Bat dang thuc

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí BẤT ĐẲNG THỨC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Cho a, b hai số thực Các mệnh đề " a b ", " a b ", " a b ", " a b " gọi bất đẳng thức • Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng) • Với A, B mệnh đề biến " A B " mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến " A B " với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A B mà khơng nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất : * a b b c a c *a b a c b c * a b c d a c b d * Nếu c a b ac bc Nếu c a b ac bc *a b a b 2 a b *a b n a bn *a b Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a a a với số thực a * * x a a * x a x x x a a a ( Với a ( Với a 0) 0) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm a b ab Dấu '=' xảy a b Cho a 0, b , ta có Hệ : * Hai số dương có tổng khơng đổi tích lớn hai số * Hai số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số b) Đối với ba số khơng âm a b c abc Dấu '=' xảy a b Cho a 0, b 0, c , ta có Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ c Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ➢ DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A B ta sử dụng cách sau: • Ta chứng minh A B Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A B thành tổng tích biểu thức khơng âm • Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh Các ví dụ minh họa Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức Ví dụ : Cho hai số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau a2 a) ab b2 b) ab c) ( a + b + c 2 Lời giải a) Ta có a 2 b2 a )  (a + b + c) 2ab 2 d) ( a + b + c )  ( ab + bc + ca ) 2 b)2 (a b b) Bất đẳng thức tương đương với a2 a b b2 2ab Đẳng thức a b ab  a + 2ab + b2  4ab  ( a − b )  (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy a b c) BĐT tương đương ( a + b2 + c )  a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy a b c d) BĐT tương đương a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca  ( ab + bc + ca ) 2  ( a + b2 + c ) − ( ab + bc + ca )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: Các BĐT vận dụng nhiều, xem "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Ví dụ : Cho năm số thực a, b, c, d, e Chứng minh a b2 c2 d e2 a(b c d e) Lời giải Ta có : a b2 c2 d e2 a(b c d e) a2 a2 a2 a2 2 ( ab b ) ( ac c ) ( ad d ) ( ae e ) 4 4 a a a a ( b)2 ( c)2 ( d )2 ( e)2 đpcm 2 2 a b c d e Đẳng thức xảy 1 Ví dụ : Cho ab Chứng minh : a b 1 ab Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ta có 1 2 ( a 1 a b 1 ab ab a ab b (a 1)(1 ab) (b 1)(1 ab) b 1 ab a b b ( ab b (a b)2 (ab 1) (1 ab)(1 b )(1 a ) a b (a b)(ab 1) ab (1 b )(1 a ) Nhận xét : Nếu ) ( b ) 1 ab a a b b a a 2b b 2a ) ab (1 b )(1 a ) a2 (Do ab BĐT có chiều ngược lại : 1) a 1 b 2 1 Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh a) x 4x b) x +  x + x c) x12 + x +  x + x Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương với x 4x  ( x − 1) ( x3 + x + x − 3)   ( x − 1) ( x + x + 3)  2  ( x − 1) ( x + 1) + 1  (đúng với số thực x )   Đẳng thức xảy x = b) Bất đẳng thức tương đương với x − x − x +   x4 − x2 + + x2 − x +   ( x2 − 1) + ( x − )  2 Ta có ( x2 − 1)  0, ( x − 2)   ( x2 − 1) + ( x − )  2 2  x2 −1 = Đẳng thức xảy  (không xảy ra) x−2=0 Suy ( x2 − 1) + ( x − )  ĐPCM 2 c) Bất đẳng thức tương đương với x12 − x + x − x +  + Với x  : Ta có x12 − x9 + x − x + = x12 + x (1 − x5 ) + (1 − x ) Vì x  nên − x  0, − x5  x12 − x + x − x +  + Với x  : Ta có x12 − x9 + x − x + = x9 ( x3 − 1) + x ( x3 − 1) + Vì x  nên x x 12 x x x Vậy ta có x 12 x x x Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a b4 4ab b) a b2 c) a b2 ab 2 ab a b2 Lời giải a) BĐT tương đương với a a2 b2 2 ab b4 b a2 2a 2b 2a 2b 4ab 0 (đúng) Đẳng thức xảy a b 4 b) BĐT tương đương với a b 2b 2 a 2b Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2ab ab Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí a4 b4 2a 2b 2a 2b 4ab a4 4a (a b2 )2 2(a b)2 (a 1)2 (đúng) Đẳng thức xảy a b 2 c) BĐT tương đương với a b 2ab a b a2 4a b2 b2 a b2 b2 a2 b 4b a 2 a Đẳng thức khơng xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x a) x y3 b) x 3x Lời giải x y x2 x y y2 xy y x x 3y y Theo câu a) ta có x 3 3x BĐT (*) x y 3y x y x x y3 2ab b2 0 (đúng) y2 x x y 3x y 3xy y2 y ) ĐPCM y y3 3x 3y y , ta cần chứng minh (*), Thật vậy, 12 x y xy (đúng với x b) Bất đẳng thức tương đương x y a2 y Chứng minh rằng; x2 y Đẳng thức xảy x x 4 a2 3y a) Bất đẳng thức tương đương x x b a2 y y3 b 2 x y 16 y x y x y (đúng với x y ) Đẳng thức xảy không xảy Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng a ; a a * a,b, c ; a b c a b c Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b2 c2 2(ab bc ca) Lời giải Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a b c ac bc c Tương tự bc ba b2 ; ca cb c2 cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ ** Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Nhận xét : * Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT | a b | c bình phương hai vế ta có kết Ví dụ : Cho a, b, c [0;1] Chứng minh : a b c Lời giải Cách 1: Vì a,b, c [0;1] (1 a )(1 b2 )(1 c2 ) a 2b b 2c Ta có : a 2b2c2 a2 b2 c2 c 2a a 2b 2c a2 b2 0; a 2b2 b2c2 c2a a 2b a 2b b 2c c 2a 1 0;1 a2 b2 b a2 a,b2 b,c2 c2 c Ta cần chứng minh a Thật vậy: a,b, c a b a b2c a 2b c2a nên từ (*) ta suy b 2c a b c b c c a b a c b 1 ab b a c)2 b Cộng (*) (**) ta có đpcm b 1 Ví dụ 10: Chứng minh a a b c 16 Lời giải Từ giả thiết ta suy a 9, b 8, c a lại ta được: a2 b c c2 a c a bc c c ca c a BĐT ban đầu chứng minh Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a b c 2(1 a b c ab bc Lời giải Vì a b2 c2 a,b,c [ 1;1] nên ta có : (1 a )(1 b)(1 c) a b c ab bc a c 2a đpcm b b2 c c b 1 a (1 c 2a 0;1 nên theo nhận xét * * ta có abc Mặt khác : b 2c c (*) Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a Mà a,b, c a 2b 0, b 13(a b b c) 118 a 4, b b c 5, c ab Chứng minh : ca ) abc ca abc bc a (*) ca b2 (**) c2 90 áp dụng * ta có 0, c c nhân cộng BĐT chiều suy a b c 118 16 a b c 90 13 4, b 5, c a b c 16 dấu “=” xảy a Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc 1;1 không đồng thời không Chứng minh a b c Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí a 4b b 4c c 4a a 2012 b 2012 c 2012 Lời giải Vì ba số a, b, c thuộc 1;1 nên b2 )(1 Suy (1 Mặt khác a Suy a b2 a4) a 2012 ,b b4 a 4b a 2012 b 4c b 2012 b 2012 a 2012 a 2012 a4 b4 a 4b (*) b 2012 với a, b thuộc Từ (*) (**) ta có a 2012 Tương tự ta có a 2,b 2, c a 4b (**) a 4b 1;1 hay a c 4a a 4b c 2012 2012 2012 2012 b b 2012 c b 2012 c 2012 a 2012 b 2012 c 2012 a 4b b 4c c 4a a 2012 b 2012 c 2012 Cộng vế với ta a 2012 b 2012 c 2012 a 4b b 4c c 4a Hay ĐPCM a 2012 b 2012 c 2012 Bài tập luyện tập Bài 4.0 Cho số thực a, b, c số thực Chứng