Chuyen de tich phan luyen thi thpt quoc gia

CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Cho f hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm f [a; b] Hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b] hàm số f ( x), kí hiệu b ∫ f ( x)dx a Ta dùng kí hiệu F (= x) a F (b) − F (a ) để hiệu số F (b) − F (a ) Vậy b b )dx ∫ f ( x= b F (= x) a F (b) − F (a ) a Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b ∫ b f ( x)dx hay a ∫ f (t )dt Tích phân a phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục khơng âm đoạn [a; b] tích phân b ∫ f ( x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox hai đường a b thẳng= x a= , x b Vậy S = ∫ f ( x)dx a Tính chất tích phân a ∫ f ( x)dx = a b b a ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx a c c b a ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c a b ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = a b b a a b b b a a )4.= ∫ k f ( x)dx k.∫ f ( x)dx (k ∈ ) ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx B KỸ NĂNG CƠ BẢN Một số phương pháp tính tích phân I Dạng 1: Tính tích phân theo cơng thức Ví dụ 1: Tính tính phân sau: 1 dx (1 + x ) a) I = ∫ b) I = ∫ d (1 + x) (1 + x ) dx (1 + x ) 1 2x + dx x + x dx x +1 x dx − x c) I = ∫ d) I = ∫ Hướng dẫn giải 2(1 + x) a) I = == − = ∫ ∫ 3 x   dx = − ln ( x ln( x + 1) ) 10 = 1 −  dx =− ∫ x +1 x +  0 b) I = ∫ 1 2x +   dx = + 6ln − 3ln ( x + 3ln( x + 3) ) = 2+  dx = ∫ x+3 x +3 0 c) I = ∫ ( ) 1 x d 4− x d) I = − ∫ = ln | − x | = ln ∫ − x dx = 2 4− x Bài tập áp dụng 1) I = ∫ x ( x − 1) dx ∫( 2) = I ) x + x + dx 3) I = 16 ∫ x − xdx dx x+9 − x 4) I = ∫ 0 II Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b Sử dụng tính chất ∫ [f ( x) + g ( x)]dx = ∫ a a a ∫ | x + 1| dx −2 −1 b f ( x)dx + ∫ g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 2: Tính tích phân= I  x + 1, Nhận xét: x + =  − x − 1, b Hướng dẫn giải −1 ≤ x ≤ Do − ≤ x < −1 −1 −1  x2   x2  I =+ | x 1| dx | x 1| dx | x 1| dx x dx x dx x =+ + + = − + + + = − + + ( ) ( )    + x = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫   −2   −1 −2 −2 −1 −2 −1 2 Bài tập áp dụng 2 ∫ | x − | dx 1) = I 2) = I −4 ∫| x − x − x + | dx −1 π ∫| 3) = I − | dx x ∫π | sin x | dx 4) I = − π ∫ 5)= I + cos xdx III Dạng 3: Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục đoạn viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục đoạn [a; b] α ≤ u ( x) ≤ β Giả sử = [α ; β ] Khi đó, ta có = I b u (b ) a u(a) f ( x)dx ∫= ∫ g (u )du π Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin x cos xdx Hướng dẫn giải π π  Đặt u = sin x Ta có du = cos xdx Đổi cận: x = ⇒ u (0) = 0; x =⇒ u   = 2 π Khi = I 2 xdx ∫ sin x cos= u du ∫= 0 Bài tập áp dụng 31 = u 3 1) I = ∫ x x + 1dx 2) I = e 3) I = ∫ Có x + 1dx e2 + ln x dx x 4) I = f ( x) ∫ 2x e dx + ln x Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Có thể đặt Ví dụ Dấu hiệu ∫x t= f ( x) I =∫ x3 dx Đặt= t x +1 x +1 dx Đặt t= x − π e tan x +3 = t tan x + dx Đặt cos x e ln xdx Đặt= t ln x + I =∫ x (ln x + 1) Có a Có Có e x dx t = e x biểu thức = I chứa e x Có sin xdx t = cos x t = ln x biểu thức chứa ln x dx ln x x 2016 I =∫4 t = f ( x) f ( x) ∫0 x( x + 1) = I = t ax + b Có (ax + b) n ln 2 x ∫0 e = t 3e x + 1dx Đặt 3e x + π I = ∫ sin x cos xdx Đặt t = sin x sin x = t 2cos x + dx Đặt 2cos x + π π 1 (1 + tan x ) = I ∫4 = dx dx ∫ cos x cos x Đặt t = tan x I =∫ t = sin xdx Có cos xdx Có dx cos x t = tan x Có dx sin x t = cot x π π ecot x = ∫π − cos x dx = I ∫ ecot x dx Đặt t = cot x 2sin x 2) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm liên tục đoạn [α ; β ](*) cho= ϕ (α ) a= ,ϕ ( β ) b a ≤ ϕ (t ) ≤ b với t ∈ [α ; β ] Khi đó: b ∫ β f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt α a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng  π π a − x := đặt x | a | sin t ; t ∈  − ;   2 |a|  π π x − a : đặt = x ; t ∈  − ;  \ {0} sin t  2  π π x += a : x | a | tan t ; t ∈  − ;   2 a+x a−x : đặt x = a.cos 2t a−x a+x Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân I = biến dạng ∫ x dx x2 + phải đổi biến dạng cịn với tích phân I = ∫ Ví dụ 4: Tính tích phân sau: a)= I ∫ dx 1+ x b) I = ∫ − x dx Hướng dẫn giải a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π π 2 0 π Vậy I =∫ − x dx =∫ | cos t |dt =∫ cos tdt =sin t |02 =1 x = → t =  π = → = x t  b) Đặt x = tan t , ta có dx= (1 + tan t ) dt Đổi cận:  π x3 dx x2 + nên đổi π dx Vậy = I ∫ = 1+ x ∫ dt= π π t= |04 IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân phần Định lí : Nếu u = u ( x) v = v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b ( x)v '( x)dx ∫ u= b ( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx , b a a b b b a a a hay viết gọn ∫ udv = uv |ba − ∫ vdu Các dạng bản: Giả sử cần tính I = ∫ P ( x).Q( x)dx Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sin ( kx ) hay Cách đặt * u = P( x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x): ln ( ax + b ) P(x): Đa thức Q(x): e kx cos ( kx ) * u = P( x) * u ln ( ax + b ) * dv Phần = lại biểu thức * dv = P ( x ) dx dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x): 1 hay sin x cos x * u = P( x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân Thơng thường nên ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” π Ví dụ 5: Tính tích phân sau : a) I = ∫ x sin xdx e −1 b) I = Hướng dẫn giải u = x ta có dv = sin xdx a) Đặt  ∫ x ln( x + 1)dx 0 du = dx  v = − cos x π π π π Do I = + sin x |02 = ( − x cos x ) |02 + ∫ cos xdx = ∫ x sin xdx = 0 = u ln( x + 1) b) Đặt  ta có dv = xdx e −1 I= ∫  du = x + dx  v = x −  e −1 e −1   x2 − 1 e − 2e +  x x ln( x + 1)dx = ln( x + 1) − ( x − 1) dx = −  − x  ∫ 0 2 2   e −1 e − 2e + e − 4e + e + = − = 2 Bài tập áp dụng 1) = I x ∫ (2 x + 2)e dx π 2) I = ∫ x.cos xdx 2π 3) I = ∫ x x sin dx 4)= I ∫ ( x + 1) 2x e dx BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [a; b] số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b A b b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a a b ∫ a a b C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a Câu b B a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx D a Cho hàm số f liên tục  số thực dương a Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a A ∫ a f ( x)dx = B a ∫ a f ( x)dx = ∫ C a a f ( x)dx = −1 D a ∫ f ( x)dx = f (a) a Câu Tích phân ∫ dx có giá trị A −1 B a Câu Cho số thực a thỏa mãn ∫e x +1 C D dx= e − , a có giá trị −1 Câu A B −1 C D Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0; π ] đạt giá trị ? A f ( x) = cos x Câu x π x π C = D = f ( x) cos  +  f ( x) sin  +  4 2 4 2 Trong tích phân sau, tích phân có giá trị khác ? e2 A ∫ ln xdx B ∫ 2dx Câu B f ( x) = sin x π C ∫ sin xdx A f ( x) = e B f ( x) = cos x D Trong hàm số đây, hàm số thỏa mãn x ∫ xdx −1 −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ? C f ( x) = sin x D f ( x)= x + Câu dx có giá trị x Tích phân I = ∫ A 3ln B ln C ln D ln π Câu Tích phân I = ∫ π dx có giá trị sin x A 1 ln Câu 10 Nếu ∫ (4 − e B ln − x /2 C ln D ln ) dx = K − 2e giá trị K −2 A 12,5 B Câu 11 Tích phân I = ∫ dx có giá trị x −x−2 C 11 D 10 A ln B − ln C −2 ln D ln ∫ f ( x)dx = Câu 12 Cho hàm số f g liên tục đoạn [1;5] cho ∫ g ( x)dx = −4 Giá trị ∫ [ g ( x) − f ( x)] dx A −6 B D −2 C Câu 13 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;3] Nếu ∫ f ( x)dx = tích phân ∫ [ x − f ( x)] dx có giá trị A B Câu 14 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;6] Nếu C D 5 1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx trị A B −5 C Câu 15 Trong phép tính sau đây, phép tính sai? 3 B C có giá D −9 −2 A ∫ e x dx = ( e x ) 2π 2π ∫ cos xdx = ( sin x ) π −2 ( ) dx ln x = −3 ∫−3 x  x2  D ∫ ( x + 1) dx = + x   1 π Câu 16 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm hàm F đoạn [a; b] Trong phát biểu sau, phát biểu sai ? b A ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a B F '( x) = f ( x) với x ∈ (a; b) b C ∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) a b D Hàm số G cho G= ( x) F ( x) + thỏa mãn ∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) a Câu 17 Xét hàm số f liên tục  số thực a , b , c tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A C b b a a c c b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx B D b c b a a c b c c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx Câu 18 Xét hai hàm số f g liên tục đoạn [ a; b ] Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? b A Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) a b ∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) B Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] a b C Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a b D Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] ∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) a Câu 19 Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [a; b] cho g ( x) ≠ với x ∈ [a; b] Xét khẳng định sau: b I b b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a a b II b ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx a a b III a b a b b a a ∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx a b b IV ∫ a f ( x) dx = g ( x) ∫ f ( x)dx a b ∫ g ( x)dx a Trong khẳng định trên, có khẳng định sai? A B C D Câu 20 Tích phân ∫ x( x − 1)dx có giá trị với giá trị tích phân tích phân đây? 3π A ∫ ( x + x − 3) dx π ln 10 B ∫ sin xdx ∫ C D ∫ cos(3 x + π )dx e x dx 0 Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu hàm số f liên tục đoạn [ a; b ] , cho b ∫ f ( x)dx ≥ f ( x) ≥ ∀x ∈ [a; b] a ∫ f ( x)dx = B Với hàm số f liên tục đoạn [−3;3] , ln có −3 b C Với hàm số f liên tục  , ta có ∫ a a f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) b D Với hàm số f liên tục đoạn [1;5] ∫ [ f ( x)] [ f ( x) ] dx = Câu 22 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu f hàm số chẵn  ∫ f ( x)dx = B Nếu −1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx −1 f hàm số chẵn đoạn [−1;1] 1 ∫ f ( x)dx = C Nếu f hàm số lẻ đoạn [−1;1] −1 ∫ f ( x)dx = D Nếu f hàm số chẵn đoạn [−1;1] −1 Câu 23 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = x sin x khoảng (0; +∞) Khi ∫x sin xdx có giá trị A F (2) − F (1) B − F (1) D F (1) − F (2) C F (2) b Câu 24 Cho hàm số f liên tục  hai số thực a < b Nếu ∫ f ( x)dx = α tích phân a b2 ∫ f (2 x)dx có giá trị a α B 2α C α D 4α Câu 25 Giả sử F nguyên hàm hàm số y = x3 sin x khoảng (0; +∞) Khi tích phân A ∫ 81x sin xdx có giá trị A [ F (6) − F (3) ] B F (6) − F (3) C [ F (2) − F (1) ] D F (2) − F (1) ∫ f ( x)dx = Câu 26 Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn Giá trị tích phân π ∫ f (2sin x) cos xdx A −6 C −3 B e Câu 27 Bài tốn tính tích phân I = ∫ ln x + ln x dx học sinh giải theo ba bước sau: x I Đặt ẩn phụ= t ln x + , suy dt = x t ln x + ln x = dx x e II I = ∫ ∫ D dx x 1 e t ( t − 1) dt   III I = 1+  t −  = ∫1 t ( t − 1) dt = t 1  Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Bài giải B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I π Câu 28 Xét tích phân I = sin x ∫ + cos x dx Thực phép đổi biến D Sai Bước III t = cos x , ta đưa I dạng sau π A I = − ∫ 2t dt 1+ t π B I = ∫ 2t dt 1+ t 2t C I = − ∫ dt 1+ t 2t dt 1+ t D I = ∫ Câu 29 Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a; b] Trong bất đẳng thức sau, bất đẳng thức đúng? b A ∫ b f ( x) dx > a ∫ ∫ B a b C b f ( x)dx a b f ( x) dx ≥ a ∫ b ∫ f ( x)dx D a ∫ a b f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx a b f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx a Câu 30 Trong khẳng định đây, khẳng định sai? 1 A ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx B ∫ (1 + x) x dx = 0 π π x C ∫ sin dx = ∫ sin xdx 0 D ∫x 2017 −1 (1 + x)dx = 2019 Câu 31 Cho hàm số y = f ( x) lẻ liên tục đoạn [−2; 2] Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A ∫ −2 C 2 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx B ∫ f ( x)dx = −2 2 −2 −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx D ∫ f ( x)dx = −2 −2 ∫ f ( x)dx ∫ ( x + 1) Câu 32 Bài tốn tính tích phân= I dx học sinh giải theo ba bước sau: −2 I Đặt ẩn phụ = dt 2( x + 1)dx , t ( x + 1) , suy = II Từ suy dt dt = dx ⇒ = dx Đổi cận 2( x + 1) t x −2 t 1 4 dt = t = 3 −2 t Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Sai từ Bước I B Sai Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải Câu 33 Một học sinh định lên bảng làm tốn tích phân Mỗi giải 2,5 điểm, giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh giải tốn sau: Bài Đề Bài giải học sinh III Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫ ∫e x2 xdx 1 ∫0 x − x − dx π ∫ sin x cos xdx 1 x2 ( ) e x e −1 e = xdx e d= x = ∫0 ∫ 20 2 t x2 ∫x dx= −x−2 [ln x − x − ] 0= ln − ln 2= Đặt t = cos x , suy dt = − sin xdx Khi x = t = ; x = π t = −1 Vậy π π −1 2t sin x cos xdx sin x cos xdx t dt = = − == ∫0 ∫0 ∫1 −1 2 + (4 − 2e) ln x dx = ∫1 x e + (4 − 2e) ln x dx ∫1 x e e ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x ) e = x + (4 − 2e) ln x  =3 − e Số điểm mà học sinh đạt bao nhiêu? A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm Câu 34 Cho hai hàm số liên tục f g liên tục đoạn [a; b] Gọi F G nguyên hàm f g đoạn [a; b] Đẳng thức sau đúng? b A b f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx ∫= b a a a b B f ( x)G ( x)dx ∫= a b a b C b ( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx ∫ f= b a a a b D b [ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx b f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx ∫= b a a a Câu 35 Tích phân I = ∫ xe −x dx có giá trị −2 A −e + B 3e − C −e − D −2e + Câu 36 Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [a; b] số thực k  Trong phát biểu sau, phát biểu sai? b A b b ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a a b b B a a b C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a ∫ D a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b b a a ∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx Câu 37 Cho hàm số f liên tục  số thực dương a Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? a A ∫ a f ( x)dx = B a ∫ a f ( x)dx = C a ∫ a f ( x)dx = −1 D a ∫ f ( x)dx = f (a) a Câu 38 Tích phân ∫ dx có giá trị A B −1 a Câu 39 Cho số thực a thỏa mãn ∫e x +1 C D dx= e − , a có giá trị −1 A B −1 D D Câu 40 Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0; π ] đạt giá trị ? A f ( x) = cos x B f ( x) = sin x x π x π C = D = f ( x) cos  +  f ( x) sin  +  4 2 4 2 Câu 41 Tích phân tích phân sau có giá trị khác ? π A ∫ sin xdx e2 B ∫ 2dx B ∫ ln xdx D ∫ xdx Hướng dẫn giải Đặt u = x + x + Khi x = u = Khi x = u = Ta có: du = (2 x + 1)dx Do đó: ∫ 4x + dx = x + x +1 3 2du = ln | u | = 2(ln − ln1) = ln ∫1 u Câu 119 Giá trị tích phân dx ∫ (2 x − 1) 1 1 A B C Hướng dẫn giải Đặt = u x − Khi x = u = Khi x = u = du Ta có du = 2dx ⇒ dx = 2 dx du 1 Do ∫ = = − = − ( − 1) = 2 ∫ (2 x − 1) 21u 2u 3 Câu 120 Giá trị tích phân ∫ 3 A + 3ln Hướng dẫn giải Đặt u = D x −3 dx x +1 + x + 3 B + ln B −3 + ln D −3 + 3ln x = ⇒ u =1 x + ⇒ u − = x ⇒ 2udu = dx ; đổi cận:  x =3 ⇒ u = Ta có x −3 2u − 8u dx = ∫0 x + + x + ∫1 u + 3u + 2du = ∫1 (2u − 6)du + 6∫1 u + 1du 2 ( = u − 6u ) + ln u + 1 =−3 + ln 32 Câu 121 Giá trị tích phân: I = ∫ Hướng dẫn giải A ln − (1 + 2 x +1 1+ 2x ) B ln − dx C ln − D ln − dx t − 2t ⇒ dx =(t − 1)dt x = 1+ 2x Đổi cận: x t Đặt t =1 + + x ⇒ dt = Ta có (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t −  2 = = = I dt dt  t − + − dt 2 ∫ ∫ ∫ t t t t  22 22 2 =  t2 2  − 3t + ln t + =  ln − t 2 4 ( x − 1)99 Câu 122 Giá trị tích phân: I = ∫ dx 