DẠNG 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT Cho các véc tơ tùy ý , ,a b c và ,k l 1 Cộng véc tơ Lấy điểm O tùy ý trong không gian, vẽ , ,OA a AB b thì OB a b Quy tắc ba điểm Cho[.]
DẠNG CÁC BÀI TỐN VỀ VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN A LÝ THUYẾT Cho véc tơ tùy ý a, b, c k , l Cộng véc tơ: Lấy điểm O tùy ý không gian, vẽ OA a, AB b, OB a b Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K MN MK KN Trừ véc tơ: a b a (b) Quy tắc ba điểm: MN KN KM Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD ta có AC AB AD AA Tích véc tơ: Tích véc tơ a với số thực k véc tơ Kí hiệu k a +) Cùng hướng với a k +) Ngược hướng với a k +) k.a k a Hệ quả: Nếu I trung điểm A, B, O tùy ý OA OB 2OI Tích vơ hướng hai véc tơ +) Định nghĩa: a.b a b cos a, b +) Hệ quả: a b a.b 2 +) a a.a a +) Với ba điểm A, B, C ta có AB AC AB AC BC +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b Gọi a hình chiếu vng góc a đường thẳng chứa b thì: a.b a.b Định nghĩa: Ba véc tơ a, b, c gọi đồng phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng Các định lý: a) Cho a, b không phương: a, b, c đồng phẳng m, n : c ma nb ( với m, n xác định nhất) b) Nếu ba véc tơ a, b, c khơng đồng phẳng véc tơ x biểu diễn dạng: x ma nb kc với m, n, k xác định B CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh AB G trộng tâm cảu tam giác BCD Đặt AB b, AC c, AD d Phân tích véc tơ MG theo d , b, c 3 B MG b c d 6 3 D MG b c d A MG b c d C MG b c d Lời giải Đáp án A 3 3 A M D B G C 1 1 MB MC MD AB MA AC MA AD 3 3 1 1 AB MA AC AD AB AB AC AD 3 1 1 1 AB AC AD b c d 3 3 Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB CD Mệnh MG đề sau sai? AD BC A AC BD AD BC B MN C AC BD AD BC 4NM D MC MD 4MN Lời giải: Đáp án D A M B D N C B Đúng vì: AC BD AM MN ND BM MN NC 2MN AM BM ND NC 2MN A.Đúng vì: AC BD AD DC BC CD AD BC C.Đúng vì: AC BD AD BC AN 2BN AN BN 2 NA NB 4 NM Vậy D sai Ví dụ Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều, AD AC Giá tri cos AB, CD là: A 2 C B D Lời giải: Đáp án B Gọi N trung điểm CD Tam giác BCD nên BN CD Tam giác ACD cân A nên AN CD ta có: AB.CD AN NB CD AN CD NB.CD cos AB, CD Ví dụ AB.CD 0 AB CD Cho tứ diện ABCD có AB CD a; BC AD b; CA BD c Giá trị cos BC , DA là: a c b2 A B b2 c2 a2 C c2 a2 b2 Lời giải Chọn A BC.DA BC DC CA CB.CD CB.CA 1 CB2 CD2 BD2 CB2 CA2 AB2 2 1 AB2 CD2 BD2 CA2 2a2 2c2 a2 c2 2 2 a c a c2 Vậy cos BC , DA b2 BC DA D a b2 c2 Ví dụ Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD điểm S tùy ý Mệnh đề sau đúng? A AC BD AB CD B SA SC SB CD (Với S điểm tùy ý) C Nếu tồn điểm S mà SA SC SB SD ABCD hình bình hành D OA OB OC OD O giao điểm AC BD Lời giải Đáp án C A Sai AC BD AB CD AC AB DC DB B C (Vơ lí) B Sai vì: Gọi O O ' theo thứ tự trung điểm AC BD Ta có SA SC 2SO SB SD 2SO ' SO SO ' O O ' điều không ABCD hình bình hành