Skkn vận dụng bất đẳng thức cô si để tìm cực trị

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ" skkn PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lí luận Thực tế cho thấy Tốn học tảng cho ngành khoa học, chìa khoá vạn để khai phá thúc đẩy phát triển cho ngành khoa học, kinh tế, Quân sống Toán học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học,là mơn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chương trình tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do học, em nắm lý thuyết bản, mà phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ biết vận dụng để giải loại toán Qua cách giải toán rút phương pháp chung để giải dạng bài, sở tìm lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Trong q trình học tốn trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức cơng việc cách sáng tạo Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì địi hỏi người thầy lao động sáng tạo biết tìm tịi phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư lơ gic giải tốn Là giáo viên dạy tốn trường THCS tơi nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS khơng đưn giản đảm bảo kiến thức sách giáo khoa , điều kiện cần chưa đủ Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thơng qua việc giải tốn đa dạng, giải toán cách khoa học, kiên nhẫn , tỉ mỉ , để tự tìm đáp số chúng Muốn người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác để tạo hứng thú cho học sinh Một toán có nhiều cách giải , tốn thường nằm dạng tốn khác địi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực cách sáng tạo học sinh phải biết sử dụng phương pháp cho phù hợp Các dạng tốn trường trìnhTHCS thật đa dạng phong phú như: Bất đẳng thức, Tìm cực trị … skkn “ Tìm cực trị” dạng tốn có SGK lớp chưa đưa phương pháp giải chung Hơn “ Tìm cực trị” có nhiều đề thi như: Thi vào THPH, đề thi học sinh giỏi huyện , học sinh giỏi tỉnh,… Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ giải tốn tìm cực trị, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập điều cần thiết Cơ sở thực tiễn Qua thực tế vài năm giảng dạy mơn tốn lớp tơi thấy khơng học sinh gặp khó khăn giải tốn mà thân tơi dạy phần “ Tìm cực trị” gặp nhiều khó khăn việc hướng dẩn học sinh giải tốn phần này.Chính tơi ln suy nghĩ bước để hồn thiện phương pháp Từ thực tiễn giảng dạy thấy học sinh hay bế tắc , lúng túng cách xác định dạng toán Từ thận lợi , khó khăn yêu cầu thực tiễn giảng dạy Tụi chn ti vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị B.PHM VI V MC CH CỦA ĐỀ TÀI Phạm vi đề tài: - Áp dụng với đối tượng học sinh – giỏi lớp Mục đích đề tài: -Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải tốn Tìm cực trị tạo niềm tin cho giáo viên q trình hướng dẫn học sinh giải tốn Tìm cực trị Giúp cho thầy trò dạy học đạt kết cao Giúp cho học sinh có hứng thú học u thích mơn Tốn - Giúp học sinh biết hướng khai thác kết toán để giải vấn đề linh hoạt - Trao đổi với giáo viên hướng khai thác tốn chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp PHẦN II: NỘI DUNG I Bất đẳng thức Coossi với số a, b không âm a+b (1) Chứng minh: skkn Do a, b nên xác định Ta có : Dấu “=” xảy II Bất đẳng thức mở rộng Với số a, b, c không âm a+b+c Dấu “=” xảy Với số a, b, c ,d không âm a+b+c+d Dấu “=” xảy Đối với n số khơng âm: a , Ta có: Dấu “=” xảy III HỆ QUẢ Với số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra:  Nếu ab=k (khơng đổi) Min(a+b)=  Nếu a+b = k (khơng đổi) Max (ab) = (khi a=b) (khi a=b) Kết mở rộng với:  Ba số a, b, c không âm: + Nếu abc =k (không đổi) Min (a+b+c) =3 (khi a=b=c) +Nếu a+b+c=k (khơng đổi) Max (abc)= (khi a=b=c) skkn *Bốn số a, b, c, d không âm: + Nếu abcd=k (khơng đổi) Min(a+b+c+d) =4 (khi a=b=c=d ) + Nếu a+b+c+d =k (không đổi) Max(abcd) = ( a=b=c=d ) *Với n số không âm : + Nếu (không đổi ) Min ( (khi + Nếu ) (khơng đổi ) Max( (khi ) IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI: A Phương pháp 1: Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số để tìm GTNN biến đổi biểu thức cho thành tích biểu thức cho tổng chúng số để tìm GTLN Bài tốn 1: Cho a > Tìm GTNN biểu thức: A = a+ Giải: Vì a > nên , Áp dụng bất đẳng thức cô si với số dương a skkn Ta có : a+ =2 Dấu xảy a= (vì a > 0) Vậy Min A Nhận xét: Hai số dương a có tích số Bài toán 2: Với số thực a, tìm GTNN biểu thức: A = Giải: Ta có a nên: A = Vì với a nên Áp dụng bất đẳng thức cô si với số dương Dấu “=” xảy và ta có: = Vậy Min A  Nhận xét: Phân tích để có tích hai số dương với số Bài tốn 3: Với x khơng âm , tìm GTNN biểu thức A skkn Gi¶i: Ta có : A = = Vì x nên đợc xác định , áp dụng bất đẳng thức côsi cho số dơng ta có: A =2.3 2=4 Dấu = xảy Vậy Min A Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN biểu thức A Giải : Ta có A Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho số dơng x, x, ta có: x+x+ DÊu “=” x¶y VËy Min A  NhËn xÐt: Hai số dơng 2x Muốn khử đợc x tử phải có x có tích số phải biểu diễn 2x=x +x dùng bất đẳng thức côsi với số dơng skkn Bài toán : Cho x > Tìm GTNN biểu thức A Giải: A Vì x>0 nên x ; áp dụng bất đẳng thức côsi cho số dơng x ta có: A Dấu = xảy Vậy Min A Bài toán 6: Với x > Tìm GTNN biểu thức A Giải: ta có A = Vì x > nên áp dụng bấtđẳng thức côsi cho số dơng x ta có: A Dấu = xảy Vậy Min A Bài toán : Cho x T×m GTNN cđa biĨu thøc skkn A Giải: Ta có: Vì x A = nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho số dơng ta cã: A DÊu “=” x¶y VËy Min A Bài toán : Cho Tìm GTNN biểu thức A Giải: Ta có A = Vì nên đợc xác định ; áp dụng bất đẳng thức côsi cho số dơng >0 ta có: A Dấu = xảy Vậy Min A skkn Bài toán 9: Cho x>1 Tìm GTNN biểu thức A Giải: Ta có A Vì x>1 nên x-1 >0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho số dơng ta có: A Dấu = xảy Vậy Min A Bài toán 10 : Cho x>y x.y = Tìm GTNN biểu thức A Giải: Ta cã : A = ( v× x.y = ) Vì x>y nên x-y>0 ; áp dụng bất đẳng thức côsi với số dơng x-y ta có: A Dấu = xảy kết hợp với điều kiện x.y=5 ta đợc x=5,y=1 x=-1,y=-5 Vậy Min A x=-1,y=-5 10 skkn Bài toán 11: Tìm GTLN biểu thức: ( với Giải: Vì ) nên áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có: Dấu = xảy Vậy Max Bài toán12: Tìm GTLN biểu thức: ( với Giải: Vì ) nên áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có: Dấu = xảy Vậy Max Bài toán 13: Tìm GTLN biểu thức : Với Giải: Vì nên 1-x áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có: Dấu = xảy Vậy Max Bài toán 14: Cho 00 Tìm GTNN biểu thức A Giải : Ta có: A Vì a,b,x>0 nên = áp dụng bất đẳng thức côsi cho số dơng x 13 skkn Ta cã: A = DÊu “=” x¶y VËy Min A B phơng pháp 2: Để tìm cực biểu thức ta tìm cực trị bình phơng biểu thức Bài toán 18 : Tìm GTLN biểu thức : A Giải: ĐKXĐ Ta có: A 18   3x  5    3x    3x  5. x = áp dụng bất đẳng thức côsi cho số không âm 3x-5 7-3x tacó: A =4 DÊu “=” x¶y VËy Max A 18 =4  MaxA18   x  Nhận xét : Biểu thức A đợc cho dới dạng tổng hai thức Hai biểu thức lấy có tổng không đổi (bằng 2) Vì ta bình phơng hai vế biểu thức A xuất hạng tử hai lần tích hai thức Đến ta vận dụng BĐT Côsi : Bài toán 19: Tìm GTLN biểu thức A Giải : ĐKXĐ : ta có A = áp dụng BĐT Côsi cho số không ©m x-5 vµ 23-x ta cã: 14 skkn A DÊu = xảy Vậy Max A Bài toán 20: Tìm GTNN GTLN biểu thức A Giải: ĐKXĐ: Ta có A A =4+2 mà A nên A áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm 5-x x-1 , ta có Do A mà A VËy Min A nªn A 20  2 x=1 Max A C Phơng pháp 3: Nhân chia mét biĨu thøc víi cïng mét sè kh¸c Bài toán 21: Tìm GTLN biểu thức : A Giải: ĐKXĐ : x A Dấu = xảy Vậy MaxA 15 skkn Nhận xét: Trong cách giải trên, x-9 đợc biểu diễn thành vận dụng BĐT Côsi , tích đợc làm trội thành nửa tổng ta đà gặp chỗ có dạng kx rút gọn cho x dới mẫu, kết số Còn số tìm đợc cách lấy bậc hai , số có đề Bài toán 22: Tìm GTLN biểu thức : A D phơng pháp : Thêm hạng tử vào biểu thức đà cho Bài to¸n 23 : Cho ba sè x, y , z >0 tháa m·n x+y+z=2 T×m GTNN cđa biĨu thøc : A Giải: áp dụng BĐT Côsi với số dơng ta đợc: (1) Tơng tự ta có : (2) (3) Céng vÕ víi vÕ B§T (1), (2), (3) ta đợc: A ( x+y+z=2) Dấu = xảy Vậy Min A 16 skkn Nhận xét : Ta đà thêm vào hạng tử thứ có đề , để vận dụng BĐT Côsi khử đợc (y+z) nh hạng tử thứ hai thứ ba Bài toán 24: Cho a, b, c >1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Giải: Vì a,b,c>1 nên áp dụng bất đẳng thức CÔSI với số dơng ta có Cộng vế với vế BĐT thu gọn ta có A Vậy Min A =12 Bài toán 25: Cho a,b>1 Tìm GTNN biểu thức : A V Các toán vận dụng Bài toán 26: Với x>-1 Tìm GTNN biểu thức : A Bài toán 27: Với x>0.Tìm GTNN biểu thức : A Bài toán 28: Víi x,y,z >0 T×m GTNN cđa biĨu thøc : A Bài toán 29: Với x,y,z số không âm thỏa mÃn: x+y+z =1 Tìm GTLN biểu thức : A =xyz(x+y)(y+z)(z+x) Gợi ý: áp dụng BĐT côsi với số không âm ta đợc 17 skkn 1=x+y+z (1) 2=(x+y)+(y+z)+(z+x) (2) Nhân vế (1) (2) (do hai vế không âm ) đợc: Bài toán 30: Với 0y > Tìm GTNN biểu thức A Bài toán 32: Cho a,b, c ba cạnh tam giác Tìm GTLN biểu thức : A Gợi ý: a,b,c ba cạnh tam giác nên a,b,c >0 Ta có a+b >c , b+c>a, c+a>b Do ®ã a+b-c >0, b+c-a >0, c+a-b >0 áp dụng BĐT Côsi với hai số d¬ng , ta cã: (1) T¬ng tù (3) Tõ (1), (2), (3) ta có: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) Bài toán 33: Với x,y,z >0 Tìm GTNN biểu thức : A Bài toán 34: Cho x,y >0 x+y Tìm GTNN biểu thức: A Gợi ý: A = 18 skkn Bài toán 35 : Cho x , y >0 thỏa mÃn x+y=1 Tìm GTLN biểu thức A Gợi ý: ta có 1=x+y= Bài toán 36:Cho x,y,z >0 thỏa mÃn x+y+z Tìm GTNN biểu thức: A Gợi ý: A áp dụng BĐT Côsi cho bốn số dơng ta đợc: Do A A Bài toán 37: Cho a,b,c,d >0 thỏa mÃn a+b+c+d=1 Tìm GTNN biểu thức A Bài toán 38: Tìm GTNN GTLN biểu thức:A Gợi ý: Xét A Ta có A A Bài toán 39: Tìm GTLN biểu thức: 19 skkn Bài toán 40: T×m GTLN cđa biĨu thøc: A ( víi ) Bài tốn 41 :Cho x, y, z, t > T×m GTNN A41 = Gi ý : Đặt P = 2A41 ta cã : P= P= P= P + + + (theo c«si) P  15  MinP= 15  x = y = t >  MinA41 = Vậy Min A41 = x=y=t x=y=t Bài tốn 42: Cho x, y > vµ 7x + 9y = 63 T×m GTLN cđa A42 = x.y Gi ý : Đặt : P = 63.A42 ta có : P = 63xy = 7x.9y  P  =  Max P = DÊu "=" x¶y  7x = 9y = Max A 42 = (theo c«si) : 63 =   20 skkn Bài tốn 43: Tìm GTNN A43 = 3a + với -1 Gợi ý: A43 = 3a + Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta => A43 => Do A43 dấu “=” xảy a = Vậy GTNN A43 = a = Bài toán 44: Tìm GTNN biểu thức: A44 = Gợi ý: Biểu diễn A44 = (áp dụng BĐT Côsi) => Min A44 = 64 x = x = -3 21 skkn 22 skkn ... a,b,x>0 Tìm GTNN biểu thức A Giải : Ta có: A Vì a,b,x>0 nên = áp dụng bất đẳng thức c? ?si cho số dơng x 13 skkn Ta cã: A = DÊu “=” x¶y Vậy Min A B phơng pháp 2: Để tìm cực biểu thức ta tìm cực trị. .. dùng bất đẳng thức c? ?si với số dơng skkn Bài toán : Cho x > Tìm GTNN biểu thức A Giải: A Vì x>0 nên x ; áp dụng bất đẳng thức c? ?si cho số dơng x ta có: A Dấu = xảy Vậy Min A Bài toán 6: Với x > Tìm. .. xác định , áp dụng bất đẳng thức c? ?si cho số dơng ta có: A =2.3 2=4 Dấu = xảy Vậy Min A Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN biểu thức A Giải : Ta có A Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức c? ?si cho số dơng