facebook/hoitoanhoc CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số ( )f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số ( )F x được gọi[.]
CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Định lí: 1) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C , hàm số G= ( x ) F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K 2) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng F ( x ) + C , với C số Do F ( x ) + C , C ∈ họ tất nguyên hàm f ( x ) K Ký hiệu Tính chất nguyên hàm ′ Tính chất 1: ∫ f ( x ) dx = f ( x ) ( ) ) dx ∫ f ' ( x= ) dx ∫ f ( x= F ( x) + C f ( x) + C Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k số khác Tính chất 3: ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp ( u = u ( x ) ) Nguyên hàm hàm số sơ cấp ∫ dx= ∫ du= x+C α = ∫ x dx dx ∫ x= ∫ e dx= x α+1 x + C ( α ≠ −1) α +1 ex + C u ax + C ( a > 0, a ≠ 1) ln a − cos x + C ∫ sin xdx = xdx ∫ cos = ∫ cos ∫ sin sin x + C = dx tan x + C x α+1 u + C ( α ≠ −1) α +1 ln u + C eu + C au + C ( a > 0, a ≠ 1) ln a − cos u + C ∫ sin udu = u ∫ a du = = ∫ cos udu ∫ cos sin u + C = du tan u + C u ∫ sin du = − cot u + C x u II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu ∫ f ( u= ) du F ( u ) + C u = u ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục dx = − cot x + C α = ∫ u du du ∫ u= ∫ e du= ln x + C x ∫ a dx = u +C ' ( x ) dx ∫ f ( u ( x ) ) u= Hệ quả: Nếu u =ax + b ( a ≠ ) ta có ∫ f ( ax + b = ) dx F (u ( x )) + C F ( ax + b ) + C a Phương pháp nguyên hàm phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K v ' ( x ) dx u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx ∫ u ( x )= Hay ∫ udv= uv − ∫ vdu A KỸ NĂNG CƠ BẢN - Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi trực tiếp - Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số - Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + hàm số hàm số sau? x 3x x4 B F ( x ) = + + 2x + C + 3x + x + C x4 x2 C F ( x ) = D F ( x ) = x + x + C + + 2x + C Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Hàm số F ( x ) = x3 + x − x + 120 + C họ nguyên hàm hàm số sau đây? A F ( x ) = Câu A f ( x )= 15 x + x − B f ( x ) = x + x + x x3 x D f ( x ) = x + x − + − Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm hàm số F ( x ) ta kết C f ( x ) = x Câu Họ nguyên hàm hàm số: y = x − x + Câu x3 A F ( x ) = − x + ln x + C x3 C F ( x ) = + x + ln x + C Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1)( x + ) x3 2 + x + 2x + C 3 x3 2 C F ( x ) = x + + C D F ( x ) = − x + 2x + C 3 Hướng dẫn giải: f ( x ) = ( x + 1)( x + ) = x + x + Sử dụng bảng nguyên hàm A F ( x ) = Câu x3 + x + 2x + C x3 − x + ln x + C D F ( x ) = x − − + C x B F ( x ) = Nguyên hàm F ( x ) hàm số f (= x) B F ( x ) = 2 + + hàm số nào? − 2x x x A F ( x ) = − ln − x + ln x − + C x C F ( x )= ln − x + ln x − + C x Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x A ∫ sin xdx = − cos x + C 2 xdx cos x + C C ∫ sin = +C x D F ( x ) = − ln − x − ln x + + C x B F ( x ) = − ln − x + ln x + cos x + C − cos x + C D ∫ sin xdx = B ∫ sin = xdx 1 sin xd (2 x) = − cos x + C Hướng dẫn giải ∫ sin xdx = ∫ 2 π Tìm nguyên hàm hàm số= f ( x) cos x + 6 π π A ∫ f ( x= B ∫ f ( x).dx )dx sin x + + C = sin x + + C 6 6 π π C ∫ f ( x)dx = D ∫ f ( x= − sin x + + C )dx sin x + + C 6 6 π π π Hướng dẫn giải: ∫ f ( x= )dx cos x + d x + = sin x + + C ∫ 6 6 6 x Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = + tan x x A ∫ f = B ∫ f ( x= ( x)dx tan + C )dx tan + C 2 x x C ∫ f= D ∫ f ( x)dx = −2 tan + C ( x)dx tan + C 2 x d x dx tan x + C Hướng dẫn giải: f ( x) = + tan = nên ∫ = ∫ = x x cos x cos cos 2 2 Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = π 2 sin x + 3 π π A ∫ f ( x)dx = B ∫ f ( x)dx = − cot x + + C − cot x + + C 3 3 π π C ∫ f ( x)dx= cot x + + C D ∫ f ( x)= dx cot x + + C 3 3 π dx+ dx π 3 Hướng dẫn giải: ∫ = = − cot x + + C ∫ π π 3 sin x + sin x + 3 3 Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x.cos x Câu sin x f ( x ) dx = − +C ∫ ∫ sin x C ∫ D ∫ f ( x)dx = − +C sin x Hướng dẫn giải ∫ sin x.cos= x.dx ∫ sin x.d (sin = x) +C 4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LƠGARIT Câu 11 Tìm ngun hàm hàm số f ( x= ) e x − e− x A sin x +C sin x f (= x)dx +C f (= x)dx ∫ f ( x ) dx =e C ∫ f ( x ) dx =e A x + e− x + C x − e− x + C Hướng dẫn giải: ∫ (e x B ∫ f ( x ) dx =−e D ∫ f ( x ) dx = −e B − e − x ) dx =e x + e − x + C x + e− x + C x − e− x + C Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = x.3−2 x x 2 A ∫ f ( x ) dx = +C ln − ln x 9 B ∫ f ( x ) dx = +C ln − ln x x 2 C ∫ f ( x ) dx = +C ln − ln 2 D ∫ f ( x ) dx = +C ln + ln x x 2 2 +C dx ∫= 9 ln − ln Câu 13 Họ nguyên hàm hàm số f = ( x) e x (3 + e − x ) x −2 x Hướng dẫn giải: ∫ 2= dx A F ( x)= 3e x + x + C C F ( x) = 3e x − x + C e Hướng dẫn giải: F(= x) B F ( x) = 3e x + e x ln e x + C D F ( x)= 3e x − x + C ∫ e (3 + e x −x )= dx ∫ (3e x + 1)= dx 3e x + x + C Câu 14 Hàm số F (= x ) 7e x − tan x nguyên hàm hàm số sau đây? e− x A f = ( x) e − cos x B f (= x ) 7e x + x cos x D f = ( x ) e x − cos x −x e Hướng dẫn giải: Ta có g '( x) = 7e x − = e x (7 − )= f ( x) cos x cos x C f ( x ) = 7e x + tan x − Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = e x − x −1 e +C x−2 f (= x ) dx e +C A x ) dx ∫ f (= B dx ∫ f ( x )= e x −1 + C C ∫ D ( x ) dx ∫ f= x −1 e +C 2 x −1 e +C 4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 16 Nguyên hàm hàm số f ( x) = 2x −1 Hướng dẫn giải: A ∫ f ( x ) dx= ∫ x−2 e 4= dx dx ∫ e= x −1 2x −1 + C B dx ∫ f ( x )= 2x −1 + C 2x −1 D ∫ f ( x ) dx =−2 x − + C +C 1 d ( x − 1) Hướng dẫn giải: ∫ = = 2x −1 + C dx ∫ 2x −1 2x −1 Câu 17 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 3− x C ( x ) dx ∫ f= ∫ f ( x ) dx =−2 − x + C C ∫ f ( x ) dx= − x + C A ∫ f ( x ) dx =− − x + C D ∫ f ( x ) dx =−3 − x + C B d (3 − x ) dx =− ∫ =−2 − x + C 3− x 3− x Câu 18 Tìm nguyên hàm hàm số f = ( x) 2x +1 Hướng dẫn giải: ∫ A dx ( x + 1) ∫ f ( x)= C ∫ f ( x ) dx =− 2x +1 + C 2x +1 + C t Hướng dẫn giải: Đặt = x + ⇒ dx = tdt ( x + 1) x + + C f ( x )= dx 2x +1 + C B dx ∫ f ( x )= D ∫ t3 + C = ( x + 1) x + + C 3 Câu 19 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x= ) − 3x ⇒ ∫ x + 1dx=∫ t dt = A − ( − 3x ) ∫ f ( x ) dx = C ∫ f ( x ) dx =9 ( − 3x ) − 3x + C − 3x B − ( − 3x ) ∫ f ( x ) dx = D − ∫ f ( x ) dx = − 3x − 3x + C 2tdt Hướng dẫn giải: Đặt t =5 − x ⇒ dx = − − ( − 3x ) − 3x + C ∫ − 3xdx = Câu 20 Tìm nguyên hàm hàm số f ( = x) x − ( x − 2) x − + C f ( x ) dx = ( x − ) x − A ∫ f ( x ) dx= B C ∫ D Hướng dẫn giải: Đặt t = C − (1 − x ) ∫ f ( x ) dx = ∫ 3 − ( x − 2) + C 3 x − 2dx= ( x − 2) x − + C ∫ − 3x − 3x + C (1 − 3x ) − 3x + C f ( x ) dx = ∫ x−2 +C f ( x ) dx = x − ⇒ dx = 3t dt Khi Câu 21 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x= ) A ∫ f ( x ) dx =− ( x − ) B − (1 − x ) ∫ f ( x ) dx = D f ( x ) dx = − (1 − x ) ∫ Hướng dẫn giải: Đặt t = − x ⇒ dx = −t dt Khi ∫ − 3 − 3x + C +C 1 − xdx = − (1 − x ) − x + C Câu 22 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e3 x A e3 x +C ∫ f (= x ) dx ∫ e3 x f (= x ) dx +C B x ) dx ∫ f (= e3 x +C 3x+2 C Hướng dẫn giải: Câu 23 Hàm số F ( x ) = ∫ D ∫ 2e f (= x ) dx +C 3x + 2 32x x 32x e3 x e + C e dx = e d = = +C 3∫ 3x ( x + 1) x + + 2016 nguyên hàm hàm số sau đây? ( x + 1) x + 2 C f ( x ) = ( x + 1) x + A f ( x ) = Hướng dẫn giải: F ' ( x ) = B f ( x= ) ( x + 1) x + + C D f ( x ) = ( x + 1) x +1 + C ( x + 1) x + Câu 24 Biết nguyên hàm hàm số = f ( x) + hàm số F ( x ) thỏa mãn F ( −1) = − 3x Khi F ( x ) hàm số sau đây? A F ( x ) =x − − 3x + 3 B F ( x ) =x − − 3x − 3 2 D F ( x ) = 4− − 3x − 3x + 3 Hướng dẫn giải d (1 − x ) + 1dx =− ∫ + x =x − F ( x ) =∫ − 3x + C 3 − 3x − 3x 2 F ( −1) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = x − − 3x + 3 a Câu 25 Biết F (= Khi giá trị a x) − x nguyên hàm hàm số f ( x) = 1− x A −3 B C D −3 ′ Hướng dẫn giải: F '( x) = − x = ⇒a= −3 1− x 4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 26 Tính F ( x) = ∫ x sin xdx C F ( x ) =x − ( ) A F ( x) = B F ( x) = x sin x − cos x + C sin x − x cos x + C C F ( x) = D F ( x) = x sin x + cos x + C sin x + x cos x + C Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: d Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập ( F ( x) ) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên dx số điểm x0 thuộc tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm dv nguyên hàm u + v x sin x − cos x − sin x Vậy F ( x) = sin x − x cos x + C Câu 27 Tính ∫ x ln xdx Chọn kết đúng: ( ) ( ) ( ) ( ) B x 2 ln x − ln x + + C x ln x − ln x + + C 1 C x 2 ln x + ln x + + C D x 2 ln x + ln x + + C Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần Phương pháp trắc nghiệm Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng: u đạo hàm u dv nguyên hàm v x ln x + ln x x2 x A ln x (chuyển qua dv ) x - x 1 (chuyển qua dv ) x + x (nhận từ u ) x x2 x (nhận từ u ) x x2 2 1 Do ∫ x ln xdx = x ln x − x ln x + x + C = x ( ln x − ln x + 1) + C 2 4 Câu 28 Tính F ( x) = ∫ x sin x cos xdx Chọn kết đúng: x A F ( x) = sin x − cos x + C x C F ( x) = sin x + cos x + C Hướng dẫn giải: x cos x − sin x + C −1 x D F ( x) = sin x − cos x + C B F ( x) = Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x = sin x sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng x Câu 29 Tính F ( x) = ∫ xe dx Chọn kết x x A F ( x) =3( x − 3)e + C B F ( x) = ( x + 3)e + C x − 3x C.= F ( x) e +C Hướng dẫn giải: x + 3x D.= F ( x) e +C x Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với = u x= , dv e dx Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng x Câu 30 Tính F ( x) = ∫ dx Chọn kết cos x A F ( x) = B F ( x) = x tan x + ln | cos x | +C − x cot x + ln | cos x | +C C F ( x) = D F ( x) = − x tan x + ln | cos x | +C − x cot x − ln | cos x | +C Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với = u x= , dv dx cos x Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Câu 31 Tính F ( x) = ∫ x cos xdx Chọn kết Nhập máy tính A F ( x) = B F (= ( x − 2) sin x + x cos x + C x) x sin x − x cos x + sin x + C C F ( x) = x sin x − x cos x + 2sin x + C D F ( x) = (2 x + x ) cos x − x sin x + C Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần với = u1 x= ; dv1 sin xdx = u x= ; dv cos xdx , sau Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Câu 32 Tính F ( x) = ∫ x sin xdx Chọn kết 1 A F ( x) = B F= − (2 x cos x − sin x) + C ( x) (2 x cos x − sin x) + C 4 1 C F ( x) = D F= − (2 x cos x + sin x) + C ( x) (2 x cos x + sin x) + C 4 Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với = u x= ; dv sin xdx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng sử dụng máy tính: Nhập d ( F ( x)) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên số điểm x0 bất kỳ, kết xấp xỉ dx chọn đáp án Câu 33 Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 nguyên hàm hàm số nào? A f ( x) = x cos x B f ( x) = x sin x C f ( x) = − x cos x D f ( x) = − x sin x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết trùng với đáp án chọn Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn + ln( x + 1) Câu 34 Tính ∫ dx Khẳng định sau sai? x2 −1 + ln( x + 1) x + ln( x + 1) x A B − + ln +C + ln +C x x +1 x x +1 x +1 + ln( x + 1) C − D − − ln x + + ln x + C (1 + ln( x + 1) ) + ln | x | +C x x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với 1 u= + ln( x + 1); dv = − dx biến đổi đặt u = ln( x + 1); dv = = − dx x x Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra định nghĩa 4.1.6 ÔN TẬP Câu 35 Hãy chọn mệnh đề A ∫ a x dx= ax + C ( < a ≠ 1) ln a xα +1 + C , ∀α ∈ R α +1 f ( x) ∫ f ( x)dx dx = D ∫ g ( x) ∫ g( x)dx B ∫ xα dx = C ∫ f ( x).g ( x)dx = ∫ f ( x)dx.