minh rằng: a) a b c b) a ab bc ca c) a b2 c2 2(a b c) d) a Bài 4.1: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh b2 b a b c a b c a c ab a c a b c với b) b a b b c c a c a b c d c) a b c b c d c d a d a b a b b c c d d a d) a b c b c d c d a d a b Bài 4.2: Chứng minh bất đẳng thức sau a) (ax by)(bx ay) (a b)2 xy ( với a, b 0; x , y R ) a) b a 2(ab b bc ca) với a b 0; c ab c b2 a b c b 1 với a, b, c c) 2a b 2c b a c b 2 3 d) a(b c) b(c a) c(a b) a b c với a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: Bài 4.3: Cho x y z b) c a 2 a) xy yz zx xz zy yx x 2y y 2z z 2x x 2z y 2x z 2y b) z x y y z x Bài 4.4: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 1 1 1 1 a b c d a c b d 1; thoả mãn điều kiện a Bài 4.5: Cho a,b, c a2 b2 c2 b c Chứng minh 14 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí ➢ DẠNG TỐN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Phương pháp giải Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt côsi số phải số khơng âm * BĐT côsi thường áp dụng BĐT cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu ‘=’ số * Bất đẳng thức cơsi cịn có hình thức khác thường hay sử dụng (x y )2 x y Đối với hai số: x y 2xy; x y2 ; xy 2 a3 Đối với ba số: abc b3 c3 a , abc b Các ví dụ minh họa Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức cơsi Ví dụ 1: Cho a , b số dương thỏa mãn a b a b a b b a b a2 Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có b) a a) a b b a a b Suy a b a 2, b a b b a b a b a2 b a2 b a2 Áp dụng BĐT cơsi ta có a 2ab b 2 2ab a a3 3ab 3a 2b Suy a Do a b b2 b3 b2 2ab b2 2ab a3 16ab a2 b2 ab b2 ab ab (1) ĐPCM a3 3ab 3a 2b b3 ab 3ab a2 2ab a3 16ab (1) ab a b2 a 2b2 a b a b Từ (1) (2) suy b a b a2 Đẳng thức xảy a b b) Ta có a Chứng minh b a b b2 a Mặt khác ta có c 3ab 3a 2b b2 3a 2b b3 b3 16ab a2 b2 ĐPCM Đẳng thức xảy a b Ví dụ 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh a) a b) a (1 c) (1 b b b2 ) a)(1 c c b2 (1 b)(1 a c2 ) c2(1 c) a2) abc 6abc Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a2 Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí d) a bc b2 ac c ab a b c Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a b c a ,b ,c b b c c a a 1 a b c b c Suy a b c a b c a Đẳng thức xảy a b c b) Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dương ta có a2 a2 2a , tương tự ta có b Suy a (1 b2 ) b (1 c2 ) c (1 ĐPCM c2 2b, a2) a 2b 2c b 2c c 2a Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có a 2b b2c c2a a 2b.b2c.c 2a 3abc 2 2 Suy a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc ĐPCM Đẳng thức xảy a b c ab bc ca a b c) Ta có (1 a )(1 b)(1 c) c abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có ab bc 3 ab.bc.ca ca a )(1 Suy (1 b)(1 c) 3 abc 3 a abc b 3 abc Đẳng thức xảy a b c d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có b c a c a bc a , b ac b , c ab 2 Suy a bc b ac c ab a 2b b 2a 3 abc c c2 a 2c abc a c 2a b) a a b3 b c b c3 d c d3 b 2c c3 abcd d a3 a b b c abc Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có a a b3 b3 b3 a a a c3 a 2b ,ba ,ac , 3 c3 c3 a b3 b3 c3 c3 c3 b3 ca ,bc ,cb 3 2 2 2 3 Suy a b b a a c c a b c c b a b c (2) a) b Từ (1) (2) suy a bc b2 ac c ab a b Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 3: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh 16 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ c 2b (1) ĐPCM Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí c) a b c 8abc b)(b c)(c (a abc Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a) a ab b Suy ab, c d b d a c cd ab cd cd 4 Dấu xảy a b 4 abcd ab cd abcd ĐPCM c d b) Áp dụng câu a) ta có a b3 a b c d 3 3 b c d a abcd a b c d Suy a b c d ab.2 cd 3 b c d a abcd Đẳng thức xảy a b c d c) Áp dụng câu a) ta có VT b c3 c d3 a d a3 b 44 c (a 3 abc 8abc b)(b c)(c Như ta cần chứng minh a 27(a a b c 27 a b b Áp dụng BĐT cơsi cho ba số ta có a b b c c a a a) b b b)(b c c a 44 b c c 8abc b)(b c)(c (a 3 abc 16 ĐPCM a) 44 a 27(a c)(c a) a (*) b c c a a b c 27 Suy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: BĐT câu a) bất đẳng cơsi cho bốn số khơng âm Ta có BĐT cơsi cho n số không âm sau: Cho n số không âm , i 1,2, , n a1 a2 an n a1a2 an n Ví dụ 4: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b Khi ta có a) a 2b b 2c c 2a ab bc ca b) 2 c a b2 Lời giải a) Ta có a b2 c2 Áp dụng BĐT cơsi ta có a c2 Chứng minh a4 b4 b4 c4 2a 2b , b Cộng vế với vế lại ta a b c a 2b (3) Từ (1) (2) ta có a 2b b 2c c 2a 2a 2b c4 2b 2c 2b 2c , c b 2c 2c 2b a4 c 2a (2) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ (1) 2c 2a b )(b b c c )(c Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Cộng vế theo vế BĐT ta được: a2 b2 c2 a b a 2b b 2c c 2a 3 b a c a c2 c b2 Mặt khác a b c ta cần chứng minh: b a c b2 a c2 Thật vậy, theo bất đẳng thức Cơsi ta có : 2ab b b a2 b a a 3 2bc c 2ca a ,a c Tương tự ta có c b 3 Cộng vế theo vế BĐT ta có: 2ab b 2bc c 2ca a b a c b2 a c2 ab bc ca 3 3 3 ĐPCM Từ suy ra: b a c b a c 3 Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 17: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh c b ab a ac 1 bc a b c Lời giải c Đặt P b a ab ac Áp dụng BĐT cơsi ta có bc ca cb abc abc c c ab ab 2 ab b ba bc a Tương tự ta ta có b , a ac bc Cộng vế theo vế BĐT ta được: ab bc ca P a b c c c Mặt khác a Hay ab Suy P b2 bc a c2 a ca b a b c b c ca c cb ab ac ab bc ca (*) c a b c (a b c 1)(3 a b c) (1) a b c (2) Từ giả thiết ta có a, b, c [0;1] Và từ (*) suy a b c (3) Từ (1), (2) (3) suy P ĐPCM Dấu xảy ba số a, b, c có số hai số lại Bài tập luyện tập Bài 4.6: Cho x , y, z dương Chứng minh x x y2 y y z2 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ z z x2 x2 y2 z2 Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bài 4.7: Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz x3 xy y3 y3 yz b a z3 zx Bài 4.9: Với số dương a, b, c cho: b a c 1 b a b c a c c b c y bc ab a ca bc b b c ca Bài 4.14: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc a 1 Chứng minh b Chứng minh Bài 4.13: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh Chứng minh : z a2 b2 c2 Bài 4.12: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a c d 1 a x y x z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Bài 4.11: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca ab d c b Bài 4.10: Cho ba số dương x , y, z thoả mãn hệ thức xyz x a 3 c b x3 81 Chứng minh rằng: abcd z3 a Bài 4.8: Với số dương a, b, c, d cho: Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: b c a a Bài 4.15: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a ca 1 c ab bc b c a b b c c a 2ab 2bc 2ca Bài 4.16: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh Chứng minh rằng: a b b c c a a b abc c Bài 4.17: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức P 2b 2a 2c a 2c 2b 2a b 2c 2a 2b c Bài 4.18: Với số dương a, b, c, chứng minh rằng: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b c Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí a) a b3 c3 ab bc ca a6 b3 b6 c3 c6 a3 a4 c b4 a c4 b c) b) a3 b b3 c c3 a Bài 4.19: Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab Chứng minh a b3 ab bc a3 b3 ca ca c 3abc c3 Bài 4.20: Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a Chứng minh rằng: bc c3 b Bài 4.21: Với số dương a, b, c Chứng minh rằng: a) a3 b b c b3 c c a a3 b) c3 a a b b3 a c3 2 b a b b 2c c 2a a 2b Bài 4.22: Cho x , y, z dương thỏa mãn xyz x3 Bài 4.23: Cho a, b, c dương a b c c Chứng minh : y3 z x y z c Chứng minh rằng: 9(a b4 Bài 4.24: Cho x , y, z dương thỏa mãn x c4 ) y a2 z b2 c2 Chứng minh : 14 14 ) (1 ) (1 ) 768 x y z Bài 4.25: Cho a , b dương thỏa mãn a b Chứng minh (1 1 b) 4ab 11 2 ab a ab b a b Bài 4.26: Cho hai số thực dương a , b Chứng minh c) a a) a2 b b 4 a 2a 2b (x y )(y z )(z Bài 4.28: Cho x , y, z dương thỏa mãn x x y 3 y z 3 z x 3 yz zx xy 27 y a2 Chứng minh rằng: x) b2 Bài 4.27: Cho số thực dương x , y, z thỏa mãn xy xyz b2 z yz Chứng minh zx Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 289 16 Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bài 4.29: Cho a, b, c dương Chứng minh a2 b2 c2 3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a Bài 4.30: Cho ba số thực dương x , y, z Chứng minh rằng: 16x y z 16y z x 16z x y b c Bài 4.31: Cho a, b, c số dương thỏa mãn abc 14ca a Chứng minh a b c a b c Bài 3.32: Cho a, b, c số dương Chứng minh a a) b b) b c c a a b c a3 a3 b a b c b3 c b3 c3 c a c3 a b Bài 3.33: Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x xy yz zx xyz Bài 3.34: Cho a, b, c thỏa mãn a b z3 Tìm giá trị nhỏ M c Bài 3.35: Cho x , y, z dương thỏa mãn xy y3 yz Bài 3.36: Cho a, b, c không âm thỏa mãn a a3 c2 64b c3 x2 2y 3z Chứng minh a 2b 3c Tìm GTNN P zx b2 Chứng minh Chứng minh x y z a2 b2 16c Bài 3.38: Cho a, b, c dương Chứng minh (64c a b) b c c a a b 3x Bài 3.39: Cho x , y, z dương thỏa mãn y yz z Tìm giá trị lớn nhỏ x y z biểu thức P Bài 3.37: Cho x , y, z dương thỏa mãn x Bài 3.40: Cho x , y, z dương thỏa mãn x T y z A x x y y y z z z xy yz xyz zx Tìm giá trị nhỏ của: x y y z z x Bài 3.41: Cho x , y, z dương thỏa mãn x xy y z Tìm giá trị nhỏ x2 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí ➢ DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp giải Điều quan trọng kĩ thuật phát ẩn phụ (ẩn phụ f a;b;c ) Ẩn phụ có x f a,b, c , y g a,b, c , z h a,b, c ẩn phụ t thể có biểu thức bất đẳng qua số phép biến đổi, đánh giá Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số dương a, b, c a 6b 8c 3a 2b c a b c 2a b b c a b b c b) Tìm giá trị nhỏ P a b c b c 4a Lời giải a) Đặt x a b c, y 2a b, z b c a) Chứng minh Suy a x b z, b Bất đẳng thức trở thành y x y x 4x y z x 4x y z x 2x y x y x 4z y z 4z y y z x z 2z, c 2x 4x x z y z y 2y y c a c a 16b z 4z x y z 10 (*) y 4x z x 4z y 4, 2, x y x z y z Suy BĐT (*) ĐPCM 2x y x z 2x y 2z suy không tồn a, b, c Đẳng thức xảy 2z y Áp dụng BĐT cơsi ta có Dấu đẳng thức khơng xảy b) Đặt x a b c, y b y Suy a x Khi ta có P 4x 3y z 15 6x 5y 15x x ,c z 4a, z c a 16b 21x 5y z 15 4x y 16x z 3y 15z 16x 15z y 4x z 16y , Áp dụng BĐT côsi ta có 3x 3y 15y 15z 15 16 4x 2y Suy P , đẳng thức xảy 15 15 5b 5c 16 Vậy P a 15 P y 3x ,b c z 15y z Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a 5b 5c Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ví dụ 2: Cho a, b, c ba cạnh tam giác có chu vi 2p Chứng minh a b c p a p Lời giải Đặt x p b p b p c a; y p c a b; z c p p a b c suy a a p b c y z; b z x; c x y Do a, b, c ba cạnh tam giác nên x , y, z dương Bất đẳng thức cần chứng minh đưa dạng: y z z x x x y y y z z x y Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: z Tương tự ta có x z y z x y z x z y y z x z y x x 6, y y x x z x y z Cộng vế với vế BĐT ta y z z x x y Vì ta cần chứng minh y z z x Ta có x x y y z x x y z x z y z y z z z x x x y y z x x y y z y z x z x y 18 x y z 18 x y z x y z x y y Áp dụng BĐT cơsi ta có Suy y z z x y x x y x y z Đẳng thức xảy a y x x y y z y x x y 2, z y y z x z z y 2, z x x z z x ĐPCM b c hay tam giác Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết a, b, c ba cạnh tam giác ta thực phép đặt ẩn phụ b c a b c a b c ,y ,z a y z ; b z x ; c x y 2 x , y, z dương Ta chuyển toán với giả thiết x , y, z dương khơng cịn ràng buộc ba cạnh tam giác 1590 x y z Ví dụ 3: Cho x , y, z số dương Chứng minh x 2y 3z 1331 x a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Lời giải Ta có BĐT Đặt a x x y x x y z ,b BĐT trở thành a z y y x 2b 3 y y x ,c z 1590 1331 3c 3 z z y x x z z y z a,b, c dương a b c Áp dụng BĐT côsi ta có 3 3 3 6 18 3 18 2 18 a a , 2b 2 b , 3c 3 c 11 11 11 11 11 11 11 11 11 Cộng vế với vế BĐT ta 588 18 18 a 2b 3c a b c 1331 11 11 1590 Suy a 2b 3c 1331 Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ áp dụng BĐT đồng bậc(Người ta gọi phương pháp chuẩn hóa) Ví dụ 4: Cho x , y, z số dương thỏa mãn x y z 1 15 Chứng minh x y z x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: x y z Suy x Đặt t x xyz 1 z x y 33 y x y z y z 3 xyz nên z x y x y z y x z z t z x y Khi ta cần chứng minh x y z y x z t t 15 Áp dụng BĐT cơsi ta có t t t 4t 27 4t t 4t 27 Đẳng thức xảy x y 15 ĐPCM z Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn biểu thức P a b c abc a b Lời giải Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ c Tìm giá trị nhỏ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ta có a b 2 c Áp dụng BĐT cơsi ta có ab abc Suy ab bc bc abc ca ab 3 abc abc 3 abc t Do P t 3t Vậy P 3t t t ca t3 3t , với t ca t 3t t t Cũng theo BĐT côsi ta có 4 P a b c 3 abc abc abc Suy P 3t 3t t t t Áp dụng BĐT côsi ta có 3t bc b c t 1 hay a b c yz zx , mặt khác t 1 1 x Ví dụ 6: Cho x , y, z dương thỏa mãn x2 Tìm giá trị lớn P abc , đẳng thức xảy t a y2 x z2 y z 14xyz z 1 y 15xyz Lời giải Ta có x2 y2 1 x 1 y z z2 14xyz x Áp dụng BĐT côsi ta có: Từ (1) (2) ta có P x 8xyz y y z x x y x y z 1 y z z x 1 x y z y z xy xyz xyz z 15 x 3 Bài tập luyên tập Vậy max P Bài 4.42: Cho x , y, z dương , CMR y 25x y z z 1 4y z 9z x x y t 2t với x 4t 15 t t 2t t 6t Xét 4t 15 12t 45 12t 45 t 2t Suy P 3 4t 15 y z hay x Đẳng thức xảy t xyz 12 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ y z t Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bài 4.43: Cho số dương a, b, c Chứng minh 4a b 3c 8c 12 17 a b 2c 2a b c a b 3c Bài 4.44: Cho x , y, z số dương thoả mãn xyz x y z Bài 4.45: Cho a, b, c số thực dương x y z a 11 b 11 c 11 a b6 c6 bc ca ab a 2b 2c 2 Bài 4.46: Cho x , y, z số không âm thoatr mãn x y z xyz x y z Chứng minh Chứng minh Bài 4.47: Cho x , y, z số thực thỏa mãn x thức P x3 y3 Bài 4.48: Cho x , y, z z3 (2x 13y (x z2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu 3xyz (0;1) xyz (1 Bài 4.49: Cho số thực x , y thỏa x P y2 Chứng minh xy)2 2y)2 6xy x )(1 y )(1 z ) Chứng minh x 2y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ y2 z2 Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí ➢ DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Phương pháp giải Điều quan trọng dạng toán cần phát bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức phụ BĐT có từ đặc điểm BĐT cần chứng minh dự đoán đưa BĐT phụ từ vận dụng vào tốn Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a) b) a b3 b c3 b3 c a3 a b c abc 3 b c abc a abc Lời giải Trước tiên ta chứng minh a BĐT tương đương với a (a a b) (a c b3 b3 a 2b a 2b abc abc b 2a b2a (đúng với a b) a 0, b a (a ab b3 abc ab(a b b 1) b) 64a 3b (a a2 c ac b c a) a3 a b3 b )2 b) c ab(a b abc c) abc(a b c) b ; b c abc abc(a b c) c a Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 2: Cho a , b số thực Chứng minh rằng: a) 3(a b 2(b 0) c) Tương tự : b) b a Đẳng thức xảy a b a 1 a) Ta có a b a 2b b 2a 2 ab b a b b 1 c , Hoàn toàn tương tự ta có 2 bc a c b c c2 a b c 1 Cộng vế với vế rút gọn ta 3 a b b c a a b c a b c Hay , đẳng thức xảy a 3 abc b c a b) Theo tốn ta có : a b a 2b b 2a ab(a a3 b 3 abc abc(a b c) 3ab a b Lời giải a a) Áp dụng bất đẳng thức ab Thật : (*) 9(a b)2 12(a 24(a nên ta chứng minh 3(a b)2 b) b 24(a 16 Đẳng thức xảy a b) b 16 (3a 3b 3(a 4)2 b 1)2 b)2 (đúng) ĐPCM Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ (a b)2 (*) Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b) Dễ thấy bất đẳng thức ab a Áp dụng BĐT ab Xét ab 3 64a b (a 2 b ) 16ab 2ab(a b ta có 2 b ) 16 a b (a 2 2ab b2 ) a b 6 Suy 64a 3b (a b )2 a b Đẳng thức xảy a b Ví dụ 3: Cho a số dương b số thực thỏa mãn a 2a a 2b Tìm giá trị nhỏ P a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức a ad b2 c2 d2 a 2b ac b2 bd (*), dấu đẳng thức xảy bc Ta có a b2 2b Suy Do P a 2a a a 25 Áp dụng BĐT côsi ta có a a Do 3a a2 2a 2b a a a 2, a a a a 2b a2 3a a a2 (1) (2) Từ (1) (2) suy sa P Đẳng thức xảy a Vậy P 1, b 5 a 1, b 2 Nhận xét: Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số Ta tổng quát bất đẳng thức Cho 2n số a1, a2, ,an ,b1,b2, ,bn Khi ta có bất đẳng thức (a1b1 a2b2 anbn )2 (a12 a22 an2 )(b12 b22 Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c Chứng minh a b3 c3 a) bc ca ab 1 a b2 c2 b) 2 a b c Lời giải a) Áp dụng BĐT a b c ab bc ca hai lần ta có : a4 b4 ab.bc a4 c (a )2 (b2 )2 (c2 )2 bc.ca ca.ab abc(a b b4 c4 a3 hay Suy abc bc Đẳng thức xảy a b c a 2b2 b2c2 c2a (ab)2 (bc)2 c ) 3abc (vì a b c 3) 3 b c ĐPCM ca ab Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ bn2 ) (ca)2 Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b) Áp dụng a b2 c2 Do ta cần chứng minh Lại áp dụng a ab bc ca b c ab abc b2 ab c2 b2 ab 3abc a ca ta có a2 b a Áp dụng bất đẳng thức abc abc a bc bc c2 bc c ca c b2 c2 abc a ab b2 bc c2 ca (*) ab bc ca (**) (**) ta có a2 b2 c2 9 a b c 3 Vậy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5: Cho a, b, c số dương Chứng minh a) b) b 2a c 2a 1 2b c abc ca (ví dụ 1) ta có abc b a2 a b 2c 2a b c 1 ( a b ) c 2b a 3b b 3c c 3a a c a lời giải Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số thực khơng âm ta có: a b ab 1 (a b)( ) ab 1 a b ab a b ab 1 Suy (*) Đẳng thức xảy a b a b a b a) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 1 ( ) ( 2a b c (a b) (a c) a b a c 16 a b 2c b ) c 1 1 1 ( ); ( ) a 2b c 16 a b c a b 2c 16 a b c Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy a b c b) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 a 3b a b 2c 2a 4b 2c a 2b c Tương tự 1 1 ; b 3c 2a b c a b 2c c 3a a 2b c 2a b c Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 6: Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c Chứng minh Tương tự ta có Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí a) a b a 1 c b b2 1 ab c 1 bc ca 30 a c2 Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có : a b c 3 abc 1 1 (a b c)( ) 3 abc 3 1 1 a b c 33 abc a b c abc 1 Suy (*) Đẳng thức xảy a b c a b c a b c a 1 b 1 c 1 a) Ta có BĐT a b c 1 1 ( ) a b c a b c 1 9 Áp dụng BĐT (*) ta có đpcm a b c a b c a b c Đẳng thức xảy 1 b) Áp dụng BĐT (*) ta có : ab bc ca ab bc ca 1 1 a b c ab bc ca a b c ab bc ca 1 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c 1 Mặt khác : ab bc ca (a b c)2 21 3 ab bc ca 1 2 2 2 ab bc ca ab bc ca a a b c b c 2(ab bc ca ) b) Suy : a b2 Đẳng thức xảy c a ab bc b c ca 21 30 đpcm Ví dụ 7: Cho a,b, c số thuộc 0;1 thỏa mãn 4a 4b Tìm giá trị lớn P ab c Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức sau 4x 4y 4x y 2 Thật vậy, BĐT (*) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Với x , y thuộc [0,1] , ta ln có (*) 4c Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 2x 2y 8x 4y 4x 2y 10x 2y 4x x4 y4 4y 4x 2y (5 4x 2y )(x y )2 (đúng với x , y y Dấu xảy x Áp dụng BĐT (*) ta có: 4a [0,1] ) 4c 4a c 2 4a 4b 4c 4a c 1 1 Và , 2 4b b c c 2 1 2 Suy 4 2 4b 4c b c 2 4 Ta lại có (3) 2 bc 4abc ab c 5 2 Từ (1), (2) (3) ta có 4 4a 4b 4c Suy 1 4 4 2 Kết hợp giả thiết suy ab 2c Dấu xảy a b c , 4b 4c 2 4b c 4abc 2 4b c 5 (1) 5 ab 2c 4 bc (2) ab 2c 1 a b c 16 Bài tập luyện tập Bài 4.50: Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 x b2 y (a b)2 (x y )2 (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) Cho a, b  thoả a b Chứng minh a Vậy max P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = c) Cho x, y, z > thoả mãn x x2 x2 y2 y y2 d) Cho x, y, z > thoả mãn x z z2 y z b2 b Chứng minh: a2 z2 b2 a2 82 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí x2 223 P= a Bài 4.51: Cho a , b dương Chứng minh Áp dụng chứng minh BĐT sau: 1 1 a) a b c a b b c 1 b) a b b c c a 2a 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c ab bc ca a b d) a b b c c a b c a b c a b z2 223 (1) ; với a, b, c > a 2b Chứng minh: c y2 223 c a b 2a b c 2c ; với a, b, c > 2b a c a 2y ; với a, b, c > 2xy 8yz x 2y 2y 4z f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 p a p b p c a b c e) Cho x , y, z dương thoả mãn x b 2c 4z 12 Chứng minh: Bài 4.52: Cho a, b, c số dương Chứng minh a b c b a c 4xz 4z x (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: 1 a) (a b c ) (a b c) với a, b, c dương a b b c c a a b c b) Với a, b, c dương thoả a b c a b c 1 c) Với a, b, c dương thỏa mãn a b c 2 a 2bc b 2ac c 2ab 2009 d) 670 Với a, b, c dương thỏa mãn a b c 2 ab bc ca a b c Bài 4.53: Cho a, b, c abc Chứng minh : ab bc ca 5 5 a b ab b c bc c a ac Bài 4.54: Cho ba số thực khơng âm a, b, c khơng có hai số đồng thời khơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b b c c c a a b ab a2 bc b2 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ ca c2