Cac bai toan dem to hop lien quan den hinh hoc chon loc

DẠNG 4 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC Phương pháp Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán v[.]

Trang 1

DẠNG 4 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC Phương pháp:

Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp

1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

 Tất cả n phần tử đều phải có mặt  Mỗi phần tử xuất hiện một lần  Có thứ tự giữa các phần tử

2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

 Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần  k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự

3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

 Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần  Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng song song d d1, 2 Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d2 lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25vừa nói trên

A C C 102 115 B C C 101 152 C C C102 151 C C110 152 D C C C C 102 151 101 152

Lời giải:

Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau

Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào d1 và một đỉnh thuộc vào d2

Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 thuộc d1: C 102

Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc d2: C 151

Loại này có: C C102 151  tam giác

Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào d1 và hai đỉnh thuộc vào d2

Số cách chọn một điểm trong 10 thuộc d1: C 101

Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc d2: C 152

Loại này có: C C110 152  tam giác

Vậy có tất cả: C C102 151 C C101 152 tam giác thỏa yêu cầu bài tốn

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì khơng thẳng hàng

Hỏi:

1 Có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – khơng có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho

A.4039137 B.4038090 C.4167114 D.167541284

2 Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó thuộc vào 2010 điểm đã cho

A.141427544 B.1284761260 C.1351414120 D.453358292

Trang 2

1 Mỗi véc tơ thỏa yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 2010, nên số véc tơ cần

tìm là: A20102

2 Mỗi tam giác thỏa yêu cầu bài toán ứng với một tổ hợp chập 3 của 2010, nên số tam giác cần

tìm là: C20103

Ví dụ 3

1 Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt (n2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên Tìm n?

A.20 B.21 C.30 D.32

2 Cho đa giác đều A A1 2 A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A A1, 2, ,A2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm

1, 2, , 2n

A AA Tìm n?

A.3 B.6 C.8 D.12

Lời giải:

1 Tam giác cần lập thuộc hai loại

Loại 1: Tam giác có một đỉnh thuộc d1 và hai đỉnh thuộc d2 Loại này có C C tam giác 101 n2

Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc d2 và hai đỉnh thuộc d1 Loại này có C C tam giác 102 1nTheo bài ra ta có: C C110 n2C C102 1n28002( 1)10 45 2800 8 560 0 202n nnnnn        

2 Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A A1, 2, ,A là: 2n 3

2nC

Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác A A1 2 A2n cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm A A1, 2, ,A2n và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n nên số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm bằng C n2

Theo giả thiết: 23 2 2 (2 1)(2 2) ( 1)

20 203! 2nnn nnn nCC       n 8

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, khơng có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vng góc Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vng góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n1 điểm còn lại Số giao điểm của các đường thẳng vng góc giao nhau là bao nhiêu?

Trang 3

Gọi n điểm đã cho là A A1, 2, ,An Xét một điểm cố định, khi đó có Cn21 đường thẳng nên sẽ có Cn21 đường thẳng vng góc đi qua điểm cố định đó

Do đó có 21( 1)( 2)2nn nnnC    

đường thẳng vng góc nên có 2

(1)(2)2

n nn

C   giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau) Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại

* Qua một điểm có 2 1 ( 1)( 2)2

n

nn

C   

 nên ta phải trừ đi  2 

1 1

n

n C   điểm

* Qua A A A1, 2, 3 có 3 đường thẳng cùng vng góc với A A4 5 và 3 đường thẳng này song song với nhau, nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi 3C n3

* Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi 2C n3

Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: