Cac bai toan ve so nguyen to hop so chon loc

1 CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa  Số nguyên tố l| số tự nhiên lớn 1, có hai ước l| v|  Hợp số l| số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước Một số tính chất  Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q p  q  Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thừa số tích abc chia hết cho số nguyên tố p  Nếu a v| b khơng chia hết cho số ngun tố p tích ab khơng chia hết cho số ngun tố p Cách nhận biết số nguyên tố a) Chia số cho c{c số nguyên tố biết từ nhỏ đến lớn  Nếu có phép chia hết số khơng phải l| số nguyên tố  Nếu chia lúc số thương nhỏ số chia m| c{c phép chia số dư số l| số ngun tố b) Một số có ước số lớn số khơng phải l| số ngun tố Phân tích số thừa số nguyên tố:  Ph}n tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố l| viết số dạng tích c{c thừa số nguyên tố + Dạng ph}n tích thừa số nguyên tố số nguyên tố l| số + Mọi hợp số ph}n tích thừa số nguyên tố Chẳng hạn A  a b c , a, b, c l| c{c số nguyên tố v|  ,  , ,   N* Khi số c{c ước số A tính   1   1   1 a +1  b  1  c 1  Tổng c{c ước số A tính a 1 b 1 c 1 Số nguyên tố Hai số a v| b nguyên tố v|  a, b   C{c số a, b, c nguyên tố v|  a, b,c   C{c số a, b, c đôi nguyên tố v|  a, b    b,c    c,a   II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA B|i to{n liên quan đến số nguyên tố, hợp số thường có dạng tìm số ngun tố, hợp số thỏa mãn tính chất n|o đó, chứng minh số l| số nguyên tố hay hợp số, chứng minh c{c quan hệ chia hết, sử dụng tính chất số nguyên tố để giải c{c phương trình nghiệm ngun,< Ví dụ Tìm tất c{c số nguyên tố p để 4p2  6p2  l| số nguyên tố Lời giải Vì p l| số nguyên tố ta 4p2   6p2   Đặt x  4p2   5p2   p  1 p  1 ; y  6p2   4y  25p2   p   p   Khi  Nếu p chia cho dư dư  p  1 p  1 chia hết cho Suy x chia hết cho m| x  nên x không l| số nguyên tố  Nếu p chia cho dư dư  p   p   chia hết cho Suy 4y chia hết cho m|  4,   nên y chia hết cho m| y  Do y khơng l| số ngun tố Vậy p chia hết cho 5, m| p l| số nguyên tố nên p  Thử với p  x  101; y  151 l| c{c số nguyên tố Ví dụ Chứng minh 2n  l| số nguyên tố  n   2n  l| hợp số Lời giải Xét ba số tự nhiên liên tiếp l| 2n  1; 2n ; 2n  Trưng ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Do n  nên 2n   , m| theo giả thiết 2n  l| số nguyên tố, 2n  khơng chia hết cho Lại có n khơng chia hết cho Do suy 2n  chia hết cho Mà n  nên 2n   Từ ta 2n  l| hợp số Ví dụ Cho p, q, r, s l| c{c số nguyên tố lớn Chứng minh p2  q  r  s2 chia hết cho 24 Lời giải Trước hết ta chứng minh với p l| số nguyên tố lớn p2  chia hết cho 24 Thật vậy, ta có p2    p  1 p  1 Do p l| số nguyên tố lớn nên p  p  l| hai số chẵn liên tiếp Suy ta p2    p  1 p  1 chia hết cho Mặt kh{c ta lại có  p  1 p  p  1 chia hết cho 3, m| p l| số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Do p2    p  1 p  1 chia hết cho Để ý l|  3;   nên ta p2    p  1 p  1 chia hết cho 24 Chứng minh ho|n to|n tương tự ta q  1; r  1; s2  chia hết cho 24         Ta có p2  q  r  s2  p2   q   r   s2  Do ta p2  q  r  s2 chia hết cho 24 Ví dụ Tìm tất c{c cặp số nguyên tố  p; q  cho p2  2q  Lời giải Từ p2  2q  ta p2  2q  Do ta suy p l| số nguyên tố lẻ Từ ta đặt p  2k  với k  N* Khi ta  2k  1  2q   4k2  4k   2q   2k  k  1  q 2 Do q l| số chẵn nên q l| số chẵn M| q l| số nguyên tố nên q  Thay vào p2  2q  ta suy p  Vậy cặp số nguyên tố  p; q    3;  thỏa mãm yêu cầu b|i to{n Ví dụ Tìm tất c{c số tự nhiên n cho dãy n  1; n  2; ; n  10 có nhiều số nguyên tố Lời giải Cách Ta thấy n  1; n  2; ; n  10 l| 10 số tự nhiên liên tiếp Khi ta xét c{c trường hơp sau: + Trường hợp 1: Với n  , dãy số trở th|nh 1; 2; 3;