Bai tap trac nghiem chuyen de logaritpdf hfdjf

1 LOGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Định nghĩa Cho hai số dương ,a b với 1a  Số  thỏa mãn đẳng thức a b  được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu loga b Ta viết a b  2 Các tính chất Cho , 0, 1a b[.]

LOGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a  b gọi lơgarit số a b kí hiệu log a b Ta viết: a  b Các tính chất: Cho a, b  0, a  , ta có:  log a a  1, log a   a log a b  b, log a  a    Lơgarit tích: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có  log a  b1b2   log a b1  log a b2 Lôgarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có b1  log a b1  log a b2 b2  log a  Đặc biệt: với a, b  0, a  log a   log a b b Lôgarit lũy thừa: Cho a, b  0, a  , với  , ta có  loga b   loga b  Đặc biệt: log a n b  log a b n Công thức đổi số: Cho số dương a, b, c với a  1, c  , ta có log c b log c a  log a b   Đặc biệt: log c a  1 log a b  log a b với log c a  Lôgarit thập phân lôgarit tự nhiên  Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Viết: log10 b  log b  lg b  Lôgarit tự nhiên lôgarit số e Viết: log e b  ln b B KỸ NĂNG CƠ BẢN Tính giá trị biểu thức Rút gọn biểu thức So sánh hai biểu thức Biểu diễn giá trị logarit qua hay nhiều giá trị logarit khác C KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH Tính giá trị biểu thức chứa logarit Ví dụ: Cho a  0, a  , giá trị biểu thức a A 16 B log a bao nhiêu? C D Ví dụ: Giá trị biểu thức A  2log 12  3log a  log 15  log a 150 bằng: A B C D Tính giá trị biểu thức Logarit theo biểu thức logarit cho Ví dụ: Cho log  a;log3  b Khi log tính theo a b A ab B ab ab C a  b D a  b2 Tìm khẳng định biểu thức logarit cho Ví dụ: Cho a  0, b  thỏa điều kiện a  b2  7ab Khẳng định sau đúng: A 3log  a  b    loga  logb  B log  a  b   C  log a  log b   log  7ab  D log  loga  logb  ab   loga  logb  So sánh logarit với số logarit với 1 Ví dụ: Trong số 3log3 ;32log3 ;   4 log3 A 2log3 B log 1 ;   16  logo ,5 số nhỏ 1 C   4 log 1 D    16  log0,5 2 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 115: Với giá trị x biểu thức f  x   log  x  1 xác định? 1  A x   ;     Câu 116: 1  1  B x   ;  C x  ¡    D x   1;   2  2 Với giá trị x biểu thức f  x   ln   x  xác định? A x   2;  B x   2; 2 Câu 117: C x  ¡  2; 2 Với giá trị x biểu thức f  x   log A x   3;1 Câu 118: x 1 xác định? 3 x C x  ¡   3;1 B x  C 1  x  B x  1;   C x   1;0    2;   Cho a  0, a  , giá trị biểu thức A  a A Câu 121: a bao nhiêu? C D.2 B C D B C D Cho a  0, a  , biểu thức D  log a3 a có giá trị bao nhiêu? A Câu 124: log Giá trị biểu thức P  22log 12  3log  log 15  log 150 bao nhiêu? A Câu 123: B 16 D x   0;3   4;   Giá trị biểu thức B  2log 12  3log  log 15  log 150 bao nhiêu? A.5 Câu 122: D x  Với giá trị x biểu thức f  x   log  x  x  x  xác định? A x   0;1 Câu 120: D x   3;1 Với giá trị x biểu thức f  x   log  x  x  xác định? A  x  Câu 119: B x  ¡ /  3;1 D x  ¡ /  2;  B C -3 D  Giá trị biểu thức C  log7 36  log7 14  3log 21 bao nhiêu? A -2 Câu 125: Cho a  0, a  , biểu thức E  a A Câu 126: 12 B log3 C log B log C log 17 D log3 D log5 15 5 B 4ln a  có giá trị  ln a log a e C 3ln a   ab   a10  Cho a  0, b  , viết log    b  3 log a e D 6log a e x y  log3 a  log3 b x  y bao nhiêu: 15 B B D ln a  C 2ln a  B 4ln a Cho a  0, b  , viết log3 C D 0,2  x log a  y log b bao nhiêu? C  D -3 Cho log x  3log  log 25  log 3 Khi giá trị x là: A Câu 133: D 58 C 25 Cho a  0, a  , biểu thức B  ln a  3log a e  A Câu 132: có giá trị bao nhiêu? A Câu 131: Cho a  0, a  , biểu thức A   ln a  log a e   ln a  log 2a e có giá trị A 4ln a  6log a Câu 130: B 625 A 2ln a  Câu 129: a2 D Trong số sau, số nhỏ nhất? A log5 Câu 128: 4log Trong số sau, số lớn nhất? A log Câu 127: C  B 200 Cho log7 B 40 C 20 D 25  2log7 a  6log 49 b Khi giá trị x là: x A 2a  6b Câu 134: B x  D log a  b  c   log a b  log a c Cho a, b, c  0;a  , khẳng định sau, khẳng định sai? A log a b  logb a B log a b.logb c  log a c D log a  b.c   log a b  log a c C logac b  c loga b Cho a, b, c  0;a, b  Trong khẳng định sau, khẳng định sai? B log a b  log a c  b  c A a loga b  b C log b c  Câu 137: log a c log a b D log a b  log a c  b  c Cho a, b, c  0,a  khẳng định sau, khẳng định sai? A log a b  log a c  b  c C log a b  c  b  c Câu 138: Câu 139: Câu 141: B log a b  log a c  b  c D ab  a c  b  c Cho a, b, c  0, a  Trong khẳng định sau, khẳng định sai? a A log a b  log a c  b  c B a C log a b  log a c  b  c D log a b   b  Số thực a thỏa điều kiện log  log a   là: A Câu 140: b3 a2 B log a a  C loga b   loga b Câu 136: D x  C x  a 2b3 Cho a, b,c  0;a  số   ¡ Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A log a ac  c Câu 135: a2 b3 B.3 C D Biết logarit sau có nghĩa Khẳng định sau khẳng định đúng? A log a b  log a c  b  c B log a b  log a c  b  c C log a b  log a c  b  c D log a b  log a c   b  c  Cho a, b, c  a  Khẳng định sau khẳng định sai? Câu 142: A log a  bc   log a b  log a c b B log a    log a b  log a c c C log a b  c  b  ac D log a  b  c   log a b  log a c Số thực x thỏa mãn điều kiện log x  log x  log8 x  11 là: 11 B A.64 Câu 143: D Số thực x thỏa mãn điều kiện log x  A Câu 144: C B C D Cho a, b  a, b  Biểu thức P  log a b2  có giá trị bao nhiêu? log a a b2 Câu 145: A B C D Cho a, b  a, b  Biểu thức P  log a b logb a có giá trị bao nhiêu? A Câu 146: B 24  53 30 B 37 10 D 25  C 20 B D  a3 a a3 Giá trị biểu thức log   a4 a a  A Câu 150: C 45 15 Giá trị biểu thức A  log3 2.log 3.log log16 15 là: A Câu 149: B 40 Giá trị biểu thức P  loga a3 a a A Câu 148: D 18 Giá trị biểu thức 43log8 3 2log16 là: A 20 Câu 147: C 12 B C D D 91 60   là:   C  211 60 Trong số log3 log , số lớn 1? A log B log3 C Cả hai số D Đáp án khác Câu 151: Cho số log1999 2000 log 2000 2001 Khẳng định sau khẳng định đúng? A log1999 2000  log 2000 2001 D log1999 2000  log 2000 2001 C.hai số lớn Câu 152: Câu 153: Các số log3 2, log 3, log 11 xếp theo thứ tự tăng dần là: A log3 2, log 11, log B log3 2, log 3, log 11 C log 3, log 2, log 11 D log3 11, log 2, log Số thực x thỏa mãn điều kiện log x  x   là: A Câu 154: B.-25 B 25 D -3 là: C.3 D Cho log x  log a  log b  a, b   Giá trị tính theo a, b là: B a 4b A ab Câu 156: C.25 Số thực x thỏa mãn điều kiện log3 x  log9 x  A.-3 Câu 155: B.hai số nhỏ C a 4b7 D b Cho log  x  y    log xy  xy   chọn khẳng định khẳng định sau? A x  y Câu 157: Cho log  y  x   log 4 B x  y C x  y D x  y  1 y  0, x  x  Chọn khẳng định khẳng định y sau? A 3x  y Câu 158: Câu 159: B x   y C x  y D 3x  4 y Chọn khẳng định khẳng định sau? A log a x  log a x  x   B log a xy  log a x  log a y C log a xy  log a x  log a y  xy   D log a xy  log a x  log a y  xy   Cho x, y  x  y  12 xy Khẳng định sau khẳng định đúng?  x  2y  A log    log x  log y   B log  x  y     log2 x  log2 y  C log  x  y   log x  log y  Câu 160: D log  x  y   log x  log y Cho a, b  a  b2  7ab Khẳng định sau khẳng định đúng? A log  a  b   log a  log b  ab B log    log a  log b    ab C log     log a  log b    Câu 161: Cho log  a Khi giá trị biểu thức log3 18 tính theo a là: A a Câu 162: C 2a   4a B 1  4a  C  4a m2 B 1 m C  4a D  2m ab a 1 B ab  a 1 C ab  a 1 D a  b  1 a 1 D  a  b  1 Biết log  ,khi giá trị biểu thức log15 75 tính theo a là: 2a 1 a B  2a a 1 C 1 a 2a D Biết log  a ,khi giá trị biểu thức log là: A Câu 168: 2a  a 1 Cho a  log3 15, b  log3 10 ; giá trị biểu thức log 50 tính theo a là: A Câu 167: D  4m A  a  b  1 B  a  b  1 C  a  b  1 Câu 166: D Biết a  log 5, b  log3 ; giá trị biểu thức log10 15 tính theo a là: A Câu 165: a a 1 Biết log  m ,khi giá trị biểu thức log 49 28 tính theo m là: A Câu 164: B Cho log  a Khi giá trị biểu thức log 1250 tính theo a là: A Câu 163:  ab D log     log a  log b    2a B a C a Biết log5  a giá trị biểu thức log3 D 4a 27 tính theo a là: 25 A Câu 169: ab  b B 3  a  3 a B 1 a 1  b  ab  a 1 C 3  a  3 a C B 3  a  3b C Cho log a b  Khi giá trị A  log A  Câu 173: C 3a  a D a 3a  b 1 a 1 D a  b  1  ab a 3 a D 2a 3 a Cho lg  a, lg  b Khi giá trị biểu thức log125 30 tính theo a là: A Câu 172: 3a Cho log12 27  a Khi giá trị biểu thức log 16 tính theo a là: A Câu 171: B Biết a  log 5, b  log5 Khi giá trị biểu thức log 24 15 tính theo a là: A Câu 170: 2a 3 B C b a a 3b D a 3 a b tính theo a là: a D  Cho log 27  a, log8  b, log  c Khi giá trị biểu thức log 35 tính theo a, b, c là: A Câu 174: ac 1 c B C Cho x  2000 Giá trị biểu thức A  B 1 A Câu 175: ac 1 b  ac  b  1 c D 3ac  3b 3 a 1 là:    log x log x log 2000 x C D 2000 Biết a  log 12, b  log12 24 Khi giá trị biểu thức log54 168 tính theo a là: A Câu 176: a   5b   ab  a B ab   a a   5b  C a   5b   ab Biết log a b  2, log a c  3 Khi giá trị biểu thức log a A 20 B  C.-1 D D ab  a   5b  a b3 tính theo a là: c4 Câu 177:  A  Câu 178: 37 10 C 016 D -48 B 35 10 C 10 D 10 91 60 B 60 91 C 16 D  16 Biết a  log 5, b  log3 Khi giá trị log tính theo a, b là: A Câu 181: B -5 a a3 a Rút gọn biểu thức B  log , ta kết là: a4 a a A  Câu 180: 16 3 Rút gọn biểu thức A  log a a a a , ta kết là: A Câu 179:  Cho log a b  3, log a c  4 Khi giá trị log a a bc2 tính theo a là: ab ab B ab C a  b D a  b2 Cho a  log 3, b  log3 5, c  log Khi giá trị biểu thức log140 63 tính theo a, b, c là: A Câu 182: 2ac  abc  2c  Câu 184: 2ac  abc  2c  B a  b C 3a  2b A ab   a  b   1 B 5ab  a  b  C ab   a  b   D 5ab  a  b  D ac  abc  2c  D 6ab Biết log3  log  log y    ,khi giá trị biểu thức A  y  là: B 17 C 65 D 133 Cho log5 x  Khẳng định sau khẳng định đúng? A log x  log x Câu 186: C Biết a  log12 18, b  log 24 54 Khẳng định sau khẳng định đúng? A 33 Câu 185: abc  2c  2ac  Cho a  log5 2, b  log5 Khi giá trị log 72 tính theo a, b là: A 3a  2b Câu 183: B B log x  log x C log x  log x D log5 x  log x Cho  x  Khẳng định sau khẳng định đúng? 10 A log x  log  B log x  log x C log x Câu 187: Trong bốn số 1 A    16  Câu 188: 1 ,  4 log 1 ,   16  log0,5 số nhỏ 1? log0,5 log3 Gọi M  log0,5 ;N 3 log0,5 13 1 D   4 log3 B C log khẳng định sau khẳng định đúng? B N  M  D N   M C M  N        Biểu thức log  2sin   log  cos  có giá trị bằng; 12  12    A -2 câu 190: log3 ,3 A M   N Câu 189: D log x log x  1  log5 2 log3 B -1 D log  C Với giá trị m biểu thức f  x   log  x  m xác định với x   3;   ? B m  3 A m  3 Câu 191: D m  3 C m  3 Với giá trị m biểu thức f  x   log   x  x  2m  xác định với x   4; 2 ? B m  3 A m  3 Câu 192: D m  3 C m  3 Với giá trị m biểu thức f  x   log3  m  x  x  3m  xác định với x   5; 4 ? A m  Câu 193: B m  C m   D m   Với số tự nhiên n, khẳng định sau khẳng định đúng/ A n  log log 43 B n   log log 43 ncanbac hai C n   log log 43 ncanbac hai ncanbac hai D n   log log 43 ncanbac hai 11 Câu 194: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: alog3  27, blog7 11  49, clog11 25  11 Giá trị biểu thức A  a log3 7  b log7 11  c log11 25 là: 2 A 519 Câu 195: B 729 B log a b C  log a b  D log a b Cho a, b, c  đôi khác khác 1, khẳng định sau khẳng định A log 2a b C log 2a b Câu 197: D 129 Kết rút gọn biểu thức C  log a b  logb a   log a b  log ab b  log a b là: A log a b Câu 196: đúng? C 469 c a b ;log 2b ;log 2c  b c c a a c a b ;log 2b ;log 2c  1 b c c a a B log 2a b D log 2a b c a b ;log 2b ;log 2c  b c c a a c a b ;log 2b ;log 2c  b c c a a Gọi (x,y) nghiệm nguyên phương trình x  y  cho P  x  y số dương nhỏ Khẳng định sau đúng? A log x  log y không xác định B log  x  y   C log  x  y   D log  x  y   Câu 198: Có tất số dương a thỏa mãn đẳng thức log a  log3 a  log5 a  log a.log3 a.log5 a A B.1 C D 12 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM II-HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Biểu thức f  x  xác định  x    x  Ta chọn đáp án A Câu 2: Biểu thức f  x  xác định   x   x   2;  Ta chọn đáp án A Câu 3: Biểu thức f  x  xác định  x 1   x   ; 3  1;   Ta chọn đáp án B 3 x Câu 4: Biểu thức f  x  xác định  x  x   x   0;  Ta chọn đáp án A Câu 5: Biểu thức f  x  xác định  x3  x  x   x   1;0    2;   Ta chọn đáp án C Câu 6: Ta có A  a log a4 a log a1  a2loga  aloga 16  16 Ta chọn đáp án B Câu 7: Ta nhập vào máy tính biểu thức 2log 12  3log  log 15  log 150 , bấm =, kết B=3 Ta chọn đáp án D Câu 8: tự luận P  log 12  3log  log 15  log 150  log 12  log 53  log 15.150   log 122.53  Đáp án B 15.150 Trắc nghiệm: Nhập biểu thức vào máy tính nhấn calc ta thu kết 1 Câu 9: Ta có D  log a3 a  log a a  Ta chọn đáp án B 3 Ta nhập vào máy tính biểu thức log7 36  log7 14  3log7 21 , bấm =,được kết C=-2 Ta chọn đáp án A Câu 10: 4log Ta có E  a Câu 12: + Tự luận: Đưa số so sánh Ta thấy log3 a2  a2 loga Câu 11:  aloga 25  25 Ta chọn đáp án C 6 > log3 = log = log 5 Ta chọn đáp án D + trắc nghiệm: sử dụng máy tính, lấy số trừ số lại, kết >0 giữ nguyên số bị trừ thay đổi số trừ số mới; kết log3 =1 Câu 37: 20002  1999.2001  log 2000 20002  log 2000 2001.1999       log 2000 2001  log 2000 1999  log1999 2000  log 2000 2001 Câu 38: Ta có log3  log3   log 2  log  log3 11 Câu 39: log  x     x   33  x  25 Câu 40: log3 x  log9 x  3  log3 x  log3 x   x  2 Câu 41: Ta có log a  log b  log  a 4b   x  a 4b Ta chọn đáp án C Câu 42: Ta có: log  x  y    log xy  log  x  y   log 2 xy  x  y  xy  x  y Câu 43: log  y  x   log 4 y   log 1 x  y y yx Câu 44: Do x , y   log a xy  log a x  log a y , ta chọn đáp án D Câu 45: Ta có: Chọn B đáp án đúng, x  y  12 xy   x  y   16 xy  log  x  y   log 16 xy 2  2log  x  y    log x  log y  log  x  y    Câu 46:  log x  log y  Ta có: Chọn C đáp án đúng, a  b2  7ab   a  b   9ab  log  a  b   log 9ab  2log  a  b   log  log a  log b  log ab   log a  log b  16 Câu 47: +Tự luận: Ta có: a  log  log  2.3   log  log3  Suy log3 18  log3  2.32   log3   a 1 2a  Ta chọn đáp án A 2  a 1 a 1 +Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: Gán log cho A Lấy log3 18 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án D Câu 48: +Tự luận: Ta có: 1  4a Ta log 1250  log 22  2.54   log  2.54    2log  2 chọn đáp án D + Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: Gán log cho A Lấy log 1250 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án D Câu 49: Sử dụng máy tính: Gán log cho A Lấy log 49 28 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án D Câu 50: Sử dụng máy tính: Gán log 5;log cho A,B Lấy log10 15 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án D Câu 51: +Tự luận: Ta có: a  log 15  log  3.5    log  log  a  Khi đó: log3 50  log  5.10    log3  log 10    a  b  ta chọn đáp án B +Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: Gán log3 15;log3 10 cho A,B Lấy log 50 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án 17 Ta chọn đáp án B Câu 52: Sử dụng máy tính: Gán log3 cho A Lấy log15 75 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án A Câu 53: Ta có: log  log  2log  2a Ta chọn đáp án A Câu 54: Ta có: log3 Câu 55: Sử dụng máy tính: Gán log 5;log cho A,B 27 3a  Ta chọn đáp án C  log3 27  log3 25   2log3    25 a Lấy log 24 15 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án D 3  a  log 27 3log 2a   log   log 16  log 12  log 3 a 3 a Câu 56: Ta có: a  log12 27  Câu 57: Ta có: log125 30  Câu 58: Ta có: log a b   câu 59: Ta có: log 27  a  log3  3a,log8  b  log3   log 35  lg 30  lg 1 a   lg125 1  lg  1  b  3  1 b b  a  a  a  A a a 3b  log  3ac c  ac  b  1 c A  log x  log x   log x 2000  log x 1.2.3 2000   log x x  Câu 60: Ta có: Câu 61: Sử dụng máy tính: Gán log 12;log12 24 cho A,B Lấy log54 168 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án D a b3  log a a  log a b3  log a c   3.2   3  20 Ta chọn đáp án A c Câu 62: Ta có: log a Câu 63: 1 Ta có: log a a bc2  2log a a  log a b  2log a c     4   5 Ta chọn đáp 3   án B 18 37 Ta chọn đáp án A 10 Câu 64: Thay a  e , sử dụng máy tính kết A  Câu 65: Thay a  e , sử dụng máy tính kết B   Câu 66: Ta có: log  Câu 67: Sử dụng máy tính: Gán log 3;log5 2;log5 cho A,B 91 Ta chọn đáp án A 60 log 5.log3 1 ab     log5 log5  2.3 log5  log5 log  log3 a  b Lấy log140 63 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án C Câu 68: Sử dụng máy tính: Gán log5 2;log5 cho A,B Lấy log 72 trừ đáp số A,B, C, D Kết đáp án Ta chọn đáp án A Câu 69: Sử dụng máy tính: Gán log12 18;log 24 54 cho A,B Với đáp án C ta nhập vào máy: AB   A  B   ta kết Vậy C đáp án Câu 70: Vì log3  log  log y    nên log  log y    log y   y  24  y   33 Câu 71: Vì log5 x   x  Khi log5 x  log x Chọn đáp án D Câu 72: Sử dụng máy tính, chọn x=0,5 thay vào đáp án, ta đáp án A Câu 73: +Tự luận: Tacó: 1 3log3  4;32log3  3log3  4;   4 log 2  22log2  2log2  52  1 ;  25  16  log0,5   24   log 2  2log2  24  16 Chọn đáp án D Trắc nghiêm: nhập vào máy tính biểu thức tính kết quả, chọn kết nhỏ Câu 74: +Tự luận: Ta có log0,5 13  logo,5   log0,5 13 3 log0,5 1 N  M 1 Chọn đáp án B 19 + Trắc nghiệm: Nhập biểu thức vào máy tính, tính kết so sánh, ta thấy đáp án B Câu 75: ta có             log  2sin   log  cos   log  2sin c os   log  sin   log  1 12  12  12 12  6     Chọn đáp án B Biểu thức f  x  xác định  x  m   x  m Câu 76: Để f  x  xác định với x   3;   m  3 Ta chọn đáp án C Thay m  Câu 77: vào   x  x  2m    x   4;3 điều   x  x  2m   kiện ta mà  4; 2   4;3 nên đáp án B,A,D loại Ta chọn đáp án C -Thay m  vào điều kiện  m  x  x  3m   ta   x  x     x   2;6  Câu 78: mà  5; 4   2;6  nên đáp án B,A loại -Thay vào m=-2  2  x  x     x   6; 2  Câu 79: điều  m  x  x  3m   kiện ta mà  5; 4   6; 2  nên đáp án C loại Ta chọn đáp án D +Tự luận: Đặt  log log  2 m   m Ta có: log 43  22m ncanbac hai ta thấy: 2 2 , 1    2 2 , , 1   2 n   22 n ta được: 2 m  22  m  n Vậy n   log log Đáp án B 43 ncanbac hai +Trắc nghiệm: sử dụng máy tính, lấy n bất kì, chẳng hạn n  Nhập biểu thức  log log 2 (có dấu căn) vào máy tính ta thu kết -3 Chọn B Câu 80  a log3  log3 Ta   blog7 11 có:  log7 11   c log11 25  log11 25  27log3  49log7 11    11 log11 25  73  112  25  469 20