có 135 tắc kè xám, 154 tắc kè nâu, 176 tắc kè đỏ Số dư 135; 154; 176 cho 0; 1; Giả sử tắc kè đỏ tắc kè xám gặp chúng đổi màu nâu Khi đó, ta có 132 tắc kè xám, 157 tắc kè nâu, 176 tắc kè đỏ Số dư 132; 157; 176 cho 0; 1; Giả sử tắc kè xám tắc kè nâu gặp chúng đổi màu đỏ Khi đó, ta có 132 tắc kè xám, 154 tắc kè nâu, 179 tắc kè đỏ Số dư 132; 154; 179 cho 0; 1; Bất biến dù thay đổi màu số dư số lượng tắc kè chia cho có đầy đủ 0; 1; Nếu tất tắc kè có màu số dư số lượng tắc kè 0; 0; điều vơ lí Như khơng thể xảy tình trạng đảo mà tất tắc kè đổi thành màu Giải Mỗi trạng thái đảo gồm a tắc kè xanh, b tắc kè đỏ c tắc kè nâu với a b c 465 a; b; c Phép biến đổi màu chuyển từ trạng thái sang ba trạng thái a 1; b 1; c a 1; b 2; c 1 a 2; b 1; c 1 a 1 b 1 a 1 b a b 1 a b mod Ta thấy X Bất biến sai khác tắc kè xám số tắc kè đỏ theo modulo Lúc đầu X 2 (mod 3) tất tắc kè màu X 0 (mod 3) Vì vậy, khơng thể xảy tắc kè có màu Bài 11 Có 1981 tách trà đặt bàn Lúc đầu tất tách đặt ngửa lên Giả sử lần, người ta làm cho 200 tách chúng lật ngược lại Hỏi sau số lần vậy, làm cho tất tách úp xuống không? Bất biến số tách úp thay đổi lượng chẵn Bài 12 Trong dãy 1, 9, 9, 8,…mỗi chữ số chữ số thứ năm chữ số hàng đơn vị tổng chữ số liền trước Hỏi dãy có gặp 1234 5687 không? Bất biến sau số lẻ có số chẵn sau số chẵn số lẻ Bài 13 Cho n số nguyên dương lẻ Người ta viết số 1, 2, 3,…,2n bảng Sau đó, người ta lấy hai số a, b thuộc dãy trên, xóa chúng viết vào |a – b| Chứng minh sau số lần số cịn lại bảng cuối số lẻ Bất biến tính chẵn lẻ tổng số bảng Bài 14 Hai người chơi cờ, ván người thắng hai điểm, người thua điểm Nếu trận hịa người điểm Hỏi sau số ván cờ xảy trường hợp người điểm, người 10 điểm không? Tính chẵn, lẻ tổng điểm hai người chơi Bài 15 Một tờ giấy xé thành mảnh, số số mảnh nhỏ xé thành mảnh nhỏ số mảnh nhỏ xé thành mảnh… Vậy tiếp tục xé có ta 2002 mảnh giấy hay không? Được 2005 mảnh giấy hay không? Bất biến số mảnh giấy sau lần xé có dạng 4k + Bài 16 Có đống sỏi gồm viên sỏi nhỏ có số lượng tương ứng 19; 8; viên sỏi Ta phép chọn đống sỏi chuyển viên sỏi đống sỏi chọn sang đống sỏi thứ ba Sau số lần làm có khả tạo đống sỏi có 12 viên sỏi hay không? Bất biến theo modulo Bài 17 Một bàn cờ vua x Chứng minh xuất phát từ góc, mã qua tất bàn cờ, ô lần kết thúc ô góc đối diện với ô góc xuất phát Giải Mỗi lần đi, mã chuyển sang khác màu với mà đứng Vì lúc đầu mã đứng ô màu trắng sau số lẻ nước đi, mã chuyển sang ô màu đen sau số chẵn nước đi, mã chuyển sang ô màu trắng Và bất biến tốn Nếu qua tất ô bàn cờ, lần mã phải hết 63 bước Do mà kết thúc phải khác màu với ban đầu xuất phát Và khơng thể góc đối diện Bài 18 Trên bảng vng có x vng bao gồm 32 ô trắng 32 ô đen Nếu người chơi thay tất trắng thành ô đen ô đen thành ô trắng lúc hàng hay cột bất kì, thực hữu hạn