ÔN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt CHƯƠNG I : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Nhắc lại cơng thức tam giác : • • • • • Định lý hàm cosin : a = b + c − 2bc.cos A a b c = = = 2R Định lý hàm sin : sin A sin B sin C a2 2b + 2c2 − a hay ma2 = Định lý đường trung tuyến : b + c2 = 2ma2 + 1 S = a.h a S = bc.sin A S = pr 2 Các công thức diện tích : abc S= S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) 4R Các công thức tam giác vuông : Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH 1 BC2 = AB2 + AC2 AH = HB.HC = + 2 AH AB AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC I Thể tích hình chóp : _ Thể tích hình chóp phần ba tích số diện tích đáy với chiều cao V = S.h (S : diện tích đáy, h : chiều cao) Một số lưu ý cách dựng chiều cao hình chóp : h S • Hình chóp đa giác hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Hình chiếu đỉnh xuống đáy tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy • Hình chóp S.ABC… có SA = SB = SC hình chiếu S xuống đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC • Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao mặt bên (kẻ từ đỉnh hình chóp) đường cao hình chóp Nhận xét : Ta dùng thể tích tứ diện để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Cho tứ diện SABC, chiều cao h kẻ từ S khoảng cách từ S đến mp(ABC) 3V Do : d ( S, ( ABC ) ) = SABC SABC II Thể tích khối lăng trụ : _ Thể tích khối lăng trụ tích số diện tích mặt đáy với chiều cao h V = S.h (S : diện tích đáy, h : chiều cao) _ Thể tích hình hộp chữ nhật tích số kích thước S Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải : Gọi tứ diện ABCD, G tâm tam giác BCD AG ⊥ ( BCD ) Và AG = AB2 − BG = a − 3a a = 1  a  a  a Vậy : V = AG.SBCD =    = 3   12   Ví dụ : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD = 60o SA = SB = SD Mặt bên (SAB) tạo với đáy góc 30o a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách CD SA Giải : a) Gọi E trung điểm AB, F giao điểm AC DE Ta có : F tâm đường trịn (ABD) (Vì ABD đều) * Vì SE ⊥ AB, FE ⊥ AB nên góc mặt bên (SAB) đáy SEF = 30o SF = EF.tan 30o = a 1  a   a2  a3 Vậy : V = SF.SABCD =    = 3     36 b) Vì CD // (SAB)  d ( CD,SA ) = d ( D, (SAB) ) = * VSABD = 3VSABD SSAB a3 SF a a2 VSABCD = =  S = SE.AB = SE = SAB 72 sin 30o a3 a Vậy : d ( CD,SA ) = 242 = a Ví dụ : Tính thể tích khối hộp ABCDA1B1C1D1 biết AA1B1D1 khối tứ diện cạnh a Giải : Ta có AA1B1D1 khối tứ diện cạnh a nên a3 thể tích 12 Gọi h chiều cao kẻ từ A tứ diện AA1B1D1 Thì VAA1B1D1 = h.SA1B1D1 Thể tích khối hộp : 1  V = h.SA1B1C1D1 = h 2SA1B1D1 =  h.SA1B1D1  3  a Vậy : V = 6VAA1B1D1 = ( ) Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tam giác ABC vuông A, AC = b, C = 60 o Đường chéo BC1 tạo với mp(ACC1A1) góc 30 o Tính thể tích khối lăng trụ Giải : Ta có : BA ⊥ ( ACC1A1 ) nên góc BC1 ( ACC1A1 ) BC1A = 30o * AB = AC.tan 60o = b , AC1 = AB.cot 30o = 3b CC1 = AC12 − AC2 = 2b , SABC = b2 AC.AB = 2 Vậy : V = CC1.SABC = b3 TỶ SỐ THỂ TÍCH 1) Tỷ số diện tích : Kiến thức bổ sung • Định lý Menelaus : Cho tam giác ABC ba điểm D, E, F nằm phần kéo dài ba cạnh (hay điểm nằm phần kéo dài, hai điểm cịn lại thuộc đoạn) hình vẽ Ta có : D, E, F thẳng hàng  DB EC FA =1 DC EA FB Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt 1.1) Cách tính : • Cho tam giác có diện tích S1 , chiều cao h1 , cạnh đáy a Tam giác có diện tích S , chiều cao h , cạnh đáy a Khi đó, ta có : • S1 h1 a1 = S2 h a Trường hợp riêng : Nếu chiều cao S1 a1 = S2 a Nếu cạnh đáy S1 h1 = S2 h • Cho tam giác ABC, chiều cao kẻ từ A d ( A, BC ) (Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC) • Cho đường thẳng d cắt AB điểm M ta có : d ( A, d ) d ( B, d ) = MA MB 1.2) Cách tính : • Cho tam giác ABC hai điểm D, E nằm AB, AC Ta có : Ví dụ : SADE AD AE = SABC AB AC Cho tam giác ABC có D điểm đoạn BC cho BD = 2DC điểm E đoạn AB cho BE = 3EB Giải : a) b) a) Tính tỷ số diện tích sau : SADC SABD , SABC SABC b) Tính tỷ số diện tích sau : SEBD SAED , SABC SABC SADC CD = = SABC BC SABD BD = = SABC BC SEBD d ( E, BC ) BD EB BD = = = = SABC d ( A, BC ) BC AB BC SAED d ( D, AB) AE DB AE 1 = = = = SABC d ( C, AB) AB CB AB (Nếu D trung điểm BC SABD = SACD ) Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Cho tam giác ABC có D trung điểm AB, điểm E cạnh AC cho AE = 3EC Kéo dài DE cắt BC F Tính tỷ số thể tích sau : Giải : * SADE SCEF SCEF SADE , , , SABC SABC SADE SBCED SADE AD AE 3 = = = SABC AB AC * Xét tam giác ABC với ba điểm thẳng hàng D, E, F Ta có : FC DB EA FC =1 = Suy : FB DA EC FB 3 SCEF d ( E, BC ) CF EC CF 1 = = = = SABC d ( A, BC ) BC AC BC * Ta tính qua trung gian SABC sau : * Ta có : SCEF SCEF SABC = = = SADE SABC SADE 3 S SADE 3 = (nghĩa SADE phần SABC phần SBCED phần)  ADE = SBCED SABC Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD có E, F trung điểm AB AD Kéo dài EF cắt CB, CD G I Tính tỷ số diện tích : Giải : * Ta có : ID = AE = EB  SDIF SABCD * S S SDIF , CIG , CEF SABCD SABCD SABCD ID = IC d ( F, CD ) ID FD ID 1 1 = = = = d ( A, CD ) DC AD DC 2 SCIG SABCD d ( G, CD ) IC GC IC 3 = = = = d ( B, CD ) CD BC CD 2 * Ta thấy tam giác CEF có liên quan đến tam giác CIG (cùng chiều cao) nên ta tính qua trung gian tam giác CIG : SCEF S S = CEF CIG = = SABCD SCIG SABCD 8 Ví dụ : Cho hình thang ABCD có AB // CD AB = 2CD Lấy điểm E đối xứng với C qua B điểm F thỏa AB = 2BF Tính tỷ số diện tích : SECD SBEF , SABCD SABCD Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt d E,CD ) SECD ( CD EC CD 1 Giải : * = = = = SABCD d B,CD ( AB + CD ) BC 3CD ( ) * SBEF SABCD 1 d ( E, AB ) AB BF EB 2 = = = d ( C, AB ) ( AB + CD ) CB AB 2 2) Tỷ số thể tích : 2.1) Cách tính : So sánh chiều cao diện tích đáy : • Cho hình chóp tích V1 , chiều cao h1 , diện tích đáy S1 Hình chóp tích V2 , chiều cao h , diện tích đáy S Ta có : V1 h1 S1 = V2 h S2 • Trường hợp riêng : * Nếu hai chiều cao ta có V1 S1 = V2 S2 * Nếu hai diện tích đáy ta có • Tỷ số khoảng cách : Cho AB cắt mp(P) tai điểm M Ta có : 2.2) Cách tính : • Cho tứ diện SABC Ba điểm D, E, F SA, SB, SC Ta có : VSDEF SD SE SF = VSABC SA SB SC V1 h1 = V2 h d ( A, ( P ) ) d ( B, ( P ) ) = MA MB Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Cho tứ diện ABCD tích V Gọi E, F, G trung điểm BC, CD, BD Lấy điểm H cạnh AD cho AH = Tính theo V thể tích tứ diện AEFG, HEFG AHEF AD Giải : * Thể tích AEFG : Hai tứ diện ABCD AEFG có chiều cao nên Vậy : VAEFG = VAEFG SEFG = = V SBCD V * Thể tích HEFG : VHEFG d ( H, ( BCD ) ) SEFG 1 = = = V d ( A, ( BCD ) ) SBCD Vậy : VHEFG = V * Thể tích AHEF : VAHEF AH = = VADEF AD V 1 VADEF SDEF d ( D, EF) EF 1 = = = = Suy : AHEF = Vậy : VAHEF = V V 12 12 V SBCD d ( C, BD ) BD 2 Ví dụ 10 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành, G trọng tâm tam giác SCD Gọi V thể tích khối chóp SABCD Tính theo V thể tích tứ diện SGAB Nhận xét : Ta tính qua trung gian thể tích tứ diện SABE với E trung điểm CD Giải : Gọi E giao điểm SG CD * Hai tứ diện SGAB SEAB có chung đáy SAB Ta có : VSGAB d ( G, ( SAB ) ) GS = = = VSEAB d ( E, ( SAB ) ) ES (1) * Tứ diện SABE hình chóp SABCD có chung chiều cao Ta có : VSEAB SABE = = V SABCD * Từ (1) (2) ta : (2) VSGAB 1 = =  VSGAB = V V 3 Ví dụ 11 : Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M trung điểm BC, điểm I thỏa IB = 3ID , MI cắt CD N Tính theo V thể tích hình chóp sau : ABMI , AIND, ABDNM Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Giải : * Thể tích ABMI : Hai tứ diện ABMI ABCD có chiều cao nên : VABMI SMBI = V SCBD SMBI d ( M, BI ) BI 3 = = = SCBD d ( C, BD ) BD 2 Vậy : VAMBI 3 =  VAMBI = V V 4 * Thể tích AIND : Xét tam giác BCD với điểm thẳng hàng M, N, I Ta có : ND MC IB ND =1 = NC MB ID NC 3 Hai tứ diện ADNI ABCD có chiều cao nên : VAIND SNDI d ( N, BD ) DI 1 1 = = = = Vậy : VAIND = V V SCBD d ( C, BD ) DB * Thể tích ABDNM : Tứ diện ABCD chóp BDNM có chiều cao nên VABDNM SBDNM = V SCBD Ta có : Vậy : SBDNM SCBD − SCMN CM CN = = 1− = 1− = SCBD SCBD CB CD VBDNM 5 =  VBDNM = V V 8 Ví dụ 12 : Cho hình chóp SABCD có ABCD hình bình hành Gọi E, F trung điểm AB, AD Lấy điểm H cạnh SC cho SC = 3SH Mặt phẳng HEF chia hình chóp thành hai phần Phần chứa điểm S tích V1 , phần cịn lại tích V2 Tính V1 V2 Giải : * Kéo dài EF cắt CB, CD I G, HI cắt SB K, HG cắt SD J Thiết diện HKEFJ Hình học không gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt * Ta tính : V2 = VHCIG − VKBEI − VJDFG = VHCIG − 2VKBEI Ta có : Các tam giác BEI, AEF, DFG SAEF = 1 1  1  d ( E, AD ) EF =  d ( B, AD )   AD  = SABCD  SCIG = SABCD + SBEI = SABCD 2 2  2  Do : d ( H, ( ABCD ) ) SCIG VHCIG = = = VSABCD d ( S, ( ABCD ) ) SABCD Vì IB = AF = FD  IB = IC Xét tam giác SBC với ba điểm thẳng hàng H, K, I Ta có : KS IB HC KS =1 = KB IC HS KB Do : d ( K, ( ABCD ) ) SBIE VKBIE 1 = = = VSABCD d (S, ( ABCD ) ) SABCD 20 Vậy : V2 = Ví dụ 13 : V 13 7 VSABCD − VSABCD = VSABCD  V1 = VSABCD  = 20 20 20 V2 13 Cho tứ diện SABC tích V Gọi G, H, I trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA Tính theo V thể tích tứ diện SGHI Giải : Gọi D, E, F trung điểm AB, BC, CA Ta có : Mà : VSGHI SG SH SI 2 = = = (1) VSDEF SD SE SF 3 27 VSDEF SDEF = = VSABC SABC (2) Từ (1) (2) ta : VSDEF = VSABC = V 27 27 Ví dụ 14 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA, mặt phẳng (BCM) chia hình chóp thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa điểm S, V1 V2 V2 thể tích phần cịn lại Tính tỷ số Giải : * Mặt phẳng (BCM) cắt SD N trung điểm SD * Ta có : VSABC = VSADC = VSABCD V1 = VSMBC + VSMNC Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt VSMBC SM 1 = =  VSMBC = VSABC = VSABCD VSABC SA 2 VSMNC SM SN 1 = =  VSMNC = VSADC = VSABCD VSADC SA SD 4 V 3 1 1 Do : V1 =  +  VSABCD = VSABCD  V2 = VSABCD Vậy : = V2 8  8 Ví dụ 15 : Cho hình chóp SABCD có ABCD hình bình hành, gọi M trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD chia hình chóp thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa điểm S, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỷ số V1 V2 Giải : * Gọi O giao điểm AC BD, SO cắt AM E Đường thẳng qua E song song BD cắt SB, SD H, K Ta thiết diện tứ giác AHMK Ta có E trọng tâm tam giác SAC nên SH SK SE = = = SB SD SO * V1 = VSAMK + VSAHM VSAMK SM SK 1 = = =  VSAMK = VSACD = VSABCD VSACD SC SD 3 1 1 1 Tính tương tự ta : VSAHM = VSABCD Do : V1 =  +  VSABCD = VSABCD 6 6 Suy : V2 = V VSABCD Vậy = V2 Ví dụ 16 : Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB, điểm N đoạn CD cho DN = 2NC , điểm H đoạn BD cho DH = 3HB Mặt phẳng (MNH) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số V1 V2 Giải : MH cắt AD E, EN cắt AC K Ta thiết diện tứ giác MHNK * Xét tam giác ABD với điểm thẳng hàng E, H, M Ta có : EA HD MB EA =1 = ED HB MA ED 3 * Xét tam giác ACD với điểm thẳng hàng K, N, E 10 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Giải : Gọi G tâm tam giác ABC SG ⊥ ( ABC ) nên SG trục tam giác ABC Trong mp(SAG), gọi M trung điểm SA, đường trung trực SA cắt SG O tâm mặt cầu * SG = SA − AG = a 33 * Tam giác SOM đồng dạng tam giác SAG, suy : Vậy : bán kính R = SO SM 6a =  SO = SA SG 33 6a 33 Ví dụ : Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có SA = SB = SC = 5a tam giác ABC có AB = 5a , AC = 6a , BC = 7a Nhận xét : Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC GA bán kính đường trịn Ta có : p = AB + BC + CA = 9a , S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 6a Bán kính đường trịn : S = abc abc 35 R= = a (Ở R = GA ) 4R 4S 24 Giải : Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì SA = SB = SC nên SG ⊥ ( ABC ) , suy SG trục tam giác ABC Trong mp(SAG), gọi M trung điểm SA, đường trung trực SA cắt SG O tâm mặt cầu 18 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt * GA bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta dùng công thức S = Ta có : p = AB.BC.CA 4GA AB + BC + CA = 9a , S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 6a Bán kính đường tròn : GA = AB.BC.CA 35 282 = a  SG = SA − AG = a 4S 24 24 Tam giác SOM đồng dạng tam giác SAG, suy : Vậy : bán kính mặt cầu R = SO SM 10 282 =  SO = a SA SG 47 10 282a 47 Dạng : Nếu trục đáy trục mặt bên cắt giao điểm tâm mặt cầu Ví dụ 10 : Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a tam giác SAB nằm hai mặt phẳng vng góc với Giải : * Gọi F trung điểm AB SF ⊥ ( ABCD ) (Vì (SAB) ⊥ ( ABCD ) ) * Gọi E giao điểm AC BD, vẽ Ex ⊥ ( ABCD ) Ex trục hình vng ABCD * Gọi G tâm tam giác SAB, vẽ Gy ⊥ (SAB) Gy trục tam giác SAB * Ta có : Ex // SF Gy // EF nên Ex cắt Gy O tâm mặt cầu Bán kính mặt cầu : R = OS = GO + GS2 = a 3a a 21 + = Ví dụ 11 : Hình chóp SABCD có ABCD hình thang vng A B AB = BC = 2a , AD = a Tam giác SAB vuông S (SAB) ⊥ ( ABCD ) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD 19 Hình học không gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Giải : * Gọi O, E trung điểm BD AB Tam giác SAB vuông S nên E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB, tương tự O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD * Ta có OE ⊥ AB, (SAB) ⊥ ( ABCD )  OE ⊥ (SAB) nên OE trục đường tròn (SAB) Mà trục đường tròn (ABD) qua O nên O giao điểm hai trục Do O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABD * Bán kính mặt cầu : R = OS = SE + OE = 2 AB2 AD a + = 4 Ví dụ 12 : Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có tam giác ABC cạnh 2a , tam giác SBC vuông cân S SA = a Giải :  BC ⊥ AM ( SAM ) ⊥ ( ABC ) * Gọi M trung điểm BC   BC ⊥ (SAM )   BC ⊥ SM  ( SAM ) ⊥ (SBC ) * Gọi G trọng tâm tam giác ABC G tâm đường trịn (ABC) Dựng trục Gx ⊥ ( ABC ) Gx  (SAM ) * M tâm đường tròn (SBC) Dựng trục My ⊥ (SBC ) My ( SAM ) * Trong mp(SAM) : Gx cắt My O tâm mặt cầu 20 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt ( ) * Vẽ mặt phẳng ta có tam giác AMS cân A AM = AS = a MS = AN = AM − MN = 3a − MG * OM = = cos OMG BC = a a a 11 AN 11 =  cos MAN = = AM 15a 2a  OA = OM + MA − 2OM.MA.cos OMG = 11 11 * Vậy bán kính R = OA = a 15 11 _ III Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu S(O, R) mp(P) Gọi d = d(O, (P)) H hình chiếu O lên (P) Ta có : • Nếu d < R (P) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn (P) có tâm H, bán kính r = R − d • Nếu d = R (P) (S) có điểm chung H Khi ta nói (P) tiếp xúc với (S) (hay (P) tiếp diện (S)), H gọi tiếp điểm • Nếu d > R (P) (S) khơng có điểm chung R O R O R H H (P) M O H IV Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu : Cho mặt cầu S(O, R) đường thẳng  Gọi H hình chiếu O  d = OH khoảng cách từ O tới  Ta có : • Nếu d < R  cắt (S) hai điểm phân biệt • Nếu d = R  (S) có điểm chung H Khi ta nói  tiếp tuyến (S), H tiếp điểm • Nếu d > R  (S) khơng có điểm chung  H O O  H 21  O H Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Định lý : Cho điểm A nằm mặt cầu S(O, R) Khi : qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu độ dài đoạn thẳng nối từ A đến tiếp điểm Ví dụ 13 : Cho tam giác ABC có cạnh Một mặt cầu tâm O qua điểm A, B, C có khoảng cách từ O đến mp(ABC) Tính thể tích khối cầu 23  Giải : Bán kính đường trịn (ABC) r =  = 3   Bán kính mặt cầu : R = + 16 = 19 Vậy thể tích V = 76 19 R = 3 Ví dụ 14 : Cho mặt cầu (S) có bán kính khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến đường thẳng d Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) điểm A, B Tính độ dài đoạn AB Giải : Gọi M trung điểm OM ⊥ d Do : AB = 2AM = − = Ví dụ 15 : Cho mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD Chứng minh tổng cặp cạnh đối tứ diện Giải : Gọi tiếp điểm E, F, G, H, I, J Vì AE, AF, AG tiếp tuyến kẻ từ A nên ta đặt : AE = AF = AG = x Tương tự : BE = BI = BJ = y, CJ = CF = CH = z DH = DI = DG = t Ta : AB + CD = AC + BD = AD + BC = x + y + z + t Bài : MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ I Định nghĩa mặt trụ : _ Tập hợp điểm không gian cách đường thẳng  cố định khoảng cách khơng đổi R gọi mặt trụ trịn xoay, đơn giàn mặt trụ • Đường thẳng  gọi trục mặt trụ, R gọi bán kính mặt trụ Như mặt trụ xác định biết trục  bán kính R • Nếu đường thẳng d song song với  cách  khoảng R d nằm mặt trụ Các đường thẳng d gọi đường sinh mặt trụ • Vậy mặt trụ xem hình tạo đường thẳng song song cách đường thẳng  khoảng R • Ta xem mặt trụ hình trịn xoay sinh cho đường thẳng d quay quanh đường thẳng  song song với d II Hình trụ khối trụ : _ Phần mặt trụ nằm hai mặt phẳng (P) (Q) song song với với hai hình trịn (C) (C/) giao (P) (Q) với mặt trụ gọi hình trụ 22 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt • Hai hình trịn (C), (C/) gọi hai mặt đáy hình trụ, bán kính R chúng gọi bán kính hình trụ Khoảng cách hai mặt đáy gọi chiều cao hình trụ • Nếu O O/ tâm hai hình trịn đáy đoạn thẳng OO/ gọi trục hình trụ • Với điểm M  (C) có điểm M/  (C/) cho MM/ // OO/ Hiển nhiên đoạn MM/ nằm mặt xung quanh hình trụ, có độ dài chiều cao hình trụ Các đoạn thẳng gọi đường sinh hình trụ _ Hình trụ với phần bên gọi khối trụ xác định hình trụ _ Mặt phẳng song song hay chứa trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật _ Ta xem hình trụ hình trịn xoay sinh cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh III Diện tích hình trụ thể tích khối trụ : _ Diện tích xung quanh hình trụ chu vi đáy nhân với chiều cao S xq = 2Rh _ Thể tích khối trụ diện tích đáy nhân với chiều cao V = R h Ví dụ 16 : Một hình trụ có diện tích xung quanh 40 , diện tích đáy diện tích mặt cầu bán kính Hãy tính : a) Thể tích hình trụ b) Diện tích thiết diện qua trục hình trụ Giải : a) Mặt cầu có bán kính nên có diện tích 100 Gọi h, R chiều cao bán kính đáy hình trụ 2Rh = 40 h =  Ta có :  Vậy : V = R h = 200 R = 10 R = 100 b) Diện tích thiết diện qua trục : S = 2Rh = 40 Ví dụ 17 : Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng, diện tích xung quanh 4 a) Tính Stp hình trụ thể tích khối trụ b) Một mp(P) song song với trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện Biết cạnh thiết diện dây cung đường trịn đáy căng cung 120o Tính diện tích thiết diện Giải : a) Thiết diện qua trục hình vng nên ta có h = 2R Diện tích xung quanh 4  2Rh = 4  R = 1, h = * Stp = Sxq + 2Sday = 4 + 2 = 6 V = R h = 2 b) Gọi thiết diện ABCD Vì AOB = 120o  AB = R = Vậy diện tích thiết diện S = AB.CD = 23 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ 18 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, AD = Tính thể tích khối trụ sinh trường hợp sau a) Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB b) Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AD Giải : a) Khi quay quanh AB ta có h = 4, R = Do V = R h = 144 b) Khi quay quanh cạnh AD ta có h = 6, R = Do V = R h = 24 Bài : MẶT NĨN, HÌNH NĨN, KHỐI NĨN I Định nghĩa mặt nón : _ Cho đường thẳng  điểm O cố định  Tập hợp gồm điểm O điểm M không trùng với O cho đường thẳng OM tạo với  góc khơng đổi  (0o <  < 90o) gọi mặt nón trịn xoay hay mặt nón • Điểm O đỉnh mặt nón,  trục mặt nón, góc 2 gọi góc đỉnh mặt nón O • Một mặt nón xác định biết : Đỉnh, trục góc đỉnh • Nếu M điểm mặt nón khơng trùng với đỉnh O thi toàn đường thẳng OM nằm mặt nón Đường thẳng OM gọi đường sinh mặt nón  M l II Hình nón khối nón : _ Cho mặt nón có đỉnh O trục  Một mp(P) vng góc với  I cắt mặt nón theo đường trịn (C) Phần mặt nón tạo đỉnh O với hình trịn (C) gọi hình nón • Điểm O gọi đỉnh hình nón, hình trịn (C) gọi đáy hình nón Với điểm M (C), đoạn thẳng OM gọi đường sinh hình nón (các đường sinh nhau) Đoạn thẳng OI gọi trục hình nón, độ dài OI gọi chiều cao hình nón _ Hình nón với phần bên gọi khối nón _ Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón mà cắt hình nón thiết diện tam giác cân _ Ta xem hình nón hình trịn xoay sinh cho tam giác vuông quay xung quanh cạnh góc vng 24 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt III Diện tích hình nón, thể tích khối nón : _ Diện tích xung quanh hình nón nửa tích số độ dài đường tròn đáy với độ dài đường sinh Sxq = Rl _ Thể tích khối nón phần ba diện tích hình trịn đáy với chiều cao V = R 2h Ví dụ 19 : Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón 2a = a , R = a , l = 2a a 3 Vậy : Sxq = Rl = 2a  V = R h = 3 Giải : Ta có : h = Ví dụ 20 : Một hình nón có bán kính đáy thể tích 9 Tính góc đỉnh hình nón R h = 9  h = 3 Vậy thiết diện qua trục tam giác vng cân nên góc đỉnh 90 o Giải : Gọi h chiều cao hình nón Ta có : Ví dụ 21 : Cho tam giác ABC vng A có AB = 3, AC = Tính thể tích khối trịn xoay sinh trường hợp sau : a) Cho tam giác ABC quay quanh cạnh AB b) Cho tam giác ABC quay quanh cạnh BC Giải : a) Khi quay quanh AB, ta có : h = 3, R = Do : V = R h = 16 12 b) Gọi AH đường cao, AH = , BC = Khi quay quanh BC ta nón hình vẽ Nón có chiều cao BH, bán kính đáy AH Nón có chiều cao CH, bán kính đáy AH 1 48 Vậy : V = AH BH + AH CH = AH BC = 3 Bài tập Bài : Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vng A, AB = a, B = 60o, SA ⊥ ( ABC ) , SB tạo với mp(SAC) góc 45o a) Tính thể tích tứ diện b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện d) Tính góc hai mặt phẳng (SBC), (ABC) e) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC ĐS : a) a a 21 a a3 ; b) ; c) R = ; d) tan  = ; e) Bài : Cho tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) , SB tạo với mp(SAC) góc 45o 25 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt a) Tính thể tích tứ diện b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện d) Tính góc hai mặt phẳng (SBC), (ABC) e) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC ĐS : a) a 30 a 30 a3 a 66 ; b) ; c) R = ; d) tan  = ; e) 10 10 24 12 Bài : Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a a) Tính thể tích tứ diện b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện d) Tính góc hai mặt phẳng (SBC), (ABC) e) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC ĐS : a) a 11 2a 33 a 11 3a ; b) ; c) R = ; d) tan  = ; e) 12 11 15 13 Bài : Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc, SA = a, SB = 2a, SC = 3a Gọi M trung điểm SC a) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b) Tính thể tích tứ diện ABMC c) Tính khoảng cách BC SA d) Tính khoảng cách BM AC e) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABG ĐS : a) a ; b) a 14 6a 6a a3 ; c) ; d) ; e) R = 13 13 Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SC = 4a, SA ⊥ ( ABCD ) a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) (O tâm hình vng) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SD d) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC e) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD ĐS : a) 8a 2a a ; b) ‘ c) ; d) a ; e) R = 2a 3 Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SC tạo với mp(SAB) góc 30o , SA ⊥ ( ABCD ) a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) (O tâm hình vng) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SD d) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC e) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD ĐS : Tương tự Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, tâm O, cạnh bên 2a a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) c) Tính khoảng cách AB SD d) Tính khoảng cách BD SC e) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD ĐS : a) a 14 2a 14 a a 14 a 14 ; b) ; c) ; d) ; e) R = 15 15 26 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bài : Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc mp(ABCD), SC tạo với đáy góc 60o Gọi M trung điểm AD a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ C đến mp(SBD) c) Tính khoảng cách CM SB d) Tính góc SD mp(SAC) e) Tính góc SC mp(SAD) f) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC g) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD ĐS : a) a3 a 10 a ; b) ; c) a ; d) tan  = ; e) sin  = ; f) R = a ; g) R = 2 17 2 Bài : Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang vng A B, AB = AD = 2a, BC = a Gọi I, M trung điểm AB AD Biết SI ⊥ ( ABCD ) SAB tam giác a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ C đến mp(SBD) c) Tính khoảng cách CM SB d) Tính góc SD mp(SAC) e) Tính góc SC mp(SAD) f) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC g) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD ĐS : a) a 3 ; b) a 21 a 19 ; c) a ; d) sin  = ; e) sin  = ; f) R = Bài 10 : Hình chóp SABCD có ABCD hình thang cân AD // BC, AB = BC = CD = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) , SC tạo với mp(ABCD) góc 30o a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ B đến mp(SCD) c) Tính góc SC với mp(SAD) d) Tính khoảng cách AB SC e) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD f) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM ( M trung điểm AD) ĐS : a) a a 21 a 21 a3 a 3 ; b) ; c) sin  = ; d) ; e) R = ; f) R = 4 Bài 11 : Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, A = 60o, SO ⊥ ( ABCD ) , góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 60o a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) c) Tính khoảng cách AB SD d) Tính góc SA mp(SCD) e) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD f) Tính diện tich mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC ĐS : a) a a3 a 65 21 3a 3a ; b) ; c) ; d) sin  = ; e) R = ; f) R = 8 Bài 12 : Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, A = 60o, SA = SB = SD = 2a a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) c) Tính khoảng cách AB SD d) Tính góc SA mp(SCD) e) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD a 11 a 11 a 11 11 2a 33 ĐS : a) ; b) ; c) ; d) sin  = ; e) R = 8 11 27 Hình học không gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bài 13 : Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, A = 60o, SA = SB = SC = 2a a) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) c) Tính khoảng cách AB SD d) Tính góc SA mp(SCD) e) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD a a 3 a3 ĐS : a) ; b) ; c) ; d) sin  = 4 Bài 14 : Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC tam giác cạnh a, AB1 tạo với mp(ACC1A1) góc 30o, M trung điểm CC1 a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính thể tích tứ diện A1MBB1 c) Tính khoảng cách từ M đến mp(AB1C1) d) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ e) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MABC f) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MABB1 ĐS : a) a a3 a3 a 30 a 66 a ; b) ; c) ; d) R = ; e) R = ; f) R = 12 12 11 Bài 15 : Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC tam giác vng cân, cạnh huyền BC = a, AB1 tạo với mp(ACC1A1) góc 30o, M trung điểm CC1 a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính thể tích tứ diện A1MBB1 c) Tính khoảng cách từ M đến mp(AB1C1) d) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ e) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MABC a3 a3 a a 22 a 10 ĐS : a) ; b) ; c) ; d) R = ; e) R = 24 8 Bài 16 : Lăng trụ ABCA1B1C1 có ABC tam giác cạnh a, G trọng tâm tam giác ABC A1A = A1B = A1C Góc cạnh bên đáy 60o a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính khoảng cách từ G đến mp(B1AC) c) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A1ABC d) Tính diện tích xung quanh lăng trụ ĐS : a) 2a a 39 a3 2a + ; b) ; c) R = ; d) Bài 17 : Lăng trụ ABCA1B1C1 có ABC tam giác vng cân, AB = AC = a, G trọng tâm tam giác ABC A1A = A1B = A1C Góc hai mặt phẳng (A1AB) (ABC) 60o a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính khoảng cách từ G đến mp(B1AC) c) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A1ABC d) Tính diện tích xung quanh lăng trụ ĐS : a) 3a a 5a ; b) ; c) R = ; d) 12 ( ) + a2 Bài 18 : Cho hình lăng trụ ABCA1B1C1 có ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A1 xuống mp(ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA1C1C) tạo với đáy góc 45o a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác A1BC đến mp(ACC1A1) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB A1C 28 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt d) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A1ABC ĐS : a) a 15 a 3a ; b) ; c) ; d) 12 10 16 Bài 19 : Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 có AB = a, AD = 2a, A1C tạo với mp(CDD1C1) góc 45o Gọi O tâm hình hộp a) Tính thể tích khối chóp OABCD b) Mp(ACD1) chia hình hộp thành phần Tính tỷ số thể tích hai phần c) Tính khoảng cách từ A đến mp(BDC1) d) Tính khoảng cách A1C AD e) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A1BCC1 ĐS : a) 2a 57 a3 a ; b) ; c) ; d) 19 Bài 20 : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, chiều cao 2a Mặt phẳng (P) song song với mp(ABCD) cắt cạnh SA, SB, SC, SD M, N, P, Q Hình lăng trụ có đáy tứ giác MNPQ, đáy cịn lại nằm đáy hình chóp Tính thể tích lớn ĐS : max V = lăng trụ Bài 21 : Hình chóp tam giác có cạnh đáy a, thể tích bên đáy Tính sin 2 8a 27 a3 Gọi  góc mặt 24 ĐS : 2a Bài 22 : Hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao a, thể tích Gọi  góc cạnh 2+2 bên đáy Tính cos  + tan  ĐS : a3 Gọi 24 ĐS : Bài 23 : Hình chóp SABC có ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) , thể tích  góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Tính tan  + cot  Bài 24 : Hình chóp SABCD có ABCD hình thoi cạnh a, A = 120o, SA ⊥ ( ABCD ) , thể tích a3 Gọi  góc hai mặt phẳng (SCD) (SAD) Tính cos 2 ĐS : − Bài 25 : Hình chóp tam giác SABC có G tâm tam giác ABC Góc mặt bên đáy a a3 o 60 , khoảng cách từ G đến mp(SAB) Tính thể tích khối chóp ĐS : Bài 26 : Hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a Khoảng cách AB SC 2a 21 2a Tính thể tích khối chóp ĐS : 29 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bài 27 : Hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a, H thuộc đoạn AB cho BH = 2AH, a Tính thể tích khối chóp SH ⊥ ( ABCD ) , khoảng cách từ A đến mp(SCD) a3 ĐS : Bài 28 : Hình chóp SABCD có ABCD hình thoi cạnh a, A = 120o , SA ⊥ ( ABCD ) Gọi M trung điểm BC Biết góc SMA = 45o Tính khoảng cách từ D đến mp(SBC) ĐS : a 21 a Tam giác SAB cạnh a a 39 nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết diện tích tam giác SAB Tính 16 khoảng cách từ C đến mp(SAB) Bài 30 : Hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên đáy 45o Gọi Bài 29 : Hình chóp SABC có tam giác ABC vuông A, AC = M, N, P trung điểm SA, SB CD Tính thể tích tứ diện AMNP ĐS : a3 48 Bài 31 : Tứ diện SABC có M, N trung điểm AB AC Mặt phẳng (SMN) chia hình chóp thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần ĐS : Bài 32 : Hình chóp SABCD có ABCD hình bình hành, M trung điểm SA Mặt phẳng (BCM) chia hình chóp thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần ĐS : Bài 33 : Hình chóp SABCD có ABCD hình bình hành, M trung điểm SA, N cạnh SD cho SN = 3ND Mặt phẳng (BMN) chia hình chóp thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai 17 phần ĐS : 31 Bài 34 : Hình chóp SABCD có ABCD hình bình hành, M trung điểm AD Mặt phẳng (SBM) chia hình chóp thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần ĐS : Bài 35 : Hình chóp SABCD có ABCD hình bình hành, G trung điểm SAD Mặt phẳng (BCG) chia hình chóp thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần ĐS : Bài 36 : Cho lăng trụ ABCA1B1C1, M trung điểm CC1 Mặt phẳng (A1BM) chia lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần ĐS : Bài 37 : Cho lăng trụ ABCA1B1C1, M trung điểm CC1, N trung điểm BB1 Mặt phẳng (AMN) chia lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần ĐS : Bài 38 : Cho lăng trụ ABCA1B1C1 Tính tỷ số thể tích tứ diện A1BB1C với thể tích lăng trụ ĐS : 30 Hình học không gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bài 39 : Hình chóp SABC có đáy tam giác ABC cạnh a, góc SC mp(ABC) 45o Hình chiếu S lên mp(ABC) điểm H thuộc đoạn AB cho HA = 2HB Biết CH = a Tính khoảng cách SA BC ĐS : a 210 20 Bài 40 : Cho tam giác ABC cạnh a Gọi (P) mặt phẳng qua BC ( P ) ⊥ ( ABC ) Trong mp(P), gọi (C) đường tròn đường kính BC Tính bán kính mặt cầu qua điểm A ĐS : R = chứa đường tròn (C) a Bài 41 : Một hình chóp tứ giác có chiều cao cạnh đáy Tính diện tích xung quanh hình nón có đỉnh trùng với đỉnh hình chóp đáy hình nón đường trịn nội tiếp ĐS : Sxq =  17 đáy hình chóp Bài 42 : Cho tam giác ABC vuông A, AB = 2, AC = Tính thể tích khối trịn xoay sinh 4 cho tam giác ABC quay quanh cạnh BC ĐS : V = 15 Bài 43 : Cho hình trụ có bán kính đáy trục OO1 Tính tích khối cầu có tâm 500 trung điểm OO1 chứa hai đường trịn đáy hình trụ ĐS : V = Bài 44 : Một hình trụ có chiều cao 10 Một thiết diện song song với trục hình vuông ABB1A1 với AA1, BB1 hai đường sinh Biết dây AB đường tròn đáy căng cung 1000 120o Tính thể tích khối trụ ĐS : V = Bài 45 : Một hình nón có chiều cao bán kính đáy Một thiết diện qua đỉnh hình nón cắt đáy hình nón theo dây có chiều dài Tính diện tích thiết diện ĐS : S = 347 Bài 46 : Cho mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R = Một mp(P) cắt hình cầu theo đường trịn (C) có tâm H, bán kính r = Tia HO cắt mặt cầu (S) A Hình nón đỉnh A, đáy đường trịn (C) chia khối cầu thành hai phần Tính thể tích phần nằm ngồi hình nón 419 ĐS : V = Bài 47 : Một hình trụ có diện tích xung quanh 4, diện tích đáy hình trụ diện tích mặt cầu có bán kính Tính thể tích khối trụ ĐS : V = Bài 48 : Cho hình trụ (T) sinh quay hình vng ABCD quanh cạnh AB Biết AC = 2 Tính diện tích tồn phần hình trụ (T) ĐS : Stp = 16 Bài 49 : Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cm Một mặt phẳng song song với trục hình trụ cách trục cm Tính diện tích thiết diện tạo thành ĐS : S = 56 Bài 50 : Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh Tính thể tích khối nón 31 ĐS : V = 3 Hình học không gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Bài 51 : Một khối nón có chiều cao 3a Thiết diện song song với đáy cách đáy khoảng 64 a Tính thể tích khối nón a, có diện tích ĐS : V = 16a Bài 52 : Cho tam giác ABC vuông A có AB = 3, AC = Cho tam giác ABC quay quanh cạnh AB ta hình nón Gọi  góc đỉnh hình nón, tính cos  + tan  Bài 53 : Một hình nón sinh tam giác cạnh a quay quanh đường cao Một mặt cầu có diện tích diện tích hình nón có bán kính bao nhiêu? ĐS : R = a Bài 54 : Cho bìa hình vng, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12 cm, gấp lại thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Nếu thể tích hộp 4800 cm3 cạnh bìa bao nhiêu? ĐS : Bài 55 : Cho tam giác ABO vuông O, có góc BAO = 30o AB = Quay tam giác ABO quanh trục AO ta hình nón Tính diện tích xung quanh hình nón ĐS : Sxq = 2 Bài 56 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = Gọi V1, V2 thể tích khối trụ sinh quay hình chữ nhật quanh trục AD AB Tính tỷ số V1 V2 ĐS : Bài 57 : Một hình thang cân có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC = DA = Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh cho a) Hình thang quay quanh trục AB 5 7 b) Hình thang quay quanh trục CD ĐS : a) V = ; b) V = 3 15 , hai đường trịn đáy hình trụ có tâm O O1 Tính diện tích mặt cầu tâm O chứa đường trịn (O1) ĐS : S = 12 Bài 58 : Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh Bài 59 : Một khối nón tích  Một khối cầu có tâm đỉnh khối nón chứa đường 32  trịn đáy khối nón Biết thể tích khối cầu độ dài đường cao khối nón số nguyên Tính chiều cao h khối nón ĐS : h = Bài 60 : Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vuông cân cạnh huyền a Một hình trụ có đáy nằm đáy hình nón đáy cịn lại tiếp xúc với đường sinh hình nón Thể tích lớn hình trụ bao nhiêu? a ĐS : max V = 54 _ 32 ... cao lăng trụ 1 11   * VGDEFG1 = 2VGDEF =  h  SDEF = h  SABC  = V 4 3   12 11 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ 19 : Cho lăng trụ ABCA1B1C1 Lấy hai điểm M, N hai cạnh AB,... SDFEN ( DN + EF ) d ( N,CC1 )   11 Suy : = =  + = SBCC1B1 BB1 d ( B,CC1 )  10  40 12 Hình học khơng gian 12 * Gv : Dư Quốc Đạt VM.DFEN S 11 11 11 = DFEN = Mà VA1BCC1B1 = V  VM.DFEN = V =... BC 2a = 2BD  BD = sin A 9a 4a a 129 + = Ví dụ : Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a 17 Hình học khơng gian 12 Gv : Dư Quốc Đạt Giải : Gọi G