101 ( x + 1) 1  2100 − 1 900  Hướng dẫn giải A B  2101 − 1 900  C  299 − 1 900  D dx  x −1   x −1   x −1  1  x −1  I= ⋅   d =   ∫0  x +  ( x + 1)2 = ∫  2x +1   x +  100  x +  99 99 100  298 − 1 900  1 [ 100 ] = −1 900 x 2001 dx có giá trị (1 + x )1002 Câu 123 Tích phân I = ∫ 2002.21001 Hướng dẫn giải A B 2 x 2004 = I ∫= dx x (1 + x )1002 Câu 124 Giá trị tích phân 2001.21001 ∫ 1002   x  + 1 x  2π ∫ cos(3x − π C 2001.21002 D 2002.21002 − dx dx Đặt t = + ⇒ dt = x x 2π )dx 3 2 B − C − 3 Hướng dẫn giải 2π π π 2π 4π Đặt = Khi x = u = , x = u = u 3x − 3 3 du Ta có du = 3dx ⇒ dx = Do đó: A − 2π ∫ π 4π D − 2 4π 2π 1 4π π  1 3 cos(3 x − )dx =∫ cos udu =sin u = sin − sin  =− − = −   π 3π 3 3   2  3 π Câu 125 Giá trị tích phân I = ∫ cos x cos xdx A π Hướng dẫn giải B π π 2 π C π D π 12 I= (1 + cos x) cos xdx =∫ (1 + cos x + cos x)dx ∫0 cos x cos xdx = ∫0 40 1 π = ( x + sin x + sin x) |π0 /2 = 4 π x sin x dx + cos2 x Câu 126 Giá trị tích phân: I = ∫ π A π2 B Hướng dẫn giải π2 π x =π − t ⇒ dx =−dt ⇒ I =∫ π C (π − t ) sin t dt =π π π2 sin t ∫ + cos + cos t t D π2 dt − I π d (cos t ) sin t π2 π π  dt I ⇒ 2I = π∫ = − π = π + ⇒ = ∫0 + cos2 t  4  + cos t π Câu 127 Giá trị tích phân = J ∫ ( sin x + 1) cos xdx Hướng dẫn giải A B D C ln D ln D ln C π π 1 2 J = ∫ ( sin x + 1) cos xdx =  sin x + sin x  = 5 0 π Câu 128 Giá trị tích phân I = ∫ π sin x − cos x dx + sin x ln Hướng dẫn giải A ln B Đặt t = + sin x ⇒ t =1 + sin x ⇒ 2tdt =2 cos xdx tdt ⇒= dx ⇒= I t ( cos x − s inx ) dt ∫ t= 1 ln t = ln( = 2) ln 2 π sin x dx + 3cos x Câu 129 Giá trị tích phân I = ∫ ln Hướng dẫn giải A B ln C ln ln t − dt 1 Đặt t =+ 3cos x ⇒ dt =−3sin xdx ⇒ dx = ⇒ I = ∫ dt = = ln 3sin x 31t 3 Câu 130 Giá trị tích phân = I ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx 21 A 91 Hướng dẫn giải B 12 91 C 21 19 Đặt t =6 − cos3 x ⇔ t =1 − cos3 x ⇒ 6t dt =3cos x sin xdx  t t13  12 2t dt 6 ⇒ dx = ⇒ = − = I t t dt ( )  − = ∫0 cos x sin x  13  91 π cos x dx (sin x + cos x)3 Câu 131 Giá trị tích phân I = ∫ D 12 19 Hướng dẫn giải A = I B π π 4 cos x dx ∫0= (sin x + cos x)3 C ∫ (tan x + 1) cos x D D dx Đặt = t tan x + π Câu 132 Giá trị tích phân I = sin xdx ∫ ( sin x + cos x) Hướng dẫn giải A π Đặt: x= Vậy I B C − u ⇒ dx = −du Đổi cận: x = ⇒ u = π  sin  − u  du 2  ∫0=  π  π  sin − u + cos − u     2  2    π π 2 π ;x= π ⇒ u = cos xdx ∫ ( sin x + cos x ) π  tan  x −  π sin x + cos x dx dx 4  Vậy: 2I = ∫ = ∫= = dx = ∫ 2 π (sin x + cos x) ( sin x + cos x ) 0 2cos  x −   4  π π π 2 π Câu 133 Giá trị tích phân I = ∫ cos x sin xdx A I = π 32 Hướng dẫn giải π B I = π 16 C I = π π D I = π π π 12 12 2 = I ∫= cos x sin xdx cos x sin xdx = (1 − cos x ) dx + cos x sin 2 xdx ∫ ∫ ∫ 40 16 40 π  x sin x  π =− sin x +   = 24  32  16 64 π 4 6 Câu 134 Giá trị tích phân I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx 32 π 128 Hướng dẫn giải A I = B I = 33 π 128 C I = 31 π 128 D I = 30 π 128 33 33 Ta có: (sin x + cos x)(sin x + cos x) = + cos x + cos8 x ⇒ I = π 64 16 64 128 π Câu 135 Giá trị tích phân I = ∫ sin x sin x + cos x B dx A C D Hướng dẫn giải π I=∫ sin x   dx Đặt t = − sin 2 x ⇒ I = ∫  − dt = t  3 t   1 − sin x 1 = π xdx sin x + Câu 136 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = π C I = π Hướng dẫn giải Đặt: x =π − t ⇒ dx =−dt Đổi cận: x = ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 ⇒ I =− ∫ π π D I = π π π (π − t )dt t dt π dt  π  =∫  − = −= I⇒I  dt π ∫ ∫ sin(π − t ) +  sin t + sin t +  sin t + sin t + t π d −  π π π π dt π dt 4 t π  = = tan  − = π = π π  ∫0 ∫0  ∫0 2 t 2 t 2 0 t t cos  −  cos  −   sin + cos  2 4 2 4 2  π π π Tổng quát: π ∫ xf (sin x)dx = π π ∫0 f (sin x)dx π sin 2007 x dx 2007 2007 sin x + cos x Câu 137 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π B I = Hướng dẫn giải π C I = π π 3π D I = 5π π Đặt x = − t ⇒ dx =−dt Đổi cận x = ⇒ t = , x = ⇒ t = Vậy 2 π π  sin 2007  − t  cos 2007 t 2  −∫ I= dx = J (1) ∫0 sin 2007 t + cos2007 t dx =   2007  π 2007  π π sin  − t  + cos  − t  2  2  π Mặt khác I + J= ∫ dx= π (2) Từ (1) (2) suy I = π Tổng quát: π π n sin x dx ∫0 sin n x + cosn x= cos n x π dx , n ∈ + ∫0 sin n x + cosn x= π Câu 138 Giá trị tích phân ∫ cos 11 xdx 250 693 Hướng dẫn giải A B 254 693 π ∫ cos 11 xdx = 10!! 2.4.6.8.10 256 = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 C 252 693 D 256 693 π Câu 139 Giá trị tích phân ∫ sin10 xdx 67π 512 Hướng dẫn giải A 61π 512 B C 63π 512 D 65π 512 π xdx ∫ sin= 10 9!! π 1.3.5.7.9 π 63π = = 10!! 2.4.6.8.10 512 Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm): π π  (n − 1)!! u n leû 2  n !! , neá n n cos xdx ∫= sin xdx  ∫0 = ( n − 1)!! π  , nế u n chẵ n  n !! Trong đó: n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: = 0!! 1;= 1!! 1;= 2!! 2;= 3!! 1.3;= 4!! 2.4;= 5!! 1.3.5; = 6!! 2.4.6; = 7!! 1.3.5.7; = 8!! 2.4.6.8; = 9!! 1.3.5.7.9; = 10!! 2.4.6.8.10 dx + ex Câu 140 Giá trị tích phân I = ∫  2e  A ln    e +1  Hướng dẫn giải  e  B ln    e +1  d (1 + e ex Vì = − ⇒ I =∫ dx − ∫ x x 1+ e 1+ e + ex 0 ln Câu 141 Giá trị tích phân I = ∫ e x dx ex −1 10 B  e  C ln    e +1  x ) =1 − ln + e x  2e  D ln    e +1   2e  =1 − ln(1 + e) + ln =ln    e +1  ln Hướng dẫn giải A C 20 D  t  20 2tdt ⇒ = + = e − ⇔ t = e − ⇒ dx = I t dt ( )  +t = ∫1 ex  1 Đặt t = x x ln Câu 142 Giá trị tích phân = I ∫ e x − 1dx B −π −π Hướng dẫn giải A Đặt t = C e x − ⇒ t = e x − ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = 2t  −π  I ∫ dt ⇒= = ∫ 1 − dt = t +1 t +1 0 1 ln Câu 143 Giá trị tích phân I = ∫ (e ex x + 1) dx −π 2tdt 2tdt = ex t +1 D −π A 2 − Hướng dẫn giải −1 B C − D 2 − 2tdt tdt 12 Đặt t = e x + ⇔ t =e x + ⇔ 2tdt =e x dx ⇒ dx = x ⇒ I =2 ∫ =−2 = −1 e t t 2 e2 dx ∫ x ln x Câu 144 Giá trị tích phân I = e A ln Hướng dẫn giải B ln C ln Đặt t = ln x ; x = e ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = ⇒ I= ∫ ln ∫e Câu 145 Giá trị tích phân: I = Đặt= t e x − , Khi x = dt = ln t 1= ln t 2x e dx −1 + ex − ln B 2ln3 – A ln − Hướng dẫn giải D ln x ln ⇒  t = 0;  x = D ln − C ln − ln3 ⇒   t = 1; e x = t + ⇒    e x dx =   2tdt   (t + 2)tdt 2t + d (t + t + 1) I = 2∫ = ∫ (t − + )dt = ∫ (t − 1)dt + ∫ t + t +1 t + t +1 t + t +1 0 0 1 1 = (t − 2t ) + 2ln(t2 + t + 1) = 2ln3 – 0 ln Câu 146 Cho M = ∫ 2e3 x + e x − dx Giá trị e M e3 x + e x − e x + Hướng dẫn giải A B 2e3 x + e x − = ∫0 e3 x + e2 x − e x + dx ln = M ln ∫ = ln ∫ C 11 D 3e3 x + 2e x − e x − (e3 x + e x − e x + 1) dx e3 x + e x − e x + ln  3e + 2e − e  11 11 ln − 1dx = ln ( e3 x + e x − e x + 1) − x = ln ⇒ e M =  3x x x 4  e + e − e +1  3x 2x x ln x + ln x dx x e Câu 147 I = ∫ 3 5  −  8 Hướng dẫn giải A B 3  −  8 C 3  −  8 D 3 4  −  8 ln x + ln x 2 3 d + ln x I= dx = ln x + ln xd ln x = + ln x ( ) ( ) ( ) ∫1 ∫ ∫ x 21 e e = ( + ln x ) e e =  34 − 24   8 ln(1 + x) dx + x2 Câu 148 Giá trị tích phân I = ∫ A I = π ln Hướng dẫn giải B I = π ln C I = π ln D I = π ln Đặt x =tan t ⇒ dx =(1 + tan t )dt Đổi biến: x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = π π ln(1 + tan t ) ∫0 + tan t (1 + tan t ) dt= 4 ⇒= I π ∫ ln(1 + tan t )dt π π π Đặt t = − u ⇒ dt =−du ; Đổi cận: t = ⇒ u = , t = ⇒ u = 4 π  π  ⇒ I =∫ ln(1 + tan t )dt =− ∫ ln 1 + tan  − u   du 4   π 0 π π   − tan u   =+ ∫0 ln 1 + tan u  du = ∫0 ln  + tan u  du = 4 Vậy I = π π 4 0 ∫ ln 2du − ∫ ln (1 + tan u ) du = π ln − I π ln Câu 149 Cho hàm số f(x) liên tục  thỏa f (− x) + f ( x) = cos x Giá trị tích phân π I= ∫π − f ( x)dx Hướng dẫn giải A I = B I = C I = D I = π Xét tích phân= J ∫π − Đổi cận: x =− f (− x)dx Đặt x =−t ⇒ dx =−dt π π π π ⇒ t = , x = ⇒ t =− 2 2 π − π π 2 Suy ra: J = − ∫ f (t )dt = I ∫ f (− x )dx = ∫ f (t )dt = − π π 2 Do đó: 3I = J + I = − π π π 2 ∫π − [ f ( − x ) + f ( x )] dx = ∫π − π cos xdx = ∫ cos xdx = 2 II VẬN DỤNG CAO Vậy I = Câu 150 Tìm hai số thực A, B cho = f ( x) A sin π x + B , biết f '(1) = ∫ f ( x)dx =  A = −2  A  B = −  π Hướng dẫn giải A =  B  B = −  π  A = −2  C  B =  π  A = − D  π  B = = f ( x) A sin π x + B ⇒ f= '( x) A cos π x f '(1) = ⇒ Aπ cos π = ⇒ A =− π ∫ f ( x)dx = ⇒ ∫ ( A sin π x + B)dx = ⇒ − A π cos 2π + B + A π cos = ⇒ B = Câu 151 Giá trị a để đẳng thức ∫  a + (4 − 4a ) x + x3  dx = ∫ xdx đẳng thức A Hướng dẫn giải ∫ a 12= B C D + (4 − 4a ) x + x3  dx=  a x + (2 − 2a ) x + x  ⇒ a= a Câu 152 Giá trị = tích phân I ∫x dx ( a > 0) + a2 A π B 4a Hướng dẫn giải π2 4a C − π2 4a D − π π  Đặt x = a tan t ; t ∈  ; −  ⇒ dx = a (1 + tan t )dt Đổi cận 2 2 π π 4a x = ⇒ t =  π  = ⇒ = x a t  π a (1 + tan t ) 14 π = dt ∫0 a tan t + a a= ∫0 dt 4a Vậy = I π Câu 153 Giá trị tích phân I = ∫ A π Hướng dẫn giải B cos x dx + cos x π 2 C 4π D −π x = ⇒ t =  Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx Đổi cận :  π ⇒t = x =  π Vậy I = ∫ cos x dx = + cos x dt ∫0= − 2t 2 dt −t ∫ π  t =0→u =  3  Đặt t =cos u ⇒ dt = , suy − sin udu Đổi cận :  2 π t= → u=  = I ∫ π dt = −t 2 ∫ 2π sin udu = − cos u ) ( π = ∫ du 2π π π = u π dt Tích phân sau có giá trị với giá trị tích phân cho + t x Câu 154 Cho I = ∫ x x x dt 1+ t dt 1+ t dt 1+ t2 A − ∫ x B ∫ dt 1+ t C ∫ D − ∫ Hướng dẫn giải 1 1 Đặt u = ⇒ t = ⇒ dt =− du Đổi cận t = x ⇒ u = ; t =1 ⇒ u =1 t u u x 1 du 1 − x x dt − du du dt dt u = = = ⇒ = ∫x + t ∫1 ∫1 u + ∫1 u + ∫x + t ∫1 + t 1+ x x u π Câu 155 Giá trị tích phân I = ∫ π ln(sin x)dx sin x A − ln + + π C − ln − − π π B ln + − D − ln + − π Hướng dẫn giải u ln(sin x) ⇒= = du cot xdx   dv = dx ⇒ v =− cot x sin x  π π π 2 I= ln(s in x ) dx = − cot x ln(sin x ) − cot xdx π ∫π sin x ∫ π 6 π π π  2 = ln − cot x − x − ln + − π =  π   6 Câu 156 Giá trị tích phân I = ∫ {1, x } dx A B C 3 D − Hướng dẫn giải Xét hiệu số − x đoạn [0; 2] để tìm {1, x } 2 x3 Vậy I = ∫ {1, x } dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x1 = 3 0 2 −3 Câu 157 Giá trị tích phân I = ∫x −8 A ln Hướng dẫn giải dx dx 1− x B C − ln D ln  x =−8 ⇒ t =3 Đặt t = − x ⇒ x =− t ⇒ dx = −2tdt Đổi cận   x =−3 ⇒ t =2 −3 dx Vậy I ∫ = = dx x − x −8 −2tdt tdt dt t +1 2∫ = 2= ln= ln ∫3 (1= ∫ 2 1− t t −1 − t )t (1 − t ) t 2 3 x − ln x Câu 158 Biết I= ∫ dx= + ln Giá trị a x a A Hướng dẫn giải a I= ∫ C π B ln D x − ln x ln x dx = + ln = xdx − ∫ dx = + ln 2 ∫ x x 1 a a  a2   1  =  −  −  ln a + − 1 = + ln ⇒ a = a   2 a HD casio: Nhập ∫ Câu = 159 Cho I1 x − ln x dx − − ln = nên a = x π π 2 sin x dx Khẳng định sau sai ? (sin x + 2) ∫ cos x 3sin x + 1dx , I = ∫ 14 Hướng dẫn giải 3 B = I 2 ln + 2 B I1 > I A I1 = D = I 2 ln − π = I1 ∫ cos x 3sin x + 1dx= ∫ t 14 dt = π sin x 1  I =∫ dx =2 ∫  −  dt =2 ln − (sin x + 2) t t  2 m Câu 160 Tất giá trị tham số m thỏa mãn ∫ ( x + 5) dx = A m = 1, m = −6 B m = −1, m = −6 C m = −1, m = D = m 1,= m Hướng dẫn giải m ∫ ( x + 5) dx = ⇒ ( x m + x) = ⇒ m + 5m − = ⇒ m = 1, m = −6 0 Hướng dẫn casio: Thay m = m = −6 vào thấy thỏa mãn π Câu 161 Cho hàm số h( x) = sin x a cos x b cos x Tìm để tính I = = h ( x ) + ∫0 h( x)dx (2 + sin x) 2 + sin x (2 + sin x) 2 A a = −4, b = 2; I = + ln 3 C a= 2, b= 4; = I − + ln Hướng dẫn giải Sử dụng đồng thức, ta thấy B a =4, b =−2; I =− − ln 3 D a = 4; I = −2, b = + ln b a = −4 sin x a cos x b cos x a cos x + b cos x(2 + sin x)  =1 h( x)= + = = ⇒ 2 ⇒ 2 b=2 (2 + sin x) + sin x (2 + sin x) (2 + sin x)  a + 2b = π π π  −4 cos x cos x   2 Vậy ∫ h( x)dx = + dx = − + ln + sin x  ∫0  (2 + sin x)2 + sin x   + sin x 0 2 =− + ln + − ln = + ln 3 Câu 162 Giá trị trung bình hàm số y = f ( x ) [ a; b ] , kí hiệu m ( f ) tính theo cơng b thức m ( f ) = f ( x ) dx Giá trị trung bình hàm số f ( x ) = sin x [ 0; π ] b − a ∫a A π B π C π D π Hướng dẫn giải π = m( f ) = sin xdx ∫ π −0 π π dx Câu 163 Cho ba tích phân I = ∫ = , J 3x + có giá trị ∫ ( sin 4 x − cos x ) dx K= ∫ (x + x + 1) dx Tích phân −1 21 ? A K Hướng dẫn giải B I C J D J K 1 dx 1 = I ∫ = ln x + 1= ln 3x + 0 π π 4 2 J= sin x − cos x dx = − ( ) ∫0 ∫0 ( cos x − sin x ) dx = K= ∫ (x + x + 1) dx= −1 21 a Câu 164 Với < a < , giá trị tích phân sau ∫x A ln a−2 2a − B ln dx dx là: − 3x + a−2 a −1 C ln a−2 ( a − 1) D ln a−2 2a + D − Hướng dẫn giải dx  x−2 a−2  ∫0 x − 3x + =∫0  x − − x −  dx =ln x − =ln a − a a a x3 dx = Khi giá trị 144m − x + ( 2) Câu 165 Cho 3m − ∫ −2 Hướng dẫn giải A B − C d ( x + 2) 1 1 = ⇔ 3.m + = ⇔ 3m + − = ⇔ m = 3.m − ∫ ( x + 2) ( x + 2) 12 −2   Vậy = 144m − 144  =  −1  12  Câu 166 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm liên tục ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn f (a ) = f (b) Lựa chọn khẳng định khẳng định sau b A ∫ b f '( x).e f ( x ) dx = B a ∫ f ( x) dx = f ( x) dx = a b C ∫ f '( x).e b f '( x).e f ( x ) dx = −1 D a ∫ f '( x).e a Hướng dẫn giải b ∫e b f ( x) f '( x)dx = ∫ e f ( x ) d ( f ( x)) = e f ( x ) = e f (b ) − e f ( a ) = b a a a Câu 167 Kết phép tính tích phân I = ∫ dx có dạng = I a ln + b ln ( a, b ∈ ) Khi x 3x + a + ab + 3b có giá trị A B Hướng dẫn giải 2 C D 1  dx  Ta có I = 2∫ dt = − ln − ln ,   dt = ∫1 x 3x + = ∫ t −1 t −1 t +1  2 4 suy a = 2, b = −1 Vậy a + ab + 3b = − + = π ∫ (1 − cos x ) Câu 168 Với n ∈ , n ≥ , tích phân= I n sin xdx có giá trị 2n Hướng dẫn giải A n −1 B C π n +1 D n t n +1 I= = ∫0 (1 − cos x ) sin xdx = ∫0 t dt = n +1 n +1 n n π Câu 169 Với n ∈ , n > , giá trị tích phân ∫ A − π Hướng dẫn giải π B Đặt t = − x ⇒ dx =−dt π n n sin x dx cos x + n sin x C 3π D − 3π π ∫ π π  π  f (sin x)dx = − ∫ f  sin  − t   dt = f (cos t ) dt = ∫0 ∫0 f (cos x)dx    π 2 π ∫ π sin x dx = I = n cos x + n sin x Câu 170 Giá trị tích phân π n ∫ dx ⇒ I = 2017π ∫ − cos 2xdx B −4043 A 3034 Hướng dẫn giải Do hàm số f ( x= ) C 3043 − cos x hàm liên tục tuần hồn với chu kì T = π nên ta có T 2T 3T nT T 2T ( n −1)T f ( x)dx ∫= f ( x)dx ∫= nT ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ 2T f ( x)dx + 2017π ⇒ f ( x= )dx ∫= T f (= x)dx D 4034 ∫ f ( x)dx nT f ( x)dx + + ∫ ( n −1)T T T f (= x)dx n ∫ f ( x)dx π π 0 − cos xdx = 2017 ∫ − cos xdx = 2017 ∫ sin xdx = 4034 π  (1 + sin x)1+ cos x  Câu 171 Giá trị tích phân ∫ ln   dx  + cos x  A ln − B −2 ln − C ln − Hướng dẫn giải D −2 ln − π π π 2 0 1+ cos x ∫ ln(1 + sin x) − ln(1 + cos x)  dx = ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + cos x)dx π π π Đặt x = − t ⇒ dx =−dt Đổi cận x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 2 π π π  π  I = ∫ ln (1 + cos x )dx = − ∫ ln 1 + cos  − t  dt = ∫ ln (1 + sin t )dt = ∫ ln(1 + sin x)dx    π 0 0 2 π π π 2 ∫ (1 + cos x) ln(1 + sin x)dx − ∫ ln(1 + sin x)dx = ⇒ I= 0 ∫ cos x ln(1 + sin x)dx = ln − b Câu 172 Có giá trị b thỏa mãn ∫ (3 x − 12 x + 11)dx = A Hướng dẫn giải b ∫ (3x B − 12 x + 11)dx = ( x − x + 11x ) b Câu 173 Biết ∫ 6dx = A C b D b = = b − 6b + 11b − = ⇔ b = b = 3 a ∫ xe dx = a Khi biểu thức b x + a + 3a + 2a có giá trị B C D Hướng dẫn giải b +Ta có ∫ 6dx = ⇒ b = a +Tính ∫ xe x dx = u x= du dx ⇒ Đặt  Khi đó, x dx v e x = dv e= a x x ∫ xe dx = xe a a − ∫ e x dx = e a − e a + = a ⇒ a = Vậy b + a + 3a + 2a = a Câu 174 Biết a ∫x bπ dx B ∫0 x + a = A , ∫0 2dx = B (với a, b > ) Khi giá trị biểu thức 4aA + 2b A 2π Hướng dẫn giải +Tính 2 B π C 3π D 4π dx + a2 π π  Đặt t = a tan x; a ∈  ; −  ⇒ dx = a (1 + tan t )dt 2 2 π Đổi cận : x = ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = bπ +Tính: ∫ 2dx = 2bπ , suy B =π 2b π Vậy π a (1 + tan t ) 14 π = dt ∫0 a tan t + a a= ∫0 dt 4a ...1 3) I = 16 ∫ x − xdx dx x+9 − x 4) I = ∫ 0 II Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b Sử dụng tính chất ∫ [f ( x) + g ( x)]dx = ∫ a a a ∫ | x + 1| dx −2 −1... phân I = ∫ dx −8 x − x A B C 3 D − A ln C − ln B D ln x − ln x Câu 158 Biết I= ∫ dx= + ln Gia? ? trị của a là x a A C π B ln Câu= 159 Cho I1 π π 2 sin x dx Khẳng định sau sai ? (sin