∫ g( x)dx Hướng dẫn giải: A B sai thiếu điều kiện α =/ −1 ; C, D sai khơng có tính chất Câu 36 Mệnh đề sau sai? A ∫ sin = B ∫ dx = ln x + C , x ≠ xdx cos x + C x x a D ∫ a x dx= C ∫ e x dx= e x + C + C , (0 < a ≠ 1) ln a Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx = − cos x + C Câu 37 Hàm số f ( x) = x3 − x + + có nguyên hàm x x x3 − + x + ln x + C C F ( x) = x − x − + C x A F ( x) = B F ( x) = x − x3 + x + ln x + C D F ( x) = x − x3 + x + ln x + C x x3 ( x − x + + ) dx = − + x + ln x + C ∫ x Câu 38 Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = tan x Hướng dẫn giải: F ( x) = A F ( x= ) tan x − x + C B F ( x ) =− tan x + x + C C F ( x= ) tan x + x + C D F ( x ) =− tan x − x + C − 1 dx = tan x − x + C x Câu 39 Hàm số F ( x) = sin x − cos x + nguyên hàm hàm số sau đây? Hướng dẫn giải: ∫ f ( x)dx= ∫ cos A f = ( x ) sin x + cos x B f ( x ) = − sin x + cos x C f = ( x ) sin x − cos x D f ( x ) = − sin x − cos x Hướng dẫn giải: = F '( x) cos x + sin x Câu 40 Kết tính ∫ dx sin x cos x A tan x − cot x + C B cot 2x + C C tan 2x − x + C D − tan x + cot x + C 1 Hướng dẫn giải: ∫ dx = ∫ + dx = tan x − cot x + C 2 sin x cos x cos x sin x 1 Câu 41 Hàm số F ( x) = x − + − có nguyên hàm x x 1 A f ( x) = x3 − x − − x B f ( x) = x3 − x − − x x x 1 C f ( x) = D f ( x) = x3 − x3 − x + x − −x x x 1 Hướng dẫn giải: Ta có ∫ F ( x)dx = ∫ x − + − 1dx = x − x − − x + C x x x cos x Câu 42 Hàm số f ( x) = có nguyên hàm F ( x) sin x 4sin x A − −4 C D 4 4sin x sin x sin x cos x 1 f ( x)dx = − +C ∫ sin xdx = ∫ sin x d (sin x) = 4sin x B Hướng dẫn giải: ∫ Câu 43 Kết tính ∫ x − x dx A − C 6 (5 − 4x ) (5 − 4x ) 3 (5 − 4x2 ) + C D − − x2 ) + C ( 12 +C B − +C −4 xdx Hướng dẫn giải: Đặt t =5 − x ⇒ tdt = 1 Ta có ∫ x − x dx = − ∫ t dt = − t3 + C = − 6 sin x Câu 44 Kết ∫ e cos xdx (5 − 4x ) +C A esin x + C B cos x.esin x + C C ecos x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ esin x cos xdx = ∫ esin x d (sin = x) esin x + C Câu 45 Tính D e − sin x + C ∫ tan xdx A − ln cos x + C B ln cos x + C C +C cos x D −1 +C cos x D −C sin x Hướng dẫn giải: Ta có ∫ tan xdx = −∫ d (cos x) = − ln cos x + C cos x Câu 46 Tính ∫ cot xdx A ln sin x + C B − ln sin x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cot = xdx Câu 47 Nguyên hàm hàm số y = C (sin x) ∫ sin x d= −1 +C sin x ln sin x + C x3 x −1 1 B x + x + x + ln x + + C x + x + x + ln x − + C 3 1 1 C x + x + x + ln x − + C D x + x + x + ln x − + C x Hướng dẫn giải: Ta có Sử dụng bảng nguyên hàm suy đáp án = x2 + x + + x −1 x −1 x2 − 2x + Câu 48 Một nguyên hàm hàm số f ( x ) = x +1 x2 x2 A B − x + ln x + + x + ln x + 2 x2 x2 C D + x − ln x + − x + ln ( x + 1) 2 x2 − 2x + Hướng dẫn giải: f ( x ) = Sử dụng bảng nguyên hàm = x −3+ x +1 x +1 dx Câu 49 Kết tính ∫ x ( x + 3) A A x ln +C x+3 x B − ln +C x+3 Câu 85 Kết ∫ sin x cos xdx A sin x + C B sin x + C C − sin x + C D − sin x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin x cos xdx = − sin x + C ∫ sin xd (sin x) = Câu 86 Tính ∫ cos x sin xdx A − cos3 x + C B − cos3 x + C D cos3 x + C cos3 x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd (cos x) = − cos3 x + C 3 Câu 87 Kết ∫ sin xdx A C co s3 x − cos x + C co s3 x − cos x + C co s3 x D − cos x + C B − C 3sin x.cos x + C Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx = − ∫ (1 − cos x)d (cos x) =cos3 x − cos x + C ∫ (1 − cos x) sin xdx = 3 Câu 88 Kết ∫ cos xdx A sin x − sin x +C sin x +C sin x D − sin x − +C B sin x + C 3sin x.cos x + C 2 Hướng dẫn giải: ∫ cos3 xdx =− sin x − sin x + C ∫ (1 sin x) cos xdx =− ∫ (1 sin x)d (sin x) = Câu 89 Kết ∫ sin x cos xdx A sin x + C B − sin x + C Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin x cos = xdx ∫ sin C sin x + C xd = (sin x) sin x + C e tan x Câu 90 Tính ∫ dx cos x A e tan x + C B tan x.e tan x + C C e − tan x + C e tan x Hướng dẫn giải: ∫ = dx ∫ e tan x d (tan= x) e tan x + C cos x Câu 91 Tính ∫ dx bằng: x cos x A tan x + C Hướng dẫn giải: Câu 92 Tính B tan x + C ∫ D − sin x + C C tan x + C D −e tan x + C D tan x + C 1 = dx ∫ = d ( x ) tan x + C x cos x cos x 3x ∫ x3 + 1dx A ln x3 + + C B x3 +C x4 + 4x C ln( x + 1) + C D x3 +C x4 + x Hướng dẫn giải: 3x = ∫ x3 + 1dx ∫x d ( x3 + = 1) ln x3 + + C +1 x − 12 x Câu 93 Tính ∫ dx x − 3x + A ln x3 − x + + C B ln x − x + + C C ln x − x + + C D ln( x − x + 6) + C x − 12 x Hướng dẫn giải: ∫ dx= ∫ d ( x − x + 6) = ln x − x + + C 2 x − 3x + x − 3x + 4x + 2x Câu 94 Tính ∫ dx x + x2 + A ln x + x + + C B ln x + x + + C C ln x + x + + C x3 + x Hướng dẫn giải: ∫ dx= x + x2 + x2 + Câu 95 Tính ∫ dx x + 3x − 1 A ln x3 + x − + C D −2 ln( x + x + 3) + C ∫x d ( x + x + 3)= ln x + x + + C + x2 + B ln x3 + x − + C D ln( x + x − 1) + C x +1 1 Hướng dẫn giải: ∫ = dx d ( x + x −= 1) ln x + x − + C ∫ x + 3x − x + 3x − x −5 Câu 96 Tính ∫ e dx C ln x3 + x − + C A x −5 e +C B e6 x −5 + C Hướng dẫn giải: ∫ e6 x −5= dx C 6e6 x −5 + C D e6 x +5 − C x −5 x −5 e d (6 x −= 5) e +C ∫ 6 Câu 97 Tính ∫ e − x −5 dx A −e − x −5 + C B e − x −5 + C C e x +5 + C Hướng dẫn giải: ∫ e − x −5 dx =− ∫ e − x −5 d (− x − 5) =−e − x −5 + C Câu 98 Tính ∫ ( − 9x ) 12 D −e x +5 + C dx (5 − x)13 (5 − x)13 (5 − x)13 C D +C +C +C 117 13 (5 − x)13 12 12 Hướng dẫn giải: ∫ ( − x ) dx = − ∫ ( − x ) d (5 − x) = − +C 117 π Câu 99 Tính ∫ cos x + dx 4 π π A sin x + + C B sin x + + C 4 4 π π C −5sin x + + C D − sin x + + C 4 4 A − (5 − x)13 +C 117 B ... ( x) ∫ g( x)dx B ∫ xα dx = C ∫ f ( x).g ( x)dx = ∫ f ( x)dx.∫ g( x)dx Hướng dẫn giải: A B sai thi? ??u điều kiện α =/ −1 ; C, D sai khơng có tính chất Câu 36 Mệnh đề sau sai? A ∫ sin = B ∫ dx =