Phuong trinh bat phuong trinh mu logarit y4rah

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT Dạng tốn PHƯƠNG TRÌNH MŨ - Phương trình mũ bản: a x  b (a  0, a  1) Nếu b  0, phương trình vơ nghiệm Nếu b  0, phương trình có nghiệm x  log a b a   a  1, f ( x)  g ( x) - Phương trình mũ a f  x  a g  x (a  0)   Phương pháp: - Đưa số - Đặt ẩn phụ - Lơgarit hóa - Sử dụng tính chất hàm số, đánh giá hai vế Chú ý: Ngồi phương pháp để giải phương trình mũ, ta dùng định nghĩa, biến đổi thành phương trình tích số, dùng bất đẳng thức,… Bài tốn 1: Giải phương trình sau: a) 0,125.42 x3  (4 2) x b) (2  3)2 x   Giải 5x 5x a) PT: 0,125.42 x3  (4 2) x  23.24 x6  2  24 x9  2  4x   5x  x  18  x  x  2 b) PT: (2  3)2 x    (2  3) x  (2  3) 1  x  1  x   Bài toán 2: Giải phương trình sau: a) 9x  x 2 x  32 x 1 b) 7log x  5log x1  3.5log x1 13.7log x1 Giải 1 x x x x x 2 a) PT:    2.2   3.2 3 x 9   2 x 1  2  x   log  x   log 2 2 2 b) PT: 7log x  13.7log x  5log x.5  3.5log x  7log x 1   13  log x  3   5   7 5  7 log x  20  log x  28     5        5 log x 28      20    log x   x  100 Bài tốn 3: Giải phương trình sau: b) 3x1  18.3 x  29 a) 4x  2x   Giải a) Đặt t  2x , t  PT: t  t   Chọn nghiệm t   2x   x  log2 b) Đặt t  3x , t  PT: 3t  18  29  3t  29t  18   t  t  t Giải nghiệm x  x  log3  Bài toán 4: Giải phương trình sau: a) e2 x  3ex   12e x  b) 27 x  12x  2.8x Giải a) Đặt t  e x , t  PT: t  3t   12   t  3t  4t  12   (t  2)(t  2)(t  3)  t Chọn nghiệm t  t  nên x  ln x  ln b) Chia vế cho 8x  PT: x x 3x x x  27   12  3 3 3               Đặt t    , t    8  2  2 2 PT: t  t    (t 1)(t  t  2)   t   x  Bài toán 5: Giải phương trình:   b) x  x  a) 2.25x  5.4x  7.10x  Giải 2x x x 2 a) PT:        Đặt t    , t  5 5 5 PT: 5t  7t    t  t  (thỏa mãn) Suy nghiệm x  x  b) Điều kiện x  0, đặt y  chia hai vế cho y , ta có: x x 1 3 3   1  y  log      1      2 2 2 2 2y y y 1 1  1    log   log    x  log x x  2  1 Bài toán 6: Giải phương trình: a)  2   x  2  4 x b) 4x x2   5.2x1 x2   Giải a) Ta có    1, đặt t   2  , t  x t PT: t    t  4t    t   t    x  x  2 b) Đặt t  2x x2  , t  PT: t  t   2t  5t  12  Chọn nghiệm t  nên x  x2    x2    x   x  x2    x  x2  x  x  3 x 2 Bài tốn 7: Giải phương trình sau: b) 3x1.2x  8.4x2 a) 34 x  43 x Giải a) Hai vế dương, lơgarit hóa theo số 10: x   log 4 x log  3x log      x  log  log  log 3 b) Hai vế dương, lơgarit hóa hai vế theo số 2:  log 3x1.2 x   log 8.4    x 1 log  x x 2 2  log   x   log  x2  (2  log 3) x   log   x  x   log Bài toán 8: Giải phương trình sau: x a) 3x.8 x1  36 b) Giải 3x x 2 a) PT: 3x.2 x1  32.22  3x2.2 x1  3   5 x 1  53 x 