50 bai tap ve bat dang thuc co dap an

Bài tập về bất đẳng thức 50 BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1 Cho 3a  , tìm giá trị nhỏ nhất của 1 S a a   Giải 1 8a 1 24 1 10 ( ) 2 9 9 9 9 3 a a S a a a a         Bài 2 Cho 2a  , tìm giá tr[.]

50 BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho a  , tìm giá trị nhỏ S  a  8a a 24 a 10  (  ) 2  a 9 a 9 a Giải: S  a  Bài 2: Cho a  , tìm giá trị nhỏ S  a  Giải: S  a  a a2 6a a a 12 a a 12   (   )   33    a 8 a 8 a 4 Bài 3: Cho a, b > a  b  , tìm giá trị nhỏ S  ab  Giải: S  ab  1 15  (ab  )  ab  ab 16ab 16ab 16ab 15  ab 16     Bài 4: Cho a, b, c> a  b  c  Tìm giá trị nhỏ S  a  1  b2   c2  2 b c a Giải: Cách 1: Cách 2: S  a2  1  b2   c2  2 b c a (12  42 )(a  1 1 )  (1.a  ) 2 a   (a  ) b b b b 17 ab  17 Tương tự b2  1 1  (b  ); c   (c  ) c c a a 17 17 Do đó: 4 36 (a  b  c    )  (a  b  c  ) a b c a bc 17 17 S  17   17 135 (a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)     Bài 5: Cho x, y, z ba số thực dương x  y  z  Chứng minh rằng: x2  1  y   z   82 y z x Giải: 1 1 (1.x  )  (12  92 )( x  )  x   (x  ) y y y y 82 1 1  ( y  ); z   (z  ) z z x x 82 82 9 81 S (x  y  z    )  (x  y  z  ) x y z x yz 82 82 TT : y    80  ( x  y  z  x  y  z )  x  y  z   82 82   Bài 6: Cho a, b, c > a  2b  3c  20 Tìm giá trị nhỏ S  a  b  c    a 2b c Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 12 18 16 12   18   16      a  2b  3c   3a     2b     c    a b c a  b  c   20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13 4S  4a  4b  4c  Bài 7: Cho x, y, z > 1   4 x y z Tìm giá trị lớn P  1   2x  y  z x  y  z x  y  2z Giải: Ta có 1 1 1 1 4 16 1 1 1   ;                x y x y y z yz x y y z x  y y  z x  2y  z x  y  z 16  x y z  TT : 1 2 1 1 1 2     ;      x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z  4 4 S      1 16  x y z  Bài 8: x x x  12   15   20  Chứng minh với x  R , ta có          3x  x  5x 5 4   Giải: x x  12   15   12         5 4 5 x x x x x x  15   20   15   20   12     2.3x ;       2.5x ;       2.4 x 4    4    5 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh 8x  y  8z  x 1  y 1  z 1 Giải: Dự đoán x=y=z = 8x.8x  64 x  x nên: 8x  8x  82  3 8x.8x.82  12.4 x ; y  y  82  3 y.8 y.82  12.4 y ; 8z  8z  82  3 8z.8z.82  12.4 z 8x  y  8z  3 8x.8 y.8z  3 82.82.82  192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x, y, z> xyz = Hãy chứng minh  x3  y  y3  z3  z  x3   3 xy yz zx Giải: x3  y  xy  x  y    x  y  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z   3xy xyz  3xy  x3  y 3xy   xy xy yz  y3  z3 ;   xy yz yz  1  S  3   3  xy yz zx   x y2 z2  z  x3 zx ;   yz zx zx zx 3 Bài 11: Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ  x  y 1  xy  biểu thức P  2 1  x  1  y  Giải:  x  y   xy    x  y 1  xy    x  y 1  xy       1  P  P 2 2 1  x  1  y  1  x  1  y   x  y   xy  4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b3 c    ab  bc  ca b c a Giải: a3 b3 c3 a b4 c (a  b2  c )2  ab  bc  ac  Cách 1:         ab  bc  ac b c a ab bc ca ab  bc  ac ab  bc  ac 3 a3 b c  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2a Cách 2: b c a a b3 c    2(a  b  c )  ab  bc  ac  ab  bc  ac b c a Bài 13: Cho x,y > x  y  Tìm giá trị nhỏ A  3x   y  4x y2 Giải: Dự đoán x = y = A 3x   y3 3x 1 x  y y  x y      y         4x y x y 4    x 4  y Bài 14: Cho x, y > x+y = Chứng minh P  1   42 3 x y xy Giải: Ta có  x  y P=  x  y  3xy(x+y)  x  y  3xy=1 x3  y  3xy x3  y  3xy 3xy x3  y      42 x3  y xy x3  y xy Bài 15: Cho x, y, z > 1 1    Chứng minh xyz  1 x 1 y 1 z Giải: 1 1 y z  2   1 1   2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z TT : 2 1 y xz ; 2 1  x 1  z   z yz 1  y 1  z  xy 1  x 1  y  Nhân vế BĐT => đpcm Bài 16: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị lớn S  x y z   x 1 y 1 z 1 Giải: S  x y z 1  9    3    3    3 x 1 y 1 z 1 x y  z 3 4  x 1 y 1 z 1  Bài 17: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 4a 5b 3c    48 a 1 b 1 c 1 Giải: 4a  a  1  4    a  1    a  1      16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b 3c   b  1   10  20;   c  1    12 dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: 1 1      3    a b c  a  2b b  2c c  2a  Giải: 1 1 1    ;    ;    cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a Bài 19: Với a, b, c > chứng minh rằng: 36    a b c a bc Giải: 1   3 36     a b c a bc a bc Bài 20: Cho a, b, c, d > chứng minh rằng: 1 16 64     a b c d a bcd Giải: 1 16 16 16 64    ;   a b c a bc a bc d a b c d Cần nhớ: a b2 c2  a  b  c     x y z x yz Bài 21: Với a, b, c > chứng minh rằng:      4    a b c  a b bc c a  Giải: 1 3 1 2 1      ;      ;   a b ab a b ab b c bc b c bc c a ca Bài 22: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác Chứng minh 1 1 1    2    p a p b p c a b c Giải: 1 2      p  a p  b p  c a  b  c a  b  c a  b  c  1 1 1 1 1       2    a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a b c Bài 23: x2 y2 z2 Cho x, y, z> x  y  x  Tìm giá trị nhỏ P    yz zx x y Giải:  x  y  z   x  y  z   x2 y2 z2    Cách1: P  y  z z  x x  y 2 x  y  z 2 Cách 2: x2 yz y2 zx z2 x y   x;   y;  z yz zx x y x yz x yz  P x yx    2 2 Bài 24: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y  3z  z  x  x  y  51    1 x 1 y  3z Giải: y  3z  3z  x  x  y    1 x 1 y  3z y  3z  3z  x  x  2y   1 1 1 1 x 1 y  3z  1    x  y  3z      3    24 x  y  3z    x  y  3z  51  24   21 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a  b   ab  a  b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p  a  p  b  p  c  3p Giải: Bu- nhi -a ta p  a  p  b  p  c  (1   )( p  a  p  b  p  c)  3(3 p  p)  p 2 có: Bài 27: Cho hai số a, b thỏa mãn: a  1; b  Tìm giá trị nhỏ tổng A  a  Giải: a  1 b a b 1 15b  b  15.4 17 21  2; b          A  a b 16  16 b  16 4 Bài 28: Chứng minh a  b  a 3b  ab3 Giải:  a 2   b 2  (12  12 )   a  b 2   a  b  a  b   2ab  a  b   a  b  a 3b  ab3   Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x  y  1) xy  y  x A  (Với x; y số thực dương) xy  y  x ( x  y  1) Giải: ( x  y  1)  a; a   A  a  xy  y  x a Đặt Aa 8a a a 10 10   (  )       A  a 9 a 9 a 3 3 Bài 30: Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt a2 b2 c2   2 Chứng minh (b  c)2 (c  a)2 (a  b) Giải: a b b c c a    1 (b  c) (c  a ) (c  a ) (a  b) (a  b) (b  c)  a b c  VT      0  (b  c) (c  a) (a  b)  (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31: Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c  Chứng ming 2009   670 2 a b c ab  bc  ca Có Giải: 2009  2 a  b  c ab  bc  ca 1 2007 2007        670 2 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b2  c  ab  bc  ca a 2b  b2c  c 2a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) >  (a  b  c ) ab  bc  ca 2 Pa b c  Suy P  a  b  c  2(a  b2  c ) a  b2  c 2 2 t = a2 + b2 + c2, với t  Suy P  t  9t t t      3    P  2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P= 1   16 x y z Giải: P=  1 1 1  y x   z x  z     x  y  z         16x y z  16x y z   16 x y   16 x z   y y x z y z x   có =khi y=2x;   z=2y   z=4x; 16 x y 4y z 16 x z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 y  21  z  16 =>P  49/16 Bài 34: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:   23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  8x   18y  x y Giải: B  8x   2  2 4 5  18y    8x    18y         12  23  43 x y  x  y x y 1 1  3 1 1  3 Dấu xảy  x; y    ;  Vậy Min B 43  x; y    ;  Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng khơng vượt q Chứng minh x2 + y2 + z2  Giải:  x   x   x    ( x  1)(x  2)   x  3x  Tương tự y  3y  z  3z   x2 + y2 + z2  3( x + y +z) –  – = Bài 36: Cho a, b, c số thuộc  1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a bc  Giải:  a  1 a  2   a2  a   0; b2  b   0; c2  c    a  b  c  a  b2  c   Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a2  Giải: 1 97  b2   c   b c a 2   81      1.a    1   a    a    a  ; b  16  b  b 4b  97   b2       b  ; c   c   c 4c  a 4a  97  97  cộng vế lại Bài 38: Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p   9 p a p b p c Giải: p p p 1 9    hay     p a p b p c p a p b p c p a  p b  p c p Bài 39: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a  b  c )  2abc  52 Giải: abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (6  2a)   2b   2c   abc  24   2abc  48  16  36  (a  b  c )   (a  b  c )  2abc  48 (1)      a  2  b  2   c  2  ab  bc  ac  2 0 a  b2  c2  (2) (1)and(2)  dpcm Có chứng minh 3(a  b  c )  2abc  18 hay không? Bài 40: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ 333  ( a  b  c )  a b c biểu thức P Giải: 2 2 2  a  ( b  c )(  a  b  c ) ( a  b  c )  b  ( c  ab )(   c  a ) ( b  c  a ) Có a (1) , b (2) 2 a  b  c c  c  ( a  bc )(   a  b ) ( c  a  b ) (3) Dấu „=‟ xảy  Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), b c  ( a  b  c ) ( b  c  a ) ( c  a  b ) (2), (3) ta có: a (*)   ( a  b  c )  ( a b  b c  c a )  a b c  a b c  (  a ) (  b ) (  c )  b  c  Từ a nên (*)    a b c  ( a b  b c  c a )   a b c  ( a b  b c  c a )   (*) 3 3  b  c  ( a  b  c )  ( a  b  c ) () a b  b c  c a  a b c   () a b  b c  c a  a b c Ta có a 3 ( a  b  c )  a b c  a b c  () a b  b c  c a   a b c  () a b  b c  c a    Từ (**) 333 ( a  b  c )  a b c  (  )   Áp dụng (*) vào (**) cho ta  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Từ giá trị nhỏ P đạt a Bài 41: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh  a  b3  c3  3abc  Giải: *P  a3  b3  c3  3abc Ta có a  b3  c3  3abc  (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ac )  a3  b3  c3  3abc  (a  b  c  ab  bc  ac ) (1) có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  2 1  4(ab  bc  ca)  8abc  6abc    ab  bc  ca  (2) 3 (1)and(2)  a  b3  c3  3abc  a  b  c    ab  bc  ca  3 mà ab  bc  ca    a  b2  c2 2 P1 a   b2  c2  1  1  1 1 1  2 a    b    c     a  b  c   P    3  3  3 6  *P  a  b3  c3  3abc abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4( ab  bc  ca)  8abc   ab  bc  ca)  2abc  (3) P  a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ac)  6abc  a  b  c  ab  bc  ac  6abc   a  b  c    ab  bc  ca   6abc 1    ab  bc  ca  2abc     4 Bài 42: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x  y  z  xy  yz  zx  xyz  Giải: Chứng minh xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z   (6  x)(6  y )(6  z )  216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz  xyz  24  ( xy  yz  zx) (1) mà  x  y  z    x  y  z  2xy  yz  2xz   x  y  z  xy  yz  xz  36  3xy  yz  3xz (2) Nên xyz  x  y  z  xy  yz  xz   24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  yz  3xz  xyz  x  y  z  xy  yz  xz  12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx)  x  y  z 36  xyz  x  y  z  xy  yz  xz  12   12  8 3 Bài 43: Cho a  1342; b  1342 Chứng minh a  b2  ab  2013  a  b  Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau:  a 1342   b 1342  2  0;  a  1342  b 1342   0; a 1342  b 1342  Thật vậy: (1)  a  1342    b  1342    a  b  2.1342  a  b   2.13422  (2)  a  1342  b  1342    ab  1342a  1342b  13422   a  b  2.1342  a  b   2.13422  ab  1342a  1342b  13422   a  b  ab  3.1342  a  b   3.13422  2.2013  a  b   3.13422  2013  a  b   2013  a  b   2.2013.1342  2013  a  b   2013  a  b  1342  1342   2013  a  b  2 Bài 44: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   x  1   x  3   x  1  x  3 4 2 Giải: Cách 1: Cách 2: A   x  1   x  3   x  1  x  3 4 2 2 2 A   x  1   x  3    x  1  x  3   A   2x  8x  10    x  4x  3 A   2( x  2)     ( x  2)  1 2 A  4( x  2)  8( x  2)   4( x  2)  8( x  2)  A  8( x  2)   Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca    c 1 a 1 b 1 Giải: Bài 46 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: 1   1 3 3  x  y  y  z  z  x3 Giải: x  y  2xy   x  y   x  y   2xy  x  y   x  y  xy  x  y    x  y  xy  x  y  z     1 x  y 3  xy  x  y  z  z x y ;  ;   dpcm 3 3 x  y  z 1 y  z x  y  z 1 z  x x yz 1 x  y Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng: ab  2a b  2b a a  b  Giải: ab 1  1      a  b   a  b     a  b    a     b     ab  a  b   2a b  2b a  a  b  2 4     Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1   1  8a  8b3  8c3 Giải: 1     2  8a  2a  1  4a  2a  1 2a   4a  2a  4a  2a  1 1 ;  ;   8b3 2b  1  8c3 2c   VT    2a  2b  2c  2  2a   2b   2c  1 Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: a b3 c    a  b2  c2 b c a 2 a  b2  c  a  b2  c   a b3 c a b c  a  b  c          a  b2  c b c a ab bc ca ab  bc  ca ab  bc  ca Cách a3 b3 c3  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2c  VT   a  b  c   (ab  bc  ca )  a  b  c b c a Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2    y 1 z 1 x 1 Giải: x2 y 1 y2 z 1 z2 x 1 3 3   x;   y;   z  VT   x  y  z      y 1 z 1 x 1 4 4 2