bước thay đổi để bảng cịn đen hay khơng? Giải Nếu có k đen hàng cột trước thực trị chơi, sau chơi lần, số đen hàng cột k Do thay đổi số đen k k 8 2k số chẵn Do bắt đầu có 32 đen nên khơng thể cịn lại ô đen bảng bước biến đổi Bài 19 Tại vng bảng x viết số nguyên Ta chọn bảng nhỏ x x tăng tất số bảng nhỏ lên Với cách làm liệu nhận số chia hết cho tất ô vuông bảng 8 sau số hữu hạn lần thực khơng? Giải Mỗi hình vng cỡ 4 chứa 12 gạch chéo, cịn hình vng cỡ 3 chứa ô gạch chéo Như sau thao tác tổng số ô gạch chéo chia cho có số dư khơng đổi Vì từ đầu tính tổng khơng chia hết cho ô gạch chéo luôn chứa ô mà có chứa số khơng phải bội Vì vậy, khơng thể có nhận kết Bài 20 Một nhóm học sinh xếp thành hàng, hàng có người Thực trò chơi sau: sau hiệu lệnh người huy, người phải rời khỏi vị trí chuyển sang vị trí người gần khơng chuyển sang vị trí người hàng cột với mình, hai người chuyển tới vị trí Chứng tỏ sau hiệu lệnh người huy có chỗ trống Giải Ta xem học sinh đứng ô bảng ô vuông 9 Tơ màu hình vẽ Sau hiệu lệnh người huy, học sinh chuyển sang ô khác màu với ô học sinh đứng Có tất 45 đen 36 trắng nên sau hiệu lệnh người huy có trống Bài 21 Một hình trịn chia thành 2014 hình quạt Trong hình quạt có viên bi Thực trò chơi sau: lần cho phép lấy viên bi hai hình quạt chuyển sang bên cạnh theo hai chiều ngược Hỏi sau số lần chuyển hết viên bi vào hình quạt khơng? Giải Cách Ta tơ màu xen kẽ hình quạt, có 1007 ô tô màu 1007 ô không tơ màu Ta có nhận xét: Nếu di chuyển bi ô màu bi ô trắng tổng số bi 1007 màu khơng đổi Nếu di chuyển bi ô màu, ô bi tổng số bi màu giảm (ô trắng tăng 2) Nếu di chuyển bi ô trắng, ô bi tổng số bi màu tăng lên (ô trắng giảm 2) Như vậy, tổng số bi ô màu không đổi tăng giảm tức không thay đổi tính chẵn, lẻ Ban đầu có 1007 màu nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật tổng số bi 1007 màu ln khác khác 2014 Do khơng thể di chuyển tất viên bi ô Cách Tơ màu hình quạt màu đen, trắng cho hình quạt kề khác màu Gọi S(n) T(n) tương ứng số viên bi hình quạt màu đen số viên bi hình quạt màu trắng sau bước di chuyển thứ n Ta thấy tổng số viên bi ô trắng đen tăng 2, giảm khơng đổi Khi S(n) T(n) bất biến theo mod S T 1007 Do nên S(n) T(n) lẻ với n Do khơng thể có trạng thái mà tất viên bi hình quạt Cách Đánh số hình quạt từ đến 2014 Đặt S tổng số bi ô chẵn trừ tổng số bi ô lẻ Ban đầu S = Khi di chuyển viên bi từ ô chẵn sang ô lẻ, S giảm 2, cịn chuyển từ lẻ sang chẵn S tăng lên Do sau lần chuyển chỗ viên bi, S không đổi, giảm 4, tăng Như vậy, S chia hết cho Do khơng thể dồn tất viên bi ô Bài 22 dãy gồm ô vuông đánh số thứ tự từ đến 9, có viên bi Thực trò chơi sau: lần lấy hai viên bi ô vuông khác chuyển viên sang ô kề với ô chứa theo chiều ngược Hỏi sau số hữu hạn bước ta nhận kết là: a) Cả viên bi nằm khơng? b) Khơng có