Skkn rèn luyện kỹ năng tổng hợp, tạo hứng thú học tập cho học sinh thông qua tổng hợp các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỔNG HỢP, TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH THƠNG QUA TỔNG HỢP CÁC BÀI TỐN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Đình Lợi Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HOÁ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN 2 NỘI DUNG .3 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .3 2.3 GIẢI PHÁP ÁP DỤNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN, GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỰ HỌC, TỰ TỔNG HỢP VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY NỘI DUNG I BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (PTTT) CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ NỘI DUNG II NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN .6 Vấn đề 1: Tiếp tuyến với định lý Viet Vấn đề 2: Những toán cần phải viết pttt đồ thị hàm số y=f(x) điểm Vấn đề 3: Tìm mặt phẳng tọa độ Oxy điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y=f(x) 11 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG .14 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .16 3.1 KẾT LUẬN: .16 3.2 KIẾN NGHỊ: 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO skkn MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như biết nhiệm vụ giáo dục phổ thông không đổi chương trình giáo dục, mà điều quan trọng đổi phương pháp dạy học Với mục tiêu đào tạo nguồn nhân lực Việt Nam đáp ứng yêu cầu thời đại, là: Nguồn lao động động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có khả thích ứng, biết đồn kết hợp tác lao động sản xuất Vì Chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011 - 2025 ban hành kèm theo Quyết định 711/QĐ-TTg ngày 13/6/2012 thủ tướng phủ rõ: "Tiếp tục đổi PPDH đánh giá kết học tập, rèn luyện theo hướng phát triển tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo lực tự học người học" Hiện PPDH theo hướng tích cực hóa hoạt động người học '' Dạy học theo dự án'' Dạy học theo dự án đáp ứng quan điểm dạy học lấy học sinh làm trung tâm, hoạt động học tập thiết kế mang tính thiết thực, có liên quan đến kiến thức thực tiễn, giúp học sinh rèn luyện số lực quan trọng như: Năng lực tự học, lực giải vấn đề, lực giao tiếp, lực hợp tác, lực sử dụng công nghệ thông tin truyền thơng, lực tính tốn … Tuy nhiên, dạy học theo dự án đòi hỏi giáo viên phải nhiều thời gian công sức để thiết kế dự án khả thi nội dung áp dụng phương pháp này, đối tượng học sinh tự nghiên cứu biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn để học theo dự án Trong chương trình tốn học phổ thơng, toán liên quan đến hàm số, đồ thị hàm số nội dung quan trọng Là giáo viên toán THPT, qua năm tham gia giảng dạy mơn tốn trường THPT, tơi nhận thấy mặt tâm lí học sinh THPT bộc lộ rõ thiên hướng, sở trường hứng thú với lĩnh vực Tuy nhiên đa số học sinh khả tự học chưa cao em thấy khó khăn giải Tốn, chí có nhiều học sinh cịn đặt câu hỏi “Học để làm gì” Nên lượng kiến thức bản: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số toán liên quan đến hàm số, đồ thị hàm số như: Sự đồng biến nghịch biến hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, cực trị, tương giao đường, tiếp tuyến, phép suy đồ thị kiến thức thực cần thiết hàng đầu để học sinh khối 12 tiếp thu lĩnh hội Với thực tế qua kinh nghiệm giảng dạy mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với chủ đề: “ Rèn luyện kỹ tổng hợp dạng toán Tạo hứng thú cho học sinh, thông qua tổng hợp tốn liên quan đến phương trình Tiếp tuyến đồ thị hàm số ” + Tổng hợp khái quát phương trình tiếp tuyến hồ thị hàm số vấn đề liên quan đến Tiếp tuyến + Nội dung viết dành cho tất đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh khối 12 trường THPT Sầm Sơn 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Rèn luyện kỹ tổng hợp dạng toán, kỹ làm toán trắc nghiệm cho học sinh skkn - Phát triển tư tìm tòi học tập học sinh - Tạo hứng