4     3.2 x 1    x2   x   3.2 x1   x  x 1   x  x  1  log3 b) Hai vế dương, lơgarit hóa hai vế theo số 5: 3 3x  ( x  1) log5 ( )  log ( )   5 1  x(log5  1)  log5    log  x   2 2(log  4)  4log5   4  log  x x  4log5    Bài tốn 9: Giải phương trình sau: log x  a) log x  3  x b) (4  15)tan x  (4  15)tan x  Giải a) ĐK: x  0, đặt t  log3 x x  4t PT: 3.3t  t  2t  4.3t  3.2t 3 t log 3 3     t  log Vậy x  2 b) Vì (4  15)(4  15)  nên đặt (4  15)tan x  t, t  t phương trình: t    t  8t    t   15  Do tan x  1 tan x  nên nghiệm x    k , k  Z Bài tốn 10: Giải phương trình:   b) 4x  3x  a) (sin ) x  (cos ) x  Giải   a) Vì  sin   cos  đó:     Nếu x  ta có (sin ) x  (sin )2 (cos ) x  (sin )2  VT  (loại)     Nếu x  ta có (sin ) x  (sin )2 (cos ) x  (sin )2  VT  (loại) Nếu x  PT nghiệm đúng, nghiệm 4 b) PT: ( ) x  ( ) x  ta có x  thỏa mãn PT Vì vế trái hàm số nghịch biến R nên có nghiệm x  Bài tốn 11: Giải phương trình: b) 2x1  4x  x 1 a) x.2x  x(3  x)  2(2x 1) Giải a) PT: x.2x  x(3  x)  2.2x    2x ( x  2)  x2  3x    2x ( x  2)  ( x 1)( x  2)   ( x  2)(2 x  x 1)   x   2x  x   x  x  (Vì f (x)  2x  x đồng biến R f(0) = 1) b) PT: 2x1  ( x  1)  22 x  x Xét hàm số f (t )  2t  t , t  R f '(t )  2t.ln  Vì f '(t )  0, t nên f đồng biến R PT f ( x  1)  f (2x)  x   2x  x  Bài tốn 12: Giải phương trình: a) x2 1  x  3x 1 b) 2 x 1 1  1  ( x  1)  x 1 1   2x 1 Giải a) Phương trình cho xác định với x Xét x  Khi ta có x2 1  x   3x 1 , nên phương trình cho khơng có nghiệm khoảng (;0) Xét x  Phương trình trở thành x2 1 Ta có  x  3x 1  x 1   x2    3x 1  ( x  1) x  1, x   Xét hàm số f (t )  3t  t , với t  1;   f '(t )  3t ln  2t , f "(t )  3t (ln 3)  Vì 3t (ln 3)2   3(ln 3)2   0,  t  1, nên f "(t )  0, t  Suy f '(t ) hàm số đồng biến 1;   Do f '(t )  f '(t)  3ln   0,  t  nên f (t ) hàm số đồng biến 1;   Phương trình:  f 2   x2   x   x   x  2x  x   f ( x  1)     x0 x  x    Vậy phương trình có nghiệm x  2 x   x 3x   b) Điều kiện  Phương trình trở thành 2 x 1  2  ( x  1)  2 x 1  x 1 1  2x 1  ( x   2 x  1)  2 x 1 1  (3x   x  2 x  1)  x 11 1  2 x 1  ( 3x  1)  ( x   1)  x 11 2 2 x 1  2 x 1   ( x   1)  2 x 1 1  ( 3x  1) 2 Ta có x 1  1, 3x   1 Xét hàm số f (t )  2t 1  t , với t  1;   f '(t)  2t 1 ln  t; f "(t )  2t 1 (ln 2)2  Vì t  nên f "(t )  (2ln 2)2 1  Suy f '(t ) hàm số đồng biến 1;   Nên f '(t )  f '(t )  4ln 1  0,  t  Do f (t) hàm số đồng biến 1;   Phương trình f ( x 1  1)  f ( 3x  1)  x 1   3x   x  2 x   3x  x 1   2x 1  x     x  x  4(2 x  1)  x  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1, x  Bài tốn 13: Giải phương trình: a) 5x  4x  3x  x  1    x3  x  x  16 x 3x x b) 4x  2x1  2(2x 1)sin(2x  y 1)   Giải a) Xét hàm số: f ( x)  5x  x  3x  x   1 1  x  x   x3  x  x  16, x  R x 2  Ta có: f '( x)  5x ln  4x ln  3x ln  x ln  ln ln ln    x  x  x   12 x  x     Suy hàm số đồng biến phương trình f ( x)  có khơng q nghiệm f (1)  Vậy phương trình cho có nghiệm x  b) Phương trình cho tương đương với (22 x  2.2x  1)  2(2x  1)sin(2x  y  1)    (2 x  1)2  2(2 x  1)sin(2 x  y  1)  sin (2 x  y  1)  cos (2 x  y  1)   [2x   sin(2x  y  1)]2  cos2 (2x  y 1)  2 x  sin(2 x  y  1)    x  cos(2  y  1)  Vì cos(2x  y 1)   sin(2x  y 1)  1 Ta có hai trường hợp sau: - Nếu sin(2x  y  1)  2x  0, vơ nghiệm - Nếu sin(2x  y  1)  1 2x   x   Suy sin( y  1)  1  y     k 2  Vậy phương trình cho có nghiệm là: x  1, y     2k , k  Z Bài tốn 14: Tìm điều kiện để phương trình: a) 3sin x  3cos x  m có nghiệm 2 b) (  1) x  2m( 1) x  x có nghiệm Giải a) Đặt t  3sin x ,  sin x  nên  t  9 t t PT: t   m Xét f (t )  t  ,  t  9; f '(t )  t2  ; f '(t )  t  t2 BBT: t  f' + 10 f 10 Vậy điều kiện f (t )  m có nghiệm thỏa  t   m  10 x x  1   1  b) PT     2m    2     x Ta có: PT: t   1   1  1, đặt t    , t  2   2m   t  t  2m  t Xét t   m  PT: t  t   t  hay t  1: thỏa mãn Xét t  0, điều kiện có nghiệm t  : t1   t2  t1  t2  P  (  0, P  0, S  0)  m  m  Vậy: m  m  8 Cách khác: Xét hàm số lập bảng biến thiên Dạng toán PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - Phương trình lơgarit bản: log a x  b (a  0, a  1) Phương trình lơgarit ln có nghiệm x  ab - Phương trình lơgarit  f ( x)  hay g ( x)  log a f ( x)  log a g ( x), (a  0, a  1)    f ( x)  g ( x) Phương pháp: - Đưa số - Đặt ẩn phụ - Mũ hóa - Sử dụng tính chất hàm số, đánh giá hai vế Chú ý: Ngoài phương pháp để giải phương trình lơgarit, ta dùng định nghĩa, biến đổi thành phương trình tích số, dùng bất đẳng thức,… Bài tốn 1: Giải phương trình sau: b) log2 (9  2x )  10log(3 x ) a) log [x( x 1)]  Giải a) PT: log2 [x( x 1)]   x( x 1)   x2  x    x  1 x  b) Điều kiện x  PT: log2 (9  2x )  10log(3 x )   2x  233  22 x  9.2x    2x  x  Chọn nghiệm x  Bài toán 2: Giải phương trình sau: a) 1  3  4logx  logx b) log ( x)  log x2 Giải a) Với x  0, đặt t  log x PT:   3, t  , t  1  2t  3t    t  t  (chọn)  4t  t Suy nghiệm x  10 x  10 b) ĐK: x  0, PT: log2 ( x)  log ( x)  log ( x).(5  log ( x))   log ( x)  log ( x)   x  1 x  225 Bài toán 3: Giải phương trình: a) log2 x  log ( x 1)  b) log2 x  log3 x  log4 x  Giải a) ĐK: x  1, PT  log2 x( x 1)   x( x 1)   x2  x   Chọn nghiệm x  b) ĐK: x  0, PT: (1  log3  log4 2).log2 x   (3  log3 2) log x   log x  Vậy nghiệm x  3 2log3  log3 Bài tốn 4: Giải phương trình: b) log x1   log ( x 1) a) log3 (3x  1).log3 (3x1  3)  12 Giải a) ĐK: x  : PT: log3 (3x 1)[1  log3 (3x 1)]  12 Đặt t  log3 (3x  1) PT: t (1  t )  12  t  t  12   t  4 t   log3 (3x  1)  4 log3 (3x  1)   3x    3x  3x   27 81 82 3x  28  x  log3 82  x  log3 28 81 b) ĐK: x  1, x  2, PT :   log ( x  1) log ( x  1) Đặt t  log2 ( x  1) PT:  1 t  t2  t   t  t  t  2 Giải nghiệm x  x  3 Bài toán 5: Giải phương trình: a) log [( x  2)( x  3)]  log x2 2 x3 b) log4 ( x  12).log x  Giải ( x  2)( x  3)   x  3 a) ĐK:  x   0 x   x3 x2  PT: log ( x  2)( x  3)  log 16  x   16  x  3   x2  20  x  2 (chọn) t b) Đặt t  2x 2 x1 , t  Bất phương trình trở thành t     t  2t    (t  2)(t  2t  2)   t  Do  2x 2 x1   x2  x      x   Bài toán 6: Giải bất phương trình a) 4x 4 x  3x b) tan x  sin x  2cos x  21 sin x  3cos x Giải a) ĐK: x  0, xét x  VT < < Xét x  4x  3x nên BPT: 4x  4(4x  3x )  4.3x  3.4x  3x1  4x1  x 1   x  Vậy S   ; 0  1;    b) Điều kiện tan x  Đặt t  tan x, t  thì: VT  t  Ta có f '(t )  t2  f (t ), t  t 3 t2  t  0 (t  3)2 t 1 t  nên hàm số f đồng biến, mà t   f (t )  f (0)  Mặt khác VP  21 tan x  nên dấu = đồng thời xảy  t  tan x   x  k , k Z Bài tốn 7: Giải bất phương trình: a) 4x  3.2 x x  41 b)  21 x  4x  21 x  x Giải a) ĐK: x  0, BPT: 22 x  3.2 x 2x  4.22 x  Chia hai vế cho x 2x  BPT: 2x x  4.2 x x 3  t Đặt t  2x x , t  BPT: t     t  3t    1  t  Chọn  t   x  x   x  x     x    x  b) Đặt t  2x , t  BPT:  2t  t   2t tan x 5 2  t  5  2t  0,  2t  t    5  t  0,  t  t    1 t   2 Do  t    2x    x  Bài tốn 8: Giải bất phương trình: a) x2  3.3 x  x.3 x  x2 x  x  b) 2 x 3x24 x2 3 x  x2  x  Giải a) ĐK: x  0, BPT: x2  3.3 x  x.3 x  x2 x  x    (3  x  x2 )3 x  2( x  x  3)   (2 x2  x  3)(3 x  2)  3 x   3 x      2  2 x  x   2 x  x      x  log 32  x  log 32    x   x    3  x  1 hay x  1  x    Từ suy nghiệm BPT:  x  log32 x  b) ĐK: x2  3x   x  3 x  Xét x  3 VT < < VP: Xét x  VP  ( x 1)2   4, VT  22( x2 3 x 2)2  nên có nghiệm x  Vậy tập nghiệm S   ; 3   0; 1  1;    Bài tốn 9: Giải bất phương trình sau: a) x2 x2 3 x 1 3 21 x  x   b) 2x  x 1 2 Giải a) Nếu x  bất phương trình thỏa mãn - Nếu x   x   2x  2x2  22 x1 , 3x2  32 x1  2x2  3x2  22 x1  32 x1 , thỏa mãn - Nếu x  bất đẳng thức đổi chiều không thỏa mãn đề Vậy bất phương trình cho có nghiệm x  b) Vì f ( x)  21 x  x   2 x   hàm nghịch biến 2x f (1)  0, f ( x)  f (1)   x    x  nên f ( x) dấu với  x Hàm số g ( x)  2x  hàm đồng biến g (0)  nên g ( x)   x  0, g ( x) dấu với x Suy bất phương trình cho tương đương với 1 x    x  Vậy tập nghiệm BPT  0; 1 x Bài toán 10: Tìm tham số m để bất phương trình: a) 36x  5.6x  m  có nghiệm b) 4x  (2m  5).2x  m2  5m  có nghiệm với x Giải a) Đặt t  6x , t  BPT: t  5t  m  0, t  Xét f (t)  t  5t  m, t  Điều kiện f (t )  có nghiệm t  là: 25  4m 25 5 f (t )   f      0m t 0 4 2 b) Đặt t  2x , t  Bài toán trở thành tìm m để: t  (2m  5)t  m2  5m  0, t  Ta có: a     (2m  5)2  4(m2  5m)  25  0, m Nên điều kiện f (t )  0, t  là: t1  t2  m  5 hay m  m2  5m  P       m  5 m   m   S     Dạng tốn BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - Bất phương trình lôgarit: f(x)0    f ( x )  g( x ) Nếu a  : log a f ( x )  log a g( x )   g( x )   f ( x )  g( x )  f(x)0 Nếu  a  : log a f ( x )  log a g( x )   g( x )   f ( x )  g( x )   f ( x )  g( x )  - Bất phương trình: loga x  m   x  a m (với a  1) loga x  m  x  a m (với  a  1) Chú ý: Đưa số, đặt ẩn phụ, mũ hóa, tính chất đơn điệu hàm số, đánh giá hai vế,… Bài toán 1: Giải bất phương trình: b) log0,2 ( x2  4)  1 a) log (3  x)  Giải a) Điều kiện:  x   x  Vì  2x   x   nên bất phương trình tương đương với 3 (thỏa mãn) b) ĐK: x  2 x  2, 0,2 < nên BPT: x2   (0, 2)1  x2    x2   x  Kết hợp điều kiện nghiệm 3  x  2  x  Bài tốn 2: Giải bất phương trình: a) log log 0,5  x   15  2 16  b) log3 (16x  2.12x )  x  Giải a) Vì số > nên BPT tương đương: 15  15 31   log 0,5  x      x   0,54   x  16  16 16   log 31  x    x  log 31  16 b) Vì số > nên BPT tương đương: 2x  16  2.12  x x x x1 x 4 4         3 3 Đặt t    , t   t  2t  3 t  2t   1  t     Chọn  t  t  2t  t  hay t   x Do      log  x  log 3 3 Bài tốn 3: Giải bất phương trình: a) log0,2 x  log0,2 x   b) ln x   ln x   3ln Giải a) ĐK x  0, đặt t  log0,2 x ta có BPT: t  t    2  t   2  log0,2 x   (0, 2)3  x  25 (vì số 0,2 < 1) b) ĐK: x  4, x  2, BPT: ln ( x  2)( x  4)  ln  x  x    8  x  x     x  2x   x  2 hay x    1  17  x  1  17  x  x  16     1  17  x  2  x  1  17 : chọn Bài tốn 4: Giải bất phương trình: a) log3 x  log x b) log( x2  x  2)  2log(3  x) Giải a) ĐK: x  0, x  1, BPT  log3 x   log3 x  log3 x log32 x  1 0 0 log3 x log3 x  1  log3 x  log3 x    x  x  3   x  1 hay x   x2  x    11   x   x  1  x  b) BPT:  3  x   x  x   (3  x)  11  x   Bài tốn 5: Giải bất phương trình: a) log3  2x 0 x b) (1, 25)1(log x )2  (0,64) 2 log x Giải a) Vì > nên BPT   1 2x 1 x 1  x 1  x  x   x  1    x 1  x   1  3x   x  x b) ĐK: x  0, BPT tương đương: 1 (log x )2 5   4 5    4 4(1 log x ) (vì số  1)   (log x)2  4(1  log x)  (log x)2  4log x    log x  1 log x    x  x  32 Bài toán 6: Giải bất phương trình: a) (2 x  7) ln( x  1)  b) 2.x log x  22 log x Giải  7   x   2 x   x       x    x   ln( x  1)   a) BPT:      x   2 x        x0   x      ln( x  1)  1  x     0  x      