Skkn rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC" skkn PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình lượng giác dạng tốn thường xuất đề thi đại học thi học sinh giỏi Đa số học sinh giải dạng phương trình lượng giác bản, nhiên học sinh chưa thực giải tốt gặp phương trình lượng giác đề thi Việc cung cấp cho học sinh số phương pháp giải phương trình lượng giác việc làm cần thiết Chính tơi chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số dạng phương trình lượng giác” PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lý luận vấn đề a) Phương trình lượng giác bản: +) sinx= m Với sin =m (có thể lấy arcsinm) +) cosx= m Với cos =m (có thể lấy arccosm) +) tanx= m x= , với tan =m ( lấy +) cotx= m x= , với cot = m ( lấy =arctanm) arccotm) b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản +) Phương trình bậc bậc hai f(x) ( f(x) biểu thức lượng giác đó) Đặt ẩn phụ: t= f(x) +)Phương trình bậc sinx cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2 Biến đổi vế trái dạng: Csin(x+ ) Ccos(x+ 0) ) +) Phương trình bậc hai sinx cosx asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= ( a2+ b2+ c2 0) Chia hai vế cho cos2x( với cosx 0), chia hai vế cho sin2x( với sinx 0) +) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d (a2+b2+c2 ) Viết: d= d(sin2x+ cos2x) đưa dạng phương trình bậc hai sinx cosx +) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= skkn Đặt: t= sinx+ cosx= (đk: ) phương trình bậc hai ẩn t +) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= Đặt: t= sinx- cosx= (đk: ) phương trình bậc hai ẩn t Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau Phương pháp giải phương trình lượng giác Phương pháp giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích Biến đổi tổng thành tích Biến đởi tích thành tởng Phương pháp giải phương trình lượng giác: Đại số hóa bằng cách đă ̣t ẩn phụ Phương trình bâ ̣c 1, bâ ̣c đối với các hàm số lượng giác Phương trình bâ ̣c đối với sinx và cosx Phương pháp giải phương trình khơng mẫu mực Phương trình th̀n nhất bâ ̣c đối với sinx và cosx Phương pháp giải phương trình đưa phương trình lượng giác biết cách giải Phương trình đới xứng đơí vơí sinx, cosx Phương trình lượng giác bản Thực trạng vấn đề skkn Khi gặp toán giải lượng giác phức tạp, học sinh lúng túng cách giải quyết.Tuy nhiên nắm bắt quy luật số dạng tốn khó khăn giải Giải pháp tổ chức thực Để thực đề tài này, phân thành phương pháp Mỗi phương pháp đưa số ví dụ tập áp dụng, ví dụ chủ yếu đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi năm gần số tập tương tự Sau số phương pháp giải phương trình lượng giác 1.Phương pháp1: Sử dụng biến đổi lượng giác đưa phương trình lượng giác biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác cần sử dụng công thức lượng giác cơng thức hạ bậc, góc nhân đơi, cơng thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng biến đổi đưa phương trình lượng giác biết cách giải Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) Giải phương trình (sin +cos )2 + cosx =2 (1a) Giải: Phương trình (1a) tương đương với : +2sin 1+ sinx + cos + cosx cosx =2 sinx + cosx = (k Vậy nghiệm phương trình : x= cos(x- ) = z) +k2  , x= - +k2 (k Ví dụ Giải phương trình : sin2xcosx + cos3x =2- cos2xsinx (3a) Giải: Phương trình (3a) tương đương với : (sin3x +sinx ) + cos3x = 2- (sin3x - sinx) skkn sin3x + cos3x= cos( )= sin3x + = k2 Vậy phương trình có nghiệm là: cos3x = x= x= - - (k (k z) z) Ví dụ (Đại học khối A - 2005) Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với : (1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x = cos6x cos2x -1= (cos4x + cos8x )- 1= cos8x+ cos4x- 2= 2cos24x + cos4x - = +) cos4x = 4x = k2 x= (k Vậy phương trình có nghiệm là: x= z) (k z) Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003) Giải phương trình: (5a) Giải Đk: cosx (*) Phương trình (5a) tương đương với: (2(2- )cosx - [1- cos(x)cosx - 1+ cos(x- )] = 2cosx- ) = 2cosx - skkn (2- )cosx - 1+ sinx = cosx cosx - 1sinx = cosx + sinx = cosx - cosx  tanx = x= +k (k ) Kết hợp với điều kiện (*) +(2k’+ 1) Vậy phương trình có nghiệm là: x= ( k’ z) Ví dụ (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình : cos( 2x+ + cos( 2x- )+ 4sinx = 2+ (1- sinx) (6a) Giải: Phương trình (6a) tương đương với : cos2x.cos + sinx + cos2x + ( sin2x - (4 + sinx - - )sinx - - =0 =0 ) sinx + = (*) (k Vậy phương trình có nghiệm là: x= Ví dụ 6:(HSG-2011) z) , x= (k z) Giải phương trình (1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= (7a) Giải Phương trình(7a) tương đương với: 1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx Đặt: skkn sin cos2x+ cos sin2x= sin sin2x- cos cosx (k Vậy phương trình có nghiệm là: x=- x= (k *Một số tập tương tự Giải phương trình sau : 1.(Đại học khối B- 2004) sinx- = 3( - sinx ) tan2x 2.( Đại học khối B- 2003 ) cotx - tanx + sin2x = (Đại học khối A - 2009) = 4.(Đại học khối D- 2009) cos5x - sin3x cos2x -sinx= 5.(Đại học khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) phương trình : sinx + = cos2x +3 6.(Đại học khối D - 2005) cos4x +sin4x +cos(x7 4sin2 - cos2x = + cos 2( x- tanx= cotx+ sin(3x- - =0 ) 8.(Đại học khối B- 2009) sinx + cosx.sin2x + 5( cos3x= ( cos4x + sin3x) Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ Một số phương trình lượng giác đưa ẩn phụ vào để chuyển phương trình đại số biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x); t= sinu(x)+ cosu(x) ( Chú ý đk ẩn phụ) Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ biểu thức đại số ẩn x như: t= , t= ) skkn Ví dụ Giải phương trình : 3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= (2b) Giải Phương trình ( 2b) tương đương với: (2b/ ) 3( sinx + cosx )+ sinx cosx + = Đặt sinx + cosx = t ( ) sinx.cosx = Phương trình ( 2b/ ) trở thành: 3t + 2t2 - 2+3 = +) Với t= -1 sin(x + 2t2 +3t+ = sinx + cosx = -1 =- +)Với t = sin( x + sin( x + = sin(- )=-1 (k sinx + cosx = - sin( x + z) =- )=- Vậy phương trình có nghiệm là: x=- +k2 , x= +k2 , x= arcsin(- )+k2 , x= +arcsin(- ) (k Ví dụ Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= ( 3b) Giải: ĐK: cosx Đặt tanx= t sin2x= Phương trình (3b) trở thành: skkn 2t3- 3t2+ 4t- 3= + 2t= +) Với t= t= tanx= (k Vậy phương trình có nghiệm là: x= (k Ví dụ 3: Giải phương trình: 3cosx+ 4sinx+ (4b) Giải Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t 3cosx+ 4sinx= t- 1( t2- t+ 6= 6t Phương trình (4b) trở thành: t- 1+ t2 -7t+ 6= +) Với t= 4sinx+ 3cosx+ 1= 4sinx+ 3cosx= sin sin(x+ +)Vớit=1 (sin (sin =1 x= - ) (k 3cosx+4sinx=0 , cos ) (k Vậy phương trình có nghiệm là: Ví dụ4: , cos x=- , x=- (k Giải phương trình: sin3x - sin2xcosx + 11sinxcos2x - cos3x =0 (4b) Giải: +) Nếu cosx = x= Phương trình trở thành : +k (k z) = vô lý Vậy cosx Chia vế phương trình ( 4b) cho cos3x 0 skkn phương trình (4b) trở thành: tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0 (4b/) Đặt: tanx=t (4b/) t3 - 6t2 +11t - = ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0 (t- 1) (t-2) ( t- 3) = +)Với t=1 tanx =1 x= +k +)Với t =2 tanx = x= + l +)Với t= tanx= x= +m Vậy nghiệm phương trình là: x= ( k, l, m (k z) (l z , tan =2) (m z ,tan = 3) +k , x= +l , x= z ; tan  =2 ;tan +m =3) Ví dụ5 Giải phương trình: sin(2x+ Giải Đặt: x- +) t= +) t= (k +) t=Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ6 (HSGT-2009) 10 skkn Giải phương trình: Giải Đặt: Phương trình cho trở thành: Vậy nghiệm phương trình là: (*) Một số tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình sau: (HVQHQT- 2000) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = ( Đại học dự bị khối B- 2004) 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx (ĐHGTVT - 2001) sin4x + sin4( x+ ) + sin4(x - )= (ĐHQGNH - 2000) 2sinx + cotx = 2sin2x + 2sin3x + cos3x = 3sinx cos3( x+ ) = cos3x 4cos3x +3 sin2x = cosx cos( )+ cos =sin cos2 +sin2( )cos Bài 2: Cho phương trình: cos6x + sin6x = msin2x a) Giải phương trình m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: Cho phương trình : (2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x 11 skkn a) Giải phương trình m=1 b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm thoả mãn: Bài 4: Cho phương trình m(sinx+ cosx) +1+ (tanx +cotx+ + ) =0 a) Giải phương trình m= b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm khoảng (0; ) 3.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa phương trình tích Rất nhiều phương trình lượng giác cần biến đổi lượng giác để nhóm thừa số chung đưa phương trình tích, hướng đề chủ yếu đề thi đại học năm gần Phương pháp khơng phức tạp tính tốn, thủ thuật biến đổi đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt công thức lượng giác để tạo biến thức chung Một số kỹ nhóm thừa số chung đơn giản hiệu quả: +) cos2x = -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx) +) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx) +) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx) +) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2 +) 1- sin2x = 1- sinxcosx =(sinx-cosx)2 Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008) Giải phương trình : 2sinx( + cos2x)+sin2x = 1+2cosx (3a) Giải Phương trình (3a) tương đương với: 2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx 4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ cosx sinxcosx ( 1+ 2cosx) = + 2cosx (1 + cosx) (2 sinxcosx - 1) = 12 skkn (k z) Vậy nghiệm phương trình là: x= +k2 , x=- +k2 , x= +k (k z) Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình: sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (3b) Giải Phương trình (3b) tương đương với: sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x + = + cos12x - cos6x = cos8x - cos10x - 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx 2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0 (k Vậy nghiệm phương trình là: x= , x= z) (k z) Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ) Giải phương trình cotx -1 = +sin2x - sin2x (3c) Giải Điều kiện xác định: (*) Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với: 13 skkn + sin2x - -1= 2sinxcosx = - sinx(cosx- sinx) = cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx) (cosx - sinx) ( -sinxcosx + sin2x) = +) cosx -sinx = tanx = +) - sinxcosx +sin2x = x= 1- - sin2x + (1 - cos2x) = +k z) sin2x + sin2x = sin2x + cos2x = (vô nghiệm) Vậy nghiệm phương trình là: x= Ví dụ 4: (ĐHQG HN-99) (k +k (k z) Giải phương trình cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x) (3d) Giải Phương trình (3d) tương đương với: 2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = cos6x ( cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = cos6x cos2x - sin6x cos2x = cos2x ( cos6x - sin6x ) = cos2x ( cos2x - sin2x )( 1- sin2x.cos2x) =0 cos22x ( - sin2x.cos2x) = cos2x = 2x = +k Vậy phương trình có nghiệm là: cos22x (1 x= x= +k +k sin22x) = (k (k z) z) 14 skkn Ví dụ5 (Đại học khối A- 2011) Giải phương trình: (3e) Giải ĐK: x k (k z) Phương trình (3e) tương đương với: sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) = sinxsin2x sinx ( 2cosx + 2sinxcosx ) = sinxcosx (m, k Vậy phương trình có nghiệm là: x = , x= (m, k ) Ví dụ (Đại học khối B- 2011) Giải phương trình: sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx Giải: sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx 2sinxcos2x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx sinx(2cos2x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0 cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= (cos2x+ cosx)(sinx-1) = Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ7 (HSGT-2010) Giải phương trình: cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x (3f) Giải 15 skkn (3f) (cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x) (2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)= (2sin3x- 1)(sinx- co3x) = (k Vậy phương trình có nghiệm là: x= , x= , x= , x=- (k z) (*) Một số tập tương tự: Giải phương trình sau: Đại học khối A-2010) = ( Đại học khối D- 2011) cosx =0 3.(Đại học khối D-2004) (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx 4.(Đại học khối B - 2005) 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = (Đại học khối D - 2010) sin2x - cos2x + sinx - cosx - = (Đại học khối A- 2007) (1 + sin2x) cosx + ( 1+ cos2x) sinx=1+sin2x (Đại học khối B-2010) (sin2x + cos2x) cosx + cos2x -sinx = Phương pháp : Phương pháp đánh giá Xét phương trình: f(x)= g(x) (c) Trong f(x) A; g(x) A , suy (c) +)Chú ý số bất đẳng thức bản: -1 sinx sinnx sin2x 16 skkn -1 Ví dụ cosx cosnx cos2x (n 2) Giải phương trình sau: cos2x + cos -2=0 (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với: cos2x + cos Do: cos2x =2 1; cos cos2x + cos cos2x + cos =2 x=k8 Vậy nghiệm phương trình là: x=k8 Ví dụ (k (k z) z) Giải phương trình sau: sinx.cos4x = Giải sinx.cos4x = Do: -1 sin5x 1, -1 - sin3x nên sin5x-sin3x Phuwowng trình cho tương đương với: Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ (k z) Giải phương trình : cos2012x + sin2012 x = Giải Ta có: sin2x ( 1- sin2010x) cos2x (1 - cos2010x ) Nên sin2x sin2012x ( -1 cos2x sinx 1) ( -1 cosx 1) cos2012x 17 skkn Do : sin2012x + cos2012x sin2x + cos2x =1 Dấu “=” xảy : x=k Vậy nghiệm phương trình : x = k (k (k z) z) Qua ví dụ 3, ta có tốn tổng qt: sinnx + cosnx = ( n 2, n Giải phương trình : Ví dụ z) Giải phương trình : cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = + (4a) Giải Ta có: cos2x + sin2x = sin( 2x + cos2x( 1- cos3x ) (vì -1 sin2x ( -cos3x ) ( - Nên : cos5x + sin5x ) cosx 1) sinx 1) cos2x + sin2 x = Phương trình (4a) dẫn tới hệ: Hệ phương trình vơ nghiệm, Phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: =2 (1+sin22x) cos3x + (4b) Giải: Ta có: 2(1+ sin22x) x ( sin22x 1) 1.cos3x+ =2 x (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ) Phương trình (4b) dẫn tới hệ sau: (k,l z) x=2n (n z) 18 skkn Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ 6: x= 2n (n z) (ĐH Y Thái Bình) Giải phương trình: sin2x + (cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x Giải: Đk: sin4x x k Ta có: cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = ,k z sin4x Khi phương trình cho trở thành: sin2x + ( sinx Do (sinx - sin23x = sinx.sin23x 2 sin 3x) + sin23x)2 sin23x)2 + (sinx- ( sin23x - sin43x) = sin23x.cos23x = (4c) Và sin23x.cos23x Nên phương trình (4c) dẫn tới hệ sau: kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm là: x= +k2  , x = Vậy nghiệm phương trình là: x= (*) Bài tập tương tự: +k2 (k z) +k2  , x = +k2 (k z) Giải phương trình sau: 1) sin3x - cos10x =2 2) cos8x + sin10x = 3) sinnx +cosnx = (n 2, n 4) sinnx + cosmx =1 (m,n 5) (cos2x - sin4x)2 = + 2sin3x 6) sin3x + cos3x = 2- sin4x z) 2, m,n z) (ĐHAN -97) 19 skkn 7) sinx + + sinx =3 Kiểm nghiệm Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương lớp 11M 11N Trong lớp 11N chưa rèn luyện kỹ phương pháp này, sau cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi ĐỀ KIỂM TRA(45 phút) Giải phương trình lượng giác sau: (2đ) 5sinx - = 3(1- sinx) tan2x (2đ) (2đ) (2đ) cos3x+ sin3x = (2đ) 2cos(2x- ) = 3sin(x+ ) + Kết thu sau: Điểm < Điểm [5; 8) Điểm Lớp Sĩ số Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11M 39 23,1% 20 51,3% 10 25,6% 20 skkn 11N 47 28 59,6% 17 36,2% 4,2% 21 skkn PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên biết tìm sở lý thuyết, biết phát huy sáng tạo hướng dẫn học sinh vận dụng cách hợp lý vào việc giải tập tương ứng tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán cách hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Qua đề tài thu số học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều toán với cách giải khác - Rèn luyện cho học sinh phân tích tốn để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày cách chặt chẽ , cô đọng Trên số kinh nghiệm mà tơi rút áp dụng q trình dạy học nhằm ngày giúp ích nhiều học tập mơn tốn học sinh Tuy nhiên cịn nhiều vấn đề cần hồn thiện, mong tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nhằm hoàn thiện đề tài tốt Tôi xin chân thành cảm ơn 22 skkn ... Việc cung cấp cho học sinh số phương pháp giải phương trình lượng giác việc làm cần thiết Chính chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số dạng phương trình lượng giác” PHẦN II: GIẢI QUYẾT... ĐỀ Phương trình lượng giác dạng toán thường xuất đề thi đại học thi học sinh giỏi Đa số học sinh giải dạng phương trình lượng giác bản, nhiên học sinh chưa thực giải tốt gặp phương trình lượng. .. việc học học sinh Qua đề tài thu số học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều toán với cách giải khác - Rèn luyện cho học sinh phân tích tốn để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh