Cac bai toan tich phan co dap an chon loc qkbr7

TÍCH PHÂN I Khái niệm tích phân Diện tích hình thang cong  Giới thiệu cho học sinh cách tính diện tích hình thang cong  Từ suy cơng thức: lim x  x0 S  x   S  x0   f  x0  x  x0 Định nghĩa tích phân  Cho hàm f liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f b K hiệu số: F(b) – F(a) gọi tích phân f từ a đến b, ký hiệu là:  f  x dx a b  Có nghĩa là:  f  x dx  F b   F  a  a  Gọi F  x  nguyên hàm f(x) F  x  a  F  b   F  a  thì: b b  f  x dx  F  x  b a  F b   F  a  a  Trong đó: – a: cận trên, b cận – f(x) gọi hàm số dấu tích phân – dx: gọi vi phân đối số – f(x)dx: Gọi biểu thức dấu tích phân II Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f g liên tục K, a, b, c ba số thuộc K Khi ta có: a  f  x  a b  a f  x dx    f  x dx (Gọi tính chất đổi cận) a b  a b c b a c f  x dx   f  x dx   f  x dx b b b a a a   f  x   g  x dx   f  x dx   g  x dx (Tích phân tổng hiệu hai tích phân tổng hiệu hai tích phân) b b a a  kf  x dx  k. f  x dx (Hằng số k dấu tích phân, đưa ngồi dấu tích phân được) Ngồi tính chất trên, người ta cịn chứng minh số tính chất khác như: Nếu f  x   0x   a; b thì: b  f  x dx  0x  a; b a b b a a Nếu: x   a; b : f  x   g  x    f  x dx   g  x dx (Bất đẳng thức tích phân) Nếu: x   a; b với hai số M, N ta ln có: M  f  x   N Thì: b M  b  a    f  x dx  N  b  a  (Tính chất giá trị trung bình tích phân) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Trong phương pháp này, cần:  Kỹ năng: Cần biết phân tích f(x) thành tổng, hiệu, tích, thương nhiều hàm số khác, mà ta sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm chúng  Kiến thức: Như trình bày phần “Nguyên hàm”, cần phải nắm kiến thức Vi phân, cơng thức phép tốn lũy thừa, phép toán bậc n số biểu diễn chúng dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính tích phân sau  a/  x2  1 Giải a/  b/  x x  x  ln  x x 1 x   dx  x x4 1  x2  1   x  1d  x2   x  1 dx 3  c/ dx x x4 1   dx d/  x3  x  x  dx x4  x2   2x x2 1 x2   x  x   dx    x x   dx 1  2  x  x  x       x2 1   d    x2   x2 1  2  x2   1  5 2 b/  x   1 0  x  13 dx  0  x  13 1 x2    x  12 x 1  1  dx      dx      3 0  x   x  12  x  13 dx x  x  x              1 d  x  1 d  x  1 d  x  1 1 1 I   2   ln x     ln  x 1 x   x  1 0  x  1  x  1 1 c/  x x  x  ln  x x 1 x   I   x  dx   x3  x  x  dx  x4  x2   d  x  x  1  x x    ln    x  1  ln  x  1 2        d 1 x   x  x       3    ln  x   x3  x  dx    x4  x2    2    x2  1dx     x 2dx  1 2  1 1     x   x  dx    x   x   dx 2 x 1  ln x 1 2 1 1 x 1      ln  x 1 x 1 x   2 Ví dụ Tính tích phân sau  a/  2sin x  sin x  1  cos x  b/ dx  2sin sin x dx x  3cos x   2 x  1  x2 ln   x dx c/ sin x   tan x dx cos x d/  Ví dụ Tính tích phân sau e2 ln x  dx a/  x ln x e x2 1 b/  dx 2 x  x  1    sin x  sin 2 x dx c/ 3 d/  sin 3x.cos xdx B PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Phương pháp đổi biến số dạng Để tính tích phân dạng này, ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc:  Bước 1: Đặt x  v  t   Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận  Bước 3: Phân tích f  x  dx  f  v  t   v '  t  dt  Bước 4: Tính b  a  f  x dx  v b   g  t dt  G t  v a  v b  Bước 5: Kết luận: I  G  t  v a   v b  v a     dx x 1  1 x x   2    3 ln  x   x 1   dx    1   x  x 1 x    ln  x  1 1    ln d/  dx  ln  x   2/ Nhận dạng: (Xem lại phần nguyên hàm) * Chú ý: a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn a2  x2     x  a sin t    t    x  a cos t   t   x2  a2  a     t   ;  x  sin t  2   a    t   0;   \   s  cos t 2  a2  x2      x  a tan t  t    ;      x  a cos t  t   0;   ax ax  ax ax x  a.cos 2t  x  a  b  x  x  a   b  a  sin t b Quan trọng em phải nhận dạng: - Ví dụ: Trong dạng phân thức hữu tỷ:    1 1 *  dx       dx   du 2 a u k   ax  bx  c  b      a  x       2a   2a       b  Với:  u  x  , k  , du  dx  2a 2a    * áp dụng để giải toán tổng quát:  *     2x  x dx    dx   a  3   x  1 x  2 k 1 k   … dx Từ suy cách đặt: x   sin t 3/ Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/   x dx b/  1 2x dx c/  1  x  x2 dx Giải    a/ Đặt x  sin t với: t    ;   2   x   sin t   t   Suy ra: dx  cos tdt và:   x   sin t   t     Do đó: f  x  dx   x dx   sin t cos tdt  cos tdt    Vậy:    x   sin t   t   Suy ra: dx  cos tdt   1   x    sin t  t    Do đó:  1  cos 2t  dt   t  sin 2t          f  x dx       2 0 2 2    sin t , t    ;   2 b/ Đặt: x   1  cos 2t  dt 1  2x2 dx      1 1 1 2  dx  cos tdt  dt  t      20 20 2  sin t   x  2 c/ Vì:  x  x    x  1 Cho nên:  x 1    Đặt: x   2sin t , t   ;   sin t  *  2  1   x   sin t    t     t  0;   cos t  Suy ra: dx  2cos tdt và:   6  x   sin t     t    2  Do đó: f  x  dx   2x  x dx    x  1 dx  1  sin t    Vậy:   f  x dx   dt  t 06   Ví dụ 2: Tính tích phân sau a/  12 x  x  5dx b/ x dx  x 1 2cos tdt  dt c/ b 2 x2  x  7dx d/  * Chú ý: Để tính tích phân dạng có chứa  a  x2  a  x2  dx  x  a , a  x , ta sử dụng phương pháp đổi biến số: u  x   g  x, t  Ví dụ 1: Tính tích phân sau  x2  dx Giải: t 1 x 1  x  t  x  2t  Đặt:   x   t  1; x   t    Khi đó:  t2 1 dx   2t   Do vậy:  x 1 1  dx  1 2t t  dt  t  2t 1  1 dt  ln t t 1 1   ln   1 Ví dụ 2: Tính tích phân: I   x  x dx Giải   Đặt: t  sin x , suy dt  cos xdx x  0, t  ; Khi x  1, t     cos 4t  Do đó: f  x  dx  x  x dx  sin t  sin t cos tdt  sin t cos2 tdt    dt 4   12 1  1  Vậy: I   f  x dx   1  cos 4t  dt   t  sin 4t    8 16   0   II Đổi biến số dạng Quy tắc: (Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau:)  Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u  x  đặt t : t  u  x   Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận: dt  u '  x  dx  Bước 3: Ta phân tích f  x  dx  g u  x  u '  x  dx  g  t  dt   Bước 4: Tính b ub a u a  f  x dx   g t dt  G t  ub Kết luận: I  G  t  u a Nhận dạng:   ub u a TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ  A DẠNG: I    P  x dx ax  b  a  0   m m * Chú ý đến công thức:  dx  ln ax  b Và bậc P  x  cao ta chia tử cho a   ax  b mẫu dẫn đến    P  x m dx  Q x  dx  Q x dx  m  ax  b    ax  b     ax  bdx  Ví dụ 1: Tính ticích phân: I   x3 dx 2x  Giải x3 27 Ta có: f  x    x2  x   2x  8 2x  Do đó: x3 27  27 13 27 1 1 3  1 x  3dx  1  x  x   x  dx   x  x  x  16 ln 2x      16 ln 35 2 Ví dụ 2: Tính tích phân: I   x2  dx x 1 Giải Ta có: f  x   x2   x 1 x 1 x 1 x2  Do đó:  dx  x 1  B DẠNG:   ax   1    x   x  dx   x  x  4ln x   3  1     4ln     P  x dx  bx  c Tam thức: f  x   ax  bx  c có hai nghiệm phân biệt  Cơng thức cần lưu ý: Ta có hai cách Cách 1: (Hệ số bất định) Cách 2: (Nhẩy tầng lầu) Ví dụ 3: Tính tích phân: I   u ' x  dx  ln u  x     u  x x  11 dx x  5x  Giải Cách 1: (Hệ số bất định) Ta có: f  x   A  x  3  B  x   4x 1 x  11 A B     x  x   x   x  3 x  x   x   x  3 Thay x  2 vào hai tử số:  A thay x  3 vào hai tử số: 1   B suy B  Do đó: f  x    x2 x3 x  11   0 x2  5x  6dx  0  x   x  dx  3ln x   ln x   2ln  ln Vậy: Cách 2: (Nhẩy tầng lầu) Ta có: f  x    x  5  2x  2x  1  2   2   x  5x  x  5x   x   x  3 x  5x  x  x  Do đó: 2x  1   x2   I   f  x dx    2   dx   2ln x  x   ln   2ln  ln x  x  x  x  x     0 0 1 Tam thức: f  x   ax  bx  c có hai nghiệm kép  u '  x  dx  ln u x      u  x    Công thức cần lưu ý: Thông thường ta đặt  x  b / 2a   t Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I   x3 dx x2  2x  Giải Ta có: x3 x3 dx  0 x2  x  0  x  12 dx Đặt: t  x  suy ra: dx  dt; x  t  và: x  t  ; x  t  Do đó: x3   x  1 dx    t  1 t2 1 1  1 dt    t    dt   t  3t  ln t    2ln  t t  t 1 2 1 4x dx 4x  4x 1 Ví dụ 5: Tính tích phân sau: I   Giải Ta có: 4x 4x  x  x   x  12  x   t  1 Đặt: t  x  suy ra: dt  2dx  dx  dt ;  x   t  1 1 4x 4x Do đó:  dx   dx   4x  4x 1 0  x  1 1 1  t  1 1 1   dt     dt   ln t    2 t2 t t  t  1  1  Tam thức: f  x   ax  bx  c vô nghiệm: b  u  x  P  x P  x 2a  Ta viết: f  x    ; 2 2  b      a  u  k  k   a  x        2a 2a   2a     Khi đó: Đặt u  k tan t Ví dụ 6: Tính tích phân: I   x dx x  4x  Giải 2 x x 0 x2  x  5dx  0  x  22  1dx  Ta có:  Đặt: x   tan t , suy ra: dx  t2 tan t  dt  sin t  Do đó:  dx    dt   ln cos t  t 1     t  tan t cos2 t t  cos t  t1  x  2  1   x   tan t  dt   cos t  x   tan t  x t2 t 1  2  tan t    tan t   cos t   cos t1  Từ:  1  2  tan t    tan t  17  cos t  17  cos t2  17   t2 cos t2   t2  t1  Vậy:   ln cos t  2t     ln cos t2   2t2    ln cos t1  2t1    ln t1 cos t1    ln cos t2 1   t2  t1    arctan  arctan   ln   arctan  arctan   ln cos t1 17 17 Ví dụ 7: Tính tích phân sau: I   x3  x  x  dx x2  Giải x3  x  x   x2 2 x 4 x 4  Ta có:  x3  x  x   dx  1  dx    x     J 1 Do đó:  dx   x  x    2 x 4 x 4 2 0 x 4 0 2 2 Tính tích phân J   dx x 4  x   t     Đặt: x  tan t suy ra: dx  dt ;    t  0;   cos t  cos t  x   t   4   1 14  Khi đó:  dx   dt   dt  t  2 x 4  tan t cos t 20  Thay vào (1): I     C DẠNG:   ax    P  x dx  bx  cx  d Đa thức: f  x   ax3  bx2  cx  d  a  0 có nghiệm bội ba   1 m1 Công thức cần lưu ý:  m dx  1 m x   x x Ví dụ 8: Tính tích phân: I    x  1 dx Giải Cách 1:  Đặt: x   t , suy x  t  và: x  t  ; x  t   t 1 1 1  11 dx   dt     dt       Do đó:  t t t   t t 1  x  1 1 x 2 Cách 2: x   x  1    3  x  1  x  1  x  1  Ta có:    1  1  Do đó:  dx     dx        3   x  1  x  1   x   x  1   x  1  x  1 1 x Ví dụ 9: Tính tích phân: I  x4   x  1 dx 1 Giải  Đặt: x   t , suy ra: x  t  và: x  1 t  2 x  t  1  Do đó: x4   x  1 1 1 dx   2  t  1 t3 dt  1 1 t  4t  6t  4t  1  dt    t     dt 2 t t t t  2   cos 3x dx sin x  b I   Ta có: cos3x  4cos3 x  3cos x   4cos2 x  3 cos x    4sin x  3 cos x  1  4sin x  cos x 1  4sin x  cos xdx cos 3x Cho nên: f  x  dx  dx   sin x  sin x (1)   dt  cos xdx, x   t  1; x   t   Đặt: t   sin x   1   t  12     dt    4t   dt    f  x  dx  t t    2 3  Vậy: I   f  x dx     4t  dt  8t  2t  3ln t    3ln t 1 Ví dụ Tính tích phân sau  a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I   sin xdx sin x  cos x.cos x  b CĐ Y Tế - 2006 I    sin x  cos x dx  sin x KQ: ln Giải   2  sin xdx sin x   dx   ln  cos x a I   x sin x  cos x 1  cos x   cos x sin x  cos x.cos 2 sin xdx   b I    sin x  cos x dx    sin x  4  sin x  cos x  sin x  cos x  2 dx    sin x  cos x dx sin x  cos x (1)          Vì: sin x  cos x  sin  x   ;  x    x    sin  x    4 2 4 4   Mặt khác: d  sin x  cos x    cos x  sin x  dx  Cho nên: I     d  sin x  cos x    ln sin x  cos x sin x  cos x Ví dụ Tính tích phân sau     ln1  ln   ln 2   ln  a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 I   cos x  sin x  cos x  3 dx KQ: 32 KQ: ln  cos x dx  2sin x b CĐ KTKT Đông Du – 2006 I   Giải  a I   cos x  sin x  cos x  3 Cho nên: f  x  dx  dx Vì: cos x  cos2 x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  3 dx   cos x  sin x   sin x  cos x  3  cos x  sin x  dx   dt   cos x  sin x  dx; x   t  2, x   t    Đặt: t  sin x  cos x     f  x  dx  t  dt     dt  t3 t3  t   Vậy: I   1 1  31 f  x dx     3 dt       t t   t t  32 2  dt  cos xdx  cos xdx  dt  cos x  b I   dx Đặt: t   2sin x    2sin x  x   t  1; x    t     3 cos x dt 1 dx    ln t  ln Vậy: I    2sin x 41 t 4 Ví dụ Tính tích phân sau:  4sin x dx  cos x a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 I   KQ:  sin 3x  sin 3x dx  cos 3x b CĐ Bến Tre – 2006 I   Giải   2 1  cos x  sin xdx  4sin x dx   a I    cos x  cos x 0  sin 3x  sin 3x dx  cos x b I     2  cos x sin xdx   cos x 2     0 Ta có: sin 3x  sin 3x  sin 3x 1  sin 3x   sin 3x.cos 3x  dt  3sin 3xdx  sin 3xdx   dt Đặt: t   cos 3x    x   t  2; x    t     t  1  1 11 1  f  x dx    dt    t    dt   t  2t  ln t     ln 32 t 31 t 3 1 Vậy:  2 Ví dụ Tính tích phân sau   sin   x  4 dx b I       x  sin  4    a I    sin x  sin x cot xdx sin x 3   d I   cos x  sin x  cos x dx 2 c I   sin xdx 0 Giải  a I      sin 1  x  sin x  sin x  sin  cot xdx   cotxdx sin x sin x   3       1   cot xdx    cot x cot xdx  sin x   3    sin   x  4 dx  cos x  sin x dx b I    cos x  sin x     x  sin    2 4       d  cos x  sin x   ln cos x  sin x cos x  sin x    0 2    2  cos x    cos x  dx  c I   sin xdx     1  2cos x  dx  0   0  2  1 3  3  3     cos x  cos x dx   x  sin x  sin x   8 32  8  16 0   1 3  3 d I   cos x  sin x  cos x dx   x  sin x  sin x   32 8  16 Cho nên:      2 12 1   I   1  sin 2 x  cos xdx   cos xdx   sin 2 x cos xdx  sin x  sin x  20  0 0 2 Ví dụ Tính tích phân sau   a I   sin xdx b I    dx sin x cot x   d */ I   c I   tan x  cot x  2dx    cos x  sin x dx Giải    a I   sin xdx   1  cos x  sin xdx    1  2cos x  cos x  d  cos x  2 0 2   2    cos x  cos3 x  cos5 x     15  b I    dx sin x cot x 1  2tdt   dx  dx  2tdt   sin x sin x Đặt: t  cot x  t  cot x    x    t  3; x    t   2tdt   dt  2t  t Vậy: I      3   6 c I   tan x  cot x  2dx   Vì: tan x  cot x    1   tan x  cot x  dx   tan x  cot x dx  sin x cos x sin x  cos x cos x    2  2cot x cos x sin x sin x cos x sin x     tan x  cot x  0; x   ;    3 6 4       ; Cho nên: x   ;   x   ;   cot x        6 3 3 3     3   tan x  cot x  0; x   ;  4 3     4  cos x cos x Vậy: I     tan x  cot x dx    tan x  cot x dx    dx   dx  sin x     sin x   ln sin x  4   ln sin x   ln    d I     cos x  sin x dx (1) Đặt: x    t  dx  dt , x   t   ;x   t 0 Do đó:       I    cos   t   sin  t    dt     2      0    sin t  cos t dt     sin x  cos x dx (2) Lấy (1) + (2) vế với vế: 2I   I  Ví dụ Tính tích phân sau a    tan  cos x dx (NT-2000) b  sin x  cos x    xdx (Y-HN-2000)  cos x c  dx (NNI-2001)  sin x 4 d    2 sin x 0 cos6 xdx (GTVT-2000) e  2sin x 0  sin x dx (KB-03) sin x 0  cos2 xdx f Giải  sin x 1  cos x  1 a  tan xdx Ta có: f  x   tan x    2 1 4 cos x cos x cos x cos x  4  Do đó: I       dx   f  x dx    2  1dx   1  tan x    tan x  x  3 2 cos x cos x cos x     4 4     4      3    tan x  tan x                  12   3  12  12    * Chú ý: Ta cịn cách phân tích khác: f  x   tan x  tan x  tan x   1  tan x 1  tan x   tan x  tan x 1  tan x    tan x  1    3 4   3 dx dx   dx Vậy: I    tan x 1  tan x    tan x  1  1dx   tan x cos x  cos x    4    1   1  1 I   tan x  tan x  x    3            3  12 3  3  b cos x   sin x  cos x  dx Ta có: f  x   cos x  sin x  cos x      cos x  sin x   sin x  cos x  9   cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  cos x    4  cos x  sin x   cos x  sin x dx Do đó: I   f  x dx        0   sin x  cos x    (1)   cos x  sin x  t  2.x   t  3; x   t   2,   Đặt: t  sin x  cos x    dt   cos x  sin x  dx  f  x  dx  t  dt     dt  t3 t3  t  Vậy: 2 I   1 1  1   dt      t  t  t t 3  sin t  cos t   sin t  cos t   2  1     2  2    sin t  cos t  dt    sin t  cos t   sin t  cos t             1      9 2     cos t  sin t  dt  f  x   cos x  dx  sin x c cos6 x 1  sin x   3sin x  3sin x  sin x 1       sin x Ta có: f  x   4 4 sin x sin x sin x sin x sin x     dx dx   cos x  Vậy: I   1  cot x   3  3 dx    dx sin x  sin x      2 4 4  1   5 23    cot x  3cot x  3x  x  sin x    12    d     sin x  cos x  1 dx  dx  dx   dx  dx  0 cos6 x 0 cos6 x 0  cos6 x cos4 x  0 cos4 x cos2 x 0 1  tan x  cos2 x 4     1  tan x  2   1 2 dx   1  tan x  dx   1  tan x  tan x  d  tan x    1  tan x  d  tan x  2 cos x cos x 0 4   1   1 4   tan x  tan x  tan x  tan x  tan x    tan x  tan x   5  0 3  15 e    2  d   cos x  sin x sin x 2sin x dx  dx  dx   0  cos2 x 0  cos x 0  cos x 0  cos x   ln  cos x 4     2sin x cos x d 1  sin x  f  dx   dx    ln  sin x  sin x  sin x  sin x 0   ln  4  ln 2 Ví dụ Tính tích phân sau:   2 a  sin x cos xdx b sin 3x   cos 3xdx   sin x cos x c I   dx  J   dx  K  sin x  cos x sin x  cos x  cos x dx sin x  cos x  Giải    a  sin x cos xdx   1  cos x  cos x.sin xdx    cos6 x  cos x d  cos x  2 4 0  1 2   cos7 x  cos5 x   7  35   2  sin 3x 3sin 3x d 1  2cos 3x  b  dx    dx      ln  2cos 3x  2cos 3x  2cos 3x  2cos x     ln  sin x  cos x 16 16 c Ta có: I  J   dx   dx   dx  2   sin x  cos x 0 sin x  sin x  cos x   3  2   x   d  tan     1 1   Do:        x   x  x  x  sin  x   2sin    cos  x   tan    cos    tan    3 6  2 6  2 6 2 6 2 6   x   d  tan     x    Vậy: I     ln tan    20 x  2 6 tan    2 6   6    1  ln  ln  (1)  sin x  cos x sin x  cos x sin x  3cos x dx   dx sin x  cos x sin x  cos x - Mặt khác: I  3J   2     Do đó: I  3J   sin x  cos x dx   cos x  sin x    1 (2)  3 1  I  ln    I  J  ln  16 4 Từ (1) (2) ta có hệ:    I  3J    J  ln     16 Để tính K ta đặt t  x       dt  dx  x  ; t  0.x   t  2  cos  2t  3      cos  t    sin  t   2 2   Vậy: K    (3) cos 2t 1 dt  I  J  ln  sin t  cos t dt    Ví dụ 10 Tính tích phân sau:   a  dx (CĐ – 99)  sin x b (ĐH-LN-2000)   10 10 4   sin x  cos x  sin x cos x dx (SPII-2000) d c dx   sin x  cos x dx (MĐC-2000)   sin x sin  x   6    Giải    4 1 a  dx   dx  0  sin x 0  sin x  cos x   4  dx  tan  x     0   cos  x   4   b dx   sin x  cos x Đặt: t  tan x 1 x 2dt   dt  dx  1  tan  dx;  dx  ; x   t  0, x   t  x 2 2 1 t 2cos 2 1 2dt 2dt dt    2 2t  t 1  t  t  2t   t  12  0 2  1 t2 1 t2 Vậy: I   (2)  du; t   tan u  ; t   tan u  dt  2 cos u  Đặt: t   tan u   2dt 2  f  t  dt   du  2du 2  cos u  tan u t        u2 Vậy: I   2du  2u u1 u2 u1     u2  u1    arctan  arctan       sin c 10 x  cos10 x  sin x cos x dx Ta có: sin10 x  cos10 x  sin x cos4 x  sin x  cos2 x    cos4  sin x  cos6 x  sin x    cos2 x  sin x  cos2 x  sin x  cos4 x  sin x  cos2 x sin x  1  cos x  cos8 x 15 1    cos2 x 1  sin 2 x   cos2 x  sin x     cos x  cos8x 16 32 32 32      2 15  1 15  15  Vậy: I     cos x  cos8 x dx   sin x  sin x  32 32 32 32.8 64  0 0  d dx   sin x sin  x   6              Ta có:  x    x   sin  x    x   sin  x   cos x  sin x cos  x    (*) 6 6  6 6         sin  x   cos x  sin x cos  x   6 6  Do đó: f  x   2 2        sin x sin  x   sin x sin  x   sin x sin  x   6 6 6    cos x   sin x         cos  x   cos  x    3   cos x  6       I   f  x dx     dx   ln sin x  ln sin  x      6        sin x  sin  x   sin  x     6 6 6     I  ln sin x   sin  x   6   ln 3  ln  ln 2  * Chú ý: Ta cịn có cách khác f  x  1       sin x sin x sin  x   sin x  sin x  cos x  6     Vậy: I         cot x 2d  cot x dx    2 ln  cot x   cot x sin x  cotx        ln Ví dụ 11 Tính tích phân sau   a sin x cos x 0  cos2 x dx (HVBCVT-99) b  cos x cos 2 xdx (HVNHTPHCM-98)   4 sin x c  dx (ĐHNT-01) cos x  sin x d dx  cos x (ĐHTM-95) Giải   sin x cos3 x cos x dx   sin x dx 0  cos2 x 0  cos x a (1) dt  2sin x cos xdx   sin xdx  Đặt: t   cos x    cos x  t  1; x   t  2, x   t    2  t  1 1 ln  Vậy: I    dt      1dt   ln t  t   22 t 1t  2 1 2  b  cos x cos 2 xdx Ta có: f  x   cos2 x cos2 x   cos x  cos x  1  cos x  cos x  cos x.cos x  2 1 1   1  cos x  cos x   cos x  cos x     cos x  cos x  cos x 4    1 1 1  1 2  Vậy: I     cos x  cos x  cos x dx   x  sin x  sin x  sin x   8 16 16 48  4 0 0  c  cos sin x dx x  sin x Vì: d  sin x  cos6 x    6sin5 x cos x  6cos5 x sin x  dx  6sin x cos x  sin x  cos4 x   d  sin x  cos6 x   3sin x  sin x  cos x  sin x  cos x  dx  3sin x cos xdx   sin xdx  sin xdx   d  sin x  cos x    6 sin x d  sin x  cos x  dx      ln  sin x  cos6 x  Vậy:  6 6 cos x  sin x  sin x  cos x       4  ln 4 dx dx  4    tan x  d  tan x    tan x  tan x   d   2   cos x cos x cos x  0 Ví dụ 12 Tính tích phân sau:   b  sin x cos xdx (NNI-96) a  sin11 xdx (HVQHQT-96) 0   c  cos x cos xdx (NNI-98) d   cos 2xdx (ĐHTL-97) Giải  a  sin11 xdx Ta có: sin11 x  sin10 x.sin x  1  cos2 x  sin x  1  5cos2 x  10cos3 x  10cos4 x  5cos5 x  cos6 x  sin x  Cho nên: I   1  5cos x  10cos3 x  10cos x  5cos5 x  cos6 x  sin xdx  5 118 1    cos7 x  cos6 x  2cos5 x  cos4 x  cos3 x  cos x   21 7 0  b  sin x cos xdx Hạ bậc:   cos x   cos x  sin x cos x      1  cos x  1  2cos x  cos x  2    2 1  cos x  cos 2 x  cos x  cos 2 x  cos3 x   1  cos x   cos x    1  cos x  cos 2 x  cos3 x   1  cos x   cos x   8 2     1 cos x  cos x  1  cos x  cos x  cos x.cos x   1  cos x  cos x   16 16      3cos 3x  cos x  cos x  32   1  4 sin x  sin x  Vậy I     3cos x  cos x  cos x dx   x  sin x  32 64 32.6 32.4  32 0  d    cos xdx   0  2     2 cos xdx   cos x dx    cos xdx   cos xdx   0           sin x 02  sin x    1  1  2   III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG Trong phương pháp đổi biến dạng b * Sử dụng công thức:  b f  x dx   f  b  x dx 0 Chứng minh: x   t  b Đặt: b  x  t , suy x  b  t dx  dt ,   x  b  t    Do đó: b b b b 0  f  x dx   f b  t  dt    f b  t dt   f b  x dx Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến số Ví dụ: Tính tích phân sau   a/ 4sin xdx   sin x  cos x    3 dx c/ 5cos x  4sin x   sin x  cos x  b/ sin x 0 sin x  cos6 xdx  log 1  tan x  dx d/  e/ sin x cos x 0 sin x  cos3 xdx m  x 1  x  dx n f/ Giải  a/ I   4sin xdx  sin x  cos x  (1) Đặt:    dt  dx, x   t  , x   t        4sin   t  t   x  x  t   cos t 2  2  f  x  dx  dt    dt  f  t  dt  cos t  sin t            sin   t   cos   t         Nhưng tích phân khơng phụ thuộc biến số, cho nên:   I   f  t dt   cos x  sin x  cos x  dx (2)  Lấy (1) + (2) vế với vế ta có: I    sin x  cos x   sin x  cos x   dx  I    sin x  cos x  dx   2   I  2 dx  tan  x     0  cos  x    4   b/ I   5cos x  4sin x  sin x  cos x  dx Tương tự ví dụ a/ ta có kết sau:  I   5cos x  4sin x  sin x  cos x  dx    5sin t  cos t   cos t  sin t   5sin x  cos x  sin x  cos x  (2) dx    1 2  Vậy: I   dx   dx  tan  x     I   0   sin x  cos x  cos  x    4  2  c/  log 1  tan x dx Đặt:    dx  dt , x   t  ; x   t   4    t   x  x  t   4  f  x  dx  log 1  tan x  dx  log 1  tan    t    dt         tan t  Hay: f  t   log 1   dt   log 2  log t   dt   log  tan t   tan t    4 0  Vậy: I   f  t dt   dt   log tdt  I  t 04    I   sin x dx sin x  cos6 x d/ I   (1)    sin   t  cos6 x   d  t         0 cos6 x  sin xdx  I  sin   t   cos   t  2  2  (2)    cos x  sin x   dx  dx  x 02   I  6  cos x  sin x 0 Cộng (1) (2) ta có: I   e/  x 1  x  m n dx Đặt: t   x suy x   t Khi x  0, t  1; x  1, t  0; dt  dx 0 1 Do đó: I   1  t  t n  dt    t n 1  t  dt   x n 1  x  dx m m m MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN   2  cos x  3sin xdx  sin x cos3 x  dx  cos x  x  sin x dx (HVNHTPHCM-2000) cos x   x 1  x  dx (ĐHKT-97) x sin x   cos   6 sin x  cos x  dx (CĐSPHN-2000) 3sin x  cos x x dx (AN-97)   sin x   ln  dx (CĐSPKT-2000)   cos x    (XD-98)  cos x  2sin x 4sin x  dx  cos x  * Dạng: I    sin x cos x 0 sin x  cos3 xdx x sin x 0  cos2 xdx (ĐHYDTPHCM-2000) 10 a sin x  b cos x  c dx a 'sin x  b 'cos x  c ' Cách giải:  Ta phân tích: a sin x  b cos x  c B '  a 'cos x  b 'sin x  C dx  A    a 'sin x  b 'cos x  c ' a 'sin x  b 'cos x  c '  a 'sin x  b 'cos x  c ' - Sau đó: Quy đồng mẫu số - Đồng hai tử số, để tìm A, B, C - Tính I:   B  a 'cos x  b 'sin x    C dx I   A  dx   Ax  B ln a 'sin x  b 'cos x  c '    C  a 'sin x  b 'cos x  c ' a 'sin x  b 'cos x  c '    a 'sin x  b 'cos x   VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Tính tích phân sau:   sin x  cos x  0 sin x  cos x  3dx (Bộ đề) a b   sin x  cos x  0 4sin x  3cos x  5dx c cos x  2sin x  cos x  3sin xdx (XD-98) d I   cos x  3sin x  dx 4sin x  3cos x  Giải    sin x  cos x  sin x  cos x  C  sin x  cos x  3dx Ta có: f  x   sin x  2cos x   A  sin x  2cos x   sin x  2cos x  a B cos x  2sin x (1) Quy đồng mẫu số đồng hệ số hai tử số:  A     A  2B   A  B  sin x   A  B  cos x  A  C     f  x   2 A  B  1   B   Thay vào (1) sin x  cos x  3 A  C     C     2   d  sin x  2cos x  3   1 I     dx     dx    ln sin x  2cos x   J 5 sin x  2cos x  sin x  2cos x  10 5 0 I   4  ln  ln J 10 5 (2) - Tính tích phân J: dx   ; x   t  0, x   t  dt  x cos  x 2dt  Đặt: t  tan   J  2dt 2dt  t     f  x  dx    2t 1 t2  t t  2t  2 3  1 t2 1 t2  3 Tính (3): Đặt:  du t   tan u   u1 ; t   tan u   u2 dt  2 cos u  t   tan u   2du  du  f  t  dt  2 cos u  cos u  Vậy: J  u2  u 2  4 du   u2  u1   I  I    ln   u2  u1  2 10 5   tan u1    tan u    B   cos x  4sin x  cos x  2sin x cos x  2sin x C  4cos x  3sin xdx; f  x   4cos x  3sin x  A  4cos x  3sin x  4cos x  3sin x  1 b Giống phần a Ta có: A  ; B   ; C  5     3cos x  4sin x   2 4  dx  x  ln 4cos x  3sin x Vậy: I          ln 5 4cos x  3sin x  5  10 0 ...  cos x  cos x  1  cos x  cos x  cos x.cos x  2 1 1   1  cos x  cos x   cos x  cos x     cos x  cos x  cos x 4    1 1 1  1 2  Vậy: I     cos x  cos x  cos... tan x  2   1 2 dx   1  tan x  dx   1  tan x  tan x  d  tan x    1  tan x  d  tan x  2 cos x cos x 0 4   1   1 4   tan x  tan x  tan x  tan x  tan x    tan...  tan x  cot x  2dx   Vì: tan x  cot x    1   tan x  cot x  dx   tan x  cot x dx  sin x cos x sin x  cos x cos x    2  2cot x cos x sin x sin x cos x sin x     tan