Vậy tập nghiệm S  (1; 0)  ( ;  ) b) ĐK: x  0, lơgarit hóa theo số > 1:  log2 x   23 log2 x  log  2.x  log     log x  log x 2 2      log 22 x  3log x    log x  hay log x    x  x  Bài tốn 7: Giải bất phương trình: a) log ( x  x  5)  2log3 (2  x)  b) log ( x  2)   6log 3x  Giải a) ĐK: x2  x    x   x  x  BPT: log ( x  x  5)   log3 (2  x)2  log ( x  x  5)  log (2  x)2 3  x  x   (2  x)2  x    x  b) ĐK: x  2, BPT: log2 ( x  2)   6log2 3 3x   log2 ( x  2)  log (3x  5)   log (( x  2)(3x  5))  log  ( x  2)(3x  5)   3x  11x   Giải chọn nghiệm x  Bài toán 8: Giải bất phương trình: b) log (6 x1  36 x )  2 a) 4log4 x  33log x  Giải a) Điều kiện x  0, x  1, đặt t  log x, BPT: 4t  33 1 t 4t  t  33 (4t  11)(t  3)  0 0 t t 11 11    log x   11 x    t   t     x  64 0  log x   b) Đặt t  6x , t  BPT: 6t  t  t   log (6t  t )  2    6t  t  5  t   Từ giải tập nghiệm S   ; 0  (log6 5; 1) Bài toán 9: Giải bất phương trình: a)  1  log x  log x b) log ( x2  x  3)  log ( x  3)  log 22 ( x  1) Giải a) Đặt t  log x, t  5, t  1, BPT: t   10  2t t  5t   1 1   0  t 1 t  4t  t t  4t   (t  2)(t  3)   t  1  t  t  (t  1)(t  5) Do log x  1  log x  log x  Vậy nghiệm x  100  x  1000 x  100 000 10 b) ĐK: x2  x   0, x   0, x 1   x  BPT: log2 ( x 1)( x  3)  log2 ( x  3)  log 22 ( x 1)  log 22 ( x  1)  log ( x  1)    log ( x  1)    x 1    x  (chọn) Bài tốn 10: Giải bất phương trình: a) log x 4x   1  5x b) log x[log2 (4x  6)]  Giải a) ĐK: x  0, x  1, Nếu  x  4x     x  , x   5x 4x  BPT    5x x  4x  x2  5x   5x  0 0  5x x (6  x) x  x  10 x    x  10 x    3  x  (loại) (6  x) x x  10 x  Nếu  x  BPT   chọn  x  (6  x) x Vậy tập nghiệm S  ( ; 1) b) ĐK: x  0, x  1, 4x    x  log4 Vì x  log4  nên BPT: log (4x  6)  x  4x   2x  4x  2x    2  2x   x  log Kết hợp tập nghiệm S  (log4 7; log2 3] Bài toán 11: Giải bất phương trình: log ( x  3)2  log ( x  3)3 a) log2 x   x b) Giải a) ĐK: x  Xét x  log x   x  (loại) x 1  Xét  x  log x    x nên BPT nghiệm Vậy tập nghiệm S  (0; 4] b) ĐK: x  3, x  1 Nếu 3  x  1 BPT: 2log ( x  3)  3log ( x  3)   3log ( x  3)  2log ( x  3)   3log3 ( x  3)  2log 3log3 ( x  3)   log3 ( x  3)[3  log 9]   log3 ( x  3)   x   Do 2  x  1 Nếu x  1 BPT  log3 ( x  3)   x  2 (loại) Vậy tập nghiệm S  (2; 1) Bài toán 12: Giải bất phương trình: a) log 4( x  1)  2( x  x ) x 2 b) log (4  x)  log (4  16  x )  2 Giải a) Điều kiện x  Bất phương trình tương đương với  log ( x  1)  2( x  x )  log ( x  2)  log ( x  1)  x  log ( x  2)  2( x  1) Ta có x, x  thuộc 0;    , Xét hàm số f (t )  log2 (t  1)  2t , t  0;    f '(t )  1  (t  1)2ln 2  (t  1) ln (t  1) ln Vì (t  1)2ln  2ln  1, với t  0;    nên f '(t )  0, với t  0;    Suy f (t ) hàm số nghịch biến 0;    Bất phương trình: f ( x)  f ( x  1)  x  x   x  x 1   1 1 3  x , x00 x 2 Vậy nghiệm bất phương trình cho  x  4  x  16 b) Điều kiện:   4  16  x   4  x  16 3 BPT: log2  x  log2 (4  16  x )    x    16  x x x  4  x  (2  16  x )(4  16  x )  x (2  16  x )(4  16  x )  (  x  2)  Với 4  x  16 ta có (2  16  x )(4  16  x )    x  nên (2  16  x )(4  16  x )  (  x  2)  Do x  Kết hợp nghiệm bất phương trình 4  x  Bài tốn 13: Tìm tham số m để bất phương trình: a) x2  (m  3) x  3m  (m  2) log x có nghiệm b)  log5 ( x2  1)  log5 (mx2  x  m) có nghiệm với x Giải a) BPT: ( x  m)( x  3)  (m  x) log2 x  ( x  m)( x   log x)  Để ý: f ( x)  x   log2 x, x  f '( x)    nên f ( x) đồng biến (0;  ) f (2)  x ln Do đó, bất phương trình tương đương:  x  m, x   log x   x  m,  x   x  m, x   log x    x  m, x    Từ suy điều kiện có nghiệm m  b) BPT: log5 5( x2  1)  log5 (mx2  x  m) 5( x  1)  mx  x  m  (hàm đồng biến)   mx  x  m  (5  m) x  x  m   (1)   (2)  mx  x  m  Ta tìm m để hệ thỏa mãn với x Xét m  (1) : 4 x  0, x : loại Xét m  (2) : x  0, x : loại Xét m  5, m  điều kiện  1  0,  m  4  (5  m)  0, m   2m3    m  0, m     0, m   BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: Giải phương trình: a) 4ln x1  6ln x  2.3ln x 2  b) xlog  4log x  32 HD-ĐS Điều kiện: x  0, PT: 4.22ln x  6ln x 18.32ln x  a) 2ln x Chia hai vế cho 2 , đặt t    3 ln x PT: 2 4t  t  18  Chọn nghiệm t     3 ln x  Kết x  e2 b) Điều kiện: x  0, ta có: xlog  4log xlog  4log 4.log4 x  4log x nên PT: 2.4log x  32  4log x  16  log x   x  100 Kết x  100 Bài tập 2: Giải phương trình: a) (cos 72) x  (cos36) x  3.2 x b) ( ) x  x  HD-ĐS a) Phương trình: (2cos 72) x  (2cos36) x  Vì: 2cos 72.2cos36  2sin 36.cos36.cos 72 1 sin 36 t Đặt t  (2cos 72) x , t  PT: t   3   1   t  3t    t       2 Ta có: 2cos 72  2sin18  Kết x  2 1 suy nghiệm x  2 b) Vì   nên x  1 VT < 3, VP > (loại), x  1 VT > 3, VP < (loại), x  1 PT nghiệm Vậy nghiệm x  1 Kết x  1 Bài tập 3: Giải phương trình a) log3 x  log4 (2 x  2)  b) log3 (1  x  x )  log x HD-ĐS a) ĐK: x  Ta có f ( x)  log3 x  log4 (2 x  2) hàm đồng biến Nên f ( x)  f (3)  với x  f ( x)  f (3)  với  x  Và x  thỏa mãn Kết x  b) Điều kiện: x  0, đặt x  212 y PT: log3 (1  26 y  24 y )  log 26 y  log3 (1  26 y  24 y )  y y y y    64   16    26 y  24 y  34 y            81   81   81  Ta có y  thỏa mãn hàm số y y y    64   16  f ( y)          nghịch biến R nên y  nghiệm  81   81   81  Kết x  212 Bài tập 4: Giải phương trình: a) log2 x log3 x log5 x  log2 x log3 x  log x log5 x  log3 x log5 x b) log2 x  log3 ( x  1)  log4 ( x  2)  log5 ( x  3) HD-ĐS a) ĐK: x  0, phương trình trở thành: (lg x)3  (lg x)2 (lg  lg3  lg5)  (lg x) (lg x  lg30)   lg x  lg x  lg30  x  x  30 (chọn) Kết x  x  30 b) ĐK: x  Xét x  PT thỏa mãn: Xét x  x x2 x 1 x    1,  1 nên VT > VP (loại), xét x  VT < VP (loại) Kết x  Bài tập 5: Giải hệ phương trình: x y y 2   a)  x  y y 1 2  3.2 x  2.3 y  2, 75  b)  x y  2   0, 75 HD-ĐS a) Đặt u  2x y , v  3y u, v  Ta có hệ: u  v  u  u      uv  v  v   x  y  log x  y   y 1  y  log3 Do đó:  Kết (0; 1) (log2  log3 2; log3 2) b) Đặt u  2x , v  3y u, v  Ta có hệ: 2.u  2v  2, 75 u  0, 25  x  2    u  3v  0, 75 v  y  Kết (2;0) Bài tập 6: Giải hệ phương trình: ( x   x )( y   y )  a)  2 x  y 2   y  b)  y y x  2   3x   4 x  y   HD-ĐS a) PT (1) biến đổi thành cách: x   x   y  y y   y   x  x Cộng lại 2( x  y)   y   x Do (2)  3x   223x  8x (3x  1)  PT có nghiệm x  3 Kết ( ;  ) b) Trừ phương trình vế theo vế được: (2x  y )  (3x  3y )  3( x  y)  Xét x  y VT > (loại), x  y VT < (loại) x Xét x  y  t được: 2t  3t  3t   Đặt f (t )  2t  3t  3t  2, t  R Ta có: f '(t )  2t.ln  3t.ln  3, f "(t )  2t.ln 2  3t.ln  Suy f '(t ) đồng biến R nên f (t )  có tối đa nghiệm mà f (0)  f (1)  nên hệ có nghiệm (0; 0) (1; 1) Kết (0; 0) (1; 1) Bài tập 7: Giải bất phương trình: 3x a) x 3 2 b) log x 4.log  12 x  12 x  HD-ĐS ĐK: x  log3 2, BPT: a) 3x 2.3x  3x  3  x 0 x 0 3x  2 2 3x  x   x   x  log3 3  Kết x  log3 hay x  b) ĐK: x  0, x  1, BPT   12 x 0  x 12 x  12  12 x  12 x log   log  log x log x 12 x  12 x   12 x (6 x  5)(1  x) x     x  hay x  12 x  12 x  Kết x 12 Bài tập 8: Giải hệ bất phương trình  x  y  2 a)  x y 2    x  y   log b)  ln(4 x  y 1 HD-ĐS a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si:  2x  y  2x.2 y  2x  y  22  Do dấu = xảy nên x  y x  y  2  x  y  1 Kết x  y  1  3.42 y 1 )  ln b) Áp dụng bất đẳng thức Cô si: ln  ln(4x y 1  3.42 y 1 )  ln(2 4x y 1.3.42 y 1  ln(2 x 3 y 2ln3 )  ln(2 40 )  ln Do dấu = xảy nên giải nghiệm 2 Kết x  log 12, y  log 4 ... S  0)  m  m  Vậy: m  m  8 Cách khác: Xét hàm số lập bảng biến thiên Dạng tốn PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - Phương trình lơgarit bản: log a x  b (a  0, a  1) Phương trình lơgarit ln có nghiệm...    +  f   12 Điều kiện có nghiệm nhất: a  hay a  12 Dạng toán HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Việc giải hệ phương trình mũ lơgarit giống giải hệ phương trình đại số với biến đổi biểu... 5 hay m  m2  5m  P       m  5 m   m   S     Dạng tốn BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - Bất phương trình lơgarit: f(x)0    f ( x )  g( x ) Nếu a  : log a f ( x )  log