T Andreescu, V Cartoaje, G Dospinescu, M Lascu Biên dịch Dương Việt Thông Bất Đẳng Xưa và Nay Mục lục Lời nói đầu ii Chương 1 Các bài toán 1 Chương 2 Các lời giải 21 Từ điển thuật ngữ 135 Tài liệu tha[.]
T Andreescu, V Cartoaje, G Dospinescu, M Lascu Biên dịch: Dương Việt Thông Bất Đẳng Xưa Nay Mục lục Lời nói đầu ii Chương Các tốn Chương Các lời giải 21 Từ điển thuật ngữ 135 Tài liệu tham khảo 138 i Lời nói đầu Quyển sách kết hợp kết kinh điển bất đẳng thức với toán mới, số toán nêu vài ngày trước Làm viết điều đặc biệt có nhiều sách bất đẳng thức? Chúng tin dù đề tài tổng quát thông dụng, sách khác biệt Tất nhiên nói dễ, nêu vài lý lẽ minh chứng Quyển sách chứa số lớn toán bất đẳng thức, phần lớn khó, câu hỏi tiếng thi tài độ khó vẻ đẹp chúng Và quan trọng hơn, sách chúng tơi sử dụng lời giải đề xuất số lớn tốn độc đáo Trong sách có tốn đáng nhớ lời giải đáng nhớ Vì sách thích hợp với sinh viên sử dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz muốn cải tiến kỹ thuật kỹ đại số Họ tìm thấy tốn hóc búa, kết vấn đề nghiên cứu tiếp Các sinh viên chưa say mê lĩnh vực tìm số lớn toán, ý tưởng, kỹ thuật loại vừa dễ để chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốn Một số tốn chúng tơi chọn biết đưa lời giải để chứng tỏ đa dạng ý tưởng liên quan đến bất đẳng thức Bất kỳ tìm thấy việc thử thách cho kỹ Nếu chúng tơi chưa thuyết phục bạn, xin xem toán cuối hy vọng bạn đồng ý với Cuối khơng kết thúc, chúng tơi tỏ lịng biết ơn sâu sắc người đặt toán có sách xin lỗi khơng đưa đầy đủ xuất xứ dù cố gắng Chúng xin cảm ơn Marian Tetiva, Dung Tran Nam, Constantin Tănăsescu, Călin Popa Valentin Vornicu toán đẹp mà họ nêu bình luận quý giá, cảm ơn Cristian Babă, George Lascu Călin Popa việc đánh máy thảo nhiều nhận xét xác đáng họ Các tác giả ii Chương Các toán 1 Chứng minh bất đẳng thức √ p p p a2 + (1 − b)2 + b2 + (1 − c)2 + c2 + (1 − a)2 ≥ với số thực a, b, c bt k Kă omal [Dinu Serb anescu] Cho a, b, c ∈ (0, 1), chứng minh √ abc + p (1 − a)(1 − b)(1 − c) < Junior TST 2002, Romania [Mircea Lascu] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh √ √ b+c c+a a+b √ √ + √ + √ ≥ a + b + c + a c b Gazeta Matematiă Nếu phương trình x4 +ax3 +2x2 +bx+1 = có nghiệm thực, a2 +b2 ≥ Tournament of the Towns, 1993 Tìm giá trị lớn biểu thức x3 + y + z − 3xyz với x2 + y + z = x, y, z số thực Cho a, b, c, x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh p ax + by + cz + (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c Ukraine, 2001 [Darij Grinberg] Nếu a, b, c số thực dương, b c a + + ≥ (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 4(a + b + c) [Hojoo Lee] Cho a, b, c ≥ Chứng minh √ √ √ a4 + a2 b2 + b4 + b4 + b2 c2 + c4 + c4 + c2 a2 + a4 ≥ √ √ √ ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ac + c 2c2 + ab Gazeta Matematiă Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = 2, √ √ √ a3 + b3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b Khi đẳng thức xảy ra? JBMO 2002 Shorlist 10 [Ioan Tomescu] Cho x, y, x > Chứng minh xyz ≤ (1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z)(z + 6) Khi ta có đẳng thức? Gazeta Matematiă 11 [Mihai Piticari, Dan Popescu] Chứng minh 5(a2 + b2 + c2 ≤ 6(a3 + b3 + c3 ) + 1, với a, b, c > a + b + c = 12 [Mircea Lascu] Cho x1 , x2 , , xn ∈ R, n ≥ a > thỏa mãn x1 + x2 + + xn = a x Chứng minh xi ∈ [0, +x 2 + + x 2a ], với i ∈ {1, 2, , n} n n a2 ≤ n−1 13 [Adrian Zahariuc] Chứng minh với a, b, c ∈ (1, 2) bất đẳng thức sau √ √ √ b a c b a c √ √ + √ √ + √ √ ≥ 4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c 14 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1, chứng minh a b c + + ≥ a + b + c b c a 15 [Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] Cho a, b, c, x, y, z số thực cho a + x ≥ b + y ≥ c + z a + b + c = x + y + z Chứng minh ay + bx ≥ ac + xz 16 [Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] Cho a, b, c số thực thỏa mãn abc = Chứng minh ≥ 1+ a+b+c ab + ac + bc Junior TST 2003, Romania 17 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 a2 b2 c2 + + ≥ + + b2 c2 a2 b c a JBMO 2002 Shorlist 18 Chứng minh n > x1 , x2 , , xn > thỏa mãn n Q xi = 1, i=1 1 1 + + + + > 1 + x1 + x1 x2 + x2 + x2 x3 + xn−1 + xn−1 xn + xn + xn x1 Russia, 2004 19 [Marian Tetiva] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 + y + z + 2xyz = Chứng minh a) xyz ≤ ; b) x + y + z ≤ ; ≤ x2 + y + z ; d) xy + xz + yz ≤ + 2xyz c) xy + xz + yz ≤ 20 [Marius Olteanu] Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = Chứng minh | cos x1 | + | cos x2 | + | cos x3 | + | cos x4 | + | cos x5 | ≥ Gazeta Matematiă 21 [Florina Cârlan, Marian Tetiva] Chứng minh x, y, z > thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz p √ √ xy + xz + yz ≥ + x2 + + y + + z + 22 [Laurentiu Panaitopol] Chứng minh + x2 + y2 + z2 + + ≥ 2, + y + z + z + x2 + x + y với số thực x, y, z > −1 JBMO, 2003 23 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a2 + b b2 + c c2 + a + + ≥ b+c c+a a+b 24 Cho a, b, c ≥ thỏa mãn a4 + b4 + c4 ≤ 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) Chứng minh a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca) Kvant, 1988 25 Cho n ≥ x1 , x2 , , xn số thực thỏa mãn 1 1 + + + = x1 + 1998 x2 + 1998 xn + 1998 1998 Chứng minh √ n x1 x2 xn ≥ 1998 n−1 Vietnam, 1998 26 [Marian Tetiva] Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y + z = xyz Chứng minh bất đẳng thức sau a) xyz ≥ 27; b) xy + xz + yz ≥ 27; c) x + y + z ≥ 9; d) xy + xz + yz ≥ 2(x + y + z) + 27 Cho x, y, z số thực dương có tổng Chứng minh √ √ √ x + y + z ≥ xy + yz + zx Russia, 2002 28 [D.Olteanu] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b+c b c+a c a+b + + ≥ b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b Gazeta Matematiă 29 Cho a, b, c số thực dương, chứng minh bất đẳng thức sau c+a a+b b+c a b c + + ≥ + + b c a c+b a+c b+a India, 2002 30 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 3(ab + bc + ca) + + ≥ b2 − bc + c2 c2 − ac + a2 a2 − ab + b2 a+b+c Đề cử cho kỳ thi Olympic Toán học vùng Balkan 31 [Adrian Zahariuc] Xét số nguyên x1 , x2 , , xn , n ≥ đôi khác Chứng minh x21 + x22 + + x2n ≥ x1 x2 + x2 x3 + + xn x1 + 2n − 32 [Murray Klamkin] Tìm giá trị lớn biểu thức x21 x2 + x22 x3 + + x2n−1 xn + x2n x1 với x1 , x2 , , xn ≥ có tổng n > Crux Mathematicorum 33 Tìm giá trị lớn số c cho với x1 , x2 , , xn , > thỏa mãn xk+1 ≥ x1 + x2 + + xk với k, bất đẳng thức √ √ √ √ xn + xn + + xn ≤ c x1 + x2 + + xn với n IMO Shorlist, 1986 34 Cho số thực dương a, b, c x, y, z thỏa mãn a + x = b + y = c + z = Chứng minh 1 (abc + xyz) + + ≥ ay bz cx Russia, 2002 35 [Viorel Vâjâitu, Alexandru Zaharescu] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ab bc ca + + ≤ (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Gazeta Matematiă 36 Tìm giá trị lớn biểu thức a3 (b + c + d) + b3 (c + d + a) + c3 (d + a + b) + d3 (a + b + c) với a, b, c, d số thực mà tổng bình phương số 37 [Walther Janous] Cho x, y, z số thực dương Chứng minh x y z p p p + + ≤ x + (x + y)(x + z) y + (y + z)(y + x) z + (z + x)(z + y) Crux Mathematicorum 38 Giả sử a1 < a2 < < an số thực, n ≥ số nguyên Chứng minh a1 a4 + a2 a4 + + an a4 ≥ a2 a4 + a3 a4 + + a1 a4 n Iran, 1999