Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 17 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
17
Dung lượng
2,06 MB
Nội dung
1 Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG: I Quan hệ song song: * Ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt cắt theo giao tuyến song song đồng quy - Một đường thẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng * đường thẳng song song với mặt phẳng mặt phẳng chứa đường thẳng mà cắt mặt phẳng cắt theo giao tuyến song song với đường thẳng cho - Hai mặt phẳng chứa đường thẳng cắt song song với mặt phẳng mặt phẳng song song - Hai mặt phẳng phân biệt, mặt phẳng chứa cặp đường thẳng cắt tương ứng song song song song với - Giao tuyến mặt phẳng song song với mặt phẳng đường thẳng song song II Quan hệ vng góc khơng gian: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: a, b ( ) a + () a ( ), b ( ) ; + a ( ) a b {O} Hai mặt phẳng vng góc: ( ) a + ( ) ( ) ; a ( ) ( ) ( ),( ) ( ) c a ( ) + a ( ), a c ( ) ( ) c ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) c Góc: * Góc hai đường thẳng: ( a, b) ( a ', b ') a’ b’ qua O song song với a b + 00 ( a, b) 900 ; ( a, b) 900 a b * Góc đường thẳng a mặt phẳng (): + Góc đường thẳng mp() góc hình chiếu ’ () + Nếu cắt () O ta xác định hình chiếu () cách: lấy điểm A O, tìm hình chiếu H A () Góc () góc đường thẳng qua O H * Góc hai mặt phẳng () (): + Góc hai mặt phẳng () (): góc hai đường thẳng a b vng góc với () () + Để xác định góc hai mp () () ta thường làm sau: + Xác định giao tuyến c () () + Xác định mp(P) vng góc với giao tuyến c + Xác định giao tuyến a (P) với () giao tuyến b (P) với () M + Góc () () góc a b Khoảng cách: a H ① Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng a M Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng MH , với H hình chiếu M đường thẳng a Kí hiệu: d(M ,a) = MH H ② Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (a) MH , với H hình chiếu M mặt phẳng (a ) Kí hiệu: d(M ,(a)) = MH ③ Khoảng cách hai đường thẳng song song b M H a Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường đến đường d(a,b) = d(M ,b) = MH (M Ỵ a) ④ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( a ) song song với khoảng cách từ điểm M thuộc đường a đến mặt phẳng (a ) : d a, d M , MH M a ⑤ Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d , d a, d A, AH a , A a ⑥ a M H A B H K a Khoảng cách hai đường thẳng chéo - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a,b IJ gọi đoạn vng góc chung a,b c a I a I J J b b Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng * Kỹ xác định tính khoảng cách: *) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước Các bước thực hiện: Bước Trong mặt phẳng (M ,d) hạ MH ^ d với H Ỵ d Bước Thực việc xác định độ dài MH dựa hệ thức lượng tam giác, tứ giác, đường tròn, … a M a M H A M d K A d I H K Chú ý: Nếu tồn đường thẳng a qua A song song với d thì: d ( M , d ) = d ( A, d ) = AK ( A Ỵ d ) d ( M , d ) MI = Nếu MA Ç d = I , thì: d ( A, d ) AI O *) Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (a) O d Các bước thực hiện: H Bước Tìm hình chiếu H O lên (a ) H - Tìm mặt phẳng (b) qua O vng góc với (a) - Tìm D = (a) Ç (b) - Trong mặt phẳng (b) , kẻ OH ^ D H H hình chiếu vng góc O lên ( a ) Bước Khi OH khoảng cách từ O đến ( a ) Chú ý: Chọn mặt phẳng (b) cho dễ tìm giao tuyến với (a) Nếu có đường thẳng d ^ (a ) kẻ Ox / / d cắt ( a ) H O H A K Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú Nếu OA/ / ( a ) thì: d(O,(a)) = d(A,(a)) A O d(O,(a )) OI I = H K d(A,(a )) AI Ngoài tính trực tiếp ta tính gián tiếp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thông Nếu OA cắt (a ) I thì: 3VS ABC qua tốn thể tích VS ABC = d ( S , ( ABC )).S ABC Þ d ( S , ( ABC )) = S ABC *) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a,b Trường hợp a b: - Dựng mặt phẳng (a ) chứa a vng góc với b B - Trong (a) dựng BA a A b a B A AB đoạn vng góc chung b B Trường hợp a b khơng vng góc với Cách 1: (Hình a) a - Dựng mp (a ) chứa a song song với b - Lấy điểm M tùy ý b dựng MM () M A - Từ M dựng b// b cắt a A (Hình a) ¢ AB / / MM - Từ A dựng cắt b B AB đoạn vng góc chung M M' a A Cách 2: (Hình b) - Dựng mặt phẳng (a) ^ a O, (a) cắt b I - Dựng hình chiếu vng góc b b lên (a ) b B b' O - Trong mp (a ) , vẽ OH b H H I b' - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B (Hình b) - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A AB đoạn vuông góc chung Khoảng cách hai đường thẳng chéo a,b Cách Dùng đường vng góc chung: - Tìm đoạn vng góc chung AB a,b - d(a,b) = AB Cách Dựng mặt phẳng (a) chứa a song song với b Khi đó: d(a,b) = d(b,(a)) Cách Dựng mặt phẳng song song chứa a b Khi đó: d(a,b) = d((a),(b)) Thể tích khối chóp lăng trụ: + Vchóp S đáy h ; Vhộp Sđáy h ; Vlăng trụ S đáy h S - Din tích hình cầu thể tích khối cầu: C' A' + VcÇu R ; S xq 4 R B' Công thức tỉ số thể tích: Cho hình chóp tam giác S ABC Trên cạnh SA, AB, SC lấy A A VS ABC SA SB SC điểm A ', B ', C ' tùy ý Ta có: B VS A' B ' C ' SA ' SB ' SC ' * Chú ý: Cơng thức áp dụng cho hình chóp tam giác B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP I TOÁN CHỨNG MINH H B K O F C E C D Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú Bài Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vng góc với đáy DBC Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) b) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC Chứng minh rằng: OH (ADC) HD: a) + Chứng minh CD ^ ( ABE ) ; + Chứng minh AC ^ ( DKF ) b) OH giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với ( ACD) Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 2a, BC = CA = AD = a Gọi d đường thẳng vng góc với mp(ABCD) A, d lấy điểm S Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SB I cắt SC, SD J K a) Gọi O trung điểm AB, O' tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCIJ S Chứng minh OO' vng góc với mặt phẳng (SBC) b) Tìm điểm cách điểm A, B, C, D, I, J, K c) Gọi M giao điểm JK với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I d) Chứng minh S chạy đường thẳng d IK ln qua điểm cố định J O' HD: O B A a) Từ giả thiết suy hình thang ABCD nửa lục giác + Chứng minh: BD ^ ( SAD), BC ^ ( SAC ), AK ^ (SBD), AJ ^ ( SBC ) K BCJI OO '/ / AJ + Chứng minh: tứ giác tứ giác nội tiếp M D C b) Các điểm A, B, C, D, I, J, K nằm mặt cầu đường kính AB c) Chứng minh AM ^ AB ( AB đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ) d) Chứng minh IK qua giao điểm AM BD Bài Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thang cân, AB = 2a, CD = a góc BAD = 600 Trên cạnh AA’ BB’ lấy điểm M, N cho AM = 2x, BN = 2y Trên cạnh DD’ CC’ lấy điểm P, Q cho DP = x, CQ = y a) Chứng minh MP cắt NQ I mp (ABCD) b) MNPQ hình gì? Tính cạnh tứ giác theo a, x, y c) Tính y theo a x để MNPQ hình thang vuông M P Trong T.H tính cosin góc mp ABCD MNPQ theo a, x Bảng A – 2010 – 2011: Cho điểm O cố định số thực dương a không đổi Một hình chóp S.ABC thay đổi ln thỏa mãn đồng thời điều kiện: OA = OB = OC = a, SAOA, SBOB, SCOC, ASB 900 , BSC 600 , CSA 1200 Chứng minh: S a) Tam giác ABC tam giác vuông b) Điểm S cách O khoảng không đổi HD: a) Chứng minh SA= SB = SC Tính độ dài cạnh sử dụng I A C định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC tam giác vuông b) Gọi I trung điểm AC, chứng minh được: SI (ABC);ABC);); OI (ABC);ABC);) S, I, O thẳng hàng 2a B Tính SO = N Bảng A 2011 – 2012: Cho hình vng ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bm Dn vuông góc với mặt phẳng (ABCD) phía với mặt phẳng Lấy điểm M thuộc Bm điểm N thuộc Dn Đặt BM = x, DN = y n O K m M C D H A B Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú a) Tìm hệ thức x y để hai mặt phẳng (ACM) (CAN) vuông góc với b) Chứng minh x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện nêu phần a), đoạn vng góc chung AC MN có độ dài khơng đổi HD: · a) + Gọi H giao điểm AC BD Chứng minh MHN góc hai mặt phẳng (CAM ) (CAN ) BM BH · · + Chứng minh BMH từ suy hai tam giác D BMH : D DHN Þ Từ = = DHN DH DN tính 2xy = a b) Kẻ HK ^ MN Chứng minh HK đường vng góc chung AC MN Chứng minh HK = BD Bảng A: 2012 – 2013: Trong mp (P) cho đường trịn đường kính BC cố định M điểm di động đường trịn Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) B lấy điểm A cố định Gọi H, K hình chiếu B AM AC a) CMR M di động mặt phẳng (BHK) cố định A b) Xác định vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn HD: a) Chứng minh AC ^ ( BHK ) K BH + HK BK BH HK £ = (ABC);const) 4 Vậy BHK có diện tích lớn BH = HK BHK vng BK cân Khi BH = 1 1 1 = + = + Mà ; 2 2 AB BC BH AB BM BK 1 1 1 = Û + = + 2 2 BK BH AB BC AB BM b) S BHK = H C B M 4h R hR 1 1 h2 + R 2 BM = Û BM = = + = + = 2 2 2 2 h + 2R BM BC AB 4R h 4h R h2 + 2R (với R bán kính đường trịn (C), AB = h ) Mà B cố định M thuộc đường trịn tâm B bán kính hR h2 + 2R có hai vị trí M làm cho diện tích BHK đạt GTLN giao đường tròn (C) đường tròn (B;BM) Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Lấy điểm M cạnh BC, mp(MB’D) cắt A’D’ N a) Chứng minh NB’MD hình bình hành b) Chứng minh MN C’D c) Gọi H hình chiếu A MN Khi M chạy đoạn BC, tìm tập hợp điểm H II TỐN TÍNH TỐN Tính góc khoảng cách: Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B với AB = BC = 2a, AD = 3a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AB với AH = 2HB, biết SH = a Tính góc đường thẳng: a) SC AD; b) SC AB; c) SC HD; Tính góc đường thẳng mặt phẳng: d) SD (ABCD); e) SC (SHD); Ôn thi HSG HH12 f) SA (SHD); g) SB (SHD); HD: Góc hai đường thẳng Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú h) BC (SHD); i) SB (SAD) 31 · · a) Có BC / / AD Þ ( SC , AD) = SCB ; tính tan SCB = · b) Kẻ CN / / AB Þ ( SC , AB) = SCN · c) Kẻ CJ / / HD, HJ ^ CJ Þ ( SC , HD) = SCJ S Góc đường thẳng mặt phẳng · d) góc SD ( ABCD) SDH · e) Kẻ CI ^ HD Þ CI ^ ( SHD) Þ (SC , ( SHD )) = CSI · f) Kẻ AK ^ HD Þ AK ^ ( SHD) Þ ( SA,( SHD)) = ASK · g) Kẻ BE ^ HD Þ BE ^ ( SHD) Þ (SB, ( SHD )) = BSE · h) ( BC , ( SHD)) = CPI D I H P AD ^ ( SAB ) Kẻ · BM ^ SA Þ BM ^ ( SAD ) Þ ( SB, ( SAD)) = BSI Bài Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) SA = a , đáy ABCD hình thang vng A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) (ABC); b) (SAB) (SBC) c) (SBC) (SCD) HD: · a) Chứng minh BC ^ ( SAC ) Þ (( SBC ), ( ACB)) = SCA · b) Kẻ CI ^ AB, IM ^ SB Þ (( SAB ), (SBC )) = IMC i) N A B C J Có c) Kẻ AH ^ SA, AK ^ SC Chứng minh AH ^ ( SCD), AK ^ ( SBC ) · Þ (( SBC ), ( SCD)) = HAK S M K H I A D B C Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tâm O, cạnh a Biết SA = 2a SA ⊥ (ABCD) Tính khoảng cách: a) từ A đến (SBC); b) từ A đến (SCD) c) từ A đến (SBD) d) Gọi M trung điểm BC, tính khoảng cách từ A đến (SDM) e) Gọi I trung điểm SB, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DMI) S HD: a) Kẻ AH ^ SB Þ d ( A, ( SBC )) = AH b) Kẻ AK ^ SD Þ d ( A, ( SCD)) = AK I c) Kẻ AN ^ SO Þ d ( A, ( SBD)) = AN H N d) Gọi L trung điểm CD E giao điểm AL DM Chứng minh DM ^ ( SAE ) K B A Kẻ AF ^ SE Þ AF ^ ( SDM ) Þ AF = d ( A, (SDM )) 3VAMDI M O f) Có VAMDI = d ( A, ( DMI )).S DMI Þ d ( A, ( DMI )) = E S MDI D C 1 Mặt khác VAMDI = d ( I , ( ADM )).S ADM = SA AB AD a Tính S MDI cơng thức Hê rơng Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =2a, AD = a Biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB Tính khoảng cách từ: a) A đến (SBC); b) A đến (SCD) c) A đến (SBD) Tính khoảng cách từ: d) A đến (SCH); e) từ A đến (SDH) HD: Ôn thi HSG HH12 a) d ( A, ( SBC )) = 2d ( H , ( SBC )) b) d ( A, ( SCD)) = d ( H , ( SCD)) c) d ( A, ( SBD)) = 2d ( H , ( SBD)) d) Kẻ AM ^ CH Þ AM = d ( A, ( SCH )) e) AN ^ DH Þ AN = d ( A, ( SDH )) Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú Bài 5: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ trung điểm H AB dựng HS vng góc với mặt phẳng (ABCD) cho góc mp(SAD) mp(ABCD) 600 a) Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD); b) Gọi K trung điểm AD Chứng minh CK vng góc với SD tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) S c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) HD: a) Gọi M trung điểm CD Kẻ HN ^ SM Þ HN = d ( H ,( SCD)) N b) Chứng minh CK ^ ( SDH ) I · Q Kẻ KI ^ SD Þ SD ^ (CKI ) Þ (( SAD ), ( SCD)) = CIK Tính góc theo A K P D định lý côsin E c) Gọi E giao điểm CK HD Kẻ HP ^ SB, HQ ^ SE H M Chứng minh HP ^ ( SBC ), HQ ^ ( SCK ) Từ suy góc hai B C mặt phẳng (SBC) (SCK) góc HP HQ Bài 6: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi Ax đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) A, Ax lấy điểm S, đặt SA = h a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Gọi H trực tâm tam giác SBC Kẻ Hy vuông góc với mặt phẳng (SBC) Chứng minh S di chuyển Ax, Hy qua điểm cố định x c) Hy cắt Ax S' Xác định h theo a để SS' ngắn S HD: a) Gọi M trung điểm BC Kẻ AK SM Ta có AK d ( A, ( SBC )) b) Chứng minh H SM Gọi O Hy ( ABC ) Chứng minh O AM O trực tâm tam giác ABC K a2 H A C I O Áp dụng BĐT Cơ si ta có SS ' SA S ' A 2 SA.S ' A a Dấu “=” xảy N M a a B h chi SA S ' A S' 2 Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a, đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) A M điểm di động d a) Qua trung điểm I đoạn AB, dựng mặt phẳng vng góc với MC Biết MA = a, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng b) Gọi H trực tâm tam giác MBC Chứng minh đường thẳng Hy vng góc với mặt phẳng (MBC) qua điểm cố định, M chạy d c) Đường thẳng Hy cắt d N Chứng minh AM.AN làm đại lượng khơng đổi Với vị trí M d mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có bán kính nhỏ nhất? HD: a) Gọi E trung điểm AC Suy BE ( SAC ) + Kẻ EF MC MC ( BEF ) + Gọi J trung điểm AE Kẻ JG / / EF Ta có ( IJG ) / /( BEF ) ( IJG ) MC c) Sử dụng tam giác đồng dạng chứng minh SA.S ' A AO AM Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú + Kẻ AK MC ( K MC ) Ta có AK / /( IJG ) d ( A, ( IJG )) d ( K , ( IJG )) KG 1 + Có AI AC KG CK d 4 M b) Gọi D trung điểm BC Chứng minh H MD Gọi O Hy ( ABC ) Chứng minh O AD O trực tâm tam giác ABC K c) Sử dụng tam giác đồng dạng ta chứng minh được: G a2 F AM AN AO AM J E H C + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC cắt mặt phẳng ( MAC ) cố định theo A O giao tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác MNC Do bán kính đường I D trịn ngoại tiếp tứ diện MNBC nhỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác B MNC đường trịn lớn Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác N MNC bán kính mặt cầu a + Trên đường thẳng qua AC lấy điểm P cho AP (điểm A nằm đoạn PC ) Ta có AP AC AM AN điểm P nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNC + Có bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MNC nhỏ PC đường kính Khi tam giác MPC vuông M M giao điểm đường trịn đường kính PC đường thẳng d a2 a AM 2 Bài 8: QN - Bảng A: 2016 – 2017: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm ,( ABCD )) 600 O; SO (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Biết ( MN S a) Tính MN SO b) Tính góc MN (SBD) a 10 a 30 HD: a) MN = ; SO = 2 M b) Gọi H trung điểm AO; F trung điểm BO; E giao D K điểm HN BD C O Qua E dựng đường thẳng song song với HM cắt MN K H N Ta có góc tạo MN (ABCD) góc MNH 600 E F A Xác định góc tạo MN (SBD) góc NKF B + Có AM đường cao tam giác vuông MPC nên AM AP AC 3a +) AC a CH AC 4 2 HN CH CN 2CH CN cos NCH +) HN +) HN a 10 a 10 MN ; MN cos MNH a 10 +) HOE NFE EH EN Vậy K trung điểm MN => KN MN FN cos FNK KN 5 +) Vậy cos FKN sin FNK cos FNK 2a ; AC = 2a Các điểm S, A, C cố định; điểm B di động đường trịn đường kính AC; AD AE đường cao tam giác SAC SAB Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú a) Chứng minh AE vng góc với mặt phẳng (SBC) b) Tính cơsin góc BAC để khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAC) lớn c) Giả sử DE cắt BC M đường thẳng vng góc với mặt phẳng (SBC) D cắt mặt phẳng (ABC) N Chứng tỏ A, M, N thẳng hàng tích AM.AN khơng đổi Định góc BAC để MN có độ dài ngắn HD: b) Chứng minh ( EAD) ( SAC ) Kẻ HD AD HE d ( E , ( SAC )) + Có tam giác EAD vuông E nên EH lớn H trung điểm AD Khi tam giác EAD vuông cân E AD a S + Ta có AE 2 + 2a 1 2 2 AB 2 AB AE AS a 4a 4a + cos BAC D N AB AC H E ND ( SBC ) ND / / AE ND ( ADE ) c) Có AE ( SBC ) C A + A, M , N thẳng hàng nằm giao tuyến hai mặt phẳng ( ADE ) ( ABC ) B M AM SA ( AM ( ABC ) AM ( SAC ) AM AD + Có AM SC ( AM ( ADE ) + Có tam giác MND vng D , có DA đường cao AM AN AD a khơng đổi + Có MN AM AN 2 AM AN 2a Dấu “=” xảy AM AN a + Có 2a 1 1 2 AB 2 2 AB AM AC a 4a 4a AB AC Bài 10: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Gọi K, H, M trung điểm cạnh AB, BC AC; E điểm đối xứng với O qua K a) Chứng minh BCE OME tam giác vuông mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (OCK) b) Gọi I giao điểm CE với mặt phẳng (OMN) Chứng minh mặt phẳng (OMN) vng góc với CE MN vng góc với OI Tính diện tích tứ giác OMIN c) Tính khoảng cách hai đường thẳng OB CE Tính diện tích, thể tích: Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a, mặt bên hợp với đáy góc a) Tính V hình chóp + cos BAC b) Chứng minh V 4a 3 Với giá trị đẳng thức 27 S xảy ra? HD – ĐS: a) Đặt OM x OD x + Có SO OM tan x tan A Mặt khác SO SD OD a x D M O B C 10 Ôn thi HSG HH12 Ta tính x Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú a tan V 4a tan (tan 2)3 b) Có 900 tan Đặt t tan t t f (t ) Từ Xét hàm số f (t ) với t Sử dụng đạo hàm ta chứng minh (t 2) (t 2) 27 4a 3 27 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc ASB Gọi O tâm mặt đáy a) Tính Sxq hình chóp ĐS: S xq a cot suy V a cot 2 c) Xác định góc để O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS: = 600 Bài Trong mặt phẳng P cho tam giác OAB có góc AOB = (00 < < 900) cạnh OA = a, OB = b () đường thẳng vng góc với P O Trên () lấy điểm C khác O Gọi H trực tâm tam giác CAB Qua H dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (CAB) cắt P K a) Chứng minh K trực tâm tam giác OAB, HK cắt () D Chứng minh AC vng góc với BD AD vng góc với BC b) Tính tích số OC.OD theo a, b Xác định C để tứ diện ABCD tích nhỏ c) Khi C di động (), chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đường thẳng cố định HD: a) Gọi CE đường cao tam giác CAB Ta có AB (COE ) AB OE Mặt khác AB (CHD ) AB OK Suy K OE b) Chứng minh chiều cao hình chóp bằng: AC BH AC ( BHK ) AC BK (1) + Có AC HK + Mà BK CO (2) +Từ (1) (2) suy BK (COA) BK OA Trong tam giác OAB có OK BK đường cao nên K trực tâm tam giác OAB AC ( BHK ) AC BD + Có BD ( BHK ) BC AH BC ( ADH ) BC AD + Có BC DH C O B H F K E A D b) Ta có dãy tam giác đồng dạng COE KHE KOD suy OC KH OK OE HE OD OC.OD OK OE Lại có OKF OAE OK OA OK OE OF OA a.b.sin OF OE + Có VABCD d ( A, ( BCD)).S BCD Mà d ( A, ( BCD)) khơng đổi, nên thể tích khối tứ diện ABCD nhỏ diện tích tam giác BCD nhỏ Mặt khác, S BCD OB.CD Ta có OB khơng đổi nên S BCD nhỏ CD nhỏ 11 Ôn thi HSG HH12 Ta lại có CD OC OD 2 OC.OD 2 a.b.sin Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú Dấu “=” xảy OC OD a.b.sin OA.OF + Trên đường thẳng OA ta lấy điểm I cho OI OF (O trung điểm IF ) Khi ta có OC OA.OI OC OA.OI Mà OC đường cao tam giác CIA , nên ta có CIA vng C + Vậy C giao đường thẳng với đường tròn đường kính IA c) Gọi AM đường cao tam giác OAB , N điểm đường thẳng OB cho O trung điểm MN Khi ta có OC.OD ON OB Vậy điểm A, B, C , D, I , N nằm mặt cầu Mặt cầu cắt mp( ( P) theo giao tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABIN Vậy C di động tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABIN song song với Bài Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ với AOB tam giác vng cân O có BA = a, mặt bên ABB’A’ hình vng a) Tính Sxq V lăng trụ b) Gọi I trung điểm AB, ( P) mặt phẳng qua I, vng góc với AB’ Xác định thiết diện ( P) với lăng trụ tính diện tích thiết diện A' B' c) mp ( P) chia lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần a a3 HD: a) Có OA OB S xq (1 2)a V O' 2 E AB ' EI AB ' ( IOE ) Thiết b) Gọi E trung điểm AA ' Ta có AB ' OI I B A diện ( P) với lăng trụ tam giác IOE a2 S IOE OI IE O 11 a3 c) VEIOA EA.S IOA V Vậy tỉ số thể tích hai phần 12 24 12 Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a Gọi M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ a) Dựng thiết diện mp (MNE) với lăng trụ Chứng minh mp (MNE), (AA’B’B) vng góc với b) Tính diện tích thiết diện Bài Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A’ xuống mp (ABC) tâm O đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC góc BAA’ = 450 a) Tính V lăng trụ b) Chứng minh BCC’B’ hình chữ nhật c) Tính Sxq lăng trụ Bài Bảng A: 2013 – 2014: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, ABC 1200 Các mặt phẳng (ACC’A’) (BDD’B’) vng góc với đáy (ABCD) Các điểm M, N, P trung điểm CD, B’C’, DD’ MN BD’ a) Tính thể tích khối tứ diện MNBD b) Tính cosin góc tạo (ABCD) (AB’P) 12 Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú HD: a) ABC 1200 DAB BCD 600 ABD , BCD tam giác cạnh a a2 AC BD O , A ' C 'B ' D ' O ' ( ACC ' A' ) ( BDD' B ' ) OO ' Ta có Gọi => S BMD S CBD ( ACC ' A' ) ( ABCD ) ( BDD' B ' ) ( ABCD ) => OO' ( ABCD) => lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ đứng =>MN//O’D , theo gt MN BD' BD' O' D Ta có O' N // DM O ' N DM a tứ giác O’NMD hình bình hành Đặt DD’= h > chiều cao hình chóp N.MBD Trong mặt phẳng (BDD’B’) giả sử DO’ cắt BD’ I, tam giác IO’D’ đồng dạng tam giác IDB nên ta có a2 h2 ID ' BD ' 3 2 a2 ; ID O' D h2 ; 3 Tam giác IDD' vuông đỉnh I nên ta có ID ID' DD' => h a 2 a3 V MNBD V N MBD h.S MBD 48 b) Trong (BDD’B’) Kéo dài B’P cắt BD E => AE ( ABCD ) ( AB ' P ) , DP // BB ' ; DP BB ' D trung điểm BE DA DE BD a , gọi F trung điểm AE => DF AE AE PD AE ( FDP) PFD góc (ABCD) (AB’P) Tam giác PDF vuông đỉnh D, PD a a a FD ; FD PF Do cos PFˆD 4 FP Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt hình thoi cạnh a, hình chiếu vng góc H A’ mp (ABCD) nằm hình thoi ABCD, cạnh xuất phát từ A hình hộp đơi tạo với góc a) Chứng minh H nằm đường chéo AC b) Tính diện tích mặt chéo ACC’A’ BDD’B’ c) Tính V hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc A = 60 Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống mp (ABCD) trùng với giao điểm đường chéo đáy Cho BB’ = a a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính V Sxq hình hộp Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Dựng tính đoạn vng góc chung AA’ BD’ b) Điểm M di động cạnh AA’ Mặt phẳng (MBD’) cắt CC’ N Tứ giác BMD’N hình gì? Xác định điểm M để diện tích tứ giác BMD’N đạt giá trị nhỏ Tính diện tích nhỏ 13 Ơn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú HD: D' C' a) Gọi O giao điểm AC BD I , J trung điểm BD ' AA ' + Ta có AO ( DBD ') (1) + Tứ giác AOIJ hình bình hành có OI / / AJ Suy ra, A' B' H IJ / / AO (2) N I IJ BD ' IJ đoạn vng góc chung M + Từ (1) (2) suy IJ AA ' D J C AA ' BD ' O a + Có IJ AO A B b) Có N giao điểm MI với CC ' Ta có tứ giác MBND hình bình hành + Ta có S MBND 2 S MBD ' MH BD IJ BD (Do IJ đoạn vng góc chung AA ' BD ' ) + Vậy diện tích tứ giác MBND đạt giá trị nhỏ M trung điểm AA ' Khi a2 S MBND Bài 11 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = a, AD = b M, N hai điểm hai cạnh AB BC Mặt phẳng (MDD’) cắt A’B’ M’, mp (NDD’) cắt B’C’ N’ mặt phẳng chia hình hộp thành phần tích a) Tính AM, CN theo a, b b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện DMND’M’N’ BMNB’M’N’ c) Tìm hệ thức a b để mp(DMM’) (NMM’) vng góc với HD: D' C' ab a) Từ giả thiết suy S AMD SCND S MBND S ABCD N' 3 2S 2a A' B' + S AMD AM AD AM AMD M' AD 2S 2b + SCND CN CD CN CND CD D ab C b) Có S BMN BM BN ; 18 N ab ab 5ab + S DMN S MBND S BMN A B 18 18 M VDMND ' M ' N ' S DMN 5 + Suy VBMNB ' M ' N ' S BMN c) Có ( DMM ') ( NMM ') DM MN DM MN DN b 4a a b 4b a 9 9 4a 6b 2a 3b Bài 12 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a, góc đường chéo với đáy 600 a) Tính V Sxq lăng trụ D' C' b) Gọi M, N trung điểm cạnh BB’ DD’ Chứng minh MN, AC’ cắt trung điểm đoạn MN AC’ Suy hình dạng thiết diện tạo A' mp(C’MN) lăng trụ Tính diện tích thiết diện B' N c) Tính góc mặt phẳng (C’MN) mặt phẳng đáy HD: a) Giả sử góc AC ' ( ABCD) 600 M D C + Ta có góc AC ' ( ABCD) CAC ' 60 A B Ôn thi HSG HH12 + CC ' AC.tan 600 a 14 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú + V a ; S xq 4.a b) Dễ thấy tứ giác AMC ' N hình thoi nên AC ' cắt MN trung điểm đoạn AC ' MN + AC ' 2a ; S AMC ' N AC '.MN 2a c) góc mặt phẳng (C ' MN ) mặt phẳng đáy góc AC ' AC Đó góc CAC ' 600 Bài 13 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có đường chéo a a) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung đường thẳng AC DC' b) Gọi G trọng tâm tam giác A’C’D’ Mặt phẳng (GAC) cắt hình lập phương theo thiết diện hình gì? Tính diện tích hình c) Điểm M di động cạnh BC Tìm tập hợp hình chiếu vng góc A’ DM HD: 15 Ơn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú C MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY CỦA CÁC TỈNH A1 Bài Hưng Yên (2016 – 2017) Cho hình hộp ABCD A1 B1C1D1 có đáy ABCD hình thoi, A1 A = A1 B = A1 D = a , góc ·ABC = 1200 , góc hai mặt phẳng ( A1 BD) ( ABCD) 450 khối tứ diện AB1 D1C theo a b) Gọi I , J trung điểm A1 B, AD Gọi G trung điểm IJ Một mặt phẳng (a ) thay đổi qua G cho mp (a ) cắt cạnh A1 A, A1 B, A1 D điểm K , E , F Tìm theo a giá trị nhỏ 1 + + biểu thức 2 A1 K A1 E A1 F B C O A D S Bài Phú Thọ (2015 – 2016) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , AC = a Tam giác SAB cân nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(SBC), biết góc đường thẳng SD mặt phẳng đáy 600 600 A D H O C Bài An Giang (2014 – 2015) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Cho SA = 12 AD = a; SB = a Gọi M, N trung điểm AB BC a) Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN b) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng SM DN c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SM DN Bài Cao Bằng (2014 – 2015) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa AB cắt cạnh SC, SD M N khoảng cách CD mặt phẳng (P) a Tính góc hai mặt phẳng (P) (ABCD) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) Tính diện tích thiết diện Bài Vĩnh Phúc (2016 – 2017) · · · Cho tứ diện ABCD có BAC = CAD = DAB = 600 AB = 8(cm), AC = 9(cm), AD = 10(cm) Gọi A1 , B1 , C1 , D1 trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACD) b) Tính thể tích khối tứ diện A1 B1C1 D1 Bài Nam Định (2012 – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng với AB 2a Tam giác SAB vuông S, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc tạo B đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) với sin Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a Bài Quảng Ngãi (2016 – 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD b a, b , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA 2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM x với x 2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Bài Hải Dương (2016 – 2017) B 600 , CS B 900 , ASC Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , AS 1200 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2) Gọi I, J, G trung điểm SC, AB, IJ Mặt phẳng (P) qua G cắt cạnh SA, SB, SC A’, B’, C’ Gọi VA A ' B ' C ' , VB A ' B 'C ' , VC A ' B 'C ' thể tích khối chóp A A ' B ' C ' , 16 Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú B A ' B ' C ' , C A ' B ' C ' Tìm giá trị nhỏ biểu thức P VA A ' B 'C ' VB A ' B 'C ' VC A ' B 'C ' theo a CN AM 3) Gọi M, N hai điểm thay đổi cạnh AB SC cho Tìm giá trị nhỏ SC AB đoạn thẳng MN Bài Bắc Ninh (2014 – 2015) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB 1, BC 2, AA ' 3 Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua C ' , mặt phẳng ( P ) cắt cạnh AB, AD, AA ' E , F , G (khác A ) Chứng minh + + không đổi Từ đó, AE AF AG xác định vị trí mặt phẳng ( P ) để thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ Bài 10 Thanh Hóa (2015 – 2016) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, biết AB = BC = a , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a SAB SCB 900 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SB, AC Bài 11 Bắc Giang (2016 – 2017) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi, ·ABC 90o Góc A ' C mặt đáy ABCD 30o ; góc hai mặt phẳng A ' BC 45o ; khoảng cách từ điểm C ' đến mặt phẳng A ' CD a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối hộp cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE Bài 12 Nam Định (2015 – 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B; AB BC 4a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H trung điểm AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) a 10 Tính thể tích khối chóp S.HBCD cosin góc hai đường thẳng SC HD Bài 13 Hải Phòng (2015 – 2016) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh a Gọi A’,B’,C’,D’ trung điểm AB,AC,CD BD 1) Chứng minh tứ giác A’.B’C’D’ hình vng 2)Tính thể tích khối đa diện D.AA’B’C’D’ theo a 3) Xác định điểm M không gian cho MA2 MB MC MD đạt giá trị nhỏ ABCD D MỘT SỐ ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG NINH CÁC NĂM Đề Bảng B: 2007 – 2008: Cho tứ diện ABCD Cọi H trực tâm tam giác ABC I trung điểm đoạn thẳng HD Điểm M di động cạnh AB điểm N di động cạnh AC cho mặt phẳng (DMN) ln vng góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh mặt phẳng (DMN) qua điểm H Chứng minh IA, IB, IC đôi vng góc với Đề Bảng B: 2008 – 2009: Trong không gian cho tam giác vuông ABC cố định (B = 1v); AB a ; AC 3a Điểm S di động đường thẳng d qua A vng góc với (ABC); ( S A) 1 Các điểm M; N thuộc cạnh AB AC cho AM AB ; AN AC ; P hình chiếu vng góc M SC 1) Chứng minh tam giác AMN tam giác vuông 2) Chứng minh rằng: Khi S di động d, ( S A) ) mặt phẳng (MNP) (SBC) ln vng góc với tích SC.CP khơng đổi 3) Với vị trí S thỏa mãn SA 3a , gọi Q giao điểm SB với (NMP) Tính thể tích khối SAMNPQ theo a Đề Bảng A: 08 – 09: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với độ dài cạnh a Tính thể tích khối tứ diện BDC’A’ Điểm M chạy cạnh AA’ điểm N chạy cạnh BC cho AM = BN = m (0 < m < a) Chứng minh m thay đổi với < m < a, đường thẳng MN cắt vng góc với đường thẳng cố định 17 Ôn thi HSG HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú Đề Bảng B: 2009 – 2010: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với H trực tâm đáy, I trung điểm đoạn thẳng SH Biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) a mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) góc Tính thể tích hình chóp S.ABCD Đề Bảng B: 2010 – 2011: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cố định, S thay đổi thỏa mãn điều kiện ASB ASD 900 Chứng minh S thuộc đường tròn cố định Đề Bảng A – 2010 – 2011: Cho điểm O cố định số thực dương a khơng đổi Một hình chóp S.ABC thay đổi thỏa mãn đồng thời điều kiện: OA = OB = OC = a, SA OA, SBOB, SCOC, ASB 900 , BSC 600 , CSA 1200 Chứng minh: a) Tam giác ABC tam giác vuông b) Điểm S cách O khoảng không đổi Đề Bảng A 2011 – 2012: Cho hình vng ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bm Dn vng góc với mặt phẳng (ABCD) phía với mặt phẳng Lấy điểm M thuộc Bm điểm N thuộc Dn Đặt BM = x, DN = y a) Tìm hệ thức x y để hai mặt phẳng (ACM) (CAN) vng góc với b) Chứng minh x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện nêu phần a, đoạn vng góc chung AC MN có độ dài không đổi Đề Bảng A: 2012 – 2013: Trong mặt phẳng (P) cho đường trịn đường kính BC cố định M điểm di động đường trịn Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) B lấy điểm A cố định Gọi H, K hình chiếu B AM AC a) Chứng minh M di động mặt phẳng (BHK) cố định b) Xác định vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn Đề Bảng A: 2013 – 2014: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, ABC 1200 Các mặt phẳng (ACC’A’) (BDD’B’) vng góc với đáy (ABCD) Các điểm M, N, P trung điểm CD, B’C’, DD’ MN BD’ a) Tính thể tích khối tứ diện MNBD b) Tính cosin góc tạo (ABCD) (AB’P) Đề 10 Bảng A: 2014 – 2015: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, góc ABC = 1200, tam giác SAD vng S, tam giác ABD vng D Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc AD cho HA = 2HD Gọi M trung điểm SA, N trung 3a điểm AD Khoảng cách từ D tới mặt phẳng (BMN) 171 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD Đề 11 Bảng A: 2015 – 2016: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA a Điểm M nằm đoạn thẳng AD cho MD 3MA , điểm N trung điểm đoạn thẳng AB Biết MN vng góc với SN SN SC a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.MNCD S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.MNCD theo a c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA NC theo a Đề 12 Bảng A: 2016 – 2017: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình vng ABCD với độ dài cạnh a tâm O Gọi M, N trung điểm SA BC Biết góc MN mặt phẳng (ABCD) 600 Tính cosin góc MN mặt phẳng (SBD) ... vng góc b b lên (a ) b B b'' O - Trong mp (a ) , vẽ OH b H H I b'' - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B (Hình b) - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A AB đoạn vuông... a, d M , MH M a ⑤ Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d , d ... HH12 Th.s Lương Đức Tuấn – THPT Trần Phú Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường đến đường d(a,b) = d(M ,b) = MH (M Ỵ a) ④ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song