C Đúng – Chứng minh tương tự ý B Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M trung điểm AA ' , O tâm hình bình hành ABCD Cặp ba vecto sau đồng phẳng? A MO, AB B ' C B MO, AB A ' D ' C MO, DC ' B ' C D MO, A ' D B ' C ' Lời giải Đáp án A D' C' A' B' D M C O A B Cách 1: Ta có MO// CDA ' B ' ; AB / / A ' B ' AB // CDA ' B ' , B ' C ' nằm mặt phẳng CDA ' B ' nên vecto MO, AB, BC dồng phẳng có giá song song hay nằm mặt phẳng CDA ' B ' 1 1 A ' B ' B ' C A ' B ' B ' C ' AB B ' C A'C 2 2 Vậy vecto MO, AB, BC đồng phẳng Cách 2: Ta có MO Ví dụ Cho tứ diện ABCD M N theo thứ tự trung điểm AB CD Bộ ba vecto đồng phẳng? A BC, BD, AD B AC; AD; MN C BC; AD; MN D AC; DC; MA Lời giải Đáp án C A M D B N C AD AM MN ND BC BM MN NC AD BC 2MN MN 1 AD BC 2 Vậy ba vecto BC; AD; MN đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M điểm đoạn AB MB 2MA N điểm đường thẳng CD mà CN kCD Nếu MN , AD, BC đồng phẳng giá trị k là: A k B k C k Lời giải Đáp án A D k A M N B Q D N C Qua M vẽ mặt phẳng song song với AD BC cắt AC P , BD Q CD N Ta có MP//PN //AD Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm mặt phẳng nên đồng phẳng Ta có CN 2 CD Vậy k 3 AD N điểm đường thẳng BD1 P điểm đường thẳng CC1 cho M , N , P thẳng Ví dụ Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 M điểm cạnh AD cho AM hàng MN Tính NP A B C D Lời giải Đáp án B P D1 C1 A1 B1 C D M A B Đặt AB a, AD b, AA1 c BN xBD1; CP yCC1 yc STUDYTIP Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo vecto a, b, c Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN NP 1 Ta có: MN MA AB BN 1 b a xBD1 b a x BA BC BB1 3 1 b a x a b c 1 x a x b xc 3 Ta lại có: NP NB BC CP xBD1 b yc x b a c b yc NP xa 1 x b y x c 3 Thay (2), (3) vào (1) ta được: 1 x x 3 x 1 x Giải hệ ta , x , y x y x MN Vậy NP Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, CB, AD G trọng tâm tam giác BCD, góc vectơ MG NP Khi cos có giá trị là: A 2 B C Đáp án: C Lời giải: Đặt AB a; AC b; AD c; 1 AG (a b c) MG AG AM (a 2b 2c) PN AN AP (a b c) Không tính tổng quát, giả sử độ dài cạnh tứ diện 1 a b c a.b b.c c.a 1.1.c os600 D cos cos( MG, PN ) MG.PN (*) MG PN Ta có: MG.PN (a 2b 2c)(a b c) 12 2 1 (a ab ac 2ab 2b 2bc 2ac 2bc 2c ) 12 12 1 (a 2b 2c)2 ; PN (a b c) 2 Thay vào (*) ta 1 cos 12 (*) 2 MG ... CDA '' B '' nên vecto MO, AB, BC dồng phẳng có giá song song hay nằm mặt phẳng CDA '' B '' 1 1 A '' B '' B '' C A '' B '' B '' C '' AB B '' C A''C 2 2 Vậy vecto MO, AB, BC đồng... Bộ ba vecto đồng phẳng? A BC, BD, AD B AC; AD; MN C BC; AD; MN D AC; DC; MA Lời giải Đáp án C A M D B N C AD AM MN ND BC BM MN NC AD BC 2MN MN 1 AD BC 2 Vậy ba vecto BC;... A B Đặt AB a, AD b, AA1 c BN xBD1; CP yCC1 yc STUDYTIP Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo vecto a, b, c Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN NP 1 Ta có: MN MA AB BN