thú học tập qua kết học tập học sinh 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Tiếp tuyến đồ thị hàm số, toán liên quan - Hệ thống toán giúp học sinh phân tích tổng hợp 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu số giáo trình, sách tham khảo phương pháp dạy học toán, tuyển tập đề thi ĐH – CĐ, đề thi học sinh giỏi - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua năm trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với đồng nghiệp để từ xây dựng hệ thống phương pháp, tập tiếp tuyến - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho đối tượng học sinh Khá, Giỏi trường trung học phổ thông lớp ôn thi ĐH – CĐ năm gần 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN Dẫn dắt học sinh tự học, tự nghiên cứu Tư tổng hợp dạng tốn skkn NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trong sách giáo khoa đại số giải tích 11, phần ý nghĩa hình học đạo hàm, giải tích 12 phần toán liên quan đến đồ thị hàm số viết ngắn gọn sơ sài Tiếp tuyến Với mục đích để giáo viên học sinh khai thác sâu chủ đề thơng qua phương trình Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Và thực tế nêu mục lí chọn đề tài Đặc biệt giải toán Tiếp tuyến qua điểm học sinh nhầm lẫn với tốn Tiếp tuyến điểm, giải số toán liên quan đến diện tích, chu vi tam giác 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Với nhận dạng, phân tích, tổng hợp hạn chế học sinh Nên mạnh dạn tổng hợp toán chủ đề Tiếp tuyến qua SKKN để học sinh nắm vững vận dụng Đồng thời vận dụng tổng hợp để hình thành kỹ phân tích, tổng hợp dạng tốn khác 2.3 GIẢI PHÁP ÁP DỤNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN, GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỰ HỌC, TỰ TỔNG HỢP VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY Qua sở thực trạng nói trên, đúc kết kinh nghiệm mạnh dạn tổng hợp cách khái quát chủ đề Tiếp tuyến với nội dung sau: NỘI DUNG I BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (PTTT) CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Học sinh cần tổng hợp nắm ba toán sau: Bài toán 1: Viết pttt đồ thị hàm số y=f(x) điểm ( thuộc đồ thị hàm số ) Phương pháp Pttt có dạng: Xác định thay vào phương trình biến đổi dạng ta pttt cần tìm Bài tốn 2: Viết pttt đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm ( thuộc không thuộc đồ thị hàm số) Phương pháp Giải toán học sinh sử dụng hai cách sau: Cách 1: + Viết phương trình đường thẳng d qua điểm có hệ số góc k là: + Để d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ sau có nghiệm: giải hệ tìm k thay vào tiếp tuyến d ta pttt cần tìm Cách 2: + Pttt đồ thị hàm số điểm là: + Cho tiếp tuyến qua nên ta có: Biểu thị qua thay vào phương trình ta phương trình ẩn giải tìm suy tốn quy viết pttt điểm skkn Ví dụ 1: Viết pttt đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm Hướng dẫn giải Lưu ý: Có nhiều học sinh kiểm tra thấy điểm M thuộc đồ thị hàm số, sử dụng toán dạng để giải nhầm lẩn Vì tốn pttt qua điểm tiếp tuyến qua điểm có tiếp tuyến cịn điểm có tiếp tuyến Cụ thể áp dụng dạng trình bày cho học sinh hai cách: Cách 1: + Phương trình đường thẳng d qua điểm có hệ số góc k: + Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ sau có nghiệm: Vậy có ba pttt: thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: + Pttt đồ thị hàm số điểm + Cho tiếp tuyến qua là: ta được: Vậy có ba pttt: thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 3: Viết pttt đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp + Pttt đồ thị hàm số điểm là: + Theo giả thiết ta có giải tìm tốn quay viết pttt điểm Chú ý 1: Ở toán hệ số góc tiếp tuyến thường cho gián tiếp thông qua biết tiếp tuyến song song vuông góc với đường thẳng cho trước Cụ thể: * Tiếp tuyến song song đường thẳng * Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng Chú ý 2: Từ ba tốn viết pttt đồ thị hàm trên, học sinh cần tổng hợp được: viết pttt đồ thị hàm số quy áp dụng toán viết pttt đồ thị hàm số điểm Ví dụ 2: Cho hàm số: có đồ thị (C) a Viết pttt (C) điểm có hồnh độ skkn b Viết pttt (C) điểm có tung độ c Viết pttt (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình: y=3x+1 Hướng dẫn giải Ta có: a Theo đề bài: Vậy pttt: y=3x+2 b Theo đề bài: Vậy pttt: y-8=12(x-2) y=12x-16 c Tiếp tuyến có hệ số góc Theo đề tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x+1, suy ra: + Với pttt y=3x-2 + Với pttt y=3x+2 Vậy có hai pttt thỏa mãn yêu cầu tốn: y=3x-2, y=3x+2 Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2009) Viết pttt đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm A, B cho tam giác OAB cân O Hướng dẫn giải + Tiếp tuyến đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ hai điểm với gốc tọa độ O tạo thành tam giác cân O, suy hệ số góc tiếp tuyến + Hệ số góc tiếp tuyến điểm , suy ra: Với pttt y=-x (loại) Với pttt y=-x-2 (thỏa mãn) Vậy pttt cần tìm: y=-x-2 Bài tập Cho hàm số: , có đồ thị (C) a Khảo biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết pttt (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có phương trình: y= x+5 Viết pttt đồ thị hàm số a Tại điểm ( ) b Tại điểm có hồnh độ c Biết hệ số góc tiếp tuyến Cho hàm số: a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết pttt (C) điểm có hồnh độ skkn c Viết pttt (C) biết tiếp tuyến qua điểm A( ) d Viết pttt (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số hàm số với trục tung là: A -2 B C Tiếp tuyến đồ thị hàm số trình: A y = -9x-43 giao điểm đồ thị D -1 có hệ số góc k = -9 có phương B y = -9x+43 C y = -9x+11 D y = -9x-27 NỘI DUNG II NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN Vấn đề 1: Tiếp tuyến với định lý Viet Là vấn đề Tiếp tuyến đồ thị thỏa mãn điều kiện đó, SKKN tơi tổng hợp số tốn như : + Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến vng góc + Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến, tổng hệ số góc hai Tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… Phương pháp : Để giải toán thuộc vấn đề ta áp dụng trực tiếp tốn phương trình tiếp tuyến kết hợp với sử dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai phương trình bậc ba Cụ thể: Phương trình bậc hai: ax2+bx + c=0 Phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 Ví dụ 4: Cho hàm số: y=x3+ 3x2+mx+1 a Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số m=3 Học sinh tự làm b Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số cho ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C, đồng thời tiếp tuyến đồ thị hàm số B C vng góc với Hướng dẫn giải + Hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng y=1 nghiệm phương trình: Để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt + Tiếp tuyến B C vng góc skkn Trong nghiệm phương trình (1) theo định lí Viet ta có: Ta được: Kết hợp (2) u cầu tốn thỏa mãn Ví dụ 5: Đề thi đại học khối A năm 2011 Chứng minh với m đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số A B Tìm m để tổng k1+ k2 đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải + Hoành độ giao điểm đường thẳng y=x+m đồ thị hàm số nghiệm phương trình:  2x2+2mx-m-1=0,(*) Ta có : ' = m2+2m+2 > m  đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt với m + Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (*) ta có: Theo định lý Viet, suy ra: k1+k2 =-4m2 -8m -6 = -4(m+1)2 -2 ≤ -2 Vậy Max(k1+k2 ) = -2 m= -1 Vấn đề 2: Những toán cần phải viết pttt đồ thị hàm số y=f(x) điểm Là tốn u cầu xác định vị trí điểm M thuộc đồ thị hàm số để: + Tiếp tuyến tai điểm M tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi + Tiếp tuyến M tạo với hai trục tọa độ tam giác có chu vi đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… Phương pháp: Để giải tốn trên, ta phải tìm tạo độ điểm M Muốn ta phải viết phương pháp tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M Khi điểm M giai điểm tiếp tuyến M hai đường tiệm cận (hoặc hai trục tọa độ), từ ta có tọa độ điểm M phụ thuộc vào giá trị tham số Dựa vào yêu cầu toàn ta xác định điểm M Ví dụ 6: Cho hàm số: , có đồ thị (C) skkn a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b M thuộc (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang A B Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng đổi (I giao điểm hai đường tiệm cận), M trung điểm đoạn AB c Tiếp tuyến (C) N cắt trục hồnh, trục tung P Q Tìm tọa độ điểm N cho tam giác OPQ có diện tích d Tìm tất điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến lập với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi bé Hướng dẫn giải a Chỉ minh họa đồ thị y Q A I -1 B P x -1 Phân tích: Ở ý b ý c liên quan đến tiếp tuyến điểm nên ta làm ý chung hai ý viết phương trình tiếp tuyến điểm : Chú ý: Điểm M điểm N toán điểm b * Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng đổi Ta có: + I giao điểm hai đường tiệm cận, nên ta có I(1; 1) + A giao điểm tiếp tuyến điểm với tiệm cận đứng, suy tọa độ điểm A nghiệm hệ: skkn + B giao điểm tiếp tuyến điểm với tiệm cận ngang, suy tọa độ điểm B nghiệm hệ: Suy ra: (đpcm) * Chứng minh M trung điểm đoạn AB Ta có: Vậy M trung điểm đoạn AB (đpcm) c Ta có : + P giao điểm tiếp tuyến điểm với trục hoành, nên: + Q giao điểm tiếp tuyến điểm với trục tung, nên: Suy ra: Vậy điểm cần tìm là: d Giả sử tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất, đặt V chu vi tam giác IAB Ta có: V=IA+IB+AB=IA+IA+ IA+IB+ =4 Suy ra: V Vậy có hai điểm tốn Ví dụ 7: Cho hàm số: thỏa mãn yêu cầu có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết pttt (C), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung A B cho AB= OA Hướng dẫn giải a Học sinh tự làm skkn b + Tiếp tuyến là: + Tiếp tuyến (C) cắt Ox A, Oy B cho: AB= OA ABO vng cân O nên hệ số góc tiếp tuyến Ta có: Với pttt y=-x (loại) Với pttt y=-x+8 Vậy tiếp tuyến thỏa mãn toán là: y=-x+8 Bài tập Cho hàm số: có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Chứng minh tiếp tuyến (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi c Tìm tất điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến lập với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Cho hàm số: có đồ thị (C) a a, b phải thỏa mãn điều kiện để đường thẳng d: y=ax+b tiếp xúc với (C) b Giả sử điều kiện thỏa mãn, d cắt Ox, Oy tai A, B Chứng minh rằng: + Tam giác OAB có diện tích khơng đổi + Tiếp điểm d (C) trung điểm đoạn AB Tìm tọa độ điểm M có hồnh độ âm đồ thị hàm số: cho tiếp tuyến M vuông góc với đường thẳng: A M(-2; 0) B M(-2; 3) C M(-3; 1/2) D M(-1; 4/3) Vấn đề 3: Tìm mặt phẳng tọa độ Oxy điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y=f(x) Phương pháp + Gọi điểm cần tìm M(a; b) Pttt đồ thị hàm số : + Cho tiếp tuyến qua M ta có: đưa phương trình ẩn + Số tiếp tuyến xuất phát từ điểm M quy biện luận số nghiệm phương trình ẩn từ suy tọa độ điểm M Ví dụ 8: Tìm đồ thị hàm số tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Hướng dẫn giải điểm mà từ kẻ 10 skkn + Gọi M điểm cần tìm, M thuộc đồ thị hàm số Pttt đồ thị hàm số : Trong đó: + Cho tiếp tuyến qua M ta có: Biến đổi đưa phương trình ẩn : Do M thuộc đồ thị hàm số nên = m hồnh độ tiếp điểm, nghĩa phương trình ẩn phải có nghiệm kép = m Pt ẩn Để qua M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số phương trình ẩn phải có nghiệm suy ra: Vậy điểm cần tìm M(1; -1) điểm uốn Ví dụ 9: Cho hàm số: a Chứng minh đồ thị hàm số không tồn hai điểm cho hai tiếp tuyến hai điểm đồ thị vng góc với b Xác định k để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=kx Hướng dẫn giải a Giả sử đồ thị hàm số tồn hai điểm M(x ; y ) N(x ; y ) thỏa mãn u cầu tốn Ta có: Tiếp tuyến M có hệ số góc: = Tiếp tuyến N có hệ số góc: = Hai tiếp tuyến M N vng góc vơ lý Vậy điều giả sử sai nên đồ thị hàm số không tồn hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán b Gọi M (x ; y ) thuộc đồ thị hàm số, tiếp tuyến M Tiếp tuyến M có hệ số góc: vng góc với đường thẳng y=kx Để đồ thị hàm số tồn điểm, mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=kx phương trình ẩn phải có nghiệm + Với k=0 suy 1=0 vô lý + Với k suy phương trình ẩn có nghiệm 11 skkn Vậy k