viên bi ô mang số thứ tự lẻ hay khơng? c) Có viên bi số khơng? Giải Mỗi viên bi ta gắn cho số thứ tự Gọi S(n) tổng số gắn viên bi sau bước chuyển thứ n Ta có S(n) đại lượng bất biến Vậy S(n) = S(0) = 45 a) S(n) = 45 nên tất viên bi nằm ô số b) Vì S(n) số lẻ nên phải có viên bi mang số lẻ c) Nếu có viên bi số viên bi khác cịn lại nên S(n) > 45 Do khơng thể có trường hợp viên bi ô số Bài 23 Một dãy có 19 phịng Ban đầu phịng có người Sau ngày có người chuyển sang phịng bên cạnh theo chiều ngược Hỏi sau số ngày có hay khơng trường hợp mà a) Khơng có phịng có số thứ tự chẵn b) Có 10 người phịng cuối Bài 24 Cho bảng hình vng có cạnh 10cm chia thành 100 vng nhỏ với cạnh cm Người ta đặt lên 25 hình chữ nhật có chiều cao 4cm chiều rộng 1cm, hình chữ nhật chia thành vng có cạnh 1cm Hỏi có hình chữ nhật bảng hình vng cho chúng phủ tồn bảng hình vng hay khơng? ( khơng chấp nhận hình chữ nhật lồi khỏi cạnh hình vng) Bài 25 Chứng minh bảng hình vng 10 x 10 khơng thể lát miếng hình vẽ sau: Bài 26 Một sân hình chữ nhật lát viên gạch hình chữ nhật kích thước x x Sau người ta bị viên x bổ sung thêm viên x Hỏi lát lại sân hay khơng? Bài 27 Một rôbôt nhảy mặt phẳng tọa độ theo quy tắc sau: Xuất phát từ điểm (x, y), rôbôt nhảy đến điểm (x’,y’) xác định sau: xy xy x' ; y' x y Chứng minh ban đầu rơbơt đứng điểm (2009;2010) khơng rơbơt nhảy vào đường trịn (C) có tâm gốc toạ độ O bán kính R = 2840 Bài 28 Trên bảng cho đa thức f ( x) x x Thực trị chơi sau, bảng có đa thức P x phép viết thêm lên bảng hai đa thức sau 1 Q x x f 1 , R x x 1 f x x 1 Hỏi sau số bước ta viết đa thức g x x 10 x hay không? Bài 29 Ở đỉnh lục giác lồi có ghi số chẵn liên chiều kim đồng hồ Thực trò chơi sau, lần lấy cạnh cộng số cạnh với số nguyên Hỏi sau số bước nhận kết số đỉnh lục giác hay không? Giải Giả sử đỉnh lục giác A, B, C, D, E, F số viết đỉnh ban đầu a, a + 2, a + 4, a + 6, a + 8, a + 10 Gọi S(n) hiệu tổng số đỉnh B, D, F tổng số đỉnh A, C, E Khi đó, S(n) đại lượng bất biến S(n) = S(0) = Mà theo đề bài, số đỉnh lục giác nhau, có nghĩa S(n) = điều khơng thể xảy Bài 30 Trên bảng ghi số từ đến 2005 Thực trò chơi sau, lần thay đồng thời tất số có bảng tổng chữ số Hỏi sau số lần ta nhận 2005 số mà số gồm chữ số có số Bài 31 2005 Mỗi số dãy ;2 ;2 ; ; thay tổng chữ số Tiếp tục làm với số nhận tất số dãy có chữ số Chứng minh dãy số số nhiều số số Bài 32 Hình vng 8 bỏ hai góc đối Có thể phủ phần cịn lại 31 quân đômino 12 không? Bất biến hiệu số số ô trắng số ô đen bảng Bài 33 Một quân cờ gọi “quân lạc đà” có nghĩa di chuyển sang kề sau di chuyển ba theo hướng vng góc với hướng vừa di chuyển Quân mã di chuyển theo hướng (1; 2), quân lạc đà di chuyển theo hướng (1; 3) Hỏi liệu quân lạc đà di chuyển từ sang kề khơng bàn cờ 10 10 ? Tô màu bàn cờ Bất biến quân lạc đà di chuyển ô màu hai ô kề khác màu Bài 34 Một bảng hình chữ nhật phủ kín khơng đè lên hình 14 2 Khi bỏ hình ngồi, làm hình 2 thay vào hình 14 Liệu dùng hình lúc phủ kín hình chữ nhật khơng? Bài 35 Xung quanh đường tròn ta viết 50 số theo thứ tự 1, 0, 1, 0, 0,…0 Cho phép tăng hai số viết liền lên đơn vị Có thể nhận dãy tất số sau số hữu hạn lần hay không? Bài 36 1 Xét đa giác 12 đỉnh A1 , A2 , , A12 Tại đỉnh A1 ta viết số , đỉnh 1 khác ta viết số Mỗi phép biến đổi ta đổi dấu k đỉnh liền kề đa giác Hỏi có 1 1 thể thu trạng thái đỉnh A2 viết số đỉnh lại viết số sau số hữu hạn phép biến đổi hay không? a) k = b) k = c) k = Bài 37 Mỗi số số a1 , a2 , , an nhận hai giá trị – Biết S a1a2 a3a4 a2 a3a4 a5 an a1a2 a3 0 Chứng minh n chia hết cho Bất biến S không thay đổi số dư chia cho ta đổi dấu số hạng liên tiếp Bài 38 (VMO 2006) Xét bảng ô vuông m n ( m, n số nguyên dương lớn 3) Thực trò chơi sau: lần đặt viên bi vào ô bảng (mỗi viên) mà thành hình đây: Hỏi sau số lần ta nhận bảng mà số bi ô không nếu: a) m 2004; n 2006 b) m 2005; n 2006 Bài 39 Các số tự nhiên 0, 1, 2, 3,… viết bảng vng kích thước 2003 2003 theo vịng xốy trơn ốc (xoay ngược kim đồng hồ) cho số nằm ô trung tâm (tâm bảng) Các dòng cột bảng đánh số tăng dần từ lên từ trái sang phải ( số 1) a) Số 2004 nằm dòng nào, cột nào? Vì sao? b) Thực phép tốn sau: lần đầu tiên, ta thay số ô trung tâm số 1998; lần tiếp theo, cho phép lấy 12 số 12 ô liên tiếp hàng cột hình chữ nhật 4 tăng số lên đơn vị Hỏi sau số lần ta làm cho tất số bảng bội 2004 hay không? Tại sao? Bài 40 Xác định số nguyên dương m, n cho bảng m n lát quân hình chữ L Bài 41 (IMO 2004) Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu hình gồm vng đơn vị hình vẽ hình nhận lật hình ( sang trái, sang phải, lên trên, xuống dưới) hình nhận xoay hình góc Hãy xác định tất hình chữ nhật m n , m, n số ngun dương cho lát hình chữ nhật viên gạch hình móc câu Bài 42 1 (Corolado MO 1997) Mỗi ô bảng 1997 1997 điền số (+1) Mỗi hàng ta tính tích Ri số hàng Mỗi cột ta tính tích Ci số cột 1997 Ri Ci Chứng minh i 1 khác không Bài 43 (Hungary MO 1989) Mỗi đỉnh hình vng đặt viên sỏi Thực thay đổi số sỏi theo quy luật sau: ta lấy số sỏi đỉnh thêm vào hai đỉnh kề bên số sỏi gấp đơi Hỏi nhận 1989; 1988; 1990; 1989 viên sỏi đỉnh liên tiếp hình vng hay khơng? Bài 44 (VMO 1992) Cho bảng hình chữ nhật 1991 1992 với 1991 hàng 1992 cột Kí hiệu vng nằm giao hàng thứ m (kể từ xuống) cột thứ n ( kể từ trái sang m, n phải) Tô màu ô vuông bảng theo cách sau: lần thứ tô ô r , s ; r 1, s 1 ; r 2, s với r; s hai số tự nhiên cho trước thoả mãn r 1989; s 1991 , từ lần thứ hai lần tô chưa có màu nằm cạnh hàng cột Hỏi cách tơ màu tất ô vuông bảng cho hay không? Bài 45 (VMO 1993) Cho đa giác lồi A1 A2 A1993 mà đỉnh ghi dấu cộng dấu trừ cho 1993 dấu có dấu Thực quy tắc thay dấu sau: lần, thay dấu đồng thời tất đỉnh Ai i 1, 2, ,1993 đa giác theo quy tắc: Nếu dấu Ai Ai 1 dấu Ai thay dấu Nếu dấu Ai Ai 1 khác dấu Ai thay dấu Quy ước coi A1994 A1 Chứng minh tồn số nguyên k 2 cho thực liên tục k lần phép A i 1, 2, ,1993 thay dấu nói trên, ta đa giác A1 A2 A1993 mà dấu đỉnh i trùng với dấu đỉnh sau lần thay dấu thứ Bài 46 (Rusian MO 1995) Cho ba đống sỏi khác Sisyphus thực di chuyển viên sỏi từ ba đống sỏi sang hai đống sỏi lại Mỗi lần chuyển sỏi, Sisyphus nhận từ Zeus số tiền hiệu số số sỏi đống sỏi lấy đống sỏi nhận thêm trước di chuyển Nếu số chênh lệch âm Sisyphus phải trả cho Zeus số tiền chênh lệch Sau số bước thực số sỏi đống trở ban đầu Hỏi số tiền tối đa mà Sisyphus nhận bao nhiêu? Bài 47 (Bungary MO 1997) Ba đống sỏi có 51, 49 viên Ta thực hai nước sau Một nước dồn hai đống tuỳ ý thành đống Nước khác chọn đống có số chẵn viên sỏi để chia thành hai đống Hỏi thực dãy nước để chia ba đống sỏi thành 105 đống mà đống có viên sỏi hay khơng? Bài 48 (Tạp chí Kvant) Cho dãy số 1, 0, 1, 0, 1, Từ số hạng thứ số chữ số tận tổng số hạng trước Chứng minh dãy số không chứa số hạng liên tiếp 0, 1, 0, 1, 0, Bài 49 (VMO 1991) Có 1991 học sinh đứng thành vòng tròn quay mặt vào để chơi trò chơi đếm số sau: Mỗi lần đếm số theo chiều kim đồng hồ học sinh A Các số đếm 1; 2; lặp lại theo thứ tự Nếu học sinh đếm số phải rời vị trí Học sinh lại cuối thưởng Hỏi học sinh thưởng đứng vị trí cách học sinh A đếm số đầu tiên? Bài 50 (VMO 1994) Tại đỉnh A0 đa giác lồi A0 A1 A2 An (n 3) ta đặt n viên bi Thực việc chuyển viên bi theo cách sau: lần lấy viên bi Ai đặt vào A i, j 0;1; ; n đỉnh kề Ai đồng thời lấy viên bi j với (có thể i j ) Hãy tìm tất giá trị n cho sau số hữu hạn lần hữu hạn việc chuyển bi nói cách thích hợp đỉnh A1 , A2 , , An có viên bi Tài liệu tham khảo [1] Phạm Minh Phương, Một số chuyên đề Toán tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông, NXB Giáo Dục, 2010 [2] Nguyễn Hữu Điển, Giải toán phương pháp Đại lượng bất biến, NXB Giáo Dục, 2005 [3] Lê Sáng, Vũ Đức Thạch Sơn, Bất biến phương pháp chứng minh ứng dụng giải tốn, Trường THPT chun Lê Q Đơn, Khánh Hồ [4] www.vnmath.com , www.diendantoanhoc.com , www.mathscope.com, www.boxmath.com ... bảng cho số 2, 2, Ta xoá số thay vào tổng hai số cịn lại trừ Hỏi sau số lần thực ta thu số 11; 1; 2 011 hay không? Bài Có 2005 đồng xu, đồng xu có hai mặt, mặt màu xanh mặt màu đỏ Xếp đồng xu... khảo [1] Phạm Minh Phương, Một số chuyên đề To? ?n tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông, NXB Giáo Dục, 2010 [2] Nguyễn Hữu Điển, Giải to? ?n phương pháp Đại lượng bất biến, NXB Giáo... chứng minh ứng dụng giải tốn, Trường THPT chun Lê Q Đơn, Khánh Hoà [4] www.vnmath.com , www.diendantoanhoc.com , www.mathscope.com